Ψηφιακά Συστήματα 6. Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων
Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Πογαρίδης Δ., Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων, ΙΩΝ, 2004. 4. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 2
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Εισαγωγή: Ένα συνδυαστικό κύκλωμα παριστάνεται με ένα απλό block διάγραμμα όπου με "m" σημειώνουμε το πλήθος εισόδων και με "n" το πλήθος των εξόδων του, όπου κάθε μια από αυτές είναι συνάρτηση μερικών ή όλων των εισόδων. Δηλαδή Ζ i = f(i 1,...,I m ) με i=1,2,3,..,n. Ένα τέτοιο κύκλωμα στο οποίο κάθε έξοδός του εξαρτάται μόνο από τις τιμές των εισόδων, λέγεται "συνδυαστικό κύκλωμα" (combinational circuit). Μερικά βασικά κυκλώματα συνδυαστικής λογικής είναι κωδικοποιητές, αποκωδικοποιητές, συγκριτές, ημιαθροιστές, αθροιστές, πολυπλέκτες, αποπλέκτες κ.λ.π. Ι1 Συνδυαστικό Z1 Ιm Κύκλωμα Zn 3
Κωδικοποιητές Κωδικοποιητές (Encoders): Ο κωδικοποιητής είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα με m αριθμό εισόδων από τις οποίες μόνο μία είναι ένα 1 και δίδει στην έξοδό του ένα κωδικό Ν δυαδικών ψηφίων, ο οποίος εξαρτάται από το ποια είσοδος είναι ένα 1. Αν n είναι το πλήθος των εξόδων του κωδικοποιητή τότε το πλήθος m των εισόδων του δίδεται από την σχέση m 2 n. Αν θέλουμε να κωδικοποιήσουμε τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος (π.χ στον κώδικα BCD-8421), ο κωδικοποιητής θα έχει m=10 εισόδους και n=4 εξόδους (2 n m άρα 2 4 10), οι οποίες θα δίνουν τον κώδικα BCD-8421, και από τις οποίες μια μόνο είσοδος θα είναι ένα 1 και οι υπόλοιπες είναι μηδέν 0. Δηλαδή Ε3=1 όταν D8=1 ή D9=1. 4
Κωδικοποιητές Κωδικοποιητές: για κώδικα BCD-8421 Είσοδοι Έξοδοι D9 D8 D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 E3 E2 E1 E0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι : Ε3 = D8+D9 Ε2 = D4+D5+D6+D7 Ε1 = D2+D3+D6+D7 Ε0 = D1+D3+D5+D7+D9 5
Κωδικοποιητές Κωδικοποιητές: για κώδικα BCD-8421 Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι : Ε3 = D8+D9, Ε2 = D4+D5+D6+D7, Ε1 = D2+D3+D6+D7, Ε0 = D1+D3+D5+D7+D9 Το κύκλωμα του κωδικοποιητή με βάση τις εξισώσεις σχεδιάζεται όπως στο σχήμα. D9 D8 D7D6 D5 E3 x x x x x x x x x x x x x x x D4 D3D2 D1D0 E2 E1 E0 D 0 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 EnCoder E/C E3 E2 E1 E0 6
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Σε διάφορα κυκλώματα απαιτείται μετατροπή από τον ένα κώδικα σε ένα άλλο κώδικα, π.χ. από δεκαδικό σε δυαδικό, από δυαδικό σε Gray, από δυαδικό σε BCD ή από BCD σε κώδικα απεικόνισης επτά (7) τμημάτων για την εμφάνιση δεδομένων που αναγνωρίζονται από τον άνθρωπο κ.τ.λ. Γενικά η σχεδίαση των κυκλωμάτων μετατροπής των κωδίκων γίνεται αφού πρώτα απλοποιηθούν οι λογικές συναρτήσεις που προκύπτουν από τους πίνακες αληθείας των κωδικών συνήθως με την χρήση Καρνώ, και τη βοήθεια των αδιάφορων όρων (εάν υπάρχουν) ώστε να προκύψουν οι απλούστερες τελικές συναρτήσεις. 7
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Κύκλωμα Μετατροπής δυαδικού κώδικα σε κώδικα Gray (I): Αρχικά γράφουμε τους κώδικες στον πίνακα εισόδων-εξόδων. Στο τμήμα εισόδων τον δυαδικό κώδικα και στο τμήμα εξόδων τον κώδικα Gray. Στο αριστερό μέρος δηλαδή ο κώδικας που θα μετατρέψουμε και δεξιά ο κώδικας που θέλουμε να πάρουμε. Β3 Β2 Β1 Β0 G3 G2 G1 G0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 0 1 1 1 6 0 1 1 0 0 1 0 1 7 0 1 1 1 0 1 0 0 8 1 0 0 0 1 1 0 0 9 1 0 0 1 1 1 0 1 10 1 0 1 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 0 12 1 1 0 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 0 0 1 15 1 1 1 1 1 0 0 0 Στη συνέχεια θεωρούμε κάθε ψηφίο του κώδικα εξόδου (κώδικας Gray) Gi, σαν μια συνάρτηση των μεταβλητών Β3,Β2, Β1,Β0 του δυαδικού κώδικα και γράφουμε τη λογική συνάρτηση της αντίστοιχης εξόδου. Για να απλοποιήσουμε τις συναρτήσεις των εξόδων θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του Χάρτη Καρνώ. 8
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Κύκλωμα Μετατροπής δυαδικού κώδικα σε κώδικα Gray (I): Γράφουμε έναν αρχικό Χ.Κ που τον ονομάζουμε χάρτη κλειδί, τον οποίο αριθμούμε με βάση τον κώδικα που μετατρέπουμε (εδώ τον δυαδικό κώδικα) και σημειώνουμε τους αδιάφορους όρους (αν υπάρχουν). B3B2 B1B0 00 01 11 10 00 0 4 12 8 01 11 10 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10!Προσοχή η αρίθμηση του Χάρτη αλλάζει αναλόγως τον κώδικα εισόδου Β3 Β2 Β1 Β0 G3 G2 G1 G0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 0 1 1 1 6 0 1 1 0 0 1 0 1 7 0 1 1 1 0 1 0 0 8 1 0 0 0 1 1 0 0 9 1 0 0 1 1 1 0 1 10 1 0 1 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 0 12 1 1 0 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 0 0 1 15 1 1 1 1 1 0 0 9 0
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Κύκλωμα Μετατροπής δυαδικού κώδικα σε κώδικα Gray (II): Αντιγράφουμε το χάρτη κλειδί 4 φορές (1 για κάθε μια έξοδο), από τους οποίους έχουμε τις απλοποιημένες εκφράσεις για τις λογικές συναρτήσεις των εξόδων Gi του κωδικοποιητή. (δεν έχουμε αδιάφορους όρους) G3 G2 G1 G0 Τελικές απλοποιημένες λογικές συναρτήσεις (Α.Λ.Σ) του κυκλώματος του μετατροπέα κωδικοποίησης θα είναι: 1 η G3 = B3 2 η G2 = B3 B2 + B3B2 (ΧΟR) 3 η G1= B2 B1+Β2Β1 (ΧΟR) 4 η G0 = B1 B0+Β1Β0 (ΧΟR) 10
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Κύκλωμα Μετατροπής δυαδικού κώδικα σε κώδικα Gray (IΙI): Το κύκλωμα του κωδικοποιητή σχεδιάζεται με πύλες XOR όπως φαίνεται στο σχήμα: Αναλυτικό κύκλωμα Block διάγραμμα Β3 Β2 Β1 x x x G3 G2 G1 Β4 Β3 Β2 Β1 Binary=>Gray G4 G3 G2 G1 Β0 G0 11
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Άσκηση 6.1: Να σχεδιαστεί το λογικό συνδυαστικό κύκλωμα που θα ΛΥΣΗ μετατρέπει το κώδικα BCD-5211 σε κώδικα BCD- 2421. 12
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Άσκηση 6.1: Να σχεδιαστεί το λογικό συνδυαστικό κύκλωμα που θα μετατρέπει το κώδικα BCD-5211 σε κώδικα BCD- 2421. ΛΥΣΗ (Ι) Το κύκλωμα θα έχει 4 εισόδους για το BCD-5211 και 4 εξόδους για το BCD-2421. Από τον Πίνακα Αληθείας με μορφή ΑΕΟ: Ε3=Σ(5,6,7,8,9), Ε2=Σ(4,6,7,8,9), Ε1=Σ(2,3,5,8,9), Ε0=Σ(1,3,5,7,9) Αλλαγή στην Αρίθμηση του Χάρτη Κλειδί σύμφωνα με τον BCD-5211 και Χ για τους αδιάφορους όρους AB CD 00 01 11 10 00 0 2 5 01 11 10 1 3 X X X X X 4 9 7 8 6 X Είσοδοι Έξοδοι BCD - 5211 BCD - 2421 Β3 Β2 Β1 Β0 Ε3 Ε2 Ε1 Ε0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 1 0 1 0 0 1 1 4 0 1 1 1 0 1 0 0 5 1 0 0 0 1 0 1 1 6 1 0 1 0 1 1 0 0 7 1 0 1 1 1 1 0 1 8 1 1 1 0 1 1 1 0 9 1 1 1 1 1 1 113 1
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Άσκηση 6.1: Να σχεδιαστεί το λογικό συνδυαστικό κύκλωμα που θα μετατρέπει το κώδικα BCD-5211 σε κώδικα BCD- 2421. ΛΥΣΗ (ΙΙ) Συμπλήρωση των 1 στους Χάρτες και απλοποίηση συναρτήσεων AB CD 00 01 11 10 00 0 2 5 X 1 AB CD 00 01 11 10 00 0 2 5 X AB CD 00 01 11 10 00 0 2 5 1 X 1 AB CD 00 01 11 10 00 0 2 5 X 1 01 1 3 X X 01 1 3 X X 01 1 3 1 X X 01 1 3 1 1 X X 11 4 9 7 X 1 1 11 4 9 7 X 1 1 1 11 4 9 7 X 1 11 4 9 7 X 1 1 10 8 6 X X 1 1 10 8 6 X X 1 1 10 X X 1 8 6 10 X X 8 6 Ε3 Ε2 Ε1 Ε0 Τελικές απλοποιημένες λογικές συναρτήσεις (Α.Λ.Σ) του κυκλώματος του μετατροπέα κωδικοποίησης θα είναι: 1 η Ε3 = A 2 η Ε2 = C 3 η Ε1= AB+AC +BC 4 η Ε0 =AD+A C +C D 14
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Άσκηση 6.2: Να σχεδιαστεί κύκλωμα μετατροπής του κώδικα BCD-2421 σε ΛΥΣΗ κώδικα υπερβολής Χ-3. 15
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Άσκηση 6.3: Να σχεδιαστεί κύκλωμα μετατροπής του κώδικα Χ-3 σε κώδικα ΛΥΣΗ BCD-2421. 16
Σχεδίαση Κυκλωμάτων Μετατροπής Κωδίκων Άσκηση 6.4: Να σχεδιαστεί κύκλωμα μετατροπής του κώδικα BCD-2421 σε ΛΥΣΗ κώδικα Gray. 17
Μετατροπή BCD-8421 σε κώδικα 7 τμημάτων (Ι) Στην απεικόνιση αριθμών απαιτείται ένας κώδικας 7-τμημάτων (Seven Segment Display Code), ο οποίος εμφανίζει τον δυαδικό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό ψηφίο πάνω στην οθόνη. Το κάθε ψηφίο μπορεί να σχηματιστεί με κατάλληλο συνδυασμό μερικών από τα επτά τμήματα μιας ειδικής λυχνίας. Τα τμήματα αντιστοιχούν σε φωτοδιόδους LED (Liguid Crystal Display-LCD). Η διάταξη των επτά τμημάτων a, b, c, d, e, f, g για τον σχηματισμό ψηφίων είναι : 18
Μετατροπή BCD-8421 σε κώδικα 7 τμημάτων (ΙΙ) Τα δέκα ψηφία σχηματίζονται με τους κατάλληλους συνδυασμούς των LED s. Το ζητούμενο κύκλωμα θα έχει τέσσερις εισόδους και επτά εξόδους όπου κάθε μια έξοδος θα αντιστοιχεί σε ένα από τα Led τις λυχνίας a, b, c, d, e, f, g Γράφουμε τους κώδικες στον πίνακα εισόδων-εξόδων. Στο αριστερό τμήμα τον κώδικα BCD-8421 και στο δεξιό τμήμα τα επτά τμήματα της λυχνίας. Θεωρούμε κάθε τμήμα της λυχνίας των επτά τμημάτων a, b, c, d, e, f, g σαν μια συνάρτηση των μεταβλητών Α, Β, C, D του κώδικα BCD-8421 και σημειώνουμε τον χάρτη κλειδί, τον οποίο αριθμούμε σύμφωνα με αυτό τον κώδικα και σημειώνουμε τους αδιάφορους όρους (τις καταστάσεις από 10 έως 15). 19
Μετατροπή BCD-8421 σε κώδικα 7 τμημάτων (ΙΙΙ) Τα δέκα ψηφία σχηματίζονται με τους κατάλληλους συνδυασμούς των LED s. Κώδικας Δεκαδικό Είσοδοι Λυχνίας 7 τμημάτων BCD Ψηφίο 8 4 2 1 a b c d e f g 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 5 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 20
Μετατροπή BCD-8421 σε κώδικα 7 τμημάτων (ΙV) Κώδικας BCD Είσοδοι Λυχνίας 7 τμημάτων 8 4 2 1 a b c d e f g 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 5 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 Δεκαδικό Ψηφίο AB CD 00 01 11 10 CD 00 0 4 12 8 X 1 5 13 9 01 X 3 7 15 11 11 X X 2 6 14 10 10 X X ΚΛΕΙΔΙ AB 00 01 11 10 00 0 4 12 8 1 X 1 1 5 13 9 01 1 X 1 3 7 15 11 11 1 X X 2 6 14 10 10 1 1 X X AB CD 00 01 11 10 00 0 4 12 8 1 X 1 1 5 13 9 01 1 X 1 3 7 15 11 11 1 1 X X 2 6 14 10 10 1 1 X X a AB CD 00 01 11 10 00 0 4 12 8 1 X 1 1 5 13 9 01 X 3 7 15 11 11 X X 2 6 14 10 10 1 1 X X AB CD 00 01 11 10 00 0 4 12 8 1 1 X 1 1 5 13 9 01 1 X 1 3 7 15 11 11 1 1 X X 2 6 14 10 10 1 X X b AB CD 00 01 11 10 00 0 4 12 8 1 1 X 1 1 5 13 9 01 1 X 1 3 7 15 11 11 X X 2 6 14 10 10 1 X X AB CD 00 01 11 10 00 0 4 12 8 1 1 X 1 1 5 13 9 01 1 1 X 1 3 7 15 11 11 1 1 X X 2 6 14 10 10 1 X X AB CD 00 01 11 10 c 00 0 4 12 8 1 X 1 1 5 13 9 01 1 X 1 3 7 15 11 11 1 X X 2 6 14 10 10 1 1 X X Τελικές εκφράσεις των Α.Λ.Σ. των εξόδων, τα επτά τμήματα της λυχνίας, οι οποίες είναι : d e f g a = A + B D + C + BD = A + C + (B D) b = B + C D + CD = B + (C D) c = B + C + D d = A + B C + B D + CD + BC D e = B D + CD f = A + BD + BC + C D g = A + B C + BC + CD Από τις τελικές εκφράσεις σχεδιάζεται το κύκλωμα μετατροπής των ψηφίων του δεκαδικού συστήματος στην λυχνία των 7 τμημάτων με πύλες ΑΝD, ΟR, ΝΟΤ, XOR 21
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.5: Να σχεδιαστεί κύκλωμα μετατροπής του κώδικα BCD-2421 σε ΛΥΣΗ κώδικα απεικόνισης 7 τμημάτων. 22
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.6: Να σχεδιαστεί κύκλωμα μετατροπής του κώδικα BCD-5211 σε ΛΥΣΗ κώδικα απεικόνισης 7 τμημάτων. 23
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.7: Να σχεδιαστεί κύκλωμα μετατροπής των γραμμάτων A, B, C, D, ΛΥΣΗ E, F του Δεκαεξαδικού σε κώδικα απεικόνισης 7 τμημάτων. 24
Αποκωδικοποιητές Αποκωδικοποιητής (Decoder): είναι συνδυαστικό κύκλωμα με n πλήθος εισόδων και μέχρι m πλήθος εξόδων όπου m 2 n, οι οποίες είναι αμοιβαία αποκλειόμενες : μόνο μία είναι ένα 1 (οι υπόλοιπες είναι μηδέν). Υπάρχουν αποκωδικοποιητές που χρησιμοποιούν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς εισόδου (m=2 n ), όπως ο αποκωδικοποιητής 2x4, και αποκωδικοποιητές που χρησιμοποιούν λιγότερους συνδυασμούς εισόδου (m<2 n ), όπως είναι ο αποκωδικοποιητής 4x10. Είσοδοι Έξοδοι D1 D0 Ζ3 Ζ2 Ζ1 Ζ0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 O αποκωδικοποιητής δίνει έξοδο σύμφωνα με τον Πίνακα όταν το Enable=1. Όταν το Enable=0 όλες οι έξοδοι είναι 0 25
Αποκωδικοποιητές Υλοποίηση συνδυαστικών κυκλωμάτων με αποκωδικοποιητές: ο αποκωδικοποιητής nx2 n παράγει στις εξόδους του τους 2 n ελάχιστους όρους των n μεταβλητών εισόδου του. Επίσης, κάθε λογική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχίστων όρων. Επομένως, κάθε λογική συνάρτηση n μεταβλητών μπορεί να υλοποιηθεί με έναν αποκωδικοποιητή nx2 n και μία (1) πύλη OR οι είσοδοι της οποίας τροφοδοτούνται από τις εξόδους του Αποκωδικοποιητή που αντιστοιχούν στους ελάχιστους όρους που η συνάρτηση έχει την τιμή ''1''. Άρα, κάθε Συνδυαστικό Κύκλωμα n εισόδων και m εξόδων μπορεί να υλοποιηθεί με έναν Αποκωδικοποιητή nx2 n και m πύλες ΟR οι είσοδοι των οποίων τροφοδοτούνται κατάλληλα από τις εξόδους του Αποκωδικοποιητή. 27
Αποκωδικοποιητές Υλοποίηση συνδυαστικών κυκλωμάτων με αποκωδικοποιητές: a. Εκφράζουμε τη συνάρτηση σε Α.Γ (Άθροισμα Γινομένων) b. Ενώνουμε τις αντίστοιχες συνδέσεις: Π.χ. Να υλοποιηθεί με D/C η λογική συνάρτηση Z A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C c. Εκφράζουμε τη Λ.Σ. στη μορφή Α.Γ. και έχουμε Ζ = Σ(1,2,4,7) d. Αφήνουμε τους συνδέσμους Z7, Z4, Z2, Z1 οπότε η έξοδος της πύλης OR θα είναι η ζητούμενη έκφραση Ζ. 28
Αποκωδικοποιητές Παράδειγμα: Ένα Συνδυαστικό Κύκλωμα έχει εξόδους: Y1(A,B,C) = A B C + A BC και Y2(A,B,C) = A BC + AB C + ABC Το πλήθος των εισόδων του κυκλώματος είναι n=3 και το πλήθος των εξόδων του κυκλώματος είναι m=2. Επομένως, το κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας έναν αποκωδικοποιητή 3x8 και δύο πύλες ΟR. Η μία πύλη ΟR δύο εισόδων υλοποιεί την συνάρτηση Y1 και οι είσοδοί της τροφοδοτούνται από τις εξόδους του Αποκωδικοποιητή που αντιστοιχούν στους ελάχιστους όρους που η συνάρτηση Y1 έχει την τιμή 1. Με την ίδια λογική τροφοδοτούνται οι είσοδοι της πύλης ΟR τριών εισόδων που υλοποιεί την συνάρτηση Y2. 29
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.8: Να σχεδιαστεί με αποκωδικοποιητή η συνάρτηση Z A.B. C A.B.C A.B.C A.B.C ΛΥΣΗ 30
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.8: Να σχεδιαστεί με αποκωδικοποιητή η συνάρτηση Z A.B. C A.B.C A.B.C A.B.C ΛΥΣΗ a. Εκφράζουμε τη Λ.Σ. στη μορφή Α.Γ. και έχουμε Ζ=Σ(0,4,6,7) b. Ενώνουμε τους συνδέσμους Ε0,Ε4,Ε6,Ε7 οπότε η έξοδος της πύλης OR, η Ζ, θα είναι η ζητούμενη έκφραση. 31
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.9: Να σχεδιαστεί Συνδυαστικό Κύκλωμα τριών εισόδων A, B και C και μίας εξόδου Y που είναι 1 όταν όλες οι είσοδοι είναι ίσες μεταξύ τους (όλες 0 ή όλες 1 ) χρησιμοποιώντας έναν Αποκωδικοποιητή. ΛΥΣΗ 32
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.10: Να σχεδιαστεί συνδυαστικό κύκλωμα το οποίο δέχεται στην είσοδό του ένα αριθμό τριών ψηφίων και δίδει στην έξοδο τον δυαδικό ο οποίος είναι ίσος με το τετράγωνο του αριθμού εισόδου, χρησιμοποιώντας Αποκωδικοποιητή. ΛΥΣΗ 34
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.10: Να σχεδιαστεί συνδυαστικό κύκλωμα το οποίο δέχεται στην είσοδό του ένα αριθμό τριών ψηφίων και δίδει στην έξοδο τον δυαδικό ο οποίος είναι ίσος με το τετράγωνο του αριθμού εισόδου, χρησιμοποιώντας Αποκωδικοποιητή. ΛΥΣΗ Γράφουμε τους κώδικες στον πίνακα εισόδων-εξόδων. Στο αριστερό τμήμα τον κώδικα BCD- 8421 και στο δεξιό τμήμα τον ισοδύναμο αριθμό που εκφράζει το τετράγωνο του αριθμού εισόδου. Θεωρούμε κάθε ψηφίο του κώδικα εξόδου Ζi, σαν μια συνάρτηση των μεταβλητών Α,Β,C και γράφουμε τον Χ.Κ Κλειδί Είσοδοι Έξοδοι A Β C Ζ5 Ζ4 Ζ3 Ζ2 Ζ1 Ζ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 0 1 1 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 5 1 0 1 0 1 1 0 0 1 6 1 1 0 1 0 0 1 0 0 7 1 1 1 1 1 0 0 0 1 AB C 00 01 11 10 0 2 6 4 0 1 1 3 7 X.K-Κλειδί 5 35
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.10: Να σχεδιαστεί συνδυαστικό κύκλωμα το οποίο δέχεται στην είσοδό του ένα αριθμό τριών ψηφίων και δίδει στην έξοδο τον δυαδικό ο οποίος είναι ίσος με το τετράγωνο του αριθμού εισόδου, χρησιμοποιώντας Αποκωδικοποιητή. ΛΥΣΗ συνέχεια AB C 00 01 11 10 4 0 1 1 0 1 0 2 1 3 2 6 3 7 AB C 00 01 11 10 6 4 0 1 1 1 AB AB C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 2 6 4 0 2 6 4 0 1 0 5 1 3 7 5 1 3 7 5 1 Z5 1 1 1 1 1 1 Z3 Z4 AB AB C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 2 6 4 0 2 6 4 0 0 7 5 1 3 7 5 1 3 7 5 1 1 1 1 Z2 1 1 Z1 Z0 Z5 = A.B Z4 = A.B A.C Z3 = A.B.C A.B.C Z2 = B.C Z1 = 0 Z0 = C 36
Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Άσκηση 6.10: Να σχεδιαστεί συνδυαστικό κύκλωμα το οποίο δέχεται στην είσοδό του ένα αριθμό τριών ψηφίων και δίδει στην έξοδο τον δυαδικό ο οποίος είναι ίσος με το τετράγωνο του αριθμού εισόδου, χρησιμοποιώντας Αποκωδικοποιητή. ΛΥΣΗ συνέχεια Z5 = A.B Z4 = A.B Z2 = B.C Z1 = 0 A.C Z3 = A.B.C Z0 = C A.B.C 37
Ημιαθροιστής Ημιαθροιστής (Half Adder): είναι ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα που δέχεται 2 δυαδικά ψηφία στη είσοδο και παράγει 2 δυαδικά ψηφία στην έξοδο: το άθροισμά τους και το κρατούμενο. Αν Α, Β είναι δυο μονοψήφιοι δυαδικοί αριθμοί που θα αθροιστούν και S (ή Σ), το άθροισμα και C το κρατούμενο τότε: Από το Πίνακα Αληθείας προκύπτουν οι ακόλουθες λογικές συναρτήσεις: S = A B + B A = A B C = A B Είσοδοι Έξοδοι A B S Cο 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Δυο ψηφία Sum Carry Out 38
Ημιαθροιστής Ημιαθροιστής (Half Adder): Είσοδοι Έξοδοι A B S Cο 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Δυο ψηφία Sum Carry Out Το λογικό κύκλωμα με XOR και AND: Το λογικό κύκλωμα με NAND: Το λογικό σύμβολο:!!! Ισχύει; Αποδείξτε το 39
Ημιαθροιστής Ημιαθροιστής (Half Adder) με Decoder: Είσοδοι Έξοδοι A B S Cο 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Δυο ψηφία Sum Carry Out 40
Πλήρης Αθροιστής Πλήρης αθροιστής (Full Adder): είναι ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα που δέχεται 2 δυαδικά ψηφία και το κρατούμενο στην είσοδο και παράγει 2 δυαδικά ψηφία στην έξοδο: το άθροισμά τους και το κρατούμενο. Αν A n, B n είναι τα ψηφία της n στήλης και C in το πιθανό κρατούμενο από το άθροισμα της προηγούμενης στήλης τότε S n είναι το άθροισμα των A n, B n, C in και C out το νέο πιθανό κρατούμενο: Από το Πίνακα Αληθείας προκύπτουν οι ακόλουθες λογικές συναρτήσεις μετά από απλοποίηση με άλγεβρα Boole (ο Χ. Καρνώ δεν βοηθά στην συγκεκριμένη απλοποίηση): S n = An B n C in C out = A n B n C in + AnBn Γιατί ; Είσοδοι Έξοδοι Α n Β n C in S n C out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 X n +(Y n +C in ) Sum Carry41Out
Πλήρης Αθροιστής Πλήρης αθροιστής (Full Adder): Είσοδοι Έξοδοι Α n Β n C in S n C out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 X n +(Y n +C in ) Sum Carry Out Το λογικό σύμβολο: Το λογικό κύκλωμα με XOR, AND και OR: 42
Πλήρης Αθροιστής Πλήρης αθροιστής (Full Adder): Είσοδοι Έξοδοι Α n Β n C in S n C out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 X n +(Y n +C n-1 ) Sum Carry Out Σύνδεση δυο ημιαθροιστών για την δημιουργία πλήρους αθροιστή: S n = An Bn Cin C out = A n Bn C in + AnBn 43
Πλήρης Αθροιστής Πλήρης αθροιστής (Full Adder) με Decoder: Είσοδοι Έξοδοι Α n Β n C in S n C out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 X n +(Y n +C n-1 ) Sum Carry Out Εκφράζουμε τη Λ.Σ. στη μορφή Α.Γ. και έχουμε F Sn =Σ(1, 2, 4, 7) και F Co =Σ(3, 5, 6, 7) 44
Συγκριτής Συγκριτής (Comparator): είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα που έχει στις εισόδους του δύο 2-bits δυαδικούς αριθμούς Α=Α 2 Α 1 και Β=Β 2 Β 1 και τρεις εξόδους που είναι 1, όταν οι αριθμοί είναι Α<Β, Α=Β και Α>Β, αντίστοιχα. Είσοδοι Έξοδοι Α Β Α<Β Α=Β Α>Β A2 A1 B2 Β1 Y1 Y2 Y3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 Οι συναρτήσεις εξόδου του συγκριτή μετά από απλοποίηση με Χάρτες Καρνώ είναι: Y1 A2 A1 B1 A1 B2 B1 A2 B2 Y2 A2 A1 B2 B1 A2 A1 B2 B1 A2 A1 B2 B1 A2 A1 B2 B1 Y3 A2 B2 A2 A1 B1 A1 B2 B1 45
Συγκριτής Συγκριτής ισότητας 2-bit: είναι το συνδυαστικό κύκλωμα που αναγνωρίζει αν οι δυο 2-bits δυαδικοί αριθμοί είναι ίσοι (Α=Β) και έχει έξοδο τη συνάρτηση Y2, η οποία γράφεται: Είσοδοι Έξοδοι Α Β Α<Β Α=Β Α>Β A2 A1 B2 Β1 Y1 Y2 Y3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 Y2 A2 A1 B2 B1 A2 A1 B2 B1 A2 A1 B2 B1 A2 A1 B2 B1 Y2 ( A2B2 A2 B2)( A1B1 ( A2 B2) ( A1 B1) Y2 ( A2 B2)( A1 B1) ή A1 B1) 46
Συγκριτής Συγκριτής 2-bit: https://circuitverse.org/simulator/edit/17065 47
Αναφορές 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 4. Ψούνης Δ., ΠΛΗ10, Μάθημα 1.3, https://youtu.be/iqy71uvfsnk 49