x[n] = x a (nt s ), n Z (11.1)
|
|
- Αγαθίας Παπαντωνίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 11 Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ως τώρα, τα σήματα που μελετήσαμε ήταν ολα συνεχούς χρόνου. Σε αυτό το κεφάλαιο, ξεκινάμε τη μελέτη μας σχετικά με την επεξεργασία σημάτων διακριτού χρόνου αναπτύσσοντας πρώτα τις ιδέες του σήματος διακριτού χρόνου και του συστήματος διακριτού χρόνου. Θα επικεντρωθούμε σε προβλήματα που σχετίζονται με την αναπαράσταση σημάτων, πράξεις με σήματα, ιδιότητες σημάτων, ιδιότητες συστημάτων και ταξινόμηση αυτών, ακριβώς ανάλογα με όσα έχουμε ήδη συζητήσει για το συνεχή χρόνο. Τα σήματα διακριτού χρόνου ουσιαστικά βρίσκονται ένα βήμα πριν τα ψηφιακά σήματα. Πολλές φορές η σχετική βιβλιογραφία τιτλοφορείται Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος, αντί Επεξεργασία Σήματος Διακριτού Χρόνου. Σίγουρα έχετε ακούσει για τα πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων. Αυτά μπορούν να συνοψισθούν στα παρακάτω: 1. Τα ψηφιακά συστήματα έχουν μεγαλύτερη ακρίβεια και σταθερότητα, ενώ είναι πιο ευέλικτα (τα χαρακτηριστικά τους μπορούν εύκολα να αλλάξουν).. Μεγαλύτερη ποικιλία συστημάτων μπορούν να πραγματοποιηθούν στον ψηφιακό χώρο. 3. Τα ψηφιακά σήματα μπορούν να αποθηκευτούν εύκολα σε ένα αποθηκευτικό μέσο χωρίς αλλοίωση της ποιότητάς τους. 4. Για την επεξεργασία ψηφιακών σημάτων έχουν αναπτυχθεί πιο εξελιγμένοι αλγόριθμοι. 5. Τα ψηφιακά συστήματα μπορούν να κατασκευαστούν με χρήση ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, παρέχοντας χαμηλή κατανάλωση ισχύος. Ελπίζοντας να σας πείσαμε για τη χρησιμότητά τους, ας προχωρήσουμε Σήματα Διακριτού Χρόνου Ενα σήμα διακριτού χρόνου είναι μια διατεταγμένη ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών τιμών. Ετσι, ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι μια συνάρτηση της ακέραιας μεταβλητής, που συμβολίζεται ως x[]. Το σήμα διακριτού χρόνου δεν ορίζεται για μη ακέραιες τιμές του. Ετσι, ένα πραγματικό σήμα x[] αναπαρίσταται γραφικά οπως στο Σχημα (11.1). Τα σήματα διακριτού χρόνου συχνά προέρχονται από δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου, όπως η φωνή. Για παράδειγμα, ένα σήμα συνεχούς χρόνου x a (t) δειγματοληπτείται με ρυθμό f s = 1 T s rad/s, και παράγει ένα δειγματοληπτημένο σήμα x[], που σχετίζεται με το x a (t) ως x[] = x a (T s ), Z (11.1) Ομως, υπάρχουν και σήματα που δεν προήλθαν κατ αυτόν τον τρόπο. Κάποια σήματα υφίστανται εξ αρχής στο διακριτό χρόνο, όπως για παράδειγμα οι ημερίσιες τιμές των μετοχών, τα ετήσια στατιστικά πληθυσμών, το πλήθος των δρομολογίων ενός λεωφορείου ανά ημέρα, κλπ. Σε κάθε περίπτωση, θα καθιστούμε σαφές πότε ένα σήμα πρόερχεται από δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου και πότε υπάρχει εξ αρχής στο διακριτό χρόνο - θα είναι εμφανές από τα συμφραζόμενα. Εν γένει, ένα σήμα διακριτού χρόνου μπορει να ειναι μιγαδικό, και μάλιστα υπάρχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές, όπως οι ψηφιακές επικοινωνίες, όπου τα μιγαδικά σήματα έρχονται στο προσκήνιο πολύ εύκολα. Ενα
2 33 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα x[] Σχήμα 11.1: Σήμα Διακριτού Χρόνου μιγαδικό σήμα μπορει να εκφραστεί είτε ως άθροισμα του πραγματικού και του φανταστικού του μέρους z[] = a[] + jb[] = R{z[]} + ji{z[]} (11.) είτε σε πολική μορφή, με όρους πλάτους και φάσης ως z[] = z[] e j z[] = z[] e j {z[]} (11.3) όπου j = 1. Το πλάτος δίνεται από την έκφραση z[] = R {z[]} + I {z[]} (11.4) ενώ η φάση από τη σχέση 1 I{z[]} z[] = ta R{z[]} η οποία είναι επιθυμητό να εκφράζεται στο διάστημα [ π, π]. (11.5) Αν η z[] είναι μιγαδική ακολουθία, η συζυγής της είναι η z [], και μπορει να υπολογιστεί απλά αλλάζοντας το πρόσημο του φανταστικού μέρους της z[]: z [] = R{z[]} ji{z[]} = z[] e j {z[]} (11.6) Ασφαλώς, εμάς θα μας απασχολήσουν κυρίως πραγματικά σήματα, αλλά όπως και στο συνεχή χρόνο, θα χρησιμοποιήσουμε αρκετά το μιγαδικό χώρο προς διευκόλυνσή μας! Περιοδικά Σήματα Ενα σήμα διακριτού χρόνου μπορει να είναι ειτε περιοδικό είτε απεριοδικό. Ενα σήμα θεωρείται περιοδικό αν, για κάποιο θετικό ακέραιο N, ισχύει οτι x[] = x[ + N] (11.7) για κάθε. Η περιοδος, που συμβολίζεται ως N, ειναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί τη σχέση (11.7). Αν η σχέση αυτή δεν ικανοποειίται για κανένα ακέραιο N, το σήμα λέγεται απεριοδικό. Αν x 1 [] είναι ένα περιοδικό σημα με περίοδο N 1 και x [] ένα περιοδικό σήμα με περίοδο N, τότε το άθροισμα θα είναι πάντα περιοδικό και η περιοδός του θα είναι η x[] = x 1 [] + x [] (11.8) N = N 1 N Μ.Κ.Δ{N 1, N } (11.9)
3 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου 333 όπου Μ.Κ.Δ{N 1, N } είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των N 1, N, αν αυτός υπάρχει. Εναλλακτικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σχέση N = Ε.Κ.Π{N 1, N } (11.1) Ομοια ισχύει και για το γινόμενο, δηλ. το σημα x[] = x 1 []x [] (11.11) θα είναι περιοδικό με (πιθανή) περίοδο N που δίνεται από τη σχέση (11.9), αν και η πραγματική (μικρότερη) περιοδος μπορεί να είναι μικρότερη. Δεδομένης μιας ακολουθίας x[], ένα περιοδικό σήμα μπορει πάντα να δημιουργηθεί αντιγράφοντας το x[] ως y[] = x[ kn] (11.1) όπου N ένας θετικός ακέραιος. Σε αυτήν την περιπτωση, το y[] είναι περιοδικό με περιοδο N Ημίτονα Διακριτού Χρόνου Εδώ είναι καλό να αναφέρουμε ότι υπάρχει μια ιδιαιτερότητα στα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου, που τα ξεχωρίζει από αυτά που έχουμε δει στο συνεχή χρόνο. Θυμάστε ότι στο συνεχή χρόνο, ένα ημίτονο συχνότητας ω είναι πάντα περιοδικό με περίοδο T = π/ω. Στο διακριτό χρόνο όμως, ένα ημίτονο cos(ω ) είναι περιοδικό μόνον αν η περίοδός του, N, είναι ακέραιος αριθμός. Ας κάνουμε πιο ξεκάθαρα τα πράγματα... Αν ένα ημίτονο διακριτού χρόνου cos(ω ) είναι περιοδικό με περίοδο N, τότε ικανοποιεί τη σχέση cos(ω ) = cos(ω ( + N)) = cos(ω + ω N) (11.13) Αυτό το αποτέλεσμα είναι σωστό μόνον αν το ω N είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Δηλαδή ή αλλιώς ω N = πm, m ακέραιος (11.14) ω π = m (11.15) N Επειδή και το m και το N είναι ακέραιοι, η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι το ημίτονο που συζητάμε είναι περιοδικό μόνον αν ο αριθμός ω είναι ρητός (δηλ. γράφεται ως πηλίκο δυο ακεραίων). Σε αυτήν την περίπτωση, η περίοδος π δίνεται από τη σχέση N = m π (11.16) ω Για να βρούμε το N, πρέπει να διαλέξουμε το μικρότερο δυνατό m που θα κάνει το m π να είναι ακέραιος. Για ω παράδειγμα, αν ω = 4π, τότε ο μικρότερος δυνατός ακέραιος m που κάνει τον αριθμό mπ = m ω ακέραιο, είναι προφανώς m =. Για m =, η περίοδος είναι N = 17 δειγματα. Η ίδια ακριβώς συζήτηση γίνεται για οποιοδήποτε πιθανώς περιοδικό σήμα, όπως για παράδειγμα το e jω που είδαμε νωρίτερα, αφού αποτελείται από ένα άθροισμα πιθανώς περιοδικών σημάτων συχνότητας ω Μιγαδικά Εκθετικά Διακριτού Χρόνου Το μιγαδικό εκθετικό σήμα x d [] = e jω έχει επίσης μια ιδιαιτερότητα σε σχέση με το αντίστοιχο του συνεχούς χρόνου, x a (t) = e jωt. Αυτή η ιδιαιτερότητα είναι ότι το x d [] είναι πάντα περιοδικό στο χώρο της συχνότητας με περίοδο π, γιατί e j(ω+π) = e jω e jπ = e jω (11.17) αφού e jπ = 1, Z (11.18) Αυτό σημαίνει ότι για να καταλάβουμε - αργότερα - πώς συμπεριφέρεται ένα μιγαδικό εκθετικό αυτής της μορφής στο χώρο της συχνότητας, αρκεί να το παρατηρήσουμε σε διάστημα μιας περιόδου π, αφού εκτός αυτής επαναλαμ-
4 334 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα βάνεται. Συνήθως προτιμούμε το διάστημα ( π, π]. Φυσικά εξακολουθούν να ισχύουν οι σχέσεις του Euler και για τα μιγαδικά εκθετικά διακριτού χρόνου. 1 Αυτή η περιοδικότητα στο χώρο της συχνότητας μας λέει πρακτικά ότι οι συχνότητες ω και ω + πk είναι ουσιαστικά ίδιες. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με όσα ξέρατε από το συνεχή χρόνο, ότι δηλαδή όσο αυξάνουμε τη συχνότητα, τόσο πιο γρήγορα ταλαντώνεται ένα σήμα. Για παράδειγμα, το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) = cos(ω t) (11.) ταλαντώνεται όλο και πιο γρήγορα αν αυξάνουμε συνεχώς τη συχνότητα Ω. Για ένα ημίτονο διακριτού χρόνου x[] = cos(ω ) (11.3) όσο αυξάνουμε τη συχνότητα ω από το ω = ως το ω = π, τότε πράγματι οι ταλαντώσεις του γίνονται όλο και πιο γρήγορες. Ομως, όταν αυξήσουμε το ω από ω = π ως ω = π, τότε οι ταλαντώσεις του γίνονται όλο και πιο αργές! Το ίδιο μοτίβο επαναλαμβάνεται και μετά το ω = π, ξεκινώντας από γρήγορες ταλαντώσες γύρω από το π, φτάνοντας σε πιο αργές γύρω από το 3π, και ξανά σε πιο γρήγορες γύρω από το ω = 4π. Αντίστοιχα, στο διάστημα ( π, π], οι γρήγορες ταλαντώσεις γίνονται γύρω από τις συχνότητες ω = ±π, ενώ οι πιο αργές (προφανώς) γύρω από τη συχνότητα ω =. Για ένα οπτικό παράδειγμα, δείτε το Σχήμα (11.). Εν γένει λοιπόν, οι συχνότητες γύρω από περιοχές κοντά στη συχνότητα ω = πk, για k Z, αναφέρονται ως χαμηλές συχνότητες, ενώ οι αντίστοιχες γύρω από περιοχές της μορφής ω = π + πk, για k Z, λέγονται υψηλές συχνότητες. 11. Μετασχηματισμοί Σημάτων Συχνά, θέλουμε να τροποποιήσουμε τα σήματα μέσω του δεικτη τους,. Δηλ. θέλουμε να κάνουμε ένα μετασχηματισμό της μορφης y[] = x[f[]] (11.4) με f[] μια συνάρτηση του. Οι πιο συχνοί μετασχηματισμοί περιλαμβάνουν την ολίσθηση, την αντιστροφή, και την κλιμάκωση. Ας τις δούμε αναλυτικά Χρονική ολίσθηση Η ολίσθηση οριζεται ως ο μετασχηματισμός της μορφής f[] = (11.5) Αν y[] = x[ ], το x[] μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά δείγματα, αν το είναι θετικός (αναφερεται ως καθυστέρηση), ενώ μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά δειγματα, αν το είναι αρνητικό (αναφέρεται ως προήγηση-προπόρευση) Χρονική Αντιστροφή Η αντιστροφή ορίζεται ως ο μετασχηματισμός και απλά ειναι η αντιστροφή του σηματος στο χρόνο, ως προς Κλιμάκωση στο χρόνο Η κλιμάκωση στο χρόνο ορίζεται ως 1 Ντροπή, αλλά τις υπενθυμίζουμε :) f[] = (11.6) f[] = M ή f[] = /N (11.7) cos(θ) = ejθ + e jθ si(θ) = ejθ e jθ j (11.19) (11.) (11.1) Τις οποίες γνωρίζετε ήδη από το συνεχή χρόνο.
5 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου 335 (α) x[] (β) (γ) (δ) x[] Σχήμα 11.: Το σήμα cos(ω ) για διάφορες τιμές του ω. Οσο το ω αυξάνεται από το μηδέν προς το π (σχήματα α-δ), τόσο γρηγορότερα ταλαντώνεται το σήμα. Οσο το ω αυξάνεται από το π προς το π (σχήματα δ-α), τόσο πιο αργές γίνονται οι ταλαντώσεις του.
6 336 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα όπου M, N είναι θετικοί ακέραιοι. Στην πρώτη περιπτωση, το σήμα x[m ] σχηματίζεται παίρνοντας κάθε M- οστο δείγμα από τη x[] (αυτή η πράξη λέγεται υποδειγματοληψία - dowsamplig). Με f[] = /N, το σήμα y[] = x[f[]] ορίζεται ως x[/n], =, ±N, ±N, y[] = (11.8), αλλιώς (η πράξη αυτή ειναι γνωστη ως υπερδειγματοληψία - upsamplig). Σχήμα 11.3: Χρονικοί μετασχηματισμοί: (α) Σήμα Διακριτού Χρονου, (β) Καθυστέρηση κατά Αναστροφή, (δ) Υποδειγματοληψία κατά, (ε) Υπερδειγματοληψία κατά =, (γ) Παραδείγματα ολίσθησης, αναστροφής, και κλιμάκωσης στο χρόνο φαίνονται στο Σχήμα (11.3). Προσέξτε, οι πράξεις αυτές εξαρτώνται από τη σειρά που θα τις εφαρμόσετε Μερικά Χρήσιμα Μοντέλα Σημάτων Αν και τα περισσότερα σήματα που θα συναντήσουμε στην πράξη μοιάζουν πολύπλοκες συναρτήσεις του χρόνου, υπάρχουν τρια απλά αλλά πολύ σημαντικά σήματα διακριτού χρόνου που χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στην περιγραφη και αναπαράσταση πιο περίπλοκων σημάτων. Αυτά τα σήματα είναι η διακριτή συνάρτηση Δέλτα, η διακριτή βηματική συνάρτηση, και η εκθετική συνάρτηση.
7 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Η Διακριτή Συνάρτηση Δέλτα Η διακριτή συνάρτηση Δέλτα, που συμβολίζεται με δ[], ορίζεται ως 1, = δ[] =, αλλιώς (11.9) και παιζει τον ίδιο ρολο στην επεξεργασία σήματος διακριτού χρόνου με τη συνάρτηση Δέλτα δ(t) που έχουμε δει στο συνεχή χρόνο, με τη διαφορά ότι εδώ είναι σημαντικά πιο απλή στη χρήση και στον ορισμό της 3 Η συνάρτηση αυτή φαίνεται στο Σχήμα (11.4). x[] Σχήμα 11.4: Η συνάρτηση Δέλτα διακριτού χρόνου Η Διακριτή Βηματική Συνάρτηση Η διακριτή βηματική συνάρτηση, που συμβολίζεται με u[], ορίζεται ως 1, u[] =, αλλιώς (11.3) και σχετίζεται με τη διακριτή συνάρτηση Δέλτα ως αλλά και ως u[] = u[] = k= δ[k] (11.33) δ[ k] (11.34) Η συνάρτηση αυτή φαίνεται στο Σχήμα (11.5). Ομοια, η διακριτή συνάρτηση Δέλτα μπορει να γραφεί ως η διαφορά δυο βηματικών που διαφέρουν κατά ένα δείγμα: δ[] = u[] u[ 1] (11.35) 3 Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση Δέλτα συνεχούς χρόνου, δ(t), είναι κατανομή - ή αλλιώς γενικευμένη συνάρτηση - και ορίζεται από τις εξής ιδιότητες: δ(t) =, t, (11.3) + δ(t)dt = 1 (11.31)
8 338 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα 1 x[] Σχήμα 11.5: Η βηματική συνάρτηση διακριτού χρόνου Η Εκθετική Συνάρτηση Τέλος, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως x[] = a (11.36) όπου a ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός. Γενικότερα, μας ενδιαφέρουν εκθετικά του τύπου x[] = a (11.37) με, a μιγαδικά. Τότε, αναλύοντας τα, a σε πολική μορφή, θα έχουμε = e jφ (11.38) και a = a e jφa (11.39) έχουμε x[] = a = e jφ a e jφa = a e j(φ +φ a) (11.4) Στο Σχήμα 11.6 φαίνονται δυο πραγματικά εκθετικά σήματα για < a < 1 και a > 1, αντίστοιχα. Επίσης, (α) a u[], < a < 1 (β) a u[], a > 1 Σχήμα 11.6: Εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου για (α) < a < 1 και (β) a > 1. ιδιαίτερου ενδιαφέροντος είναι τα μιγαδικά εκθετικά σήματα της μορφής e jω = cos(ω ) + j si(ω ) (11.41) με ω πραγματικό αριθμό εκφρασμένο σε radias-ακτίνια. Σχηματικά, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος φαίνονται στο Σχήμα Οπως θα δούμε σύντομα, οι μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις είναι πολύ χρήσιμες στην ανάλυση Fourier των σημάτων διακριτού χρόνου όσο χρήσιμα ήταν τα αντίστοιχα συνεχή μιγαδικά εκθετικά στην ανάλυση σημάτων συνεχούς χρόνου. Αν συνδυάσουμε τη Σχέση (11.41) και τη Σχέση (11.4) για πραγματικό a, θα έχουμε x[] = a e jω = a e j(ω+φ ) = a cos(ω + φ ) + j a si(ω + φ ) (11.4)
9 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου 339 (α) cos(ω ) (β) si(ω ) Σχήμα 11.7: (α) Πραγματικό και (β) φανταστικό μέρος μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου e jω. Αυτή η ακολουθία ταλαντώνεται με αυξανόμενο πλάτος αν a > 1, ή με φθίνον πλάτος αν a < 1. Για a = 1, το σήμα αποτελείται από απλά ημίτονα και συνημίτονα σταθερού πλάτους. Ακριβώς ανάλογα λοιπόν με το συνεχή χρόνο, ορίζουμε την ποσότητα ω ως τη συχνότητα του σήματος, και την ποσότητα φ ως φάση του σήματος Ανάλυση Σήματος Η διακριτή συνάρτηση δ[] μπορει να χρησιμοποιηθεί για να αναλύσει ένα σήμα σε ένα άθροισμα συναρτήσεων Δέλτα με κατάλληλα βαρη και μετατοπίσεις ως x[] = + x[ 1]δ[ + 1] + x[]δ[] + x[1]δ[ 1] + x[]δ[ ] + (11.43) = x[k]δ[ k] (11.44) όπου κάθε όρος του αθροίσματος, x[k]δ[ k], είναι ένα σήμα που έχει πλάτος x[k] τη χρονική στιγμή = k και ειναι μηδέν όλες τις άλλες χρονικές στιγμές. Παράδειγμα: Εκφράστε το σήμα 1, = x[] =, = 1 3, =, αλλού (11.45) ώς ένα άρθοισμα κατάλληλα μετατοπισμένων συναρτήσεων Δέλτα. Λύση: Θα πούμε ότι Μπορούμε να προχωρήσουμε περαιτέρω αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση x[] = δ[] + δ[ 1] + 3δ[ ] (11.46) δ[] = u[] u[ 1] (11.47) έχουμε που δίνει x[] = u[] u[ 1] + (u[ 1] u[ ]) + 3(u[ ] u[ 3]) (11.48) x[] = u[] + u[ 1] + u[ ] 3u[ 3] (11.49)
10 34 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα 11.5 Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Διακριτού Χρόνου Ακολουθώντας παρόμοιο σκεπτικό όπως στο συνεχή χρόνο, η ενέργεια ενός σήματος διακριτού χρόνου είναι E x = = x[] (11.5) Για να έχει νόημα αυτή η μετρική θα πρέπει, όπως φαντάζεστε, να είναι πεπερασμένη (να μην απειρίζεται δηλαδή). Μια αναγκαία συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι ότι το πλάτος του σήματος πρέπει να φθίνει στο μηδέν όσο ±. Φυσικά, οποιοδήποτε σήμα πεπερασμένης διάρκειας είναι σήμα ενέργειας (ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη). Ενα σήμα που η ενέργειά του είναι πεπερασμένη λέγεται σήμα ενέργειας. Σε περιπτώσεις όπου το πλάτος του σήματος δε φθίνει στο μηδέν όταν ±, χρειαζόμαστε μια εναλλακτική μετρική. Αυτή δεν είναι άλλη από την ισχύ του σήματος, που ορίζεται ως 1 P x = lim N N + 1 N = N x[] (11.51) Αν η P x είναι πεπερασμένη (και μη μηδενική), τότε το σήμα λέγεται σήμα ισχύος. Οπως και στο συνεχή χρόνο, ένα σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να είναι είτε σήμα ενέργειας είτε σήμα ισχύος, αλλά όχι και τα δυο ταυτόχρονα. Επίσης, μπορεί να μην είναι ούτε ενέργειας ούτε ισχύος (όπως π.χ. το u[]). Στον υπολογισμό τέτοιων αθροισμάτων μας - αλλά και γενικότερα - είναι πολύ χρήσιμες οι σχέσεις του Πίνακα (11.1). Χρήσιμα Αθροίσματα (Σειρές) N 1 = N 1 = a = 1 an 1 a a = (N 1)aN+1 Na N + a (1 a) N 1 = N = 1 N 1 N(N 1) a = an1 an+1 1 a =N 1 = = = a = 1 1 a, a < 1 a = a (1 a), a < 1 = 1 N(N 1)(N 1) 6 Πίνακας 11.1: Χρήσιμα Αθροίσματα. Παράδειγμα: Εστω το σήμα (αʹ) Υπολογίστε το (βʹ) Υπολογίστε την ενέργεια του x[], ( 3 ) u[ ] x[] = (11.5) = E = = = x[] x [] Λύση: (αʹ) Θα είναι = x[] = ( 3 u[ ] ( 3 ) = (11.53) ) = = =
11 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου 341 Με αλλαγή μεταβλητής, k ( ), έχουμε = ( 3 = ) + ( 3 k = ) + ( ) k (11.54) 3 = k= k= και με χρήση του Πίνακα (11.1), έχουμε = = 3 (11.55) (βʹ) Είναι E = x [] = = = Ξανά με αλλαγή μεταβλητής, k, έχουμε ( ) (3 ) u [ ] = = ( 3 ) (11.56) E = ξανά με χρήση του Πίνακα (11.1). ( 3 k = ) + ( k = 3) + ( 4 ) k 1 = k= k= k= = 9 5 (11.57) 11.6 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Οπως είδαμε και στο συνεχή χρόνο, ένα συστημα διακριτού χρόνου είναι, θεωρητικά, ένας μαθηματικός τελεστης ή μια αντιστοίχιση που μετασχηματίζει ένα σήμα (την είσοδο) σε ένα άλλο σήμα (την έξοδο), μέσω ενός καθορισμένου συνόλου από πράξεις. Η σημειογραφεία T [ ] χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει εν γένει ένα σύστημα. Οι ιδιότητες εισόδου-εξόδου ενός συστήματος μπορούν να καθοριστούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Η σχέση εισόδου-εξόδου μπορεί, για παράδειγμα, να εκφραστει ως ή y[] = x [] (11.58) y[] = 1 y[ 1] + x[] (11.59) Είναι επίσης δυνατόν να περιγραφει ένα σύστημα με αλγοριθμικούς όρους, που αποτελείται από εντολές ή πράξεις που εφαρμόζονται σε ενα σήμα εισόδου, όπως οι y 1 [] = 1 y 1[ 1] + 1 x[] (11.6) 4 y [] = 1 4 y [ 1] + 1 x[] (11.61) y 3 [] = 4 1 y 3[ = 1] + 1 x[] (11.6) y[] = y 1 [] + y [] + y 3 [] (11.63) Τέλος, ένα σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως ένα σήμα h k [], που λέγεται κρουστική απόκριση, και ορίζεται ως η έξοδος του συστήματος όταν στην είσοδό του εμφανιστεί η διακριτή συνάρτηση Δέλτα, δ[ k], όμοια ακριβώς με το συνεχή χρόνο. Τα συστηματα διακριτού χρονου μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με τις ιδιότητες που έχουν, όπως ακριβώς αυτά του συνεχούς χρόνου! Οι πιο συνήθεις ιδιότητες που μας ενδιαφερουν είναι η παρουσία μνήμης, η γραμμικότητα, η η χρονική αμεταβλητικότητα, η αιτιατότητα, και η ευστάθεια. Αυτές οι ιδιότητες, μαζι με μερικές ακόμα, περιγράφονται παρακάτω Κατηγορίες Συστημάτων Ας δούμε λοιπόν αυτές τις κατηγορίες, μαζί με χαρακτηριστικά παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα.
12 34 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Σύστημα με Μνήμη Η πρώτη κατηγορία αφορά το αν ένα σύστημα έχει ή όχι μνήμη. Ενα σύστημα λέμε οτι είναι χωρίς μνήμη αν η έξοδος σε μια χρονική στιγμή = εξαρτάται μόνο από την είσοδο τη χρονική στιγμή =. Με άλλα λόγια, ένα σύστημα είναι χωρίς μνήμη αν, για κάθε, μπορούμε να βρούμε την τιμή y[ ] δεδομένης μόνο της τιμής x[ ]. Παραδειγμα: Το σύστημα y[] = x [] ειναι χωρίς μνήμη γιατι το y[ ] εξαρτάται μόνο από την τιμή x[ ]. Αντίθετα, το συστημα y[] = x[] + x[ 1] είναι με μνήμη, γιατι για τον υπολογισμό του y[ ] χρειαζόμαστε και την τιμή x[ 1], εκτος απ την x[ ] Αθροιστικό Σύστημα Ενα σύστημα λέγεται αθροιστικό αν ισχύει T [x 1 [] + x []] = T [x 1 []] + T [x []] (11.64) για οποιαδήποτε σήματα x 1 [] και x [] Ομογενές Σύστημα Ενα σύστημα λέμε ότι είναι ομογενές αν η κλιμάκωση της εισόδου με μια σταθερά έχει ως αποτέλεσμα την κλιμάκωση της εξόδου με την ίδια σταθερά. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι αν για οποιαδήποτε μιγαδική σταθερά c για κάθε σήμα εισόδου x[]. T [cx[]] = ct [x[]] (11.65) Παράδεγιμα: Το σύστημα που ορίζεται ως δεν είναι αθροιστικό γιατί που δεν είναι το ίδιο με το y[] = x [] x[ 1] T [x 1 [] + x []] = (x 1[] + x []) x 1 [ 1] + x [ 1] T [x 1 []] + T [x []] = x 1[] x 1 [ 1] + x [] x [ 1] Το σύστημα, όμως, είναι ομογενές, γιατί για είσοδο cx[], η έξοδος (11.66) (11.67) (11.68) T [cx[]] = (cx[]) cx[ 1] = c x [] = ct [x[]] (11.69) x[ 1] Από την άλλη μεριά, το σύστημα που ορίζεται από τη σχέση y[] = x[] + x [ 1] (11.7) είναι αθροιστικό (δείξτε το! :-) ) αλλά δεν είναι ομογενές, γιατι T [cx[]] = cx[] + c x [ 1] ct [x[]] = cx[] + cx [ 1] (11.71) Γραμμικά Συστήματα Ενα συστημα λέγεται γραμμικό αν είναι αθροιστικό και ομογενές. Δηλ. ένα σύστημα είναι γραμμικό αν T [a 1 x 1 [] + a x []] = a 1 T [x 1 []] + a T [x []] (11.7) για δυο εισόδους x 1 [] και x [] για δυο οποιεσδηποτε σταθερές a 1, a.
13 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου 343 Παράδεγιμα: Το σύστημα είναι γραμμικό. Γιατί: Για είσοδο x 1 [], η έξοδος θα είναι Για είσοδο x [], η έξοδος θα είναι Τέλος, για είσοδο a 1 x 1 [] + a x [], η έξοδος θα είναι Παράδεγιμα: Τα συστήματα είναι μη γραμμικά. Επιβεβαιώστε το! :-) y[] = x[ 1] + x[] (11.73) y 1 [] = x 1 [ 1] + x 1 [] (11.74) y [] = x [ 1] + x [] (11.75) y 3 [] = (a 1 x 1 [ 1] + a x [ 1]) + (a 1 x 1 [] + a x []) (11.76) = a 1 x 1 [ 1] + a x [ 1] + a 1 x 1 [] + a x [] (11.77) = a 1 x 1 [ 1] + a 1 x 1 [] + a x [ 1] + a x [] (11.78) = a 1 (x 1 [ 1] + x 1 [ 1]) + a (x [ 1] + x []) (11.79) = a 1 T [x 1 []] + a T [x []] = a 1 y 1 [] + a y [] (11.8) y[] = log 1 ( x[] ) (11.81) y[] = x [ ] (11.8) 1 y[] =, x[], (11.83) x[] Η γραμμικότητα απλοποιεί πάρα πολύ την απόκριση ενός συστηματος σε μια δεδομένη είσοδο. Για παράδειγμα, η εξοδος ενός συστηματος για είσοδο όπως η Σχέση (11.44), είναι [ ] y[] = T [x[]] = T x[k]δ[ k] = T [x[k]δ[ k]] (11.84) Επειδή οι τιμές x[k] είναι αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της ομογένειας και να έχουμε y[] = T [x[k]δ[ k]] = x[k]t [δ[ k]] (11.85) Αν ορίσουμε ότι h k [] την απόκριση του συστήματος σε μια συνάρτηση Δέλτα τη χρονική στιγμή = k, δηλ. h k [] = T [δ[ k]] (11.86) και άρα θα έχουμε το οποίο και είναι γνωστο ως υπέρθεση. y[] = x[k]h k [] (11.87) Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα Ενα σύστημα λέμε οτι ειναι χρονικά αμετάβλητο αν μια καθυστέρηση στην είσοδο κατά δείγματα έχει ως αποτέλεσμα την καθυστέρηση της εξόδου κατά δείγματα. Πιο μαθηματικά :-), έστω y[] η έξοδος ενός συστήματος για μια εισοδο x[]. Το σύστημα λέμε ότι είναι χρονικά αμετάβλητο αν για κάθε καθυστέρηση, η απόκριση στην είσοδο x[ ] ειναι η y[ ]. Για να ελέγξουμε αν ένα σύστημα ειναι χρονικά αμετάβλητο, πρέπει να συγκρινουμε τα σήματα y[ ] και T [x[ ]]. Αν είναι ίδια, τότε το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Εναλλακτικά, μπορούμε να ελέγξουμε τους συντελεστές της εισόδου x[] στην αναπαράσταση y[] = T {x[]}. Αν είναι σταθεροί, τότε το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Αν όχι, αν δηλαδή οι συντελεστές εξαρτώνται από το χρόνο, τότε το σύστημα είναι
14 344 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα χρονικά μεταβλητό. Παράδειγμα: Το σύστημα που ορίζεται ως y[] = x[k] (11.88) και λέγεται αθροιστής, είναι χρονικά αμετάβλητο. Ας το δείξουμε. Εστω η είσοδος x 1 [] = x[ ]. Θα πρέπει να υπολογίσουμε την έξοδο y 1 [] για την είσοδο αυτή, καθώς και το σήμα y[ ]. Εχουμε ότι Με αλλαγή μεταβλητής u k, θα έχουμε Ας υπολογιίσουμε και το y[ ]. Είναι y 1 [] = y 1 [] = T [x 1 []] (11.89) = x 1 [k] (11.9) = y[ ] = x[k ] = x[k ] (11.91) u= x[u] (11.9) x[k] (11.93) Προφανώς οι Σχέσεις (11.9),(11.93) είναι ισοδύναμες (τα u, k είναι μεταβλητές με τον ίδιο ρόλο και στις δυο σχέσεις). Άρα ισχύει y 1 [] = y[ ]. Άρα το σύστημά μας είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα: Το σύστημα που ορίζεται ως y[] = x [] (11.94) ειναι χρονικά αμετάβλητο. Η απόκριση του συστήματος στην είσοδο x 1 [] = x[ ], είναι y 1 [] = [x[ ]] = x [ ]. Ομως, προφανώς ισχύει ότι y 1 [] = y[ ], άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα: Το σύστημα y[] = x[] (11.95) είναι χρονικά μεταβλητό. Η έξοδος του συστήματος, y 1 [], για είσοδο x 1 [] = x[ ] είναι y 1 [] = x[ ]. Ομως, η y[ ] ισούται με y[ ] = ( )x[ ], που προφανώς είναι διαφορετική από την y 1 []. Άρα το σύστημα δεν είναι χρονικά αμετάβλητο. Μπορεί κανείς να αποδείξει τη χρονική μεταβλητότητα με κάποιο αντιπαράδειγμα Αιτιατά Συστήματα Μια ιδιότητα ιδιαίτερα σημαντική για πραγματικές εφαρμογές είναι η αιτιατότητα, η οποία λέει ότι η απόκριση ενός συστηματος τη χρονική στιγμή εξαρταται μόνο από τις χρονικές στιγμές ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ τη χρονική στιγμή =. Για ένα αιτιατο σύστημα, οι αλλαγές στην έξοδο δεν μπορεί να προηγούνται από αλλαγές στην είσοδο. Παράδειγμα: Το σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y[] = x[]+x[ 1] είναι αιτιατο γιατι η τιμή της εξόδου τη χρονική στιγμή = εξαρτάται μόνο από τις τιμές εισόδου x[] στις χρονικές στιγμές και 1. Αντίθετα, το σύστημα y[] = x[] + x[ + 1] δεν είναι αιτιατό, γιατι η έξοδος τη χρονική στιγμή εξαρτάται από την τιμή της εισόδου τις χρονικές στιγμές και + 1.
15 Κεφάλαιο 11. Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ευσταθή Συστήματα Ενα σύστημα λέγεται ευσταθές, αν ισχύει ότι για φραγμένη είσοδο, x[] < B x, η έξοδος είναι επίσης φραγμένη, y[] < B y, με B x, B y πραγματικούς αριθμούς. Παράδειγμα: Ο αθροιστής προηγούμενου παραδείγματος ΔΕΝ είναι ευσταθές σύστημα, γιατί αν η είσοδος είναι φραγμένη, x[] < B x, τότε η έξοδος είναι y[] = x[k] x[k] < B x (11.96) Αντίθετα, το σύστημα είναι ευσταθές, γιατί αν x[] < B x, τότε y[] = x [] + si(x[]) (11.97) y[] = x [] + si(x[]) x [] + si(x[]) < B x + 1 (11.98) αφού si(θ) 1.
x[n] = x a (nt s ) (1)
Εισαγωγη στα Σήματα και τα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Σεπτεμβρίου 015 1 Σήματα και
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 1: Σήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Σήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Διαφορές Αναλογικής Ψηφιακής Επεξεργασίας Παραγωγή Ψηφιακών
Διαβάστε περισσότερα1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ
. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,
Διαβάστε περισσότερα7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε
Διαβάστε περισσότερα20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier
ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕπικοινωνίες στη Ναυτιλία
Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότερα3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα
3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 10: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά
Διαβάστε περισσότεραx[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)
Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την
Διαβάστε περισσότεραΣήματα- συμβολισμοί. x(n)={x(n)}={,x(-1),x(0), x(1),.} x(n)={0,-2,-3, -1, 0, 1, 2, 3, 4,0 }
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1-1 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-1),x(), x(1),. x()={,-2,-3,-1,, 1, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-1),x(), x(1),.} x()={,-2,-3, -1,,
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότερα= R{(a + jb)e j2π 3 4 t } (6) a + jb = j2.707 = e j π (7) A = (9) f 0 = 3 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραy[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)
Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /6 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/6
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σήματος
Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Εργαστήριο 3 Εισαγωγή στα Σήματα Αλέξανδρος Μανουσάκης Τι είναι σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραX(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s
Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας
HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/62 Πληροφορίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /62 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, }
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος
Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΟ μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()
Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότερα(γ) (δ) x(t) = x(t + T 0 ), t (2.1)
Κεφάλαιο Σήματα και Συστήματα. Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο, θα συζητήσουμε ορισμένα βασικά θέματα των σημάτων, με έμφαση στα σήματα συνεχούς χρόνου. Επιπλέον, θα εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες και
Διαβάστε περισσότεραc xy [n] = x[k]y[n k] (1)
Συνέλιξη Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 6 Οκτωβρίου 2015 1 Εισαγωγή Η συνέλιξη αποτελεί μια πράξη πολύ σημαντική,
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟ Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ
Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά
Διαβάστε περισσότεραx(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5)
Κεφάλαιο 7 Συστήματα στο χώρο του Laplace 7. Εισαγωγή Ο μετασχ. Laplace είναι ένα πολύτιμο εργαλείο για την ανάλυση συστημάτων. Η ικανότητά του να ερμηνεύει συχνοτικά πλήθος σημάτων, σημαντικά περισσότερων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 3: Εισαγωγή στα Συστήματα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 3: Εισαγωγή στα Συστήματα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Συστήματα 1. Ορισμός και Κατηγορίες Συστημάτων Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Συστήματα Διακριτού
Διαβάστε περισσότεραΕξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»
Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΟ ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011
Εισαγωγή στα Σήματα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Τι είναι ένα σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραy[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)
Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος Τα κεφάλαια του μαθήματος 1 ο κεφάλαιο: Σήματα & Συστήματα 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση Fourier 3 ο κεφάλαιο: Απόκριση κατά συχνότητα 4 ο κεφάλαιο: Δειγματοληψία
Διαβάστε περισσότεραΣ. Φωτόπουλος -1- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο 2 ο
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Περιγράψτε τα σήµατα που φαίνονται στο σχήµα. χρησιµοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ[]. x[] + x[] + + + + + (a) (b) -.5 Σχήµα.
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c
ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ. 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού. 2. Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση. (απλά ηλεκτρικά στοιχεία)
ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία) 2. Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση 2019Κ1-1 ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ 2019Κ1-2 ΤΙ
Διαβάστε περισσότεραΠροηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών
Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΟ αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +
Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»
Διαβάστε περισσότεραX k e j2πkf0t = x(t) = x(t)e j2πkf0t dt (6.2)
Κεφάλαιο 6 Ο Μετασχηματισμός Fourier 6. Εισαγωγή στο Μετασχ. Fourier Ο μετασχ. Fourier ορίζεται εύκολα ως η επέκταση των σειρών Fourier, όταν η περίοδος του σήματος τείνει στο άπειρο, όταν δηλαδή το σήμα
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότερα3. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση. y[n] = x[n]-2x[n-1] y[n] = x[n]-2x[1-n]
1. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y[] = x[]+x[-1]+2 για το σύστημα ισχύει η αρχή της: Α) Ομογένειας Β) Επαλληλίας Γ) Γραμμικότητας. Δ) Χρονικής αμεταβλητότητας. 2. Δίνεται ψηφιακό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 206 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 25/0/206 Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις
Διαβάστε περισσότερα3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier
3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότερα2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.
2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς
Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραx[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n +
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //6 Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτός Μετασχηματισμός Fourier
Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t,
Διαβάστε περισσότερα2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα
Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμός Z. Κυριακίδης Ιωάννης 2011
Μετασχηματισμός Z Κυριακίδης Ιωάννης 20 Τελευταία ενημέρωση: /2/20 Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός- είναι ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη διακριτών σημάτων και συστημάτων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί:
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»
Διαβάστε περισσότεραΗΥ215 - Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΗΥ215 - Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς ΔΙΑΛΕΞΗ 16 Η Μετασχηματισμός Laplace Ο Μετασχηματισμός Laplace (review) Ο Μετασχηματισμός Laplace (review) Ορισμός Μετασχ. Laplace X s = + x t e st dt (γ )
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Θ.Ε. ΠΛΗ (0-3) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στόχος της άσκησης είναι η εξοικείωση με γραφικές παραστάσεις βασικών σημάτων και πράξεις, καθώς και τον υπολογισμό ΜΣ Fourier βασικών σημάτων με τη χρήση
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3)
Διαβάστε περισσότερα() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.
Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :
Διαβάστε περισσότεραP x = X k 2 (2) = = p = 78% (5)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 08-9 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Εξέταση Προόδου - Λύσεις Θέµα - Βαθµός : 5 Ενα πραγµατικό
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου
Διαβάστε περισσότερα. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.
O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα
Διαβάστε περισσότεραΔομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Κεφάλαιο 7 ο Ταξινόμηση Συστημάτων Κρουστική Απόκριση Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΜερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.
Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και
Διαβάστε περισσότερα2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier
2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό
Διαβάστε περισσότερα