papost/

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ - ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΣΥΖΕΥΞΗ Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος http://users.uoa.gr/ papost/ papost@phys.uoa.gr, papost@teiion.gr ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2018-2019

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Σε πραγματικές συνθήκες, σε ένα σώμα στο οποίο ασκείται μία δύναμη επαναφοράς (η δύναμη που τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας), εμφανίζεται και μία δύναμη η οποία λειτουργεί ανασταλτικά στην κίνηση του σώματος. Π.χ. σε ένα εκκρεμές υπάρχει η αντίσταση του αέρα, σε ένα σώμα το οποίο είναι συνδεδεμένο με ένα ελατήριο υπάρχει η δύναμη τρίβης από το επίπεδο κίνησης. Επιπλέον σε ένα κύκλωμα LC οι αγωγοί έχουν μη μηδενική αντίσταση με αποτέλεσμα τη δυσκολία μετακίνησης των φορτίων στο κύκλωμα. Οπως θα δούμε (αλλά και είναι προφανές) έχουμε απώλεια ενέργειας του ταλαντωτή με αποτέλεσμα τη σταδιακή μείωση του πλάτους και την τελική ακινησία του σώματος. Το σύστημα αυτό καλείται Ταλαντωτής με Απόσβεση και η κίνηση Φθίνουσα Ταλάντωση. Στην πλειονότητα των φαινομένων η δύναμη αντίστασης στην κίνηση είναι ανάλογη αλλά αντίρροπη της ταχύτητας του σώματος δηλαδή F Αντίσταση = Bu όπου η B καλείται σταθερά απόσβεσης

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Οπως είδαμε στην προηγούμενη διαφάνεια, οι δυνάμεις αντίστασης ή τριβής είναι πάντοτε αντίθετες στην κίνηση του σώματος. Συνεπώς η αλγεβρική μορφή της διανυσματικής εξίσωσης ma = F Ολικό = i F i + F Αντίσταση = Dx Bu είναι mẍ = Dx Bẋ mẍ + Bẋ + Dx = 0 (1) Η (1) είναι μία ομογενής Διαφορική Εξίσωση 2ας τάξεως η οποία χαρακτηρίζει ένα ταλαντούμενο σύστημα με απόσβεση. Η γενική λύση της (1) εξαρτάται άμεσα από τις σταθερές m, D, B οι οποίες επιπλέον καθορίζουν και το είδος της κίνησης του σώματος. Μία κομψότερη μορφή της εξίσωσης (1) είναι ẍ + B m ẋ + ω2 x = 0

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Διερεύνηση της Δ.Ε. ẍ + B m ẋ + ω2 x = 0 Η μορφή της γενικής λύσης της εξίσωσης καθορίζεται από την Χαρακτηριστική Εξίσωση (Χ.Ε.) και κατ επέκταση από το πρόσημο της διακρίνουσας του τριωνύμου λ 2 + B ( ) B 2 m λ + ω2 = 0, = 4 4m 2 ω2 4 0 Περίπτωση 0 > 0 B2 4m 2 ω 2 > 0 Η Χ.Ε. έχει δύο πραγματικές λύσεις p 1,2 = B 2m ± 1/2 0 Από φυσικής πλευράς η ανισότητα 0 > 0 σημαίνει ότι η αντίσταση (απόσβεση) υπερισχύει του όρου επαναφοράς και λέμε ότι το σύστημα έχει υπερκρίσιμη απόσβεση.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Διερεύνηση της Δ.Ε. ẍ + B m ẋ + ω2 x = 0 Στην περίπτωση που μελετάμε η γενική λύση της Δ.Ε. είναι της μορφής x = c 1 e p1t + c 2 e p2t όπου p 1, p 2 είναι οι λύσεις της Χ.Ε. ενώ οι σταθερές c 1, c 2 υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος. Αντικαθιστώντας μπορεί να δειχθεί ότι ( ) x = e B 2m t c 1 cosh 0 t + c 2 sinh 0 t Προφανώς η κίνηση αυτή δεν είναι ταλαντωτική και το σώμα μετά από κάποιο χρονικό διάστημα καταλήγει στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) έχοντας μόνο μία φορά μέγιστη μετατόπιση. Αυτό προκύπτει και από το γεγονός ότι η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται μία φορά δηλαδή το σώμα εκτρέπεται από τη Θ.Ι. σε σημείο, έστω x 0, και στη συνέχεια οδεύει αργά, χωρίς ταλάντωση, στη Θ.Ι.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Ως παράδειγμα θεωρούμε ότι για t = 0 έχουμε x = 0 c 1 = 0 και η απομάκρυνση δίνεται από τη σχέση x = c 2 e B 2m t sinh 0 t. Στο Σχήμα 11 φαίνεται το μοναδικό μέγιστο της απομάκρυνσης μετά το οποίο σταδιακά μηδενίζεται. Σχήμα 11

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Διερεύνηση της Δ.Ε. ẍ + B m ẋ + ω2 x = 0 Περίπτωση 0 = 0 B2 4m 2 ω 2 = 0 Η Χ.Ε. έχει μία διπλή πραγματική λύση p = B της Δ.Ε. αποδεικνύεται ότι είναι 2m και η γενική λύση x = c 1 e B 2m t + c 2 te B 2m t Και στην παρούσα κατάσταση, στην οποία έχουμε κρίσιμη απόσβεση, η αντίσταση είναι συγκρίσιμη με τη δύναμη επαναφοράς συνεπώς το σύστημα εξακολουθεί να μην έχει ταλαντωτική συμπεριφορά. Η Γ.Π. της απομάκρυνσης σαν συνάρτηση του χρόνου είναι παρόμοια με την περίπτωση της υπερκρίσιμης απόσβεσης με ένα μοναδικό μέγιστο μέχρι το σταδιακό μηδενισμό του πλάτους.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Διερεύνηση της Δ.Ε. ẍ + B m ẋ + ω2 x = 0 Περίπτωση 0 < 0 B2 4m ω 2 < 2 0 Η ανισότητα B2 4m ω 2 < 2 0 υπονοεί ότι η δύναμη απόσβεσης είναι ασθενέστερη από τη δύναμη επαναφοράς και πλέον το σώμα τείνει να εκτελέσει Α.Τ. (Αρμονική Ταλάντωση) αλλά με αρκετές διαφοροποιήσεις όπως θα δούμε στη συνέχεια. Η Χ.Ε. έχει δύο μιγαδικές λύσεις p 1,2 = B 2m ± i 0 1/2 και η γενική λύση της Δ.Ε. αποδεικνύεται ότι είναι ( ) x = e B 2m t c 1 cos 0 t + c 2 sin 0 t Ακολουθώντας παρόμοια πορεία όπως και στην περίπτωση της Α.Α.Τ. η απομάκρυνση μπορεί να γραφεί ως ( ) x = A 0 e B 2m t sin 0 t + φ 0 όπου A 0, φ 0 είναι σταθερές.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Αρχικά παρατηρούμε ότι η απομάκρυνση μπορεί να γραφεί ( ) x = A(t) sin 0 t + φ 0 (2) δηλαδή το σώμα εκτελεί Α.Τ. με πλάτος το οποίο μειώνεται με το χρόνο ως A(t) = A 0 e B 2m t. Αυτό ακριβώς φαίνεται στο Σχήμα 12. Σχήμα 12

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Ποιοτική Διερεύνηση για φ 0 = 0 1. Η περιβάλλουσα A(t) = A 0 e B 2m t της καμπύλης της απομάκρυνσης x(t) καθορίζει τον τρόπο μείωσης του πλάτους. 2. Στη διάρκεια μίας περιόδου T ένα μέτρο του ρυθμού μείωσης του πλάτους είναι η λογαριθμική μείωση που ορίζεται ως ζ = ln A0 A 1 A 1 = A 0 e B 2m T. 3. Η καινούρια συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι (ω2 B2 4m 2 ). όπου ω = 4. Λόγω της μείωσης του πλάτους έχουμε και μείωση της ολικής ενέργειας του ταλαντωτή με βάση τη σχέση E(t) = E 0 e B m t. Προκειμένου να επαναφέρουμε το σύστημα σε Α.Α.Τ. σταθερού πλάτους (αμείωτη ταλάντωση), πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια με τον ίδιο ρυθμό με τον οποίο χάνει.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Άσκηση 6 Θεωρούμε ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C = 50µF πηνίο με σταθερά αυτεπαγωγής L = 100µH ενώ η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι R = 2 Ohm. Ο πυκνωτής αποκτά τάση V C = 20Volt με πολικότητα όπως φαίνεται στο Σχήμα 13. Κλείνουμε το διακόπτη και το κύκλωμα αρχίζει και εκτελεί ταλάντωση. Να δείξετε ότι το κύκλωμα θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό της. Σχήμα 13

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Λύση Οπως θα δούμε αμέσως, η παρουσία της αντίστασης ουσιαστικά αποτελεί τη δύναμη της απόσβεσης στις μηχανικές ταλαντώσεις και ποιοτικά είναι ανάλογη της ταχύτητας! Πράγματι από το νόμο του Ohm έχουμε προφανώς ότι V R = IR όπου το ρεύμα παίζει το ρόλο της ταχύτητας. Από το 2ο κανόνα του Kirchho βρίσκουμε εύκολα τη δυναμική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση των φορτίων στο κύκλωμα V L + V R + V C = 0 L d 2 Q dt 2 + dq dt R + Q C = 0 L Q + R Q + 1 C Q = 0 Q + R L Q + 1 LC Q = 0 Παρατηρούμε ότι η προκύπτουσα Δ.Ε. είναι πανομοιότυπη με τη Δ.Ε. στην περίπτωση της φθίνουσας μηχανικής ταλάντωσης. Το κύκλωμα θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση με απώλειες ενέργειας (μέσω της μείωσης του πλάτους του φορτίου) οι οποίες έχουν τη μορφή θερμικής ενέργειας Joule που παράγεται στην αντίσταση.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Προκειμένου να διαπιστώσουμε αν έχουμε υπεραπόσβεση, κρίσιμη απόσβεση ή Α.Α.Τ. με απόσβεση αρκεί να υπολογίσουμε την τιμή της διακρίνουσας του τριωνύμου (Χ.Ε. της Δ.Ε.) λ 2 + R ( ) L λ + 1 R 2 LC = 0, = 4 4L 1, 2 0 = R 2 LC 4L 1 2 LC Αντικαθιστώντας τις τιμές λαμβάνουμε 0 = 4 4 1 10 8 10 4 5 = 10 5 108 2 10 8 = 10 8 sec 2 < 0 Άρα το κύκλωμα θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση της οποίας η καινούρια συχνότητα είναι ω = 2π T = 10 4 sec 1 ενώ η περίοδος είναι T = 2π10 4 sec. Αυτό μπορεί να δειχθεί και άμεσα από τη θεωρία των μηχανικών ταλαντώσεων πραγματοποιώντας τις αντιστοιχίες B R, m L, 1 C D.

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Άσκηση 7 Εστω ένα σωματίδιο μάζας m = 10 10 Kg το οποίο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση (Α.Α.Τ. με απόσβεση) με σταθερά επαναφοράς D και απόσβεσης B. α) Εάν ισχύει ω 2 ω 2 = 10 6 ω 2 και ω = 10 6 rad/s δείξατε ότι G = ω m B = 500 και ότι η λογαριθμική μείωση είναι ζ = π/500. β) Δείξατε ότι D = 100N/m και B = 2 10 7 Ns/m. γ) Αν η μέγιστη απομάκρυνση είναι x 0 = 10 2 m όταν t = 0 δείξατε ότι η ολική ενέργεια του συστήματος είναι E = 5 10 3 J και μειώνεται στο κλάσμα e 1 σε χρόνο ίσο με t 1 = 0, 5ms. δ) Δείξατε ότι για να κάνει το σύστημα αμείωτη ταλάντωση (Α.Α.Τ. χωρίς απόσβεση) πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια κάθε περίοδο ίση με 2π10 5 J. Λύση α) Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ω 2 = ω 2 ( 1 10 6) = ω 2 ω = ω = 10 6 rad/s

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση Επιπλέον έχουμε δεί ότι η νέα συχνότητα δίνεται από τη σχέση (ω2 ) ω = B2 4m συνεπώς 2 ω 2 = ω 2 B 2 4m 2 = ω2 ( 1 10 6) B 2 4m 2 = 1012 10 6 rad/s B m = 2 103 rad/s Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην έκφραση G = ω m B υπολογίζουμε τελικά G = 500. Η ποσότητα G καλείται συντελεστής ποιότητας και εκφράζει τον αριθμό ακτινίων (κύκλων) που χρειάζεται να ταλαντωθεί ένα σύστημα ώστε η ενέργειά του να μειωθεί στην τιμή E = E 0 e 1. Από τη σχέση ορισμού της λογαριθμικής μείωσης ζ = ln A0 A 1 = ln e B 2m T = B 2m T αντικαθιστώντας τις τιμές λαμβάνουμε ζ = B 2m T = 1 2 2 103 2π ω = 2π10 3 10 6 = π 500

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση β) Εχουμε διαδοχικά (θυμίζουμε ότι η μάζα είναι m = 10 10 Kg) D = ω 2 m = 10 12 rad/s 10 10 Kg = 10 2 N/m B m = 2 103 rad/s B = 2 10 3 10 10 Ns/m = 2 10 7 Ns/m γ) Το πλάτος της ολικής ενέργειας τη χρονική στιγμή t = 0 δίνεται από τη σχέση E 0 = 1 2 Dx 2 0 επομένως E 0 = 1 2 Dx 2 0 = 1 2 100N/m 10 4 m 2 = 1 2 10 2 Joule = 5 10 3 Joule Συναρτησιακά η μείωση της ολικής ενέργειας περιγράφεται από την εξίσωση E(t) = E 0 e B m t. Συνεπώς για να μειωθεί στο κλάσμα e 1 πρέπει B m t = 1 δηλαδή ο χρόνος που απαιτείται είναι B m t = 1 t = m B t = 1 2 10 3 sec = 0, 5msec

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής Με Αντίσταση δ) Οπως είδαμε η μέγιστη ολική ενέργεια τη χρονική στιγμή t = 0 είναι E 0 = 5 10 3 Joule και μειώνεται συναρτήσει του χρόνου σύμφωνα με τη σχέση E(t) = E 0 e B m t. Η ολική ενέργεια μετά από μία περίοδο T = 2π ω = 2π = 10 6 2π10 6 sec θα είναι E(T ) και η απώλεια ενέργειας σε μία περίοδο θα είναι E = E 0 E(T ) = E 0 (1 e B m T ) = E 0 (1 e 2 103 2π10 6 ) = E 0 (1 e 4π 10 3 ) Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor τη συνάρτηση e y γύρω από το y = 0 παίρνουμε e y = 1 + y + y 2 2! + y 3 3! +... και αντικαθιστώντας το όρισμα στην περίπτωση που εξετάζουμε 1 e 4π 10 3 = 1 [1 + ( 4π 10 3) ] + 16π2 10 6 +... 4π 10 3 2! συνεπώς η απώλεια ενέργειας σε μία περίοδο είναι E = 2π10 5 Joule.

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Η παρουσία της δύναμης αντίστασης F Αντίσταση = Bu έχει ως αποτέλεσμα την απώλεια ενέργειας του συστήματος λόγω του έργου που παράγει η F Αντίσταση και το οποίο μετατρέπεται είτε σε θερμότητα είτε σε άλλη μορφή ενέργειας. Συνεπώς, προκειμένου το σώμα να εκτελέσει αμείωτη αρμονική ταλάντωση (Α.Τ.) πρέπει να υπάρξει ένας μηχανισμός ώστε να τροφοδοτεί τον ταλαντωτή με ενέργεια και να αντισταθμίζει την ενέργεια που χάνει. ( Η απομάκρυνση της 0 ) φθίνουσας ταλάντωσης είναι x sin t + φ 0 ενώ η ταχύτητα ( 0 ) είναι της μορφής u cos t + φ 0. Λόγω του ότι η αντίσταση ( 0 ) είναι ανάλογη της ταχύτητας F Αντίσταση cos t + φ 0 συμπεραίνουμε ότι μία ορθή επιλογή για την εξωτερική δύναμη η οποία θα τροφοδοτεί με ενέργεια το σύστημα είναι F = F 0 cos(ω e t) (3)

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Η γωνιακή ταχύτητα (ισοδύναμα η συχνότητα) ω e με την οποία μεταβάλλεται η εξωτερική δύναμη θα καθοριστεί από τη γενική λύση της εξίσωσης κίνησης η οποία στην περίπτωση αυτή παίρνει τη μορφή ẍ + B m ẋ + ω2 0x = F 0 cos ω e t (4) όπου ω0 2 = D m είναι η γνωστή μας συχνότητα στην Α.Α.Τ. και η οποία καλείται ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Από μαθηματικής πλευράς η εξίσωση (4) είναι μία μη ομογενής Δ.Ε. 2ας τάξεως. Μπορεί να δειχθεί ότι η γενική λύση της (4) είναι [ ( x (t) = Ae B 2m t sin ω 2 0 B 2 4m 2 ) 1/2 t + φ 0 ] } {{ } Μεταβατικός Ορος + x 0 sin (ω e t + δ) }{{} Ορος Μόνιμης Κατάστασης (5)

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Προκειμένου η προηγούμενη έκφραση για την μετατόπιση να είναι λύση της Δ.Ε. (4) θα πρέπει να ισχύει x 0 = F 0 /m (ω 2 0 ) 2 ω2 e + B2 m ω 2 2 e (6) όπου x 0 είναι το πλάτος της αμείωτης ταλάντωσης στη μόνιμη κατάσταση (θα εξηγήσουμε το λόγο που ονομάζουμε έτσι αυτόν τον όρο) και tan δ = ω2 0 ω2 e B m ω e είναι η αρχική φάση του ταλαντωτή στη μόνιμη κατάσταση. Οι σχέσεις (6)-(7) καθορίζουν πλήρως τον Εξαναγκασμένο Ταλαντωτή και, όπως θα δούμε, το σύστημα μετά από κάποιο χρονικό διάστημα εκτελεί αμείωτη ταλάντωση. (7)

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική ερμηνεία σχέσης (5) Παρατηρούμε ότι αποτελείται από δύο μέρη: [ ( ) ] 1/2 x 1 (t) = Ae B 2m t sin ω0 2 B2 4m t + 2 φ0 Καλείται μεταβατικός όρος και όπως είδαμε σε προηγούμενα εδάφια είναι η λύση της ομογενούς Δ.Ε. (δηλαδή χωρίς την παρουσία της εξωτερικής δύναμης). Επιπλέον είχαμε δει μέσω της γραφικής της παράστασης (Σχήμα 12) ότι lim t { [ ( Ae B 2m t sin ω 2 0 B ) 2 1/2 ]} t + φ 4m 2 0 = 0 (8) x 2 (t) = x 0 sin (ω e t + δ) Καλείται όρος μόνιμης κατάστασης και αποτελεί μία μερική (όχι τη γενική) λύση της μη ομογενούς Δ.Ε. (4).

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική Ερμηνεία σχέσης (5) Οπως έχουμε αναφέρει, η δύναμη της αντίστασης έχει ως αποτέλεσμα την απώλεια ενέργειας από τον ταλαντωτή, κάτι το οποίο φαίνεται άμεσα από την εκθετική μείωση του πλάτους, το οποίο μετά από κάποιο χρονικό διάστημα (θεωρητικά άπειρο αλλά πρακτικά πεπερασμένο) μηδενίζεται όπως φαίνεται και από τη σχέση (8). Η παρουσία της εξωτερικής δύναμης τροφοδοτεί με ενέργεια τον ταλαντωτή ο οποίος σταδιακά επανέρχεται σε κατάσταση αμείωτης ταλάντωσης με μέγιστο και σταθερό πλάτος x 0. Πράγματι μετά από θεωρητικά άπειρο αλλά πρακτικά πεπερασμένο χρονικό διάστημα έστω t = t Αρμονική [ ( Ae B 2m t sin ω 2 0 B ) 2 1/2 ] t + φ 4m 2 0 +x 0 sin (ω e t + δ) x 0 sin (ω e t + δ) t δηλαδή το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ίση με τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης F = F 0 cos ω e t.

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική Ερμηνεία σχέσης (5) Τη χρονική στιγμή t = t Αρμονική το σύστημα πρακτικά εκτελεί αμείωτη ταλάντωση. Αυτό είναι και το χρονικό διάστημα μηδενισμού του πλάτους αν δεν υπήρχε η εξωτερική δύναμη. Στα αρχικά στάδια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης δηλαδή για χρονικές στιγμές t t Αρμονική ο μεταβατικός όρος υπερισχύει του όρου μόνιμης κατάστασης και έχουμε μία παροδική μείωση του πλάτους το οποίο θα μηδενιζόταν σε χρόνο t = t Αρμονική. Ουσιαστικά η κατάσταση αυτή αποτελεί το στάδιο μετάβασης στην αμείωτη ταλάντωση. Με την πάροδο του χρόνου η συνεχόμενη αποστολή πακέτων ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη επαναφέρει το πλάτος από το μηδενισμό σε υπολογίσιμες, αρκετά μεγαλύτερες από το μηδέν, τιμές.

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική Ερμηνεία σχέσης (5) Τελικά τις χρονικές στιγμές t t Αρμονική που θα μηδενιζόταν το πλάτος χωρίς την εξωτερική δύναμη (δηλαδή ο μεταβατικός όρος θα ήταν πλέον Ae B 2m t 0) υπερισχύει μόνιμα στην έκφραση της μετατόπισης μόνο ο όρος της μόνιμης κατάστασης x 0 sin (ω e t + δ) και πλέον το σύστημα εκτελεί αμείωτη ταλάντωση. Τονίζουμε ότι όλη η παραπάνω διαδικασία λαμβάνει χώρα, θεωρητικά, μετά από άπειρο χρονικό διάστημα. Πρακτικά όμως (αγνοώντας όρους της τάξης του 10 5, 10 10...) το σύστημα φτάνει στη μόνιμη κατάσταση αμείωτης ταλάντωσης με μετατόπιση x 2 (t) = x 0 sin (ω e t + δ) σε πεπερασμένο χρόνο. Στη μόνιμη κατάσταση ο ταλαντωτής έχει συχνότητα ω = ω e. Ολα τα προαναφερθέντα παρουσιάζονται στα Σχήματα 14 και 15 της γραφικής παράστασης της συνολικής μετατόπισης x(t) = x 1 (t) + x 2 (t)

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική Ερμηνεία σχέσης (5) Σχήμα 14

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική Ερμηνεία σχέσης (5) Σχήμα 15

Εξωτερική δύναμη σε φθίνουσα ταλάντωση Φυσική Ερμηνεία σχέσης (5) Ερώτηση: Δηλαδή θεωρούμε ότι στη μόνιμη κατάσταση η εξωτερική δύναμη έχει πλέον εξουδετερώσει τη δύναμη απόσβεσης (αφού το σύστημα εκτελεί αμείωτη ταλάντωση) συνεπώς γιατί δεν ταλαντώνεται με συχνότητα ω = ω 0 (αφού η εξωτερική δύναμη και η δύναμη απόσβεσης πλέον έχουν αλληλοεξουδετερωθεί άρα ισχύει η θεμελιώδης εξίσωση της Α.Α.Τ.); Η απάντηση είναι ΟΧΙ. Η δύναμη απόσβεσης δεν παύει να υπάρχει στο σύστημα με αποτέλεσμα να υφίσταται πάντοτε η τάση για απώλεια ενέργειας. Αυτό το ποσό ενέργειας που χάνει το σύστημα αντικαθίσταται (μέχρι ενός σημείου) από τα ποσά ενέργειας που προσφέρει η εξωτερική δύναμη η οποία και αυτή είναι μόνιμη στο σύστημα. Συνεπώς ο ταλαντωτής χάνει και κερδίζει ενέργεια συνεχώς. Η απόκριση του συστήματος είναι τελικά (αφού η μετατόπισή του θα μηδενιζόταν όταν t t Αρμονική ) να ταλαντώνεται όπως υποδεικνύει η εξωτερική δύναμη δηλαδή με συχνότητα ω e.

Συντονισμός Συντονισμός Οπως καθίσταται προφανές, μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε εκείνη την συχνότητα ω e για την οποία έχουμε μεγιστοποίηση του πλάτους (άρα και της ολικής ενέργειας) της ταλάντωσης στη μόνιμη κατάσταση. Από το μηδενισμό της παραγώγου d dω e x 0 = 0 υπολογίζουμε ότι το μέγιστο του πλάτους x 0,Μέγιστο επιτυγχάνεται σε συχνότητα ω e,μέγιστο Πλάτους = ω0 2 B 2 2m < ω 2 0 (9) η οποία είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι ο ταλαντωτής είναι σε συντονισμό πλάτους με την εξωτερική δύναμη. Η γραφική παράσταση της σχέσης (6) συναρτήσει της ω e φαίνεται στο Σχήμα 16 για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης B (η τιμή που έχουμε επιλέξει για την χάραξη της Γ.Π. είναι ω 0 = 1/2 = 0.5rads 1 ). Παρατηρούμε ότι όσο μειώνεται η B η καμπύλη παρουσιάζει περισσότερο οξύ μέγιστο. Τελικά για B = 0 το πλάτος στον συντονισμό απειρίζεται!

Συντονισμός Σχήμα 16

Συντονισμός Ο ρυθμός προσφοράς (και κατανάλωσης) ενέργειας καθορίζεται από το γινόμενο F u. Συνεπώς είναι σημαντικό να προσδιορίσουμε και τη συχνότητα στην οποία έχουμε μεγιστοποίηση του πλάτους της ταχύτητας δηλαδή στην ποσότητα u 0 = x 0 ω e = ω e F 0 /m (ω 2 0 ) 2 ω2 e + B2 m ω 2 2 e u 0,Μέγιστο στη συχνότητα ω e,μέγιστο Ταχύτητας = ω 0 Η ταχύτητα αποκτά μέγιστο όταν η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Λέμε τότε ότι ο ταλαντωτής είναι σε συντονισμό ταχύτητας με την εξωτερική δύναμη. Το σύστημα χάνει και κερδίζει ενέργεια με τον ίδιο ρυθμό. Η γραφική παράσταση του πλάτους της ταχύτητας συναρτήσει της ω e φαίνεται στο Σχήμα 17 για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης B (η τιμή που έχουμε επιλέξει για την χάραξη της Γ.Π. είναι ω 0 = 1/2 = 0.5rads 1 ).

Συντονισμός Άσκηση 8 Θεωρούμε το κύκλωμα RLC της Άσκησης 6 στο οποίο επιπρόσθετα έχουμε συνδέσει πηγή εναλλασσόμενης τάσης V = V 0 cos ω e t όπου V 0 = 220Volt, ω e = 100π ενώ τα στοιχεία του κυκλώματος έχουν τιμές C = 10 π mf, L = 10mH και R = 2 2 Ohm. Να μελετήσετε ποιοτικά και ποσοτικά τη συμπεριφορά του κυκλώματος. Λύση Οπως έχουμε δει σε προηγούμενα εδάφια, ένα κύκλωμα LC εκτελεί Α.Α.Τ. απουσία της αντίστασης των αγωγών που αποτελούν το κύκλωμα. Εάν η αντίσταση δεν είναι αμελητέα, το κύκλωμα έχει απόσβεση και απώλεια ενέργειας με τη μορφή θερμότητας που παράγεται στην αντίσταση. Η παρουσία της εναλλασσόμενης τάσης (μέσω της συνημιτονοειδούς μορφής της διαφοράς δυναμικού) τροφοδοτεί με ενέργεια το κύκλωμα και ουσιαστικά παίζει το ρόλο της εξωτερικής δύναμης των μηχανικών ταλαντώσεων! Η παρουσία της εναλλασσόμενης τάσης αναγκάζει το κύκλωμα να καταλήξει, μετά από πρακτικά πεπερασμένο χρόνο, στη μόνιμη κατάσταση εκτέλεσης αμείωτης ταλάντωσης.

Συντονισμός Από τον 2ο Κανόνα του Kirchho λαμβάνουμε V L + V R + V C = V 0 cos ω e t L d 2 Q dt 2 + dq dt R + Q C = V 0 cos ω e t L Q + R Q + 1 C Q = V 0 cos ω e t Q + R L Q + 1 LC Q = V 0 L cos ω et Παρατηρούμε ότι η τελική μη ομογενής Δ.Ε. 2ας τάξης έχει παρόμοια μορφή με την αντίστοιχη των μηχανικών ταλαντώσεων. Συνεπώς το πρόβλημα αντιπροσωπεύει μία εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση και μπορεί να αντιμετωπισθεί με τον ίδιο τρόπο όπως και στην περίπτωση των μηχανικών ταλαντώσεων. Χρησιμοποιώντας την αντιστοιχία που έχουμε περιγράψει (βλ. Πίνακα 2) εξάγουμε άμεσα τις μορφές που έχουν το ολικό φορτίο και το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα στην μόνιμη κατάσταση Q = Q 0 sin (ω e t + δ), I = I 0 cos (ω e t + δ) = Q 0 ω e cos (ω e t + δ)

Συντονισμός Το πλάτος του φορτίου, της έντασης του ρεύματος και της αρχικής φάσης δίνονται από τις σχέσεις V 0 /L Q 0 = ( 1 LC ), I 0 = 2 ω2 e + R 2 L ω 2 2 e ω e V 0 /L ( 1 LC ω2 e ) 2 + R 2 L 2 ω 2 e, tan δ = Σημειώνουμε ότι το πλάτος της έντασης του ρεύματος μπορεί να γραφεί ως I 0 = ω e V 0 /L ( 1 LC ) 2 ω2 e + R 2 L ω 2 2 e ω e V 0 /L = ( ) = 2 1 ω e ω ω elc e + R 2 L 2 1 LC ω2 e R L ω e I 0 = V 0 ( ) = 2 1 L ω ω elc e + R 2 L 2 V 0 ( 1 ω ec Lω e ) 2 + R 2 = V 0 Z

Συντονισμός Στην τελευταία σχέση παρατηρούμε μία απόλυτη αναλογία μεταξύ του νόμου του Ohm I 0 = V0 R και της σχέσης I 0 = V0 Z. Πράγματι το μέγεθος ( ) 2 1 Z = ω e C Lω e + R 2 καλείται σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση του ηλεκτρικού κυκλώματος και την είχαμε συναντήσει στα κυκλώματα του εναλλασσόμενου ρεύματος (αποδεικνύοντας τη μορφή της με διαφορετικό τρόπο!). Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών υπολογίζουμε 1 ω 0 = LC = 1 10 10 3 H 10 π 2 10 3 F = v 0 = ω 0 2π = 50Hz π 2 = 100πs 1 10 4

Συντονισμός Παρατηρούμε ότι ω e = ω 0 συνεπώς το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό ρεύματος (τελείως ανάλογα με την περίπτωση του συντονισμού ταχύτητας) και παρουσιάζει μέγιστο πλάτος έντασης ρεύματος. Επιπλέον Q 0 = V 0 /L ( 1 LC ) 2 ω2 e + R 2 L ω 2 2 e ω 0=ω = e V 0 /L R L ω = e 220Volt 350mC 2Ohm 100πs 1 Z = R = 2Ohm, I 0 = 110A Παρατηρείστε στη διπλανή Γ.Π. του συνολικού φορτίου ότι ο χρόνος αποκατάστασης είναι μικρός και το κύκλωμα επανέρχεται στην ταλαντωτική ισορροπία χωρίς ιδιαίτερες αυξομειώσεις είτε στο φορτίο είτε στην ένταση του ρεύματος.

Συντονισμός Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να μελετήσουμε και ενεργειακά το RLC κύκλωμα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η μέση ισχύς P Μέση που παρέχεται στο κύκλωμα στη διάρκεια μίας περιόδου δίνεται από τη σχέση P Μέση = V 0 2 2Z cos δ = 1 I 2 0 Z cos δ 2 και αποτελεί το ποσό ενέργειας που προσφέρεται και τελικά καταναλώνεται στην αντίσταση (με τη μορφή θερμικής ενέργειας) στη διάρκεια μιας περιόδου. Η μέση ισχύς παίρνει τη μέγιστη τιμή της P Μέση,Μέγιστο = V 0 2 2Z όταν δ = 0 ω e = ω 0 δηλαδή κατά τη διάρκεια του συντονισμού ρεύματος. Οι συχνότητες ω e,1 < ω e,2 για τις οποίες P Μέση = 1P 2 Μέση,Μέγιστο ορίζουν την οξύτητα της Γ.Π. P Μέση = P Μέση (ω e ) μέσω της σχέσης G = ενώ η διαφορά ω 0 ω e,2 ω e,1 ω e,2 ω e,1 = R L καλείται εύρος συχνοτήτων. Ο συντελεστής ποιότητας G είναι τελικά L G = ω 0 R

Σύζευξη Ταλαντώσεων Σύζευξη Ταλαντώσεων Η Κυματική Κίνηση δημιουργείται όταν ταλαντωνόμενα συστήματα γειτονεύουν μεταξύ τους και μπορούν μεταδώσουν την ενέργειά τους το ένα στο άλλο. Συνεπώς είναι δόκιμο να μελετήσουμε ταλαντωτές οι οποίοι δεν είναι απομονωμένοι μεταξύ τους αλλά έχουν κοινά στοιχεία π.χ. ένα ελατήριο, μία αυτεπαγωγή, μία χωρητικότητα και υφίσταται μεταφορά ενέργειας. Τότε λέμε ότι δύο ή περισσότεροι ταλαντωτές βρίσκονται σε σύζευξη. Στην περίπτωση κατά την οποία το κοινό στοιχείο είναι η αντίσταση (ή το αίτιο που δημιουργεί τη δύναμη αντίστασης) τότε έχουμε κατανάλωση ενέργειας και οι συζευγμένοι ταλαντωτές χάνουν γρήγορα ενέργεια με αποτέλεσμα την επαναφορά στη Θ.Ι. χωρίς κυματική κίνηση. Αντίθετα όταν το κοινό στοιχείο είναι ένα πηνίο (αυτεπαγωγή) δηλαδή άεργο (χωρίς κατανάλωση ενέργειας) στοιχείο τότε έχουμε μεταφορά ενέργειας κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων και ουσιαστικά κυματική κίνηση.

Σύζευξη Ταλαντώσεων Συζευγμένα Εκκρεμή Σχήμα 19 Δύο εκκρεμή συνδέονται μεταξύ τους με ελατήριο σταθεράς k όπως φαίνεται στο Σχήμα 19. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι L ενώ το μήκος του νήματος, ή της άκαμπτης (αβαρούς) ράβδου, είναι l. Οι απομακρύνσεις κάθε μίας από τις ίσες μάζες m 1 = m 2 = m περιγράφονται από τις συναρτήσεις x 1, x 2. Εάν εκτρέψουμε κατά x 1 ως προς τη διεύθυνση του ελατηρίου το σωματίδιο m 1 τότε η μάζα m 2 βρίσκεται στη θέση x 2.

Σύζευξη Ταλαντώσεων Είναι προφανές ότι η συνολική επιμήκυνση του ελατηρίου είναι x 1 x 2. Εχουμε διαδοχικά: Μάζα m 1 Εχουμε δει ότι σε ένα εκκρεμές ασκείται η συνιστώσα της δύναμης του βάρους και όταν η γωνία εκτροπής είναι μικρή τότε mg sin θ 1. Από το ορθογώνιο τρίγωνο διαπιστώνουμε τελικά ότι η συνιστώσα του βάρους που ασκείται στο σώμα είναι m g l x 1. Επιπλέον ασκείται η δύναμη του ελατηρίου k(x 1 x 2 ). Και οι δύο δυνάμεις είναι αντίρροπες με το διάνυσμα μετατόπισης του σωματιδίου. Ειδικότερα για τη δύναμη του ελατηρίου αυτό καθίσταται προφανές αν φανταστούμε ότι το άλλο άκρο του (στο οποίο βρίσκεται τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή η μάζα m 2 ) ήταν πακτωμένο. Τότε η F H θα είχε την τάση (αφού έχουμε επιμήκυνση) να επαναφέρει το ελατήριο στο φυσικό του μήκος επομένως έχει φορά προς τα αριστερά. Τελικά η εξίσωση κίνησης του m 1 είναι F = B x + F H mẍ 1 = m g l x 1 k (x 1 x 2 ) (10)

Σύζευξη Ταλαντώσεων Μάζα m 2 Στην περίπτωση της μάζας m 2 ισχύουν ανάλογες παρατηρήσεις. Η συνιστώσα της δύναμης του βάρους είναι mg sin θ 2 και καταλήγουμε παρόμοια στη σχέση m g l x 2. Επιπλέον ασκείται η δύναμη του ελατηρίου k(x 1 x 2 ). Η σημαντική διαφοροποίηση παρουσιάζεται στη φορά της δύναμης του ελατηρίου. Ενώ η συνιστώσα του βάρους είναι, προφανώς, αντίρροπη με το διάνυσμα μετατόπισης του σωματιδίου η δύναμη F H είναι ομόρροπη. Πράγματι αν φανταστούμε ότι το δεξί του άκρο (στο οποίο βρίσκεται τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή η μάζα m 1 ) ήταν πακτωμένο η F H θα είχε την τάση (αφού έχουμε επιμήκυνση) να επαναφέρει το ελατήριο στο φυσικό του μήκος επομένως έχει φορά προς τα δεξιά. Τελικά η εξίσωση κίνησης του m 2 είναι F = B x + F H mẍ 2 = m g l x 2 +k (x 1 x 2 ) = m g l x 2 k (x 2 x 1 ) (11)

Σύζευξη Ταλαντώσεων Στο παράδειγμα που μελετάμε οι συζευγμένοι ταλαντωτές (ως εκκρεμή) έχουν κοινή ιδιοσυχνότητα ω0 2 = g l. Η μορφή του συστήματος των δύο Δ.Ε. (10) και (11) μας ωθεί να ορίσουμε δύο νέες μεταβλητές X 1 = x 1 + x 2 και X 2 = x 1 x 2 συνεπώς με άθροιση και αφαίρεση κατά μέλη λαμβάνουμε mẍ 1 = m g l x 1 k (x 1 x 2 ) mẍ 2 = m g l x 2 + k (x 1 x 2 ) Άθροιση = m (ẍ 1 + ẍ 2 ) = mω 2 0 (x 1 + x 2 ) Ẍ 1 = ω 2 0X 1 (12) mẍ 1 = m g l x 1 k (x 1 x 2 ) mẍ 2 = m g l x 2 + k (x 1 x 2 ) Αφαίρεση = Ẍ 2 = ω 2 0X 2 2k m X 2 (13) Παρατηρούμε ότι η κίνηση των συζευγμένων ταλαντωτών περιγράφεται πλήρως από τις νέες συντεταγμένες X 1, X 2 οι οποίες, όπως διαπιστώνουμε, ικανοποιούν η κάθε μία τη θεμελιώδη εξίσωση της Α.Α.Τ.

Σύζευξη Ταλαντώσεων Ποιοτική Ανάλυση Σύζευξης 1 Οι X 1, X 2 καλούνται Κανονικές Συντεταγμένες (Κ.Σ.) Γενικότερα Κ.Σ. καλούνται οι συντεταγμένες για τις οποίες οι εξισώσεις κίνησης (Δ.Ε.) εξαρτώνται μόνο από μία εξαρτημένη μεταβλητή. 2 Η ταλάντωση η οποία εξαρτάται από μία Κ.Σ. καλείται κανονικός τρόπος ταλάντωσης (Κ.Τ.) και ταλαντώνεται με τη δικιά της κανονική συχνότητα. 3 Οι Κ.Τ. ενός συστήματος είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Επιπλέον οι ενέργειες του κάθε ενός από τους Κ.Τ. δεν ανταλλάσσονται μεταξύ τους (αλλά προφανώς εναλλάσσονται!) 4 Με βάση την προηγούμενη ιδιότητα η ολική ενέργεια προκύπτει από το άθροισμα των ενεργειών όλων των Κ.Τ. 5 Οι Βαθμοί Ελευθερίας (Β.Ε.) ενός ταλαντούμενου συστήματος καθορίζονται από το πλήθος των ανεξάρτητων ενεργειών τις οποίες μπορεί να αποκτήσει το σύστημα.

Σύζευξη Ταλαντώσεων Για παράδειγμα ο Α.Α.Τ. έχει δύο βαθμούς ελευθερίας διότι μπορεί να αποκτήσει Δ.Ε. (που σχετίζεται με τον κανονικό τρόπο x δηλαδή την απομάκρυνση) και Κ.Ε. (που σχετίζεται με τον κανονικό τρόπο ẋ δηλαδή την ταχύτητα). Παρόμοια το σύστημα των συζευγμένων εκκρεμών έχει τέσσερις Β.Ε. και τέσσερις Κ.Τ. (X 1, X 2, X 1, X 2 ). Επανερχόμενοι στο παράδειγμά μας θεωρούμε για απλότητα ότι η γενική λύση των εξισώσεων (12) και (13) δίνεται από τις σχέσεις X 1 = 2a cos ω 1 t X 2 = 2a cos ω 2 t όπου ω 2 1 = g l και ω2 2 = g l + 2k m. Λύνοντας τις σχέσεις X 1 = x 1 + x 2, X 2 = x 1 x 2 ως προς x 1, x 2 λαμβάνουμε x 1 = a cos ω 1 t + a cos ω 2 t = 2a cos (ω 2 ω 1 ) t x 2 = a cos ω 1 t a cos ω 2 t = 2a sin (ω 2 ω 1 ) t 2 2 (ω 1 + ω 2 ) t cos 2 (14) (ω 1 + ω 2 ) t sin 2

Σύζευξη Ταλαντώσεων Σχήμα 20

Σύζευξη Ταλαντώσεων Οι Γ.Π. των x 1, x 2 για κοντινές συχνότητες ω 1, ω 2 φαίνονται στο Σχήμα 20. Προφανώς κάθε μία από τις απομακρύνσεις x 1, x 2 αντιστοιχεί σε ένα διακρότημα το οποίο είχαμε συναντήσει στην επαλληλία ταλαντώσεων. Το σημαντικό χαρακτηριστικό στην παρούσα περίπτωση των συζευγμένων ταλαντωτών είναι η πλήρης ανταλλαγή ενέργεια μεταξύ τους (αλλά όχι μεταξύ των Κ.Τ. ταλάντωσης X 1, X 2 ). Πράγματι όταν x 1 = 2a, x 2 = 0 τότε X 1 = X 2 και οι Κ.Τ. βρίσκονται σε φάση (ω 2 ω 1 )t = 2nπ. Προφανώς οι Δ.Ε. των Κ.Τ. είναι ίδιες (άρα δεν υπάρχει ανταλλαγή ενέργειας). Επιπλέον όταν x 1 = 0, x 2 = 2a τότε X 1 = X 2 τότε οι Κ.Τ. έχουν διαφορά φάσης (ω 2 ω 1 )t = (2n + 1)π αλλά και πάλι οι Δ.Ε. είναι ίσες! Συμπεραίνουμε ότι έχουμε πλήρη ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ x 1 x 2 αλλά όχι μεταξύ των Κ.Τ. X 1, X 2. Αυτή είναι η αρχή μελέτης της Κυματικής Κίνησης την οποία θα εξετάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.