ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό και έχει µια ιδιοτιµή και µια 0, τότε το A είναι µητρώο ορθογώνιας πρόβολής, δηλ. A = A και A = A. δ Αν ένα µητρώο A R n n είναι ορθογώνιο, τότε A 0. ε Αν A,B R n n και για κάθε x R n ισχύει ότι (A Bx = 0 τότε B. στ Εστω [,,0;0,,;0,0,]. Ποιά είναι η αλγεβρική και ποιά η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής ; α ΣΩΣΤΟ : Αφού υπάρχουν τα B και A, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε το C = B A = (AB, δηλ. το αντίστροφο του AB. ϐ ΛΑΘΟΣ : Για παράδειγµα [,0;,] τότε A [5,;,] ενώ AA = [,;,5]. Προσοχή: Οπως 0 µπορείτε να επιβεβαιώσετε µε το µητρώο 0, δεν είναι σωστό να πείτε ότι κατ ανάγκη το µητρώο 0 A πρέπει να είναι συµµετρικό. Η συµµετρία είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη! γ ΣΩΣΤΟ : Μητρώο ορθογώνιας προβολής είναι κάθε µητρώο A για το οποίο ισχύουν ότι A και A = A. Επειδή είναι συµµετρικό, αρκεί να αποδείξουµε τη δεύτερη σχέση. Αφού έχει µια ιδιοτιµή και την άλλη 0, τότε ισχύει ότι Q diag[,0]q = q q όπου q είναι η πρώτη στήλη του Q. Επίσης q q = από την κανονικοποίηση των ιδιοδιανυσµάτων. Εποµένως A = q q q q = q q = A. δ ΛΑΘΟΣ : Ορθογώνιο µητρώο σηµαίνει ότι A I οπότε αποκλείεται A 0. ε ΣΩΣΤΟ : Αφού για κάθε x ισχύει ότι (A Bx = 0, επιλέγουµε x = e οπότε Ae = Be δηλ. η πρώτη στήλη του A είναι ίδια µε την πρώτη στήλη του B. Επαναλαµβάνοντας το ίδιο για x = e,e 3,... δείχνουµε ότι οι στήλες των A και B είναι ίδιες, εποµένως B. Προσοχή: Είναι απαραίτητο να χρησιµοποιήσετε την υπόθεση «για κάθε», αλλοιώς δεν µπορείτε να το αποδείξετε. Για παράδειγµα, µπορεί (A Bx = 0 για κάποιο x αλλά να µην ισχύει B. Θα µπορούσατε όµως να πείτε (πιο περίπλοκη εξήγηση ότι η συνθήκη συνεπάγεται ότι ο µηδενοχώρος του A B είναι όλο το R n οπότε κατ ανάγκη A B = 0. στ Το µητρώο είναι τριγωνικό και οι ιδιοτιµές στη διαγώνιο, οπότε δεν έχουµε ιδιοτιµή ( άρα η πολλαπλότητα είναι 0. (εκδχ. Β. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το A + B. ϐ Αν A R m n, τότε (A A = A + A. γ Αν A R 3 3 είναι της µορφής xx /(x x, όπου x R 3, τότε δεν είναι αντιστρέψιµο και οι ιδιοτιµές του είναι {,0,0}. δ Αν όλες οι ιδιοτιµές ενός µητρώου είναι µη µηδενικές, τότε το µητρώο είναι αντιστρέψιµο. ε Αν A,B R n n και για κάθε x R n ισχύει ότι x (A B = 0 τότε B. στ Εστω [, 0, 0; 0,, ; 0, 0, ]. Ποιά είναι η αλγεβρική και ποια η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής ; α ΛΑΘΟΣ : Αρκεί να επιλέξετε B οπότε A + B = 0 που δεν είναι αντιστρέψιµο. ϐ ΛΑΘΟΣ : Οταν (A A = A A. Επίσης όταν m n οι διαστάσεις δεν είναι καν συµβατές για να γίνουν οι παραπάνω πράξεις. γ ΣΩΣΤΟ : xx /(x x που είναι µητρώο ορθογώνιας προβολής στο χώρο < x > εποµένως έχει ιδιοτιµές {,0,0}: Προσέξτε ότι Ax = x ενώ Ay = 0 αν x y = 0 και επειδή x R 3, ή διάσταση του µηδενοχώρου είναι. γ ΣΩΣΤΟ : Είναι αντιστρέψιµο αν η ορίζουσα είναι µη µηδενική, αλλά η ορίζουσα είναι το γινόµενο των ιδιοτιµών, εποµένως αν είναι όλες µη µηδενικές η ορίζουσα ϑα είναι µη µηδενική. ε ΣΩΣΤΟ : Αφού για κάθε x ισχύει ότι x (A B = 0, επιλέγουµε x = e οπότε e e B δηλ. η πρώτη γραµµή του A είναι ίδια µε την πρώτη γραµµή του B. Επαναλαµβάνοντας το ίδιο για x = e,e 3,... δείχνουµε ότι οι γραµµές των A και B είναι ίσες, εποµένως B. Προσοχή: εν µπορούµε να επιχειρηµατολογήσουµε όπως µε τους ϐαθµωτούς, δηλ. ότι αν xb = 0 τότε ένας ή και οι δύο όροι ϑα είναι 0. Θα µπορούσατε όµως να πείτε (πιο περίπλοκη εξήγηση ότι η συνθήκη συνεπάγεται ότι ο αριστερός µηδενοχώρος του A B είναι όλο το R n οπότε κατ ανάγκη A B = 0. στ Το µητρώο είναι τριγωνικό και οι ιδιοτιµές στη διαγώνιο, οπότε η ιδιοτιµή εµφανίζεται µόνο µια ϕορά δηλ. η αλγεβρική της πολλαπλότητα είναι ενώ η γεωµετρική είναι επίσης.

2 3. (εκδχ. Α είξτε ότι κάθε µητρώο A R m n µπορεί να τεθεί στη µορφή CL όπου οι στήλες του C είναι οι στήλες οδηγών του A και οι γραµµές του L οι µη µηδενικές γραµµές της αναγµένης κλιµακωτής µορφής R του A. Εστω R R m n το αναγµένο κλιµακωτό µητρώο στο οποίο µετασχηµατίζεται ένα µητρώο A. Τότε το A µπορεί να γραφτεί ως E R, όπου A R m m ο µετασχηµατισµός (µητρώο που οδηγεί από το A στο R (γνωρίζουµε µάλιστα ότι είναι µοναδικός. Αν τώρα γράψουµε τα E και R σε µορφή µπλόκ, λαµβάνουµε: E R = [ ] [ ] M C m r F r n m (m r = C 0 m r M r n. (n r n Στα παραπάνω, το C m r περιέχει τις στήλες οδηγών του A ενώ το M r n τις µη µηδενικές γραµµές του R. Από τη γνωστή έκφραση για τον πολλαπλασιασµό µητρώων µέσω (εξωτερικών γινοµένων στηλών γραµµών προκύπτει το αποτέλεσµα.. (εκδχ. Β Αν A R m n και οι στήλες του A γραµµικά ανεξάρτητες να δείξετε ότι το A A είναι αντιστρέψιµο. ιαφορετικά υπάρχει x 0 τέτοιο ώστε A Ax = 0 οπότε και x A Ax = 0 οπότε αν y := Ax τότε η προηγούµενη σχέση σηµαίνει ότι y y = 0 που ισχύει αν και µόνον αν y = 0. Αλλα τότε Ax = 0 και επειδή οι στήλες του A είναι ανεξάρτητες, συνεπάγεται ότι x = 0, που δεν µπορεί να ισχύει. Προσοχή: Πολλοί χρησιµοποίησαν την εξής (λανθασµένη επιχειρηµατολογία: «Το A έχει γραµµικά ανεξάρτητες στήλες εποµένως είναι αντιστρέψιµο, οπότε το αποτέλεσµα ακολουθεί καθώς (AA = A A.» Μια παραλλαγή του ίδιου είναι ότι «det(a 0 εποµένως το ίδιο ϑα ισχύει και για το det(a A.» Αυτά ϑα ήταν σωστά αν το A ήταν τετραγωνικό. Επειδή δεν είναι εξασφαλισµένο ότι είναι (στην εκφώνηση λέµε ότι A R m n, δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν. 4. (εκδχ. Α Για το τριδιαγώνιο µητρώο παρακάτω α να το εκφράσετε ως LU όπου L,U κάτω τριγωνικό µε στη διαγώνιο και άνω τριγωνικό αντίστοιχα για την περίπτωση n = 4. ϐ Να υπολογίσετε την ορίζουσα ϐάσει του (α. Μπορείτε να συµπεράνετε ποιά ϑα είναι η τιµή της στη γενική περίπτωση α Η άνω τριγωνιοποίηση γίνεται γρήγορα λόγω της τριδιαγώνιας µορφής του µητρώου. Τα κάτω τριγωνικά µητρώα απαλοιφής είναι τα L = I [0,,0,0] e, L = I [0,0,,0] e,l 3 = I [0,0,0, ] e 3 και επειδή L 3 L L U ϐ L = , U = det( det(lu = det(ldet(u = det(u = καθώς το L έχει εκ κατασκευής στη διαγώνιο και η ορίζουσα τριγωνικών µητρώων είναι το γινόµενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιό τους. 4. (εκδχ. Β Για το τριδιαγώνιο µητρώο παρακάτω α να το εκφράσετε ως LU όπου L,U κάτω τριγωνικό µε στη διαγώνιο και άνω τριγωνικό αντίστοιχα για την περίπτωση n = 4. ϐ Να υπολογίσετε την ορίζουσα ϐάσει του (α. Μπορείτε να συµπεράνετε ποιά ϑα είναι η τιµή της στη γενική περίπτωση

3 α Η άνω τριγωνιοποίηση γίνεται γρήγορα λόγω της τριδιαγώνιας µορφής του µητρώου. Τα κάτω τριγωνικά µητρώα απαλοιφής είναι τα L = I [0, /,0,...] e, L = I [0,0, /5,0,...] e,l 3 = I [0,..., 5/8] e 3 και επειδή L 3 L L U, ϐ L = / / /8 U = / / /8 det( det(lu = det(ldet(u = det(u = καθώς το L έχει εκ κατασκευής στη διαγώνιο και η ορίζουσα τριγωνικών µητρώων είναι το γινόµενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιό τους. II. α. (εκδχ. Β Η ϐάση του V αποτελείται από τα διανύσµατα v = [,,0],v = [,,] Για να ανήκει το u στον V ϑα πρέπει να υπάρχουν ϐαθµωτοί µ,ν τέτοιοι ώστε u = µv + νv. Αυτό είναι ισοδύναµο µε την ύπαρξη διανύσµατος g ώστε Ag = u, όπου [v,v ],g = [µ,ν]. Ισοδύναµα, ϑα πρέπει οι στήλες του [v,v,u] να είναι γραµµικά εξαρτηµένες, δηλ. ο µηδενοχώρος να έχει διάσταση ή περισσότερο. Μετατρέποντας σε κλιµακωτή µορφή έχουµε a 0 0 b a 0 3 a 0 b a 0 3 a 0 0 b a 3 Εποµένως, για να υπάρχει λύση ϑα πρέπει b a/3 = 0. β. (εκδχ. Β Για να υπολογίσουµε ΟΚ ϐάση του V εφαρµόζουµε τη διαδικασία Gram Schmidt. Πρώτα κανονικοποιούµε το v και επειδή ϕαίνεται άµεσα ότι v =, ϑέτουµε q = v / v = [,,0]. Στο επόµενο ϐήµα ορθογωνιοποιούµε το v ως προς το q αφαιρώντας από το v την ορθογώνια προβολή του από το q και κανονικοποιούµε το αποτέλεσµα. Εποµένως και κάνοντας τις πράξεις προκύπτει εύκολα ότι ˆq = v (q q v = v q (q v, ( οπότε το δεύτερο ΟΚ διάνυσµα ϐάσης ϑα είναι ˆq = [3, 3,] q = ˆq / ˆq = [3, 3,]. Προσοχή: Ορισµένοι ϑεωρήσατε ότι αρκεί να διαιρέσετε τα v,v µε το µέτρο τους. Προφανώς αυτό δεν αρκεί γιατί τα διανύσµατα τότε ϑα είναι µεν κανονικοποιηµένα αλλά όχι κάθετα µεταξύ τους. εν µπορείτε να κάνετε τη διαδικασία χωρίς να εµπλέξετε τα διανύσµατα (αλλοιώς πώς ϑα επιτευχθεί η καθετότητα; Άλλοι 3

4 κάνατε πρώτα την ορθογωνιοποίηση και µετά την κανονικοποίηση. εν είναι λάθος αλλά µπορεί να οδηγήσει σε σφάλµατα. Επίσης τότε ϑα πρέπει ο παραπάνω τύπος ( να µετατραπεί σε ˆv = v (v v v v v και µετά ϑα χρειαστεί κανονικοποίηση των v και ˆv. γ. (εκδχ. Β Η (ορθογώνια προβολή του b στον V είναι p = G(G G G b όπου G είναι το µητρώο µε στήλες όποια ϐάση επιθυµείτε! Οµως αν χρησιµοποιήσετε το Q = [q,q ] που υπολογίσατε παραπάνω, εκ κατασκευής του Q έχετε αυτόµατα ότι Q Q = I εποµένως δεν χρειάζεται αντιστροφή. Προσοχή: Αρκετοί επιλέξατε να χρησιµοποιήσετε αντί για Q το µητρώο [v,v ]. εν είναι λάθος (η προβολή είναι µοναδική εξάλλου όµως τότε δεν αποφεύγετε την αντιστροφή που παίρνει περισσότερες πράξεις (και αυξάνει την πιθανότητα σφάλµατος. Συνεχίζουµε: Γράφουµε p = QQ b και καλύτερα είναι να το υπολογίσουµε ως p = Q(Q b, εποµένως p = Q(Q b = = ( δ. (εκδχ. Β Το σφάλµα είναι e = b p = [ 3, 3, 9 ]. α. (εκδχ. Β Το µητρώο είναι ( 0 B = Με ένα ϐήµα απαλοιφής έχουµε ˆB = ( Εποµένως υπάρχουν (µη µηδενικοί οδηγοί και η τάξη του µητρώου είναι ακριβώς rank(b =. Προσοχή: εν αρκεί να πείτε ότι η τάξη είναι το πολύ. β. (εκδχ. Β Για το µηδενοχώρο, αρκεί να υπολογίσουµε το µηδενοχώρο του παραπάνω µητρώου ˆB. Θα τον έχουµε ορίσει καλώς αν γνωρίζουµε τη διάστασή του και αντίστοιχο αριθµό από γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα ϐάσης του. Η διάστασή του ϑα είναι 4 rank(b δηλ.. Εχουµε ελεύθερες µεταβλητές, τις οποίες ϑέτουµε εναλλάξ ξ 3 =,ξ 4 = 0 και ξ 3 = 0,ξ 4 = οπότε προκύπτουν τα δύο Ϲητούµενα διανύσµατα ϐάσης. Από την πρώτη σχέση έχουµε εποµένως τα διανύσµατα ϐάσης του µηδενοχώρου είναι ˆBx ( = 0, όπου x ( = [ξ (,ξ(,,0] ˆBx ( = 0, όπου x ( = [ξ (,ξ(,0,]. ξ ( + = 0.3ξ ( +.7 = 0 x ( = [, 7 3,,0]. 4

5 Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι x ( = [, 43 3,0,]. Ισοδύναµα µπορείτε να πείτε ότι ο µηδενοχώρος είναι οποιοδήποτε διάνυσµα που µπορεί να γραφτεί ως γραµ- µικός συνδυασµός των x ( και x (. γ. (εκδχ. Β Για να προσαρµόσουµε την καµπύλη c + c t i στα δεδοµένα f i γράφουµε πρώτα το µητρώο που περιγράφει τις τιµές των συντελεστών των c,c. Θα είναι το µητρώο A µεγέθους 4 µε γραµµές τα διανύσµατα [,t i ], εποµένως αν 0 4,f = [.,.3,.6,.], ϑα πρέπει να επιλέξουµε το διάνυσµα c = [c,c ] ώστε να ελαχιστοποιεί το Ευκλείδειο µέτρο (νόρµα του διανύσµατος «υπολοίπου» r = f Ac. (Σηµ. Σε µαθηµατική γραφή αυτό εκφράζεται τυπικά ως arg min c R f Ac. δ. (εκδχ. Β Οι εξισώσεις Ac = b είναι ισοδύναµες µε το σύστηµα (των αποκαλούµενων κανονικών εξισώσεων A Ac = A b και αν υπολογίσετε τους συντελεστές ( ( c c = ( 6... Αυτό είναι το Ϲητούµενο σύστηµα. ε. (εκδχ. Β Το παραπανω λύνετα εύκολα µε ένα ϐήµα απαλοιφής και πίσω αντικατάσταση: οπότε c =.,c = III. ίνεται το µητρώο [ µ 0,0,0;0,,;0,,], όπου µ είναι το ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης του Α.Μ. σας µε το 0 (π.χ. αν ΑΜ=309 τότε µ = 9.. Προφανώς, µια ιδιοτιµή του µητρώου είναι λ = µ 0. α Χωρίς να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές, να συµπεράνετε από τα στοιχεία του µητρώου διαστήµατα στα οποία είναι εξασφαλισµένο ότι ϑα ϐρίσκονται οι υπόλοιπες ιδιοτιµές, δηλ. να ϐρείτε τα α, β, γ, δ τέτοια ώστε λ,λ 3 [α,β] [γ,δ]. ϐ Να ϐρείτε τις ιδιάζουσες τιµές του A, δηλ. το διαγώνιο µητρώο Σ τέτοιο ώστε UΣV, όπου τα U,V είναι ορθογώνια. γ Να ϐρείτε τα δεξιά ιδιάζοντα διανύσµατα. δ Αν µ = 0, να υπολογίσετε ορθοκανονική ϐάση για το µηδενοχώρο του A. (Υπόδ.: Να χρησιµοποιήσετε την απάντηση που πήρατε για το (γ. α Το µητρώο είναι µπλοκ διαγώνιο, της µορφής ( A 0 0 A όπου A = µ 0 και A = [, ;, ] εποµένως οι ιδιοτιµές ϑα είναι ο ίδιος ο ϐαθµωτός A και οι δύο ιδιοτιµές του A. Οι δίσκοι Gershgorin για το A ϑα είναι D = {z z } και D 3 = {z z + } Εποµένως οι ιδιοτιµές ϑα ϐρίσκονται στην ένωσή τους D D 3. Επειδή Ϲητούµε πραγµατικά διαστήµατα 5

6 (υποθέτοντας ότι ϑέλουµε να εντοπίσουµε που ϐρίσκονται οι πραγµατικές ιδιοτιµές αυτά ϑα είναι η τοµή των παραπάνω µε τον πραγµατικό άξονα. Εποµένως οι ανισώσεις είναι z, z + εποµένως οι πραγµατικές ιδιοτιµές ικανοποιούν z [, 0] [0, ] δηλ. z [, ]. ϐ Οι ιδιάζουσες τιµές του A είναι οι ϑετικές τετραγωνικές ϱίζες του A A. Από την µπλοκ µορφή και τη συµµετρία των υποµητρώων ϐλέπουµε ότι ( (µ + 0 A 0 0 A A Εποµένως, η µια ιδιάζουσα τιµή είναι µ + 0 και οι υπόλοιπες δύο, οι µη αρνητικές τετραγωνικές ϱίζες των ιδιοτιµών του A A. ( Εχει ενδιαφέρον αλλά δεν είναι απαραίτητο να παρατηρήσετε ότι αν ϑέσουµε e = [,],f = [, ], τότε A = ef. Εποµένως ( A A = για το οποίο εύκολα συµπεραίνετε ότι οι ιδιοτιµές είναι 0, 4. (Σηµ.: Με ϐάση τα προηγούµενα προοαιρετικά, µπορείτε παρατηρήστε ότι A A = fe ef = ff = 4ff /(f f εποµένως οι ιδιοτιµές είναι 4 ϕορές οι ιδιοτιµές του µητρώου προβολής ff /(f f δηλ. 4 {0,}. Εποµένως οι ιδιάζουσες τιµές του A ϑα είναι σ = µ + 0, σ =, και σ 3 = 0. (Σηµ. Προσέξτε πρέπει να είναι όλες µη αρνητικές. Επίσης η διάταξη έχει σηµασία. γ Εχουµε A V Σ V εποµένως τα δεξιά ιδιάζοντα διανύσµατα είναι τα ιδιοδιανύσµατα του A A που όπως ϐρήκαµε παραπάνω είναι A (µ Το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή (µ+0 (δηλ. το ιδιάζον διάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιάζουσα τιµή µ + 0 είναι προφανώς v = [,0,0]. Παρατηρώντας τα στοιχεία του µητρώου και κανονικοποιώντας τα ιδιοδιανύσµατα ϕαίνεται άµεσα ότι το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή 4 (δηλ. το ιδιάζον διάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιάζουσα τιµή είναι v = [0,,]. Τέλος το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή 0 (δηλ. το ιδιάζον διάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιάζουσα τιµή 0 είναι v 3 = [0,,]. Εποµένως 0 0 V = 0 0. δ Εστω ότι µ = 0. Οι ιδιάζουσες τιµές του είναι 0,,0 ενώ τα δεξιά ιδιάζοντα διανύσµατα παραµένουν τα ίδια. Επειδή σ 3 = 0 είναι η µοναδική µηδενική ιδιάζουσα τιµή, η ορθοκανονική ϐάση για το µηδενόχωρο του A είναι το v 3. Προσοχή: Το (δ ϐρίσκεται επίσης χωρίς χρήση ιδιαζουσών τιµών, µε ϐάση τη ϑεωρία που γνωρίζετε για τον υπολογισµό του µηδενοχώρου. Προσοχή όµως, γιατί η ϑεωρία αυτή δεν οδηγεί αυτόµατα σε ορθοκανονική ϐάση. Στην ειδική περίπτωση παραπάνω, η ορθογωνιότητα δεν ϑα είναι πρόβληµα γιατί η ϐάση περίεχει µόνον ένα διάνυσµα, ϑα πρέπει όµως να µην ξεχάσετε να κανονικοποιήσετε. ίνεται το µητρώο [,,3;,6,6;3,8,]. (εκδχ. Α Στα παρακάτω σας προτείνουµε να χρησιµοποιήσετε το ϑεώρηµα Cayley Hamilton. α Να ϐρείτε ϐαθµωτούς α,β,γ τέτοιους ώστε A 3 = αa + βa + γi, όπου I είναι το ταυτοτικό µητρώο. ϐ Να ϐρείτε το µητρώο A. Το ϑεώρηµα Cayley Hamilton λέει ότι αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός µητρώου είναι το p(λ, τότε p( 0. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του παραπάνω A είναι (Εκδχ. Α det(a λi = det λ 3 6 λ λ 6

7 Υπολογίζουµε την ορίζουσα µε όποιον τρόπο ϑέλουµε οπότε p(λ = λ 3 6λ λ + 3. Εποµένως, από το ϑεώρηµα αν αντικαταστήσουµε τη µεταβλητή λ µε το µητρώο A προκύπτει ότι 0 = A 3 6A A + 3I, όπου I είναι το ταυτοτικό µητρώο ίδιας διάστασης µε το A. Εποµένως, για το µέρος (α, έχουµε ότι A 3 = 6A + A 3I άρα α = 6,β =,γ = 3. Για το µέρος (ϐ, πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της παραπάνω εξίσωσης µε A (υπάρχει γιατί ο συντελεστής του I, που είναι το γινόµενο των ιδιοτιµών του A είναι µη µηδενικός οπότε και αντικαθιστώντας τις τιµές έπεται ότι A = 6A + I 3A A = 3 A A + 3 I A = Προσοχή: Μπορείτε να υπολογίσετε το αντίστροφο χωρίς το ϑεώρηµα Cayley Hamilton όµως η διαδικασία µπορεί να είναι πιο επίπονη. Στην περίπτωσή µας δεν χρειάζονται διαιρέσεις και απαλοιφές ούτε υπολογισµός οριζουσών. Επιπλέον έχετε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έτοιµο από το µέρος (α. 7