ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 7/06/203 Ασκηση. (α) Χρησιµοποιώντας τον αµφίπλευρο µετασχηµατισµό Laplace έχουµε : x(t)e st dt = = 2 e t u(t + 2)e st dt e t(+s) dt = e2(+s) + s Άρα,για το παραπάνω σήµα η περιοχη σύγκλισης ειναι Re(s) >. (ϐ) Ο µετασχηµατισµός Laplace του σήµατος x(t) = u( t + 3) γίνεται : x(t)e st dt = u( t + 3)e st dt = 3 e st dt = e 3s s Άρα,η περιοχη συγκλισης είναι : Re(s) < 0. (γ) Για το σήµα x(t) = sin(t)u(t) έχουµε : x(t) = sin(t)u(t) = ( 2j e jt e jt) u(t). Οπότε ο µετασχηµατισµός Laplace γίνεται : x(t)e st dt = = 0 0 = 2j 2j (ejt e jt )e st dt 2j et(j s) dt 0 ( j s ) = j + s 2j e t(j+s) dt ( + s 2 ) Εποµένως η περιοχή σύγκλισης ϑα είναι : Re(s) > 0.

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 203/Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων 2 Ασκηση 2. (α) Για τον µετασχηµατισµό e 5s, Re{s} < 2, έχουµε : s + 2 A(s) = s+2 a(t) = e 2t u( t) e 5s A(s) x(t) = a(t + 5) = e 2(t+5)u( (t+5)) ( ) (ϐ) Για τον µετασχηµατισµό d2 ds 2, Re{s} > 3, έχουµε : s 3 A(s) = s 3 a(t) = e3t u(t) d2 ds 2 A(s) x(t) = t 2 e 3t u(t) (γ) Κάνοντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα εχουµε : s 4 s 2 + 3s + 2 = s 4 (s + )(s + 2) = A s + + B s + 2 A(s + 2) + B(s + ) = s 4 As { + 2A + Bs + B = s 4 A + B = 2A + B = 4 { A = 3 B = 2 Άρα : 3 s s + 2 Εποµένως : (i) για Re{s} < 2 το σήµα x(t) ϑα είναι : x(t) = (3e t 2e 2t )u( t) (ii) για Re{s} >,το x(t) ϑα είναι : x(t) = ( 3e t + 2e 2t )u(t) (iii) για 2 < Re{s} <, το σήµα γίνεται : x(t) = 3e t u( t) + 2e 2t u(t) (δ) Ο µετασχηµατισµός γίνεται : 4s 2 + 8s + 0 (s + 2)(s 2 + 2s + 5) 2s2 + 2s 2 + 4s + 4s s 2s (s + 2)[(s + ) ] 2(s2 + 2s + + 4) + 2(s + )(s + 2) 2(s + 2) (s + 2)[(s + ) ] 2[(s + ) ] + 2(s + )(s + 2) 2(s + 2) (s + 2)[(s + ) ] 2 2(s + ) + s + 2 (s + ) (s + ) Εποµένως : (i) για Re{s} < 2, το σήµα γίνεται : x(t) = ( 2e 2t 2e t cos(2t) + e t sin(2t))u( t)

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 203/Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων 3 (ii) για Re{s} >,το σήµα γίνεται : x(t) = (2e 2t + 2e t cos(2t) e t sin(2t))u(t) (iii) για 2 < Re{s} <,το σήµα γίνεται : x(t) = 2e 2t u(t)+( 2e t cos(2t)+e t sin(2t))u( t) Ασκηση 3. (α) Εχουµε : d y(t) + 0y(t) = 0x(t) dt sy (s) + 0Y (s) = 0X(s) Y (s) s Εποµένως,η κρουστική απόκριση ϑα ειναι : h(t) = 0e 0t u(t) Οι πόλοι είναι στο σηµείο s = 0. Η γραφική παράσταση πόλων-µηδενικών ϕαίνεται στο επόµενο σχήµα. ιάγραµµα πόλων-µηδενικών του ερωτήµατος 3(a) (ϐ) Για το σύστηµα d2 dt 2 y(t) + 5 d dt y(t) + 6y(t) = x(t) + d x(t) έχουµε : dt Y (s) + s s 2 + 5s + 6 = Y (s)(s 2 + 5s + 6) = X(s)( + s) + s (s + 3)(s + 2) = s s + 3 Άρα, η κρουστική απόκριση ϑα είναι : h(t) = (2e 3t e 2t )u(t) Οι πόλοι του συστήµατος είναι στα σηµεία s = 2 και s 2 = 3 και τα µηδενικά στα σηµεία s =. Η γραφική παράσταση πόλων-µηδενικων του συστηµατος ϕαίνεται στο επόµενο σχήµα.

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 203/Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων 4 ιάγραµµα πόλων-µηδενικών του ερωτήµατος 3(b) (γ) Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος γίνεται : d 2 dt 2 y(t) d dt y(t) 2y(t) = 4x(t) + 5 d dt x(t) Y (s)(s 2 s 2) = X(s)(5s 4) Y (s) 5s 4 s 2 s 2 = 5s 4 (s 2)(s + ) = 3 s s 2 Εποµένως, η κρουστική απόκριση ϑα είναι : h(t) = (3e t + 2e 2t )u(t) Οι πόλοι του συστήµατος είναι στα σηµεία s = και s 2 = 2 και τα µηδενικά στα σηµεία s = 4/5. Η γραφική παράσταση πόλων-µηδενικων του συστηµατος ϕαίνεται στο επόµενο σχήµα. ιάγραµµα πόλων-µηδενικών του ερωτήµατος 3(c)

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 203/Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων 5 Ασκηση 4. Το σύστηµα γινεται : d 2 dt 2 h(t) + 3 d dt h(t) + 2h(t) = b d δ(t) + aδ(t) + u(t) dt H(s)(s 2 + 3s + 2) = bs + a + s bs + a + s s 2 + 3s + 2 = bs2 + as + s(s + 2)(s + ) Επειδή η κρουστική απόκριση h(t) είναι πραγµατική, τα µηδενικά ϑα εµφανίζονται σε συζυγή Ϲεύγη. Το ένα γνωρίζουµε ότι ειναι το s = + j, το άλλο ϑα είναι το s 2 = j. Για s = + j έχουµε : H( + j) = 0 b( + j) 2 + a( + j) + ( + j)( + j + 2)( + j + ) = 0 b( + 2j + j 2 ) + a + ja + = 0 b + 2bj b + a + ja + = 0 2bj + ja + a + = 0 Για s 2 = j έχουµε : Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις H( j) = 0 b( j) 2 + a( j) + ( j)( j + 2)( j + ) = 0 b( 2j + j 2 ) + a aj + = 0 2bj ja + a + = 0 2bj + ja + a + = 0 2bj ja + a + = 0 Προκύπτει ότι a = και b = /2.Εποµένως η συνάρτηση µεταφόρας γίνεται : 2 s2 s + s(s + 2)(s + )

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 203/Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων 6 Ασκηση 5. (α) Κάνοντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα, η συνάρτηση µεταφοράς του συστηµατος γινεται : 2s2 + 2s 2 s 2 = 2 + 2s (s + )(s ) = 2 + A s + + B s { A + B = 2 A + B = 0 A(s ) + B(s + ) = 2s As A + Bs + B = 2s { A = B = Άρα : 2 + s + + s Το σύστηµα έχει πόλους στα σηµεία s = και s =. (i) Στην περίπτωση που το σύστηµα είναι αιτιατό, η περιοχή σύγκλισης είναι δεξί ηµιεπίπεδο άρα Re{s} >. Τότε, η κρουστικη απόκριση γίνεται : h(t) = 2δ(t) + (e t + e t )u(t) (ii) Στην περίπτωση που το σύστηµα ειναι ευσταθές, η περιοχή σύγκλισης πρέπει να περιλαµβάνει τον ϕανταστικό άξονα, άρα < Re{s} <. Τότε, η κρουστικη απόκριση γίνεται : h(t) = 2δ(t) + e t u(t) + e t u( t) (ϐ) Κάνοντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα, η συνάρτηση µεταφοράς του συστηµατος γινεται : 2s s 2 + 2s + = 2s (s + ) 2 = A A(s + ) + B = 2s Άρα : 2 s (s + ) 2 s + + { A = 2 B = 3 B (s + ) 2 Το σύστηµα έχει ένα διπλό πόλο στο σηµείο s =. (i) Στην περίπτωση που το σύστηµα είναι αιτιατό, η περιοχή σύγκλισης είναι δεξί ηµιεπίπεδο άρα Re{s} >. Τότε, η κρουστικη απόκριση γίνεται : h(t) = (2e t 3te t )u(t) (ii) Στην περίπτωση που το σύστηµα ειναι ευσταθές, η περιοχή σύγκλισης πρέπει να περιλαµβάνει τον ϕανταστικό άξονα, άρα Re{s} >. Τότε, η κρουστικη απόκριση γίνεται : h(t) = (2e t 3te t )u(t)

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 203/Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων 7 (γ) Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι : s 2 + 5s 9 (s + )(s 2 2s + 0) 2s2 s 2 + 3s + 2s (s + )[(s ) ] (s2 2s + 0) (s + )[(s ) ] + 2(s 2 ) (s + )[(s ) ] + 3s + 3 (s + )[(s ) ] 2(s ) + s + (s ) (s ) (i) Στην περίπτωση που το σύστηµα είναι αιτιατό, η κρουστικη απόκριση γίνεται : h(t) = ( e t + 2e t cos(3t) + e t sin(3t))u(t) (ii) Στην περίπτωση που το σύστηµα ειναι ευσταθές,η κρουστικη απόκριση γίνεται : h(t) = e t u(t) (2e t cos(3t) + e t sin(3t))u( t) (δ) Η συνάρτηση µεταφοράς του συστηµατος είναι : e 5s + 2 s 2 Οπότε η κρουστική απόκριση γίνεται : (i) Στην περίπτωση που το σύστηµα είναι αιτιατό h(t) = δ(t 5) + 2e 2t u(t) (ii) Στην περίπτωση που το σύστηµα ειναι ευσταθές h(t) = δ(t 5) 2e 2t u( t) Ασκηση 6. Υποθέτουµε ότι το σύστηµα έχει M πόλους στα σηµεία d k = a k + jb k και M µηδενικα στα c k = a k + jb k.οπότε οι πόλοι και τα µηδενικά είναι συµµετρικα ως προς τον άξονα jω. Η απόκριση πλάτους του συστηµατος γίνεται : k= (s c k) k= (s d k) k= (s + a k jb k ) k= (s a k jb k ) H(jω) = k= jω + a k jb k k= jω a k jb k k= H(jω) = j(ω b k) + a k k= j(ω b k) a k M k= (ω b k ) 2 + a 2 k H(jω) = (ω bk ) 2 + ( a k ) 2 k= H(jω) =