ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση (i) Είναι T =, X =, X 3 = και λόγω του ότι x(t) R ϑα είναι X = X = () X 3 = X3 = () οπότε : x(t) = k X k e jπkf t = k X k e jπk t = k X k e jπkt (3) = e j3πt + ( )e jπt + ( )e jπt + e j3πt () = cos(3πt) cos(πt) = cos(3πt) + cos(πt + π) (5) (ii) Είναι X = j = j = e j π X = X = j = ej π (6) X = j = e j π X = X = ej π (7) X 3 = j = ej π X 3 = X 3 = e j π (8) X = j = e j π X = X = ej π (9) Άρα x(t) = e j π e jπt + e j π e jπt + ej π e jπt + e j π e jπt + e j π e j6πt + ej π e j6πt + ej π e j8πt + e j π e j8πt () () Τελικά x(t) = cos(πt π ) + cos(πt π ) + cos(6πt + π ) + cos(8πt π ) () (iii) Είναι και X = e j π 3 X = X = e j π 3 (3) X 3 = e j π = e jπ e j π = e j 3π X 3 = X 3 = e j π = e j 3π () οπότε x(t) = cos(8πt + π 3 ) + cos(πt 3π ) (5)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση Σχήµα : άσκηση Ι Σχήµα : άσκηση Ι (I) Εχουµε x(t) = + cos(πt + π 3 ) sin(π5t + π ) (6) = e jπ + e j π 3 e jπt + e j π 3 e jπt j ej π e jπ5t + j e j π e jπ5t = e jπ + e j π 3 e jπt + e j π 3 e jπt + ej π e j π e jπ5t + e j π e j π e jπ5t = e jπ + e j π 3 e jπt + e j π 3 e jπt + ej 3π e jπ5t + e j 3π e jπ5t (7) (8) (9) (II) Από τα ϕάσµατα, έχουµε x(t) = 3 ej π e jπ5t + 3 e j π e jπ5t + e jπ e jπ5t + e jπ e jπ5t () = 3 cos(π5t π ) + 8 cos(π5t π) ()
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων 3 Ασκηση 3 (i) είτε το Σχήµα 3. Σχήµα 3: Σχήµα Άσκησης 3i. (ii) Θα έχουµε ενώ (iii) Είναι και X k = T te jπkft () T T = T ( e jπkf t (t + )) jπkf jπkf = ( T t e jπkf t + jπkf T = e jπkf T T T ( jπkf ) + T = T e jπk ( jπkf ) + = Άρα έχουµε τα Σχήµατα. (iv) Είναι x(t) = + jπkf T ] T e jπkf t jπkf jπkf ) e jπkf T ( jπkf ) e jπk ] T jπkf T + jπkf T ( jπkf ) (3) () jπkf (5) (jπkf ) (6) T ( jπkf ) T ( jπkf ) + T (jπkf ) (7) = jπk = πk ej π (8), k X = T T t = t ] T T T = (9) { X k = πk ej π = πk ej π, k > π k e j π, k < X k = π k X k e jπkf t = + φ k = k= (3) { π, k > π, k < (3) X k cos(πkf t + φ k ) = + k= πk cos(πkf t + π ) (3)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Σχήµα : Σχήµατα Άσκησης 3iii (v) Είναι Για k =, Y =, άρα y(t) = dx(t) y(t) = Y k = jπkf X k = T e jπ, k (33), Αλλιώς : υο σήµατα, όπως αυτά του Σχήµατος 5. k T e jπ e jπkf t (3) Σχήµα 5: Σχήµα Άσκησης 3v ιαχωρίζοντάς τα, ϑα είναι dx (t) = από Παράδειγµα. σηµειώσεων. Άρα Άρα dx(t) dx (t) =, t, k = T T = y(t) = dx (t) δ(t kt ) X k = T = T e jπ, k. + dx (t) d x(t) = y(t) = T + Y k = T e jπ, Y = T T = T e jπ e jπkf t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων 5 (vi) Από το προηγούµενο ερώτηµα και την ιδιότητα Y k = jπkf X k για την παράγωγο ενός περιοδικού σήµατος, ϑα έχουµε X k = Y k jπkf = e jπ = jπkf T e jπ = jπkf T πk ejπ e j π = πk e j π, k (35) Ασκηση Το σήµα σε µια περίοδο ϕαίνεται στο Σχήµα 6. Σχήµα 6: Άσκηση Το παραπάνω σήµα είναι το σήµα της Άσκησης 3, µετατοπισµένο κατά t = T, και από την ιδιότητα της χρονικής µετατόπισης ϑα είναι X k = X k e jπkf ( T ) = πk ej π e jπk = πk ej π ( ) k (36) Ασκηση 5 Είναι και µε T = π, είναι X = π Είναι X = T T = π 3. t = T t = t 3 ] T T T 3 = T (37) X k = T T = T T t e jπkf t (38) t e jπkf t (39) = e jπkft T ( jπkf ) 3 (( jπkf ) + jπkf t + ) = T ( jπkf ) 3 (( jπkf T ) + jπkf T + ) T ( jπkf ) 3 () = T ( jπkf ) 3 (( jπk) + jπk) () = T ( jπk) 3 f 3 ( jπk) + jπk (3) T ( jπkf ) 3 ] T ()
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων 6 = T jπkf 3 + jπk T ( jπkf ) ( jπkf ) = 8πkf e j π + π k f () (5) και για f = π είναι X k = 8πk e j π π + π k (6) π = π k ej π + k (7) Ασκηση 6 Ξέρουµε ότι από το Παράδειγµα.3 για k περιττό και X =. Η συνολική ισχύς είναι P x = X k = πk ej π (k ) X k = + = T T X T (t) = ] = t π k (8) (9) = (5) Με δοκιµές ϐλέπουµε ότι για k =, ±, είναι P k =.86, που αποτελεί το 9.53% της συνολικής ενέργειας. Για k =, ±, ±3, έχουµε ότι P k =.96, που αποτελεί το 95.3% της συνολικής ισχύος. Με όµοιο τρόπο, για k =, ±, ±3, ±5 ± 7, είναι P k =.996, που αποτελεί το 97.8% της συνολικής ισχύος του σήµατος. Άρα απαιτούνται k = 5 ϑετικοί όροι [,, 3, 5, 7], δηλ. 9 όροι της εκθετικής σειράς για να έχουµε το 97% της συνολικής ισχύος του περιοδικού σήµατος. Ασκηση 7 Εχουµε A =, A k = k+ άρα P = + k= ( k+ ) = + k= =.59 (5) (k + ) Το ποσοστό του σταθερού όρου στη συνολική ισχύ των πρώτων πέντε όρων είναι P = 6.8%..59 =.68, άρα είναι Ασκηση 8 (αʹ) Είναι y(t) = x(t) + αx(t t d ). Θέτω x(t) = δ(t) και τότε y(t) = h(t) = δ(t) + αδ(t t d ). (ϐʹ) Με όµοιο σκεπτικό, N h(t) = δ(t) + α k δ(t t k ) k= (γʹ) Κώδικας MATLAB.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων 7 (δʹ) Κώδικας MATLAB. (εʹ) Κώδικας MATLAB. Ασκηση 9 Κώδικας MATLAB.