e jθ = cos θ j sin θ(1.2)

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. Σχέσεις του Euler e jθ = cos θ + j sin θ(.) e jθ = cos θ j sin θ(.).(i) Προσθέτωντας τις (.) και (.) κατά µέλη : e jθ + e jθ = cos θ cos θ = (ejθ + e jθ ).(ii) Αφαιρώντας τις (.) και (.) κατά µέλη : e jθ e jθ = j sin θ sin θ = j (ejθ e jθ ).(iii) Σύµφωνα µε την (.): e j(θ+φ) = cos(θ + φ) + j sin(θ + φ)(.3) Επίσης : e j(θ+φ) = e jθ e jφ = (cos θ + j sin θ)(cos φ + j sin φ) = cos θ cos φ + j sin θ cos φ + j cos θ sin φ sin θ sin φ = (cos θ cos φ sin θ sin φ) + j(sin θ cos φ + cos θ sin φ)(.4) Άρα cos(θ + φ) = cos θ cos φ sin θ sin φ (.5) Για θ = φ : cos θ = cos θ sin θ Επίσης γνωρίζουµε ότι = cos θ + sin θ Προσθέτωντας τις παραπάνω εξισώσεις κατά µέλη : cos θ + = cos θ cos θ = (cos θ + ).(iv) Θέτοντας φ = φ στην (.5) έχουµε : cos(θ φ) = cos θ cos( φ) sin θ sin( φ) = cos θ cos φ + sin θ sin φ(.6) Αφαιρώντας κατά µέλη τις (.5) και (.6): cos(θ φ) cos(θ + φ) = sin θ sin φ sin θ sin φ = cos(θ φ) cos(θ + φ)

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων.(v) Εξισώνοντας τα ϕανταστικά µέρη στην (.3) και (.4) έχουµε : sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ.(i) (az z ) = [a(x + jy )(x + jy )] = [a(x x + jx y + jx y y y )] = [ax x ay y + j(ax y + ax y )] = ax x ay y j(ax y + ax y ) az z = a(x + jy ) (x + jy ) = a(x jy )(x jy ) = a(x x jx y jx y y y ) = ax x ay y j(ax y + ax y ) Άρα (αz x ) = az z.(ii) Εχουµε ότι : z + z = (x + jy) + (x jy) = x = Re{z}(.7) Συµφωνα µε την (.7) έχουµε : { } [ ( ) ] [ ] Re z z = z z + z z = z z + z z = [ z z +z z z z ].(iii) ( z z ) = ( r e jθ r e jθ ) = ( r r e jθ e jθ ) = ( r r e j(θ θ) ) = r r e j(θ θ ) = r r e jθ e jθ = r e jθ r e jθ = z z

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 3 Ασκηση. Ασκηση 3..(i) Για να δείξουµε ότι ένα σήµα x() είναι περιοδικό µε περίοδο Τ αρκεί να δείξουµε ότι x() = x( + T ). Στη συκεκριµµένη περίπτωση γνωρίζουµε ότι cos θ = cos(π + θ) αρα είναι περιοδικό µε περίοδο π. Χρησιµοποιώντας αυτό, έχουµε ότι cos(3 + π/4) = cos(π π/4) = cos(3( + π 3 ) + π/4) άρα είναι περιοδικό µε περίοδο T = π 3

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 4.(ii) Χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι e jπ = και έχουµε : e j(π) = e jπ e j(π) = e j(π+π) = e j(π(+) ) άρα είναι περιοδικό µε περίοδο T =.(iii) Χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα : sin θ = cos θ έχουµε ότι : x() = [sin( π/6)] = cos(( π/6)) = cos( π/3) = cos(π + π/3) = cos(( + π) π/3) Άρα το σήµα είναι περιοδικό µε περίοδο T = π.(iv) Για το σήµα αυτό, δεν ισχυει ότι x() = x( + T ) άρα δεν είναι περιοδικό () Θα πρέπει ο λόγος των περιόδων να µπορεί να εκφραστεί από έναν ϱητό αριθµό, δηλ. από εναν λόγο δύο ακεραίων. Στην περίπτωση αυτή η ϑεµελιώδης περίοδος του αθροίσµατος ϑα είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των T και T. Εστω λοιπόν x() = x( + k T ) και y() = y( + k T ). Για να είναι το άθροισµα z() = x() + y() = x( + k T ) + y( + k T ) περιοδικό µε περίοδο T, ϑα πρέπει να υπάρχει T ώστε z() = z( + T ) x( + T ) + y( + T ) = x( + k T ) + y( + k T ). Άρα ϑα πρέπει : k T = k T = T ή T = T T = k k ικανοποιεί τις παραπάνω σχέσεις είναι το Ε.Κ.Π. των T και T. ϱητός. Είναι προφανές ότι ο µικρότερος αριθµός T που Ασκηση 4..(i) () Για κάθε χρονική στιγµή, η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται µόνο από την είσοδο την χρονική στιγµή, άρα το σύστηµα είναι χωρίς µνήµη. () ίνω στο σύστηµα την είσοδο : x( ). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : e x( = y( ), άρα το σύστηµα είναι Χρονικά Αµετάβλητο. (3) ίνω στο σύστηµα την είσοδο : a x () + a x (). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : e a x()+a x () = e a x () e a x () a y () + a y () = a e x() + a e x() άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Γραµµικό. (4) Η έξοδος του συστήµατος δεν εξαρτάται από µελλοντικές τιµές τις εισόδου, άρα το σύστηµα είναι Αιτιατό. (5) Εστω x() < M x < M x < x() < M x. Τότε e Mx < y() < e Mx. Άρα αφού για ϕραγµένη είδοσο, η

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 5 έξοδος είναι επίσης ϕραγµένη, το σύστηµα είναι ευσταθές.(ii) () Για κάθε χρονική στιγµή, η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται από τίµές της είσόδου τις χρονικές στιγµές και,άρα το σύστηµα είναι µε µνήµη. () ίνω στο σύστηµα την είσοδο : x( ). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : x( ) x( ). Αλλά y( ) = x( ) x( + ) άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Χρονικά Αµετάβλητο. (3) ίνω στο σύστηµα την είσοδο : a x () + a x (). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : a x ( ) + a x ( ) (a x ( ) + a x ( )) = a (x ( ) x ( )) + a (x ( ) x ( )) = a y () + a y () άρα το σύστηµα είναι Γραµµικό. (4) Η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται από µελλοντικές τιµές τις εισόδου (λόγω του x( ) στη σχέση Εισόδου- Εξόδου), άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Αιτιατό. (5) Εστω x() < M x <. Τότε y() = x( ) x( ) <. Άρα αφού για ϕραγµένη είδοσο, η έξοδος είναι επίσης ϕραγµένη, το σύστηµα είναι ευσταθές.(iii) () Για κάθε χρονική στιγµή, η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται από τίµές της είσόδου τις χρονικές στιγµές (, 3],άρα το σύστηµα είναι µε µνήµη. () ίνω στο σύστηµα την είσοδο : x( ). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : Αλλά y( ) = 3 3( ) x(τ)dτ άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Χρονικά Αµετάβλητο. (3) ίνω στο σύστηµα την είσοδο : a x () + a x (). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : (a x (τ) + a x (τ))dτ = a x (τ)dτ + a x (τ)dτ = a y () + a y () άρα το σύστηµα είναι Γραµµικό. x(τ )dτ. (4) Η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται και από µελλοντικές τιµές τις εισόδου στο διάστηµα (, 3], άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Αιτιατό. (Για παράδειγµα το y() εξαρτάται από το x(3)). 3 (5) Εστω x() = u() το οποίο είναι ϕραγµένο, τότε y() = u(τ)dτ = ΕΝ είναι ευσταθές lim + 3 dτ. Άρα το σύστηµα.(iv) () Για κάθε χρονική στιγµή, η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται από την τιµή της είσόδου τη χρονική στιγµή /,άρα το σύστηµα είναι µε µνήµη. () ίνω στο σύστηµα την είσοδο : x( ). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : x( ). Αλλά y( ) = x( ) άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Χρονικά Αµετάβλητο.

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 6 (3) ίνω στο σύστηµα την είσοδο : a x () + a x (). Στην έξοδο του συστήµατος ϑα έχω : a x (/) + a x (/) = a y () + a y () άρα το σύστηµα είναι Γραµµικό. (4) Η έξοδος του συστήµατος µπορέι να εξαρτάται και από µελλοντικές τιµές τις εισόδου, άρα το σύστηµα ΕΝ είναι Αιτιατό. (5) Εστω x() < M x <. Τότε y() = x(/) < M x <. Άρα αφού για ϕραγµένη είδοσο, η έξοδος είναι επίσης ϕραγµένη, το σύστηµα είναι ευσταθές.(i)η σχέση που προκύπτει είναι : y(y) = x( ) x().(ii) ίνω σαν είσοδο στο σύστηµα το a x () + a x () και έχω στην έξοδο : a x ( ) + a x ( ) a x () a x () = a (x ( ) x ()) + a (x ( ) x ()) (4.) Αλλά : a y + a y = a x ( ) x () + a x ( ) x () (4.) Συκρίνοντας τις (4.) και (4.) προκύπτει ότι το σύστηµα δεν είναι γραµµικό.(iii) ίνω σαν είσοδο στο σύστηµα το x( ) και έχω στην έξοδο : x( ) x ( ) = y( ) αρα το σύστηµα είναι Χρονικά Αµετάβλητο.(iv) Η απόκριση του συστήµατος ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα :

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 7 Ασκηση 5. (i) Θεωρούµε πρώτα την περίπτωση a b y() = x(τ)h( τ)dτ e aτ u(τ)e b( τ) u( τ)dτ Οµως η u(τ)u( τ) είναι µη-µηδενική και ίση µε τη µονάδα για < τ <. Άρα y() = e aτ e b( τ) dτ = e b+bτ aτ dτ = e b e (b a)τ dτ = e b b a e(b a) τ e b b a (e(b a) ), για > και y() = για <. Άρα : y() = e b b a (e(b a) )u() Θεωρούµε τώρα την περιπτωση a = b y() = e aτ e b( τ) dτ = e b+bτ aτ dτ = e b e (b a)τ dτ = e b dτ = e b τ > και y() = για <. Άρα : y() = e b u() τ= = τ= = e b για Παρακάτω ϕαίνεται η γραφική παράσταση της συνέλιξης για a = b και a b. Για το σχεδιασµό, έχουµε ϑεωρήσει a = 3 και b = (ii) y() = h(τ)x( τ)dτ Τα x(), x( τ) και h() ϕαίνονται στα παρακάτω σχήµατα :

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 8 Για < έχουµε : y() = 5 e τ dτ + (e e () + e ( 5)) e τ dτ = eτ Για > και < < < 3 έχουµε : y() = 5 e τ dτ + (e e () + e ( 5)) τ= 5 e τ dτ = eτ τ= 5 Για > και 5 < 3 < < 6 έχουµε : y() = 5 e τ dτ = eτ τ= 5 = Για 5 > > 6 έχουµε : y() = + eτ + eτ τ= τ= = = ( e e ( 5)) = (e () e) ( e () + e ( 5) + e e ()) = ( e () + e ( 5) + e e ()) = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι :

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 9 (iii) y() = e 3 3 e3τ τ= h(τ)x( τ)dτ = = e 3 3 (e3 e 3 ) = 3 ( e 3() ) u(τ )e 3( τ) u( τ)dτ = για > και y() = για <, δηλαδη y() = 3 ( e 3() )u( ) e 3( τ) dτ = e 3 e 3τ dτ = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι : (iv) y() = x(τ)h( τ)dτ Τα x(), h() και h( τ) ϕαίνονται στα παρακάτω σχήµατα :

10 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Για < < έχουµε : y() = e τ e 3τ dτ = e e τ dτ = e e τ = ) (e e () lim τ eτ = e e () Για < και > < < έχουµε : y() = ( e e 4 e τ e 3τ dτ + lim τ eτ e τ e τ dτ = e e τ dτ +e e 3τ dτ = e e τ 3 e e 3τ ) 3 e e 3() + 3 e e 6 = e (e 4 e 3() 3 ) + e6 3 τ= = Για > και < < < 3 έχουµε : y() = e τ e 3τ dτ + e τ e τ dτ + ( ) e e 4 + e6 3 + e() e τ e 3τ dτ = e e τ dτ +e e 3τ dτ +e e τ dτ = Για > v > 3 έχουµε : y() = e τ e 3τ dτ + e τ e τ dτ + e τ e 3τ dτ + = e e τ dτ + e e 3τ dτ + e e τ dτ + ( ) = e e e6 3 + e4 e 3() + e e 3τ dτ e τ e τ dτ Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι :

11 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων (v) y() = x(τ)h( τ)dτ Τα σήµατα x() και h( τ) ϕαίνονται παρακάτω : Για < έχουµε : y() = e τ dτ = e τ τ= ( = e e = e ) e Για > και < < < έχουµε : y() = e τ dτ e5 e + e e 5τ e τ dτ = e τ τ= + 5 e5τ τ= + e τ τ= = e 5 e5 5 + e = Για > > έχουµε : y() = e 5τ e τ dτ = 5 e5τ Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι : + e τ = 5 e5 ( e 5 ) + e ( e) τ= τ=

12 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων (vi) Το h( τ) είναι : Για < < : y() = Για > και 3 < < < 3 : y() = ( cos (π( ))) π sin (πτ)dτ = π ( cos (πτ)) τ= = Για > και 3 < 3 < < 5 : y() = (cos (π( 3)) ) π 3 sin (πτ)dτ = π ( cos (πτ)) τ= 3 = Για 3 > < 5 : y() = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι :

13 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 3 (vii)y() = h(τ)x( τ)dτ Το σήµα x( τ) ϕαινεται παρακάτω. Για y() = dτ + 3dτ = τ 6 τ= 6 + 3τ τ= = 7 Για > και < y() = dτ + 3dτ = τ + 3τ 6 τ= 6 τ= = 6 Για > και 6 < 4 y() = dτ = τ τ= 6

14 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 4 Για 6 > > 4, y() = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι : (viii) x() h() = (δ() δ( ) + δ( )) h() = h() h( ) + h( ) Άρα η γραφική παράσταση της συνέλιξης ϑα είναι : (ix) Η h() µπορεί να γραφεί ώς h() = h () 3δ( ) όπου 4 3 h() =,, αλλού και η x() περιγράφεται από την ευθεία x() = ax + b Άρα y() = h() x() = (h () 3 δ( )) x() = h () x() 3x( ) [ 4 Υπολογίζουµε το h () x() = 3 (aτ+b)dτ = 4 ] 3 aτ + bτ = 4 [ 3 a + b ] a( ) b( ) τ= Άρα y() = a + b a( ) b( ) [a( ) + b] = a + b = x() (x) Το h() γράφεται σαν h() = δ( + ) δ( ) Άρα x() h() = x( + ) x( ) =

15 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 5 + +, για +, για +, για, για +, για + Παρακάτω ϕαίνεται η γρ. παράσταση για =. Τι ϑα συµβέι όταν ; (xi) y() = x(τ)h( τ)dτ Το σήµα h(τ) είναι η ευθέια τ + για [, ]. Το σήµα h( τ) ϕαινεται παρακάτω. Το γεγονός ότι το x() είναι περιοδικό, σηµαίνει ότι και το y(), άρα υπολογίζουµε τη συνελιξη για µια µόνο περίοδο.

16 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 6 Για < < / y() = ( ( τ) + )dτ + τ τ / τ + ( τ + τ ) + τ τ= / ( τ) + dτ = τ= / = 4 + / ( τ )dτ + / ( + τ + )dτ = Για < < 3 / / y() = ( τ) + dτ + ( ( τ) + )dτ = ( + τ + )dτ + / τ + τ / + τ + (τ + τ ) τ = /4 τ= τ=/ / ( τ )dτ = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης σε µια περίοδο είναι : (xii) y() = h(τ)x( τ)dτ Το σήµα x( τ) ϕαινεται παρακάτω. Για < : y() =

17 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 7 Για > και < < < : y() = e τ + e τ (τ + ) = e + e ( ) τ= τ= e τ ( τ)dτ = e τ dτ + τe τ dτ = Για > και < < < 3 : y() = τe τ dτ = e τ τ= e τ τ= Για > και < 3 < < 4 : y() = e τ dτ + + e τ (τ + ) τ= e τ ( τ)dτ = e τ dτ = e τ e τ dτ + = e () + e ( e + 3e ) τ= = e e () e τ dτ + Για > > 4 : y() = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι : (xiii) y() = x(τ)h( τ)dτ Το σήµα h( τ) ϕαινεται παρακάτω.

18 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 8 Για < : y() = Για > και < < < έχουµε : y() = τdτ = τ τ= = Για > και < < < έχουµε : y() = ( ( τ) + )τdτ + τdτ = ( ) τ + τ 3 3 τ= + τ τdτ = τ= ( τ + τ + τ)dτ + = τdτ = (τ( ) + τ )dτ + Για > και < < < έχουµε : y() = ( ( τ) + )τdτ + τdτ = ( ) τ + τ 3 3 τ= τdτ = + τ τ= ( τ + τ + τ)dτ + = τdτ = (τ( ) + τ )dτ + Για > και < < < 3 έχουµε : y() = ( 3) 6 ( ( τ) + )τdτ = ( τ + τ + τ)dτ = (τ( ) + τ )dτ = ( ) τ + τ 3 3 τ= = Για > > 3: y() = Η γραφική παράσταση της συνέλιξης είναι :

19 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων 9 Ασκηση 6. (i) ίνοντας σαν είσοδο το δ( τ), η έξοδος του συστήµατος είναι h τ () = u( τ) u( τ) Μετατοπίζοντας την είσοδο κατα δηλαδή δίνοντας σαν είσοδο στο σύστηµα το δ( τ ) = δ( (τ + )), έχουµε στην έξοδο u( (τ + )) u( (τ + )) = u( τ ) u( τ ) (6.) Η µετατοπισµένη κατα τιµή της εξόδου είναι : h τ ( ) = u( τ) u( τ)(6.) Συγκρίνοντας τις (6.) και (6.) καταλήγουµε στο ότι το σύστηµα ΕΝ είναι χρονικά αµετάβλητο. (ii) Για τ < τό σύστηµα ΕΝ είναι αιτιάτο. Για παράδειγµα για είσοδο δ( + ) (δηλ. για τ = ) h() = u( + ) u( + ) για [, ], άρα όχι αιτιατό. Για τ τό σύστηµα είναι αιτιάτο. Για παράδειγµα για είσοδο δ( ) (δηλ. για τ = ) h() = u( ) u( ) = για <, άρα αιτιατό. (iii) (α) y () = x (τ)h τ ()dτ Τα x () και h T () ϕαίνονται παρακάτω : Άρα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : Για < : y() =

20 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Για > και < < < : y () = dτ = Για < 3 και > < < 3 : y () = /dτ = = Για > 3 και < 3 3 < < 6 : y () = 3 /dτ = 3 Για > 3 > 6: y() = (ϐ) y () = e + e / x (τ)h T ()dτ = e τ u(τ) [u( τ) u( τ)] dτ = / e τ dτ = e τ τ=/ =