ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα ένα απεικόνιση των σηµείων του επιπέδου στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών Im(x) + = (x+ x ) + (y+ y) + = x y + = x y Re(x) = x y y O µέτρο ίσο προς και Το γινόµενο δύο µιγαδικών R αριθµών, στο µιγαδικό επίπεδο, µπορούµε να το παραστήσουµε από την παρακάτω κατασκευή: Έστω P = = x+ y Q = = x + y A = + Q Γωνία ΡΟQ = Γωνία POA και P Γωνία OQR = Γωνία OAP Όταν ισχύουν τα παραπάνω, τότε, Τρίγωνο OAP Τρίγωνο OQR x (OR) (OQ) Άρα A = απ όπου (OP) (OA) έπεται ότι ( OR) = (OP)(OQ) Στο µιγαδικό επίπεδο το σηµείο R έχει όρισµα arg = arg + arg και Το σηµείο R αντιστοιχεί συνεπώς, στο γινόµενο των αριθµών
Ευθεία και κύκλος στο µιγαδικό επίπεδο Το σύνολο των σηµείων του µιδαδικού επιπέδου, που πληρούν την σχέση b + c+ d= (), µε d R και b= c, κείται επ ευθείας Πράγµατι, αν θέσουµε b= β + β οπότε και c= b= β β λαβαίνουµε την ( b+ b)x (b b)y+ d=, ή την β x+ β y+ d= Μία ευθεία περνά από την αρχή των dc d c αξόνων ανν d= Η λύση του συστήµατος c + c+ d =, =,, δίδει cc cc Έχουµε, λοιπόν, ότι δύο ευθείες είναι: α) τεµνόµενες ανν cc cc β) παράλληλες ανν c c Re, ή c c cc = γ) Κάθετες ανν Im, ή c c+ cc = c c Η (κάθετος) απόσταση του σηµείου w από την ευθεία () δίδεται από την σχέση cw+ cw+ d c cc cc Η γωνία δύο ευθειών θ ή π θ είναι, ta θ = c c + c c Το σύνολο των σηµείων του µιδαδικού επιπέδου, που πληρούν την σχέση = r, µε r R, καλείται περιφέρεια κύκλου ή απλά κύκλος K του µιγαδικού επιπέδου Είναι, λοιπόν, K = { C, µε - = r} Άρα και, ( )( ) = + = () r a b Έστω, τώρα, K = ένας hermta c d πίνακας Είναι, δηλαδή, a,d R, c= b Η ορίζουσα του πίνακα Κ είναι η = ad bc= ad bb R Στον πίνακα Κ αντιστοιχίζουµε την σχέση a + b+ c+ d= µε a, a,d R (3), η οποία συµπίπτει µε την () αν είναι, b= a, c= b, d= a( r ), οπότε, τότε, στον πίνακα Κ αντιστοιχίζουµε τον κύκλο K Η (3) συµπίπτει µε την (), ανν a= και b= c Λέµε ότι, ο Κ παριστάνει τον K Φανερά, οι πίνακες K και λk παριστάνουν τον ίδιο κύκλο K Όταν ο Κ παριστάνει κύκλο K, η ορίζουσα γίνεται = a r Το κέντρο c του κύκλου () βρίσκεται στο σηµείο, και a cc ad ακτίνα a Παρατηρούµε ότι ) Για a και <, έχουµε κανονικό κύκλο για r>, ενώ ένα σηµείο για r= ) Για a και <, λαβαίνουµε έναν φανταστικό κύκλο 3) Για a= και < η (3) παριστάνει µια ευθεία του µιγαδικού επιπέδου Η θετική φορά ενός κύκλου, καθορίζεται από το θετικό πρόσηµο του συντελεστού a
3 ύο διαφορετικοί κύκλοι K λk ορίζουν µία δέσµη κύκλων µέσω της µονοπαραµετρικής οικογένειας K= λ K + λ K Κάθε (πραγµατικό) στοιχείο της οικογένειας αυτής, διέρχεται από τα σηµεία τοµής των κύκλων K και K, και δύο τυχόντα στοιχεία Κ και Λ = µ Κ + µ Κ, όπου λ, µ R, ορίζουν την ίδια δέσµη Ισχύει ότι, = λ + λλ + λ (4) όπου,, οι ορίζουσες των πινάκων Κ, Κ, Κ αντίστοιχα, και, = ad + a d bc b c Επίσης, = A r, = A r, = AA ( δ r r ) όπου δ= κ κ η απόσταση των κέντρων των κύκλων ύο κύκλοι τέµνονται κατά γωνία ω, ίση µε την γωνία των εφαπτοµένων στο σηµείο τοµής τους Η γωνία αυτή ( BAΓ) ισούται µε την K AK= ω, µιά και έχουν τις πλευρές κάθετες Από το τρίγωνο K AK έχουµε, δ = r + r m rr cos ω Άρα, τελικά, και cos ω= Όταν οι κύκλοι Κ και Κ είναι πραγµατικοί, τότε και µόνον, cos ω, δηλαδή,, σχέση, που µαζί µε την <, εξασφαλίζουν ότι η (4) έχει το πολύ µία ρίζα Όταν = οι κύκλοι εφάπτονται, εξωτερικά αν cos ω =, εσωτερικά αν cos ω = Οι πραγµατικοί κύκλοι είναι ορθογώνιοι ανν cos ω =, οπότε και, = Η τελευταία αυτή σχέση, γενικεύει την έννοια της ορθογωνιότητας για οιουσδήποτε κύκλους Μία δέσµη κύκλων λέγεται: α) ελλειπτική ανν >, οπότε η (4) έχει δύο ρίζες, που ορίζουν τα σηµεία τοµής των κύκλων της δέσµης β) παραβολική ανν = οπότε οι κύκλοι της δέσµης έχουν όλοι ένα κοινό σηµείο, και γ) υπερβολική, ανν < οπότε, δεν έχουµε σηµεία τοµής των κύκλων της δέσµης Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο σταθερά σηµεία και είναι σταθερός, είναι περιφέρεια κύκλου γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου Πράγµατι, η = k δίδει την ( k )+ (k )+ (k )+ k =, που είναι περιφέρεια κύκλου K k k µε κέντρο κ = και ακτίνα r= k k Παρατηρούµε ότι, το κέντρο κ του κύκλου κείται επί της ευθείας Το γεγονός αυτό, αποδεικνύεται ως εξής: Η () πληρούται από τα σηµεία και, και a πρέπει να πληρούται επίσης από το σηµείο κ Είναι, λοιπόν, c + c + d=, c + c+ d=, και πρέπει, ακόµα, c κ + cκ+ d=, σχέση, που προφανώς κ ισχύει για την τιµή του κ που βρήκαµε b
4 Έστω, τώρα, a, b, τα σηµεία τοµής της ευθείας και του κύκλου K Ισχύει, τότε, ( )(a b) = Λέµε, ότι τα σηµεία,a,, b αποτελούν έναν αρµονικό λόγο Τα ( a)(b ) σηµεία και καλούνται συµµετρικά ως προς τον κύκλο K Ισχύει επίσης ότι, ( κ )( κ) = r, και λέµε ακόµα ότι, τα σηµεία και είναι αντίστροφα ως προς τον κύκλο Κ Ένα ζεύγος αντιστρόφων σηµείων, παρίσταται δια του (, ) Αν A B K = ο πίνακας του κύκλου K, και A ζζ+ Bζ+ Cζ+ D= () η εξίσωσή του, C D είναι τότε και, C+ D A + B + C+ D=, απ όπου έχουµε ότι, = () Το ζεύγος (, ), A+ B πληροί την εξίσωση () του κύκλου K Όταν, λοιπόν, τα σηµεία και βρίσκονται πάνω στην περιφέρεια του K, έχουµε τότε, ( )(A+ B) =, και, επειδή A+ B= A+ C, έπεται ότι, = Η σχέση () ορίζει µία απεικόνιση, που λέγεται αντιστροφή και είναι ένα προς ένα, του εσωτερικού του κύκλου K επί το εξωτερικό του Το κέντρο κ του κύκλου, το αντιστοιχίζουµε στο σηµείο Τα σηµεία επί της περιφερείας του κύκλου, παραµένουν αναλλοίωτα ως προς την απεικόνιση αυτή 3 Απλός και διπλός λόγος Ορίζουµε τον απλό λόγο ( ;, 3 ) των τριών σηµείων, 3 του µιγαδικού επιπέδου ως εξής: (;,3) = αν 3,, αν = 3 3 Θέτουµε επίσης, ( ;,3) = ( ;,3) =, ( ;, ) = και ( ;,3 ) = ( ;, ) =, ( ;, ) = Αν είναι ( ;,3) =, και ενεργήσουµε τις 3! µεταθέσεις πάνω στους δείκτες του συµβόλου ( ;, 3 ), λαβαίνουµε τις εξής 6 τιµές του απλού λόγου: ( ;,3) =, ( ;3,) =, ( 3;, ) =, ( ;3,) =, ( ;,3) =, ;, ) = ( 3 Πρόταση Τρία σηµεία του µιγαδικού επιπέδου κείνται επ ευθείας, ανν ο απλός λόγος τους είναι πραγµατικός αριθµός Απόδειξη Η συνθήκη που εκφράζουµε στην πρόταση αυτή, είναι ισοδύναµη της ισότητας ( ;, 3 ) = (;, 3 ) Ή ( )( 3) = ( )( 3), ή + 3 3+ 3+ 3 =, πολλαπλασιάζουµε επί, και έχουµε, ( ' 3')+ (' 3')+ ' 3' + '3' =, όπου ' = y + x, =, 3, που είναι η εξίσωση µιάς ευθείας Ο διπλός λόγος τεσσάρων σηµείων, 4, ορίζεται από τον λόγο δύο απλών λόγων ( 3)( 4) ως εξής: (,;3,4) = (;3,4) : (;3,4) = Οι 4! µεταθέσεις των ( )( ) 3 4
5 δεικτών του διπλού λόγου δίδουν πάλι τις 6 προηγούµενες τιµές του απλού λόγου, µιά και έχουµε τις ισότητες,, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) ( 3 4 4 3 3 4 4 3 = (,3;,4) = (3,;4,) = (,4;,3) = (4,;3, ) = 3,;,4 ) = (,3;4,) = (,4;3,) = (4,,;, ) = (,;3,4) = (,;4,3) = (3,4;,) = (4,3;, ) = ( 3,;,4) = (,3;4,) = (,4;3, ) = (4,;,3) =, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) = ( 3 ( 3 4 3 4 4 3 4 3 Πρόταση Τέσσερα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου κείνται επί του ιδίου κύκλου, ανν ο διπλός τους λόγος είναι πραγµατικός αριθµός Απόδειξη Είναι ανάλογος της προηγούµενης προτάσεως Πρόταση Αν τα αντίστροφα σηµεία των ότι, (, ; 3, 4 ) = (, ; 3, 4 ) Απόδειξη Έχουµε ότι, ( κ )( κ) = r, 4, ως προς κύκλο Κ, τότε, ισχύει, απ όπου έπεται και η k k = r και είναι, ( ; 3, 4 ) = ( κ; 4, 3 )( ; 3, 4 ) ( κ)( κ) k Βιβλιογραφία ) Geometry of Complex Nmbers, Has Schwerdtfeger, Dover ) Theory of Fctos of a Complex Varable, C Caratheodory, Chelsea Volme oe Ασκήσεις ύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι, αν και µόνον αν tr(k K ) = 4 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί (ή Moebs µετασχηµατισµοί) του µιγαδικού a+ b επιπέδου Έτσι ονοµάζονται οι µετασχηµατισµοί φ :C C της µορφής w= φ () = c+ d a b (), C, µε δ = det = ad bc c d Κάθε µετασχηµατισµός (), ορίζει έναν πίνακα a b M =, και όλοι οι πίνακες km, δίδουν τον ίδιο µετασχηµατισµό () Η απεικόνιση c d F : km φ είναι ένας οµοµορφισµός του συνόλου των µη ιδιαζόντων πινάκων µε πράξη των πολλαπλασιασµό, επί του συνόλου των γραµµικών µετασχηµατισµών φ, µε πράξη την σύνθεση αυτών Ο M d b πίνακας είναι ο δ, που αντιστοιχεί στον c a
6 d b φ (w) = Το σύνολο των γραµµικών µετασχηµατισµών φ µε πράξη την σύνθεση c+ a αυτών, αποτελεί συνεπώς οµάδα Ερχόµαστε, τώρα, στον µετασχηµατισµό (), και έστω, δύο σταθερά σηµεία του µιγαδικού επιπέδου Για το τυχόν σηµείο C, σχηµατίζουµε τον απλό λόγο ( ;, ), και στην συνέχεια λαβαίνουµε την εικόνα του, ( w;w, w ) Βρίσκουµε, τότε, ότι c + d ( w;w,w ) = k(;, ), όπου η k σταθερά, k=, Έστω ένα ακόµα σηµείο c+ d 3 C Είναι, ( w 3 ;w,w ) = k(3;,) Άρα και, ( w, w 3 ;w,w ) = (,3;,) Η ισότητα αυτή, εκφράζει την Πρόταση Ο γραµµικός µετασχηµατισµός φ, διατηρεί τον διπλό λόγο Πόρισµα Ο γραµµικός µετασχηµατισµός φ, απεικονίζει έναν κύκλο K w Επίσης, αν τα σηµεία και είναι συµµετρικά ως προς είναι συµµετρικά ως προς K w K σε έναν κύκλο K, τα σηµεία w και w Τα σταθερά σηµεία ενός µετασχηµατισµού φ δίδονται από την σχέση φ () = ή από a+ b την =, απ όπου έχουµε ότι τα σταθερά σηµεία του φ, είναι οι ρίζες της c+ d εξισώσεως c (a d) b= () Ο γραµµικός µετασχηµατισµός φ, έχει συνεπώς δύο το πολύ σταθερά σηµεία Αν γνωρίζουµε ότι ο φ έχει τρία σταθερά σηµεία, τότε αυτός είναι ο ταυτοτικός µετασχηµατισµός Αν c, αµφότερα τα σταθερά του σηµεία, είναι πεπερασµένα Είναι δε και διαφορετικά, αν η διακρίνουσα της () είναι Αν c=, τότε ένα τουλάχιστον από τα σταθερά του σηµεία είναι το Αν επιπλέον a = d, ο φ είναι µία µεταφορά w = + b Αν a d, ο w = a+ b έχει εκτός από το ως σταθερό σηµείο, b και το σηµείο ζ= a Επειδή οι µετασχηµατισµοί φ έχουν ως αναλλοίωτο τον διπλό λόγο, εύκολα µπορούµε να βρούµε την µορφή του φ, αν γνωρίζουµε τις εικόνες w, w, w 3, τριών σηµείων του πεδίου ορισµού του,,, 3 Αρκεί να γράψουµε ( w, w 3 ;w,w ) = (,3;,), απ όπου λαβαίνουµε για τον φ την ζητούµενη έκφραση Για παράδειγµα, αν θέλουµε εκείνον τον γραµµικό µετασχηµατισµό που απεικονίζει τα σηµεία,, - στα σηµεία,,, αρκεί να γράψουµε την σχέση ( w, ;,) = (, ;,), απ όπου και w = :, ή w = + + + Βιβλιογραφία Εκτός από τα προαναφερθέντα βιβλία πάνω στις µιγαδικές συναρτήσεις, χρήσιµο είναι και το Elemets of the theory of Fctos του Korad Kop, έκδοση Dover
7 5 Τοπολογία του µιγαδικού επιπέδου Περιοχή N(,ρ) του σηµείου ακτίνας ρ καλείται το σύνολο (,ρ) = { C µε ρ} Φανερά, N(,ρ), µιά και N < τουλάχιστον το N(,ρ) Οι περιοχές N (,ρ) χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες: Ι Αν δύο διαφορετικά σηµεία του µιγαδικού επιπέδου C, τότε βρίσκονται περιοχές N(,ρ) και N(,ρ), έτσι ώστε N(,ρ) N(,ρ) = ΙΙ Σε κάθε σηµείο του C, µπορούµε να αντιστοιχίσουµε µία φθίνουσα ακολουθία περιοχών του N (,ρ), N, έτσι ώστε, I N (,ρ) Αυτό έχει σαν συνέπεια, να υπάρχει περιοχή του, η οποία τελικώς θα περιέχει όλες τις περιοχές, που ανήκουν στην προαναφερθείσα ακολουθία ΙΙΙ Αν N(,ρ) και N(,ρ),, τότε, N(,ρ) N(,ρ) N(,ρ) Έστω S C Το σηµείο S καλείται εσωτερικό σηµείο του S, αν και µόνον αν, N(,ρ) : N(,ρ) S Ανοικτό καλείται εκείνο το σύνολο S, του οποίου κάθε σηµείο, είναι εσωτερικό σηµείο Η περιοχή N(,ρ) είναι ένα ανοικτό σύνολο Πράγµατι, αν N(,ρ), τότε και N(,δ) N(,ρ), αν λάβουµε δ< ρ Ολόκληρο το µιγαδικό επίπεδο είναι συνεπώς, ανοικτό σύνολο Πρόταση Η ένωση U οιουδήποτε πλήθους ανοικτών συνόλων G, I, είναι ανοικτό σύνολο, µιά και αν U, τότε και G για κάποιον δείκτη I, και, συνεπώς, N(,ρ) G U Πρόταση Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων, είναι ανοικτό σύνολο Απόδειξη Έστω I G= G Υπάρχουν τότε οι ρ >,, έτσι ώστε, = N(,ρ) G Αρκεί να λάβουµε r< m{ρ, }, για να εξασφαλίσουµε ότι η περιοχή N(, r) G Πρόταση Το συµπλήρωµα ενός συνόλου, που αποτελείται από ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων του επιπέδου C, είναι ανοικτό σύνολο Απόδειξη Έστω το F= {,, K, k}, και C F Αρκεί να λάβουµε r< m{, k}, για να εξασφαλίσουµε ότι, N(, r) F C Έστω S, S δύο µη κενά υποσύνολα του C Η απόστασή τους d(s,s ) ορίζεται από την σχέση d(s,s ) = f{, όπου S, S} Ιδιαίτερα, έχουµε την απόσταση d(w,s) = f{ w, µε S} του σηµείου w από το σύνολο S Είναι βέβαια d (w,s) =, αν w S Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα Για παράδειγµα, το σηµείο {} απέχει µηδενική απόσταση από το σύνολο S= { µε < } {}, χωρίς να ανήκει σ αυτό Ισχύει όµως ότι, d (w,s) = N(w,ρ), N(w,ρ) S Ένα κλειστό σύνολο
8 F ορίζεται ως εκείνο το υποσύνολο του C, που περιέχει όλα τα σηµεία του C, που βρίσκονται σε µηδενική απόσταση απ αυτό Πρόταση Ένα σύνολο S C είναι κλειστό, αν και µόνον αν, το συµπλήρωµά του (ως προς C) είναι ανοικτό σύνολο Απόδειξη ) Έστω ότι το C -S είναι ανοικτό σύνολο και C, τέτοιο ώστε, d (,S) = Τότε, κάθε περιοχή του, θα περιέχει και σηµεία του S Συνεπώς C-S Άρα το S ) Έστω το S κλειστό σύνολο Αν το S =, τότε, το συµπλήρωµά του είναι ολόκληρο το C, και συνεπώς είναι ένα ανοικτό σύνολο Αν S και C-S, τότε και η απόσταση d (,S) > Άρα N (,ρ), µε, N(,ρ) S=, δηλαδή, N(, ρ) C-S, και, συνεπώς, το C -S ανοικτό σύνολο Πορίσµατα της προηγούµενης προτάσεως είναι ότι, α) η τοµή οιουδήποτε πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο, και, β) η ένωσης πεπερασµένου πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο Τα σύνολα C και, είναι τα µοναδικά σύνολα, που είναι ταυτόχρονα ανοικτά και κλειστά Αυτά έπονται από τα αντίστοιχα πορίσµατα για τα ανοικτά σύνολα, παίρνοντας από τα ανοιχτά στα κλειστά µε τους κανόνες του de Morga Για παράδειγµα, το F= {,, K, k} είναι ένα κλειστό σύνολο Εξ άλλου, κάθε σηµείο του συνόλου F, είναι ένα µεµονωµένο σηµείο, µε την έννοια ότι, υπάρχει περιοχή του, η οποία να περιέχει µόνον το σηµείο αυτό, και κανένα άλλο σηµείο του συνόλου F Όταν, λοιπόν, δίδεται ένα σύνολο S του µιγαδικού επιπέδου, τότε τα σηµεία του C ως προς το S είναι δυνατόν να είναι είτε εσωτερικά, είτε εξωτερικά, δηλαδή, εσωτερικά του συµπληρώµατός του, είτε συνοριακά, σηµεία δηλαδή, των οποίων κάθε περιοχή περιέχει σηµεία και του S και του C -S Ένα σηµείο συσσωρεύσεως (σσ) του συνόλου S, είναι εκείνο το σηµείο, που κάθε περιοχή του, περιέχει και ένα σηµείο του S διαφορετικό από το (αν είναι S) Αν το είναι σσ του συνόλου S, τότε S, µιά και, αν S, κάθε περιοχή του, δεν περιέχει κανένα σηµείο του S Ορικό σηµείο του S, είναι εκείνο το σσ του S, που, τελικά, µέσα σε κάθε περιοχή του, περιέχονται όλα τα σηµεία του S Η διάµετρος δ (S) του συνόλου S C ορίζεται η δ(s) = sp{ w, όπου, w S} Όταν έχουµε δ (S), τότε λέµε ότι το σύνολο S είναι φραγµένο Για φραγµένα σύνολα, ισχύει ότι, δ (S) = δ(s) o Εσωτερικό S ενός συνόλου S, είναι η ένωση όλων των ανοικτών συνόλων που περιέχονται στο S Το εσωτερικό ενός συνόλου είναι συνεπώς, το µεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο S Κάλυµµα S ενός συνόλου S, είναι η τοµή όλων των κλειστών συνόλων, στα οποία το S περιέχεται Το κάλυµµα του S είναι συνεπώς το µικρότερο κλειστό σύνολο, που περιέχει το S Για παράδειγµα, είναι Q = R Το σύνορο ενός συνόλου S ορίζεται ως το σύνολο αν και µόνον αν, S= S o S S Φανερά, το S είναι ένα κλειστό σύνολο,
9 Πρόταση S, αν και µόνον αν, d (,S) = Απόδειξη ) Έστω S, µε, d (,S) > Τότε N (,ρ), µε, N(,ρ) S=, δηλαδή, N(, ρ) C-S Το κλειστό σύνολο C -N(, ρ) περιέχει το S και συνεπώς το S, αντίθετα µε την υπόθεσή µας, ότι S ) Έστω d (,S) =, και F οιοδήποτε κλειστό σύνολο που περιέχει το S Τότε και, d (, F) =, και άρα F Το λοιπόν, ανήκει στην τοµή όλων των κλειστών συνόλων, που περιέχουν το S Άρα, S Πόρισµα Το S περιέχει όλα τα σηµεία συσσωρεύσεως του Πόρισµα Ένα σηµείο ανήκει στο κάλυµµα S του συνόλου S, αν και µόνον αν, αυτό είναι ορικό σηµείο µιάς ακολουθίας σηµείων s τoυ S Πόρισµα Το ορικό σηµείο µιάς ακολουθίας { s } είναι µοναδικό Πράγµατι, αν η ακολουθία είχε δύο διαφορετικά ορικά σηµεία, τότε, αν δ=, οι περιοχές N(,ρ) και N(,ρ) µε ρ,ρ < δ /, έχουν τοµή κενή Είναι αδύνατον, λοιπόν, όλοι οι όροι της { s } να περιέχονται τελικά και στην N(,ρ) και στην N(,ρ) Παραδείγµατα Αν S το σύνολο των σηµείων ( x, y) του επιπέδου, για τα οποία y= s(/ x) y= x s(/ x) y= s(/ x), τα σσ του συνόλου S, είναι τα σηµεία της µορφής (, y), µε y Αν S το σύνολο των σηµείων ( x, y) του επιπέδου, για τα οποία y= x s(/ x), τo ορικό σηµείο του συνόλου S, είναι το σηµείο (,) Θεώρηµα (Bolao Weerstrass) Κάθε µη πεπερασµένο κλειστό και φραγµένο σύνολο S έχει ένα τουλάχιστον σηµείο συσσωρεύσεως Απόδειξη Έστω δ(s) η διάµετρος του S Κάποιο άπειρο τµήµα του S, θα περιέχεται, µέσα σε ένα υποσύνολό του S, µε διάµετρο το δ(s) Συνεχίζουµε τον συλλογισµό αυτό,
και θεωρούµε εκείνο το άπειρο υποσύνολο =I S = S του S, που έχει διάµετρο δ(s) Έστω F όπου N, S S + Το σύνολο αυτό F, είναι ένα µη κενό κλειστό σύνολο, ως τοµή µη κενών κλειστών συνόλων Ένα σηµείο F, είναι σσ του S, µια και οιαδήποτε περιοχή του, έχει τοµή µη κενή µε το σύνολο S Επειδή το S κλειστό, S Το σύνολο των ορικών σηµείων του S C καλείται παράγωγο σύνολο S του S Ισχύει, βέβαια, S= S S Ένα σύνολο A B λέµε ότι είναι πυκνό εν Β, αν και µόνον αν A= B Για παράδειγµα, οι ρητοί αριθµοί Q, είναι σύνολο πυκνό εν R Κάθε φορά, που σχηµατίζουµε µία φθίνουσα ακολουθία κλειστών µη κενών συνόλων S, τα οποία τελικά είναι και φραγµένα, µε διαµέτρους δ (S ), µπορούµε να επιλέξουµε µία ακολουθία { s }, τέτοια ώστε, s S, και µε ένα ορικό σηµείο s (Θεώρηµα του Cator) Λέµε ότι, η { s } συγκλίνει στο s Γράφουµε { s } s, ή lm{ s } = s Θεώρηµα των Hee - Borel Αν κάθε σηµείο ενός κλειστού και φραγµένου συνόλου S καλύπτεται από ένα ανοικτό σύνολο G, τότε µπορούµε να επιλέξουµε ένα πεπερασµένο αριθµό απ αυτά, που η ένωσή τους, να καλύπτει το S Απόδειξη Έστω ότι για να καλύψουµε το S, απαιτείται ένας µη πεπερασµένος αριθµός από G Αν δ(s) η διάµετρος του S, το ίδιο θα απαιτείται και για κάποιο από τα κλειστά υποσύνολα του S, που περιέχονται στο τµήµα εκείνο του S, που έχει διάµετρο δ (S) / Επιλέγουµε το τµήµα αυτό του S, και το καλούµε S Επαναλαµβάνοντας τον ίδιο συλλογισµό, σχηµατίζουµε την φθίνουσα ακολουθία των κλειστών συνόλων S, τα οποία όλα, έχουν την ιδιότητα, να απαιτούν έναν µη πεπερασµένο αριθµό από ανοικτά σύνολα G, S, για να καλυφθούν Τούτο όµως είναι άτοπο, γιατί, το S ως κλειστό σύνολο, περιέχει το ορικό σηµείο της ακολουθίας καλυφθεί από ένα και µόνον ανοικτό σύνολο G S, και το σηµείο αυτό, µπορεί να Ορισµός Ένα κλειστό και φραγµένο σύνολο καλείται συµπαγές σύνολο Κριτήριο σύγκλισης του Cachy Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει ορικό σηµείο η ακολουθία { }, είναι, για κάθε ε > να υπάρχει δείκτης = (ε), τέτοιος ώστε, + p < ε, για όλους τους δείκτες > (ε), και κάθε p N Απόδειξη Αν { }, τότε, φανερά ισχύει το κριτήριο του Cachy, µια και τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας βρίσκονται µέσα σε µία περιοχή N (,ε) Αντίστροφα, αν + p < ε, το σύνολο { } είναι ένα άπειρο φραγµένο σύνολο Πράγµατι, αρκεί να λάβουµε ε=, οπότε υπάρχει δείκτης, για τον οποίο, όλοι οι όροι της ακολουθίας που έχουν δείκτες >, είναι τέτοιοι ώστε, <, και συνεπώς, έχουµε και ότι < Φράγµα των όρων της { }, αποτελεί ο max{, K, } + +
Θεωρούµε, τώρα, και τα σύνολα S = {, µε < } Για τα σύνολα S, έχουµε ότι, δ(s ) Μπορούµε, συνεπώς, να επιλέξουµε µία ακολουθία { s }, η οποία να συγκλίνει Όµως ισχύει,, + s Άρα και η { } συγκλίνει < Πόρισµα Μέσα σε ένα συµπαγές σύνολο, οι συγκλίνουσες ακολουθίες είναι ακολουθίες Cachy, και αντίστροφα Ορισµός Ο χώρος, µέσα στον οποίον µία ακολουθία συγκλίνει αν και µόνον αν, είναι ακολουθία Cachy, καλείται πλήρης χώρος Ορισµός Μη συνεκτικό είναι το υποσύνολο εκείνο S του C, το οποίο είναι δυνατόν να γραφεί ως ένωσης δύο διακεκριµένων κλειστών συνόλων H και H Λέµε ότι, τα H και H αποτελούν έναν χωρισµό του S Επειδή κάθε ένα από τα κλειστά αυτά σύνολα είναι και ανοικτό, ως συµπλήρωµα κλειστού συνόλου, µη συνεκτικό είναι το S, αν µερίζεται σε δύο ανοικτά σύνολα Συνεχές καλείται, κάθε συνεκτικό και συµπαγές υποσύνολο του C Πρόταση Ο R είναι συνεκτικό σύνολο Τα διαστήµατα του R είναι συνεκτικά σύνολα Απόδειξη Έστω, ότι R = H H, µε H H =, H = H και H = H Για κάθε a H και b H, b a = ε> Άρα, κάθε σηµείο του H απέχει από το H µη µηδενική απόσταση Επίσης, κάθε σηµείο του H απέχει από το H µη µηδενική απόσταση Τούτο όµως είναι αδύνατον, µια και τα σύνολα αυτά είναι κλειστά σύνολα Πρόταση Αν Ε συνεκτικό σύνολο, και E E E, τότε και το E συνεκτικό σύνολο Απόδειξη Πράγµατι, αν τα H και H αποτελούν χωρισµό του E, τότε και τα H E και H E αποτελούν, εφ όσον είναι µη κενά, χωρισµό του Ε Αν µία από τις δύο αυτές τοµές είναι, πχ αν H E=, τότε, αναγκαστικά, E H Άρα, και, E H, οπότε και, E H = H Άρα, H = Άτοπον Ορισµός Θα λέµε ότι δύο σηµεία του C συνδέονται, αν και µόνον αν, υπάρχει συνεκτικό σύνολο που να τα περιέχει Πρόταση Αν κάθε δύο σηµεία του συνόλου Ε συνδέονται, το Ε είναι συνεκτικό σύνολο Απόδειξη Έστω ότι το Ε χωρίζεται από τα H και H Όµως, τα H και H από υπόθεση συνδέονται Άτοπον Πόρισµα Η ένωση δύο συνεκτικών συνόλων µε τοµή µη κενή, είναι συνεκτικό σύνολο Πόρισµα Η έκφραση «το σηµείο a συνδέεται µε το σηµείο b» ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί του C
Ορισµός Συνεκτική συνιστώσα του σηµείου a, είναι η τάξη ισοδυναµίας του a Η συνεκτική συνιστώσα δηλαδή του a, αποτελείται από όλα εκείνα τα σηµεία, που συνδέονται µε το a Αυτή, είναι, βέβαια, ένα συνεκτικό σύνολο Ορισµός Λέµε ότι τα σηµεία,, αποτελούν µία ε-άλυσσο, αν και µόνον αν, ε, για κάθε, Λέµε ότι, ο χώρος µας είναι ε-συνεκτικός, αν κάθε < δύο σηµεία του, αποτελούν την αρχή και το πέρας µιάς ε-αλύσσου Θα λέµε ότι τα σύνολα E,, αποτελούν µίαν άλυσσο, αν και µόνον αν, η τοµή τους ανά δύο είναι µη κενή Πρόταση Το σύνολο S είναι συµπαγές, αν και µόνον αν είναι ε-συνεκτικό Απόδειξη α) Το S συµπαγές Υπάρχει τότε, πεπερασµένη ανοικτή κάλυψη ( A ) του N S Την εκλέγουµε, έτσι ώστε δ(a ) < ε / β) Το σύνολο S είναι ε-συνεκτικό Άρα, µία συγκλίνουσα ακολουθία, είναι και ακολουθία Cachy Βιβλιογραφία ) S Saks ad A Zygmd: «Aalytc Fctos» Polska Akadema Nak, 965 ) MHA Newma: Elemets of the Topology of Plae Sets of Pots Cambrdge at the Uversty Press, 96