Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x), (ιιι) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)(τριγωνική ιδιότητα). Τότε η d είναι µια µετρική στο X και το ευγάρι (X, d) ονοµάζεται µετρικός χώρος. Συχνά γιά λόγους απλότητας ϑα λέµε ο µετρικός χώρος X αντί του ακριβούς ο µετρικός χώρος (X, d). Εστω (X, d) µετρικός χώρος. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 ϑα συµβολίζουµε µε B(x, ρ) την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ, δηλαδή B(x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} και όταν γράφουµε B(x, ρ) ϑα εννοούµε πάντοτε οτι ρ R µε ρ > 0. Στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές έννοιες και ιδιότητες των µετρικών χώρων. Υπενθυµίζουµε τις κυριότερες απο αυτές που ϑα χρησιµοποιήσουµε στο ϐιβλίο. Εστω A X 1

2 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Το A είναι ανοικτό αν για κάθε x A, B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστο ρ και το A είναι κλειστό αν το συµπλήρωµα A c = X \ A του A στο X είναι ανοικτό. Αν x X το x είναι εσωτερικό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστον ρ, το x είναι συνοριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A και B(x, ρ) A c, το x είναι σηµείο συσσώρευσης του A αν B(x, ρ) (A \ {x}) για κάθε ρ και το x είναι οριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για κάθε ρ. Για κάθε A X συµβολίζουµε µε A το κλειστό περίβληµα του A, δηλαδή το σύνολο των οριακών σηµείων του A. Εστω ο µετρικός χώρος X και A X. Αν το κλειστό περίβληµα του A είναι ολόκληρο το X, δηλαδή A = X, λέµε οτι το A είναι πυκνό υποσύνολο του X ή οτι το A είναι πυκνό στον X. Αν υπάρχει αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο A του X, λέµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. ηλαδή ο X είναι διαχωρίσιµος αν υπάρχει ακολουθία {x n } του X πυκνή στον X. Υπενθυµίζουµε οτι η ακολουθία {x n } είναι πυκνή στον X αν για κάθε x X και κάθε ɛ > 0 η σφαίρα B(x, ɛ) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο της ακολουθίας ή ισοδύναµα για κάθε x X υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } που συγκλίνει στο x. Ο µετρικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν µπορεί να γραφεί σαν ενωση δυό ξένων και ανοικτών υποσυνόλων του. 1.2 Η επαγόµενη τοπολογία Εστω (E, d) µετρικός χώρος και X E, X, τυχαίο υποσύνολο του E. Ο περιορισµός d X της µετρικής d στο X X είναι µετρική στον X που ονοµάζεται επαγόµενη µετρική του X. Ετσι γιά κάθε x, y X έχουµε d X (x, y) = d(x, y) και πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η d X είναι µετρική στον X. Επίσης γιά λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την µετρική d X του X πάλι µε d. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 συµβολίζουµε µε B X (x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ}

1.2. Η επαγόµενη τοπολογία 3 την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. έχουµε : B X (x, ρ) = B(x, ρ) X, Για κάθε x X όπου B X (x, ρ) είναι η ανοικτή σφαίρα του E µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Η επαγόµενη µετρική του X ορίζει µια τοπολογία στο X που αναφέρεται ως η µετρική τοπολογία ή επαγόµενη τοπολογία του X. Επίσης όταν λέµε ο µετρικός χώρος X ϑα εννοούµε τον X εφοδιασµένο µε τη µετρική τοπολογία. Ετσι αν A X έχουµε ότι το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X ( ή στην επαγόµενη τοπολογία του X) αν για κάθε x A υπάρχει ώστε B X (x, ρ) A. Οπως ϑα δούµε παρακάτω αν το A είναι ανοικτό υποσύνολο του X δεν έπεται κατανάκη ότι είναι και ανοικτό υποσύνολο του E. Υποθετουµε τωρα ότι (E, ) είναι χώρος µε norm και X E, X. Η επαγόµενη τοπολογία του X ορίζεται προφανώς ως εξής : Για κάθε x, y X d(x, y) = x y, όπου η norm του E, οπότε η d είναι η επαγόµενη µετρική του X και το ευγάρι (X, d) είναι ο µετρικός χώρος X. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 B X (x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} είναι η ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Εχουµε B X (x, ρ) = B(x, ρ) X, όπου B X (x, ρ) είναι η ανοικτή σφαίρα του E µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Θεώρηµα 1.1. Εστω E µετρικός χώρος και X E, X και έστω A X, τότε : (i) το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E ανοικτό ώστε A = B X, (ii) το A είναι κλειστό σύνολο υποσύνολο του του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E κλειστό ώστε A = B X.

4 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Απόδειξη. (i): Εστω A ανοικτό υποσύνολο του X. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B X (x, ρ x ) A. Τότε A = x A B X (x, ρ x ). Αν B = x A B(x, ρ x ), τότε B ανοικτό υποσύνολο του E και A = B X = ( x A B(x, ρ x )) X = x A B X (x, ρ x ) = A. Για το αντίστροφο υποθέτουµε οτι A = B X, όπου B E, ανοικτό. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) B, άρα B X (x, ρ x ) = B(x, ρ x ) X B X = A, εποµένως το A είναι ανοικτό. (ii): Εστω A κλειστό υποσύνολο του X. Τότε A c = X \ A ανοικτό υποσύνολο του X, εποµένως, από την (i), υπάρχει D E ανοικτό ώστε A c = D X, άρα A = X \ A c = X \ (D X) = X F, όπου F = E \ D κλειστό υποσύνολο του E. 1.3 Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Εστω X R m, X. Για κάθε x, y X, d(x, y) = x y, όπου η Ευκλείδια norm του R m, είναι η επαγόµενη ή η Ευκλείδια µετρική του X. Το ευγάρι (X, d) είναι Ευκλείδιος µετρικός χώρος που για συντοµία ϑα αναφέρεται και ως ο µετρικός χώρος X R m. Αν είναι norm του R m ισοδύναµη µε την ευκλείδια norm, δηλαδή υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α, ϐ > 0 ώστε : ϐ x x α x για κάθε x R m.

1.3. Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι 5 και X R m, η d (x, y) = x y για κάθε x, y X, είναι µετρική στον X, ισοδύναµη µε την Ευκλείδια µετρική d του X. Σηµειώνουµε οτι στον R m κάθε norm είναι ισοδύναµη µε την Ευκλείδια norm. Θεώρηµα 1.2. Εστω ο µετρικός X R m. Αν K X, έχουµε : Το σύνολο K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X αν και µόνο αν κάθε ακολουθία {x n } του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Απόδειξη. Εστω το K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X και x n = (x n (1), x n (2),..., x n (m)), n N ακολουθία του K. Τότε η ακολου- ϑία των πρώτων συντεταγµένων {x n (1)} της {x n } είναι ϕραγµένη, άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία {x kn (1)}. Αν προχωρήσουµε στη δευτερη συντεταγµένη της {x kn } έχουµε οτι υπάρχει υπακολουθία της {x kn } ώστε η πρώτη και η δεύτερη συντεταγµένη της υπακολουθίας να συγκλίνουν. Ετσι αν προχωρήσουµε εξαντλώντας τις συντεταγµένες προκύπτει υπακολουθία {y n } της {x n } ώστε y n (i) y(i) για κάθε i = 1, 2,..., m. Αν y = (y(1), y(2),..., y(m)) έχουµε οτι y n y. Πραγµατικά για κάθε ɛ > 0 υπάρχει n 0 ώστε y n (i) y(i) < ɛ για κάθε i = 1, 2,..., m και κάθε n n 0, άρα y n y < ɛ για κάθε n n 0, επµένως y n y. Επειδή το K είναι κλειστό έχουµε ότι y K. Αντίστροφα αν κάθε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K τότε το K είναι προφανώς κλειστό. Αποδεικνύουµε οτι το K είναι ϕραγµένο ως εξής : Αν το K δεν είναι ϕραγµένο, υπάρχει ακολουθία y n K µε y n n για κάθε n N. Αν {y kn } είναι συγκλίνουσα υπακολουθία της {y n } τότε η {y kn } είναι ϕραγµένη, άτοπο γιατί y kn k n για κάθε n. Άρα το K είναι και ϕραγµένο. Θεώρηµα 1.3. Για κάθε X R m, ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη. Το σύνολο Q m όπου Q είναι το σύνολο των ϱητών είναι αρι- ϑµήσιµο και πυκνό στον R m. Εστω Q m = {r i i N} µια αρίθµηση του συνόλου. Για κάθε x X και για κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1 ) n

6 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι ή ισοδύναµα x B(r i, 1). Εποµένως B(r n i, 1 ) X. Εστω D = n {(i, n) N N B(r i, 1 ) X }. Για κάθε (i, n) D επιλέγουµε n x (i,n) B(r i, 1 ) X. Τότε η ακολουθία {x n (i,n)} είναι πυκνή στο X. Πραγ- µατικά για κάθε x X και κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1) οπότε n x (i,n) B(x, 1) X. Άρα d(x, x n (i,n)) < 1, εποµένως η {x n (i,n)} είναι πυκνή στον X. 1.4 Συµπάγεια Εστω ο µετρικός χώρος X. Λέµε οτι η οικογένεια (A i ) i I είναι κάλυψη του X αν A i X για κάθε i και i I A i = X. Αν επιπλέον κάθε A i είναι ανοικτό υποσύνολο του X η (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Αν (A i ) i I είναι κάλυψη του X και I I ώστε i I A i = X, λέµε οτι η (A i ) i I είναι υποκάλυψη του X που αντιστοιχεί στην (A i ) i I. Αν επιπλέον το I είναι αριθµήσιµο (πεπερασµένο) λέµε ότι η (A i ) i I είναι αριθµήσιµη (πεπερασµένη) υποκάλυψη του X ( που αντιστοιχεί στην (A i ) i I ) ή ισοδύναµα οτι η κάλυψη (A i ) i I έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Οταν χρειάζεται δηλώνουµε την κάλυψη στην οποία αντιστοιχεί η υποκάλυψη. Θεώρηµα 1.4. Ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν γιά κάθε ανοικτή κάλυψη (A i ) i I του X υπάρχει αριθµήσιµη υποκάλυψη. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος και ότι {x n } είναι πυκνή ακολουθία στον X. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Για κάθε A i και για κάθε x A i υπάρχει m N ώστε B(x, 1 ) A m i γιατί το A i είναι ανοικτό. Επειδή η {x n } 1 είναι πυκνή στον X υπάρχει x n B(x, ), άρα έχουµε x B(x 1 2m n, ) και 2m 1 B(x n, ) B(x, 1 ) A 2m m i. Πραγµατικά για τη τελευταία σχέση έχουµε 1 ότι για κάθε z B(x n, ) έχουµε d(x, z) d(x, x 2m n) + d(x n, z) 1. Για m κάθε i ορίζουµε το σύνολο F i = {(n, m) N N B(x n, 1 m ) A i}, οπότε έχουµε : A i = (n,m) F i B(x n, 1 m )

1.4. Συµπάγεια 7 γιατί κάθε x A i περιέχεται σε κάποιο B(x n, 1 ). Επειδή (A m i) i I κάλυψη του X έχουµε ότι X = B(x n, 1 m ), (n,m) F όπου F = F i N N. Για κάθε (n, m) F επιλέγω i = i(n, m) I ώστε B(x n, 1 m ) A i(n,m), οπότε έχουµε : X = (n,m) F A i(n,m), άρα (A i(n,m) ) (n,m) F είναι αριθµήσιµη υποκάλυψη του X. Γιά το αντίστροφο υποθέτουµε ότι γιά κάθε ανοικτή κάλυψη του X υπάρχει αριθµήσιµη ( υποκάλυψη. Τότε γιά κάθε k N σταθερό, έχουµε ότι η οικογένεια B(x, 1)) είναι ανοικτή κάλυψη του X, άρα υπάρχει k x X αριθµήσιµη υποκάλυψη ( B(x k n, 1 k )) n N του X. Το σύνολο {x k n n, k N}, είναι αριθµήσιµο και πυκνό στον X, άρα ο X είναι διαχωρίσιµος. Θεώρηµα 1.5. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες (i) Κάθε ακολουθία του X έχει συγκλίνουσα υπακολουθία (σε στοιχείο του X), (ii) κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Απόδειξη. (i) = (ii): Εστω (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Θα δείξουµε πρώτα ότι υπάρχει ρ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I ώστε B(x, ρ) A ix.

8 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Αν υποθέσουµε οτι αυτό δεν ισχύει, για κάθε ρ n = 1, n N υπάρχει n x n X ώστε B(x n, 1 n ) A i, για κάθε i I. Απο την (i), υπάρχει υπακολουθία της {x n } που τη συµβολίζουµε πάλι µε {x n } που συγκλίνει σε ένα σηµείο x X. Επειδή η (A i ) i I είναι κάλυψη του X έχουµε ότι x A i, γιά ένα τουλάχιστο i και επειδή A i ανοικτό υπάρχει r > 0 ώστε B(x, r) A i. Επειδή η x n συγκλίνει στο x, εχουµε ότι x n B(x, ɛ) γιά κάθε n n 0. Αν ɛ < r 2, τότε γιά κάθε n max{ 2, n r 0}, έχουµε B(x n, 1 ) B(x, r) A n i, άτοπο. Άρα υπάρχει ρ > 0 ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I µε B(x, ρ) A ix. Θα δείξουµε ότι γιά αυτό το ρ υπάρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n B(x i, ρ). i=1 Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η σχέση, τότε αρχίζοντας απο κάποιο x 1 X µπορούµε να επιλέξουµε x 2 X \ B(x 1, δ) και συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο παίρνουµε την ακολουθία {x n } του X ώστε x n+1 X \ n i=1 B(x i, ρ) για κάθε n N. Τότε d(x n, x m ) ρ για κάθε n m, άρα η x n δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, που είναι άτοπο. Άρα υπαρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n j=1 B(x i, ρ). Εειδή B(x i, ρ) A ix i, έχουµε X = n i=1 A i x i, άρα ισχύει η (ii). (ii) (i) : Υποθέτουµε οτι η ακολουθία {x n } του X δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Τότε για κάθε x X υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) περιέχει το πολύ πεπερασµένους πλήθους όρους της ακολουθίας. Η οικογένεια (B(x, ρ x )) x X είναι ανοικτή κάλυψη του X και απο τη (ii) υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη του X. Επειδή κάθε σφαίρα περιέχει πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας η πεπερασµένη υποκάλυψη περιέχει και πεπερασµένο πλήθος στοιχείων της ακολουθίας, άτοπο. Άρα η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

1.5. Συνέχεια συναρτήσεων 9 Μιά οικογένεια συνόλων έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν κάθε πεπερασµένη υποοικογένεια έχει µη κενή τοµή. Ετσι η οικογένεια {B i i I} υποσυνόλων του µετρικού χώρου X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν για κάθε J I πεπερασµένο, έχουµε i J B i. Θεώρηµα 1.6. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, (ii) κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έχει µη κενή τοµή. Απόδειξη. (i) (ii) : Εστω η οικογένεια (F i ) i I κλειστών υποσυνόλων του X ώστε i A F i, για κάθε A I πεπερασµένο. Θα δείξουµε οτι i I F i. Υποθέτουµε οτι i I F i =. Τότε ( i I F i ) c = i I F c i = X. Επειδή (F c i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X υπάρχει A I πεπερασµένο ώστε i A F c i = X. Άρα έχουµε ( i A F c i ) c = i A F i =, άτοπο γιατί η οικογένεια (F i ) i I έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, εποµένως i I F i. (ii) (i) : Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Τότε i I A i = X, άρα i I A c i =. Αν υποθέσουµε ότι i J A i X για κάθε J I πεπερασµένο έχουµε ότι i J A c i για κάθε J I πεπερασµένο, εποµένως i I A c i, άτοπο. Εποµένως υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη της (A i ) i I. Ορισµός 1.7. Ο µετρικός χώρος X είναι συµπαγής αν κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. 1.5 Συνέχεια συναρτήσεων Εστω X µετρικός χώρος και f : X R. Η f είναι συνεχής στο x X αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x f (x n ) f (x).

10 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Επειδή η f (x n ) συγκλίνει στο f (x) αν και µόνο αν limf (x n ) = limf (x n ) = f (x), η παραπάνω συνεπαγωγή γράφεται ως εξής x n x limf (x n ) f (x) και limf (x n ) f (x), όπου µε limf (x n ) και limf (x n ) συµβολίζουµε το ανώτερο και κατώτερο όριο της ακολουθίας {f (x n )}. Ετσι η συνέχεια της συνάρτησης διασπάται στις δυό παρακάτω συν- ϑήκες x n x limf (x n ) f (x) και x n x limf (x n ) f (x). που όταν ισχύουν ταυτόχρονα εξασφαλίζουν τη συνέχεια. Οταν ισχύει µια απο αυτές η συνάρτηση είναι άνω ή κάτω ηµισυνεχής στο x. Στη διεθνή ϐιβλιογραφία ορίζονται διάφορα είδη ηµισυνέχειας. Ειδικά γιά συναρτήσεις χρησιµοποιείται ο όρος semicontinious και για πλειότιµες απεικονίσεις οι όροι hemicontinious και demicontinious. Στό ϐιβλίο αυτό γιά συναρτήσεις ϑα χρησιµοποιήσουµε τον ελληνκό όρο ηµισυνέχεια και γιά πλειότιµες απεικονίσεις ϑα διατηρήσουµε την αγγλική ορολογία. Εστω f : X R και x X. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε οτι η f είναι άνω ηµισυνεχής στο x. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε οτι η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο x. Αν η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής για κάθε x X ϑα λέµε οτι η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής στο X. Θεώρηµα 1.8. Αν X µετρικός χώρος και f : X R, έχουµε : (i) Η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R,

1.5. Συνέχεια συναρτήσεων 11 (ii) Η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ((, a]) είναι κλειστό για κάθε a R. Απόδειξη. (i): Εστω οτι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Υποθέτουµε οτι x n f 1 ([a, + )) και ότι x n x. Θα δείξουµε ότι f (x) a, οπότε το f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Εστω οτι f (x) < a και έστω ϐ R µε f (x) < ϐ < a. Επειδή η f είναι άνω ηµισυνεχής έχουµε limf (x n ) f (x), άρα υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } µε f (x kn ) < ϐ για κάθε n, άτοπο γιατί υποθέσαµε οτι f (x n ) a για κάθε n. Άρα για κάθε a R, f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Για το αντίστροφο υποθέτουµε οτι f 1 ([a, + )) είναι κ- λειστό για κάθε a R. Αν η f δεν είναι άνω ηµισυνεχής υπάρχει x X και ακολουθία {x n } του X ώστε x n x και limf (x n ) > f (x) και έστω limf (x n ) ϐ > γ > f (x). Απο τις υποθέσεις αυτές έχουµε οτι υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } ώστε f (x kn ) > γ > f (x) για κάθε n. Ετσι έχουµε x kn f 1 ([γ, + )), x kn x και x f 1 ([γ, + )), άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a. Άρα η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X. Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Θεώρηµα 1.9. Εστω X συµπαγής µετρικός χώρος και f : X R. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει µέγιστη τιµή στο X. Το σύνολο K των σηµείων που µεγιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X. (ii) Αν η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει ελάχιστη τιµή στο X. Το σύνολο των σηµείων που ελαχιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X. Απόδειξη. (i): Υποθέτουµε οτι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Για κάθε x X, το σύνολο F x = f 1 ([f (x), + )) είναι κλειστό υποσύνολο του X και F x γιατί x F x. Η οικογένεια (F x ) x X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής γιατί για κάθε πεπερασ- µένο υποσύνολο {x 1,..., x n } του X έχουµε οτι n i=1 F x i = F xk,

12 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι όπου f (x k ) = max{f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x n )}. Επειδή ο X είναι συµπαγής έχουµε οτι F = x X F x. Για κάθε y F έχουµε ότι y F x για κάθε x X, εποµένως f (y) f (x) για κάθε x X, άρα η f µεγιστοποιείται στο σηµείο y και F K. Αν z K τότε f (z) f (x) για κάθε x X, έπεται z F x για κάθε x ή ισοδύναµα z F. Εποµένως έχουµε οτι K = F και το K ως κλειστό υποσύνολο του X είναι συµπαγές. Η (ii) αποδεικνύεται ανάλογα. Εστω f : X Y, όπου X, Y µετρικοί χώροι. Το σύνολο Gr(f ) = {(x, f (x)) x X} είναι το γράφηµα της f. Αν το Gr(f ) είναι κλειστό υποσύνολο του X Y δηλαδή αν (x n, y n ) Gr(f ) και (x n, y n ) (x, y) X Y συνεπάγεται οτι (x, y) Gr(f ), λέµε οτι η f έχει κλειστό γράφηµα. Θεώρηµα 1.10 (Κλειστού γραφήµατος). Εστω η συνάρτηση f : X Y, όπου X, Y µετρικοί χώροι. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι συνεχής, το γράφηµα της f είναι κλειστό. (ii) Αν το γράφηµα της f είναι κλειστό και ο Y είναι συµπαγής, η f είναι συνεχής. Απόδειξη. (i): Εστω ότι η f είναι συνεχής και ότι (x n, y n ) Gr(f ) µε (x n, y n ) (x, y), όπου x X, y Y. Τότε έχουµε ότι x n x και y n = f (x n ) y. Επειδή η f είναι συνεχής y = f (x), άρα (x, y) Gr(f ) και το γράφηµα της f είναι κλειστό. (ii): Για να δείξουµε οτι η f είναι συνεχής επιλέγουµε τυχαίο x X και ακολουθία x n του X µε x n x κα έχουµε να δείξουµε οτι f (x n ) f (x). Αν υποθέσουµε οτι αυτό δεν ισχύει υπάρχει υπακολουθία f (x kn ) της f (x n ) και ɛ > 0 ώστε f (x kn ) f (x) ɛ για κάθε n. Επειδή ο Y είναι συµπαγής υπάρχει υπακολουθία της f (x kn ) που συµβολίζουµε πάλι µε f (x kn ) που συγκλίνει σε κάποιο σηµείο y του Y. Ετσι έχουµε (x kn, f (x kn )) (x, y) Gr(f ), γιατί το Gr(f ) είναι κλειστό, άρα y =

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 13 f (x). Εποµένως έχουµε οτι f (x kn ) f (x), άτοπο και εποµένως η f είναι συνεχής. 1.6 Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους Υπενθυµιζουµε ότι η συνάρτηση f : X R, όπου X είναι κυρτό υποσύνολο γραµµικού χώρου E ονοµάζεται κυρτή αν για κάθε x, y X και για κάθε λ (0, 1) ισχύει f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y). Πρόταση 1.11. Εστω η συνάρτηση f : X R, όπου X κυρτό υποσύνολο του R n. είξτε ότι η f είναι κυρτή αν και µόνο αν το επιγράφηµα epi(f ) = {(x, y) R n+1 x X, y R : y f (x)} είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη. Εστω ότι η f είναι κυρτή και ότι (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) epi(f ). Για κάθε λ (0, 1) έχουµε λ(x 1, y 1 )+(1 λ)(x 2, y 2 ) = (λx 1 +(1 λ)x 2, λy 1 + (1 λ)y 2 ) epi(f ), διότι y 1 f (x 1 ), y 2 f (x 2 ), εποµένως λy 1 + (1 λ)y 2 λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ) f (λx 1 + (1 λ)x 2 ), αφού η f είναι κυρτή. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι το epi(f ) είναι κυρτό σύνολο. Τότε για κάθε x 1, x 2 και λ (0, 1) έχουµε ότι (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) epi(f ), εποµένως λ(x 1, f (x 1 )) + (1 λ)(x 2, f (x 2 )) = (λx 1 + (1 λ)x 2, λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 )) epi(f ), άρα f (λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ), και εποµένως η f είναι κυρτή. Πρόταση 1.12. Εστω X R n ανοικτό και κυρτό και έστω η συνάρτηση f : X R. Αν η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι και δεύτερης τάξης στο X έχουµε : η f είναι κυρτή αν και µόνο αν για κάθε P X και για κάθε διάνυσµα a = (a 1, a 2,.., a n ) R n ισχύει D (2) a f (P) 0, όπου n a f (P) = ( n D (2) i=1 j=1 ϑ 2 f (P) ϑx i ϑx j a i a j ).

14 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Απόδειξη. Γιά λόγους απλότητας αποδεικνύουµε το αποτέλεσµα γιά n = 2. Γιά τυχαίο n η απόδειξη είναι εντελώς ανάλογη. Εστω ότι D (2) a f (x, y) 0 γιά κάθε (x, y) X και για κάθε διάνυσµα a = (a 1, a 2 ) R 2. Θα δείξουµε ότι η f είναι κυρτή δηλαδή f (λ(x 1, y 1 ) + (1 λ)(x 2, y 2 )) λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ), γιά κάθε (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) X και λ (0, 1) ή ισοδύναµα ότι Εστω f ((x 2, y 2 ) + λ(x 1 x 2, y 1 y 2 )) λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ). g(t) = f ((x 2, y 2 ) + t(x 1 x 2, y 1 y 2 )) = f ((x 2, y 2 ) + t(a 1, a 2 )), όπου a = (a 1, a 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) και t I µε I ανοικτό δάστηµα του R που περιέχει το 0. Τότε g (t) = f xx ((x 2, y 2 ) + t(a 1, a 2 ))a 2 1 + 2f xy ((x 2, y 2 ) + t(a 1, a 2 ))a 1 a 2 + +f yy ((x 2, y 2 ) + t(a 1, a 2 ))a 2 2 = = D (2) a f (x t, y t ) 0, όπου (x t, y t ) = (x 2, y 2 ) + t(a 1, a 2 ). Άρα η g είναι κυρτή, εποµένως g(λ) λg(0) + (1 λ)g(1), γιά κάθε λ (0, 1). Άρα έχουµε f (λ(x 1, y 1 ) + (1 λ)(x 2, y 2 )) λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ) και η f είναι κυρτή. Το αντίστροφο αποδεικνύεται αντιστρέφοντας την παραπάνω απόδειξη. Θεώρηµα 1.13. Εστω X R m κυρτό και έστω η συνάρτηση φ : X R. Υποθέτουµε επίσης ότι P 0 είναι εσωτερικό σηµείο του X και η φ έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε µια περιοχή του σηµείου P 0 και gradφ(p 0 ) 0. Υποθέτουµε επίσης ότι P 1 X και ότι ε : r(t) = P 0 +ta, όπου a = P 1 P 0 είναι η ευθεία που ορίζουν τα P 0, P 1. (i) Αν υπάρχει δ > 0 ώστε ο περιορισµός g(t) = φ(r(t)), t [0, δ) της φ

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 15 στο ευθύγραµµο τµήµα της ε µε άκρα τα r(0), r(δ) παίρνει ελάχιστη τιµή για t = 0, τότε a gradφ(p 0 ) 0. (ii) Αν υπάρχει δ > 0 ώστε ο περιορισµός ω(t) = φ(r(t)), t [0, δ) της φ στο ευθύγραµµο τµήµα της ε µε άκρα τα r(0), r(δ) παίρνει µέγιστη τιµή για t = 0, τότε a gradφ(p 0 ) 0. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα για m = 3. Για m > 3 η απόδειξη είναι ανάλογη. Εχουµε g(t) = φ(r(t)) = φ((x 0 + t(x 1 x 0 ), y 0 + t(y 1 y 0 ), z o + t(z 1 z 0 ))), άρα g (t) = φ x (r(t))(x 1 x 0 ) + φ y (r(t))(y 1 y 0 ) + φ z (r(t))(z 1 z 0 ) = εποµένως gradφ(r(t)) a, g (0) = gradφ(p 0 ) a. Απο την υπόθεση έχουµε ότι g(t) g(0) για κάθε t [0, δ), έχουµε g (0) = lim t 0 + g(t) g(0) t 0, άρα ισχύει η (i). Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). 1.6.1 εσµευµένα ακρότατα Εστω ότι Ω R n ανοικτό και έστω ότι ϑέλουµε να µελετήσουµε τα στατικά σηµεία της συνάρτησης f : Ω R περιορισµένης στο µη κενό υποσύνολο G των σηµείων του Ω που ικανοποιούν τους περιορισµούς φ 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 φ 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0... φ k (x 1, x 2,..., x n ) = 0, (1.6.1.1)

16 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι όπου 1 k < n. Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f, φ 1, φ 2,..., φ k έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης στο Ω. Επίσης υποθέτουµε οτι για κάθε P G, τα διανύσµατα gradφ 1 (P), gradφ 2 (P),..., gradφ n (P) είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Τότε απο το ϑεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων έχουµε ότι για κάθε P G το σύστηµα των περιορισµών λύνεται τοπικά στο P ώστε n k απο τις x 1, x 2,..., x n να είναι συνάρτηση των υπολοίπων και οι συναρτήσεις αυτές έχουν συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης τοπικά στο P. ηλαδή το σύνολο G, τοπικά στο σηµείο P, είναι "επιφάνεια" του R n. Τότε η f περιορισµένη στο G είναι µια συνάρτηση k µεταβλητών και αν υποθέσουµε οτι οι n k τελευταίες µεταβλητές είναι συνάρτηση των k πρώτων έχουµε ότι ο περιορισµός της f στο G είναι η συνάρτηση g(x 1, x 2,..., x k ) = f (x 1,..., x k, x k+1 (x 1,..., x k ),..., x n (x 1,..., x k )). Τότε η συνάρτηση g είναι ο περιορισµός της f στο G. Επίσης η g αναφέρεται και ως η συνάρτηση f υπό τους περιορισµούς (1.6.1.1). Εστω P 0 G. Αν το P 0 είναι στατικό σηµείο της g, λέµε ότι το P 0 είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f ή στατικό σηµείο της f υπο τους περιορισµούς (1.6.1.1) Ανάλογοι ορισµοί ισχύουν για τα δεσµευµένα τοπικά ακρότατα της f. Αν υποθέσουµε ότι P 0 G γνωρίζουµε ότι το P 0 είναι στατικό σηµείο της g αν και µόνο αν ισχύουν g(p 0) x i = 0, για κάθε i = 1, 2,..., k. Απο τον κανόνα της αλυσίδας αν κάνουµε πράξεις και αντικαταστήσουµε τις παραγώγους από το Θεώρηµα των πεπλεγµένων συναρτήσεων προκύπτει τελικά η διανυσµατική εξίσωση gradf (P 0 ) = k λ i gradφ i (P 0 ). i=1 Αυτή είναι ισοδύναµη µε τις εξισώσεις f (P 0 ) x i = k j=1 λ j φ i (P 0 ) x j, i = 1, 2,..., k. Αν λάβουµε υπόψη µας οτι P 0 G έχουµε επίσης ότι φ i (P 0 ) = 0 για κάθε i = 1, 2,..., k.

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 17 Ετσι απο τις υποθέσεις που ϑέσαµε παραπάνω έχουµε Θεώρηµα 1.14. Το P 0 είναι δεσµευµέο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν υπάρχουν παραγµατικοί αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ k ώστε gradf (P 0 ) = k λ i gradφ i (P 0 ), i=1 δηλαδή το gradf (P 0 ) ανήκει στο γραµµικό υπόχωρο που παράγεται απο τα διανύσµατα gradφ i (P 0 ), i = 1, 2,..., k. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα στη περίπτωση όπου n = 3, k = 2. Στη γενική περίπτωση η απόδειξη είναι ανάλογη. Υποθέτουµε οτι µελετούµε τα στατικα σηµεία της συνάρτησης f (x, y, z) περιορισµένης στο µη κενό σύνολο G που ορίζεται απο τους περιορισµούς φ(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0. (1.6.1.2) Υποθέτουµε οτι P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) G. Επειδή gradφ(p 0 ), gradh(p 0 ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα µπορούµε να υποθέσουµε ότι D(φ, h) D(y, z) (P 0) = φ y(p 0 ) φ z (P 0 ) h y (P 0 ) h z (P 0 ) 0, οπότε απο το Θεώρηµα των πεπελεγµένων συναρτήσεων το σύστηµα των περιορισµών λύνεται ως προς y, z, τοπικά στο σηµείο P 0 και έχουµε z = z(x), y = y(x) µε z 0 = z(x 0 ), y 0 = y(x 0 ) και y (x) = D(φ,h) D(x,z) D(φ,h) D(y,z), z (x) = D(φ,h) D(y,x) D(φ,h) D(y,z) Ετσι το σύνολο G τοπικά στο σηµείο P 0 είναι η καµπύλη r(x) = (x, y(x), z(x)) και ο περιορισµός της f στο G είναι η συνάρτηση g(x) = f (x, y(x), z(x))..

18 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Εχουµε g (x 0 ) = f x (P 0 ) + f y (P 0 )y (x 0 ) + f z (P 0 )z (x 0 ). Το P 0 είναι δεσµεύ- µενο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν x 0 στατικό σηµείο της g ή ισοδύναµα g (x 0 ) = 0. Άρα έχουµε D(φ, h) f x (P 0 ) D(y, z) (P D(φ, h) 0) f y (P 0 ) D(x, z) (P D(φ, h) 0) f z (P 0 ) D(y, x) (P 0) = 0 ή ισοδύναµα f x (P 0 ) f y (P 0 ) f z (P 0 ) φ x (P 0 ) φ y (P 0 ) φ z (P 0 ) h x (P 0 ) h y (P 0 ) h z (P 0 ) = 0. Εποµένως τα τρία διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένα ή ισοδύνα- µα gradf (P 0 ) = λgradφ(p 0 ) + µgradh(p 0 ), όπου λ, µ πραγµατικοί αριθµοί. n = 3, k = 2. Εποµένως ισχύει το το Θεώρηµα για Σύµφωνα µε το Θεώρηµα ένα σηµείο P 0 Ω είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f αν ικανοποιεί τους περιορισµούς δηλαδή ισχύει φ i (P 0 ) = 0, για κάθε i = 1, 2,..., k και επίσης υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ k ώστε gradf (P 0 ) = k λ i gradφ i (P 0 ). i=1 Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν εύκολα µε το παρακάτω κοµψό τρόπο που αποµνηµονεύεται εύκολα και είναι γνωστός ως µέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange. Θεωρούµε τη συνάρτηση F(x 1,.x 2,..., x n, λ 1, λ 2,..., λ k ) = f (x 1,..., x n ) + k λ i φ i (x 1,..., x n ), i=1

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 19 όπου οι x 1,..., x n, λ 1,..., λ k ϑεωρούνατι ως µεταβλητές της συνάρτησης. Το σηµείο P 0 = (x 0 1, x0 2,..., x0 n) είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ 0 1,..., λ0 n ώστε gradf(x 0 1,..., x0 n, λ0 1,..., λ0 n) = 0. Παράδειγµα 1.15. Προσδιορίστε τα στατικά σηµεία της συνάρτησης f (x, y) = xy, υπό τους περιορισµούς x + y = 5, x 0, y 0. Αν x = 0 ή y = 0, τότε f (x, y) = 0 και f (1, 4) = 4, άρα αν η f παίρνει µέγιστη τιµή στο (x 0, y 0 ) τότε x 0 0 και y 0 0. Προσδιορίζουµε τα δεσµευµένα στατικά σηµεία της f. Ω = {(x, y) x > 0, y > 0} ανοικτό G = {(x, y) Ω φ(x, y) = x + y = 5}. Εχουµε gradf (P 0 ) = λφ(p 0 ), φ(p 0 ) = 5, άρα (y 0, x 0 ) = λ(1, 1) x 0 + y 0 = 5. Απο τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει x 0 = λ, y 0 = λ και λ + λ = 5. Εποµένως P 0 = (x 0, y 0 ) = ( 5 2, 5 ) είναι µοναδικό δεσµευµένο στατικό σηµείο 2 της f.