ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) α, β, 3γ Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη : λα απνδείμεηε όηη : =60º θαη αληηζηξόθσο 3 ε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ λα δείμεηε όηη ηζρύεη : 3 ( a ) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη : β =, γ = 6 θαη =, λα ππνινγηζζεί ην κήθνο ηεο πξνβνιήο ηεο δηακέζνπ ζηελ πιεπξά ΒΓ 5 ε νμπγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θέξλνπκε ην ύςνο ΓΓ Να απνδεηρζεί όηη : 6 ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) πξνεθηείλνπκε ηελ πιεπξά ΒΓ θαηά ηκήκα ΓΓ=ΒΓ Να απνδείμεηε όηη : 7 Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη έζησ Γ έλα ζεκείν ηεο ΒΓ Να δεηρζεί όηη : 8 Αλ νη δηαγώληνη ΑΓ, ΒΓ ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ ηέκλνληαη θάζεηα,λα απνδείμεηε όηη 9 Γίλεηαη θύθινο (Κ, ) θαη έλα ζεκείν Ρ ώζηε ΡΚ = 1 Αλ ΑΒ είλαη ρνξδή πνπ δηέξρεηαη από ην Ρ κε ΑΒ =, λα ππνινγίζεηε ηα ηκήκαηα ΡΑ, ΡΒ R 10 Έλα ζεκείν Α απέρεη απόζηαζε από ην θέληξν ελόο θύθινπ αθηίλαο R Μηα ρνξδή ΒΓ ηνπ θύθινπ δηέξρεηαη από ην Α θαη δηαηξείηαη από ην Α ζε ιόγν 1 Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο ρνξδήο ΒΓ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 11 Από ζεκείν Μ ελόο θύθινπ (O, R) θέξλνπκε έλα εθαπηόκελν ηκήκα ΜΑ θαη κηα ηέκλνπζα ΜΒΓ ηνπ θύθινπ Να απνδείμεηε όηη : 1 Αλ ε δηάκεζνο ΑΜ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ πξνεθηεηλνκέλε ηέκλεη ηνλ πεξηγεγξακκέλν ηνπ θύθιν ζην Δ, ηόηε λα δείμεηε 13 Αλ ε πξνέθηαζε ηεο δηρνηόκνπ ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέκλεη ηνλ πεξηγεγξακκέλν ηνπ θύθιν ζην ζεκείν Δ, ηόηε ηζρύνπλ νη ζρέζεηο : (i) θαη (ii) 1 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν (O, R) κε R 3 θαη R Από ην Ο θέξλνπκε παξάιιειε ζηελ ΒΓ πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ, ΑΓ ζηα Κ,Λ αληίζηνηρα Να βξεζνύλ : (i) ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΒΚΛΓ θαη (ii) ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηνλ θύθιν θαη ην ηξίγσλν 15 Γύν θύθινη (K, R) θαη (Λ, ρ) εθάπηνληαη εμσηεξηθά ζην ζεκείν Α Έζησ ΑΖ = d ε απόζηαζε ηνπ Α από ηελ θνηλή εμσηεξηθή εθαπηνκέλε ησλ δύν θύθισλ 1 1 Να απνδεηρζεί όηη : d R 16 ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξλνπκε ηελ δηάκεζν ΑΜ θαη θαηαζθεπάδνπκε γσλία, όπνπ Ρ αλήθεη ζηελ ΑΓ Από ην Ρ θέξλνπκε παξάιιειε ζηελ ΒΓ πνπ ηέκλεη ηελ ΑΜ ζην Κ Να απνδεηρζεί όηη : 17 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) Φέξλνπκε ην ύςνο ΑΓ θαη γξάθνπκε θύθιν (Γ, ΓΑ) ν νπνίνο ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην Δ θαη ηελ ΑΓ ζην Ε Να απνδεηρζνύλ : (i) ηα ηξίγσλα ΑΒΓ, ΑΔΕ είλαη όκνηα (ii) ε δηάκεζνο ΑΜ ηνπ ΑΒΓ είλαη θάζεηε ζηελ ΕΔ (iii) ηα ζεκεία Β, Δ, Γ, Ε είλαη νκνθπθιηθά (iv) (ΑΒΓ) = (ΚΔΕ), όπνπ Κ ην θέληξν ηνπ θύθινπ ηεο πξόηαζεο (iii) 18 Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξέο ι-1, ι, ι+1 όπνπ ι ζεηηθόο αθέξαηνο αξηζκόο Να δηεξεπλήζεηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ην ηξίγσλν είλαη : (i) νξζνγώλην, (ii) νμπγώλην θαη (iii) ακβιπγώλην
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 3 19 Γίλνληαη : έλα ηζόπιεπξν ηξίγσλν πιεπξάο α, έλα ηεηξάγσλν πιεπξάο β θαη έλαο θύθινο αθηίλαο R Αλ L1, L, L3 θαη 1,, Ε3 είλαη νη πεξίκεηξνη θαη ηα εκβαδά ηνπο αληίζηνηρα, θαη ηζρύεη ε ζρέζε L1 = L = L3, ηόηε λα απνδείμεηε : (i) R < β < α θαη (ii) 1 < < Ε3 0 ε ηεηξάγσλν πιεπξάο α λα απνδείμεηε όηη ν ιόγνο ησλ εκβαδώλ ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ πξνο ηνλ εγγεγξακκέλν θύθιν, είλαη ίζνο κε 1 Θεσξνύκε ηελ εθαπηνκέλε επζεία ε ηνπ θύθινπ (Ο, R) ζε έλα ζεκείν ηνπ Α Έζησ ζεκείν Β ηεο ε ηέηνην ώζηε : AB = R Aλ ε ΒΟ ηέκλεη ηνλ θύθιν ζηα ζεκεία Γ θαη Γ, ηόηε λα απνδείμεηε όηη : (5 5) (i) R( 5 1) θαη (ii) ( ) R 5 Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε =90º Με δηάκεηξν ηελ ΑΒ γξάθνπκε εκηθύθιην ην νπνίν ηέκλεη ηελ ΓΓ ζηα ζεκεία Μ, Ν (ην Μ πξνο ην κέξνο ηνπ Γ, ην Ν πξνο ην κέξνο ηνπ Γ) Να απνδείμεηε όηη : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε =90º θαη 1 =75º Να απνδείμεηε όηη : Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε ΑΓ = α θαη ΓΓ = α Θεσξνύκε ηελ θάζεην ηεο ΑΓ ζην ηπρόλ ζεκείν ηεο Δ θαη ΔΘ ηκήκα, ώζηε ΔΘ = ΑΔ Ο θύθινο πνπ γξάθεηαη κε δηάκεηξν ηελ ΑΓ ηέκλεη ηελ θάζεην ζηα ζεκεία Κ θαη Μ Να δεηρζεί όηη : ( ) ( ) ( ) 5 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ ώζηε : 3L Αλ R ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ ηνπ θύθινπ, ΒΓ = α θαη ΑΓ = β λα δεηρζεί όηη : R R 6 Αλ 1,, Κ3 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ βαξύθεληξνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ επί ησλ πιεπξώλ ηνπ α, β, γ αληίζηνηρα, λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ 1 Κ3 ζπλαξηήζεη ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ 7 Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ ηπραίν ζεκείν ηεο ΑΒ Αλ ηζρύεη ( ) ( ) 3( ) λα απνδείμεηε όηη : AB = 3BΓ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 8 Σξίγσλν θαη ηεηξάγσλν είλαη ηζνπεξηκεηξηθά Μπνξνύλ λα είλαη θαη ηζνδύλακα ; 9 Από όια ηα ηζνπεξηκεηξηθά ηξίγσλα, ην ηζόπιεπξν έρεη ην κέγηζην εκβαδόλ 30 Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε Απνδείμαηε όηη : Καη αληηζηξόθσο 31 Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε R θαη ξ αθηίλεο,ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ (Ο, R) θαη εγγεγξακκέλνπ (Η, ξ) θύθινπ, αληίζηνηρα Απνδείμηε όηη : ( ) R( R ) 3 Καλνληθό πεληάγσλν ΑΒΓΓΔ είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν (Ο, R) Να απνδείμεηε όηη νη απνζηάζεηο ηνπ κέζνπ ηνπ ηόμνπ ΒΓ από ηα Α θαη Β έρνπλ δηαθνξά ίζε κε R 33 Θεσξνύκε θαλνληθό δεθάγσλν 1 Α10 εγγεγξακκέλν ζε θύθιν αθηίλαο R R( 5 1) Nα δεηρζεί όηη : 1 3 Θεσξνύκε θαλνληθό εμάγσλν 1 Α6 εγγεγξακκέλν ζε θύθιν αθηίλαο R Αλ Μ ην κέζνλ ηεο ρνξδήο 3 θαη 1 ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν Ρ, λα απνδείμεηε όηη : 1 7 35 Απνδείμαηε όηη ην εκβαδόλ E ηξηγώλνπ δίλεηαη από ηνλ ηύπν : R όπνπ R ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ 36 Από όια ηα ηζνζθειή ηξίγσλα ηα εγγεγξακκέλα ζε θύθιν (Ο, R), λα βξεζεί εθείλν πνπ έρεη ην κέγηζην εκβαδόλ 37 Έζησ δύν θύθινη (O, R) θαη (Κ, ξ) εθαπηόκελνη εζσηεξηθά θαη Α ην ζεκείν επαθήο Αλ ΒΓ είλαη ρνξδή ηνπ (O, R) θαη εθαπηνκέλε ηνπ (Κ, ξ) ζην ζεκείν ηνπ Γ, ηόηε λα Να απνδείμεηε όηη : (η) ΚΓ // ΟΔ, (ii) AΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ΓΑΒ θαη (iii) ( ) (, ), όπνπ Δ ε ηνκή ηεο ΑΓ κε ηνλ (O, R) ( ) (, )
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 5 38 Έζησ έλα θαλνληθό ν-γσλν θαη έλα θαλνληθό μ-γσλν εγγεγξακκέλα ζηνλ ίδην θύθιν Απνδείμαηε ηελ ηζνδπλακία : 39 Έζησ δύν θύθινη (Κ, R) θαη (Λ, ξ) εθαπηόκελνη εμσηεξηθά ζην ζεκείν Α Φέξλνπκε δύν θάζεηεο δηαηέκλνπζεο ησλ θύθισλ από ην Α, έζησ ΒΑΓ θαη ΓΑΕ Να απνδεηρζεί : 0 Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε =90º θαη Να απνδείμεηε όηη : 3 1 Να ππνινγίζεηε ην ζπλº