ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν α= ( x,y ), β= ( x,y) γ= x,y α β+ γ = α β+ α γ να αποδείξετε ότι: ( ) και ( ) 3 3 διανύσματα του επιπέδου Oxy Μονάδες 0 Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον τύπο που υπολογίζει τον συντελεστή Α x,y και διεύθυνσης λ μίας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ( ) ( ) Β x,y με x x. Μονάδες 5 Α3. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από το κάθε γράμμα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ, αν είναι λανθασμένη. (α) Αν Α( x,y ), ( ) συντεταγμένες ( ) B x,y δύο σημεία του επιπέδου Oxy τότε οι x,y του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι: x+ x y+ y x =,y= (β) Αν ε,ε δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης λ,λ αντίστοιχα, τότε ισχύει ε ε λ λ =. (γ) Αν α= ( x,y) και β= ( x,y) δύο διανύσματα του επιπέδου Oxy τότε: α β= x y+ x y (δ) Αν α / /xx τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
(ε) Η εξίσωση μιας κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σημείο ( ) 0 0 A x,y είναι η x = x0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα διανύσματα: u = 3,κ v = 3, 3 ( ), ( ) με κ> 0 τα οποία έχουν ίσα μέτρα. Β. Να δείξετε ότι κ= 3. Β. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u,v είναι κάθετα. B3. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u+ v B4. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα u+ v και u.. Μονάδες 8 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α (, ), Β(,3 ), Γ( 5,3 ) Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Μονάδες 8 Γ. (i) Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ της πλευράς ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες ( 3, ). (Μονάδες 3) (ii) Nα δείξετε ότι η μεσοκάθετος της πλευράς AΓ του τριγώνου ΑΒΓ έχει ε : y = x + 8. (Μονάδες 7) εξίσωση ( ) Μονάδες 0 Γ3. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ του επιπέδου Oxy για το οποίο το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η ευθεία ( ) τρίγωνο και τέμνει τον άξονα yy β =, β να δείξετε ότι: ( ) Δ. (i) α = (Μονάδες 5) (ii) β = (Μονάδες 5) ε :y= αx+ α+ β η οποία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές στο σημείο ( ) Α 0,. Αν για το διάνυσμα β ισχύει Δ. α= β (Μονάδες 8) Δ3. Οι ευθείες ε : y = x λ + και για κάθε λ ε : y = λx λ + λ + με λ { } σε σημείο το οποίο κινείται πάνω στην ( ) τέμνονται ε. (Μονάδες 7) Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 43 Α. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α( x,y ) y y B x,y με x xείναι λ = x x και ( ) Α3. (α) ΣΩΣΤΟ (β) ΣΩΣΤΟ (γ) ΛΑΘΟΣ (δ) ΛΑΘΟΣ (ε) ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β Β. Τα μέτρα των διανυσμάτων u,v είναι αντίστοιχα και u = 3 + κ u = 3+ κ ( ) ( ) ν = 3 + 3 u = u = 3 Εφόσον έχουν ίσα μέτρα θα ισχύει u = v επομένως κ> 0 3 + κ = 3 3+ κ = κ = 9 κ= 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
Β. Για κ 3 = έχουμε u = ( 3,3) ενώ v = ( 3, 3) Το εσωτερικό τους γινόμενο είναι: u v= 3,3 3, 3 = 3 3 3 3 = 0 Επομένως τα διανύσματα είναι κάθετα. Β3. Το μέτρο του διανύσματος u+ v μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους Α-τρόπος uv 0 u + v = u + v = u + u v + v = u + u v + v = v = = 4 = ( ) ( ) Άρα u + v = 4 = 6 u= v Β-τρόπος Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος u+ v u + v = 3,3 + 3, 3 = 3 + 3,3 3 ( ) u+ v = 3+ 3 + 3 3 = 3+ 6 3+ 3+ 9 6 3+ 3 = 4 = 6 Β4. συν( u v,u) ( u+ v) u u + v u u + v u 3 + = = = = = = u+ v v u+ v v u+ v v 6 3 3 Επομένως η γωνία των διανυσμάτων είναι 45 ή π rad. 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΘΕΜΑ Γ Γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AB είναι: y y 3 = = = B A λαβ xb xa Επομένως η εξίσωση της ευθείας AB είναι: ΑΒ ( ) ε :y = x y= x Γ. (i) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της πλευράς ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ είναι x + x + 5 ya + yγ + 3 = = = και ym = = = A Γ xm 3 Επομένως M ( 3, ). (ii) H μεσοκάθετος ευθεία ( ε ) της πλευράς ΑΓ διέρχεται από το μέσο Μ και τέμνει την ΑΓ κάθετα επομένως λε λαγ = λ y y 3 x x 5 Γ A ΑΓ = = = Γ A λε λαγ = λε = λε = Άρα η ( ε ) διέρχεται από το Μ ( 3, ) και έχει κλίση λε εξίσωση y = ( x 3) y = x+ 6 y= x+ 8 = επομένως έχει Γ3. Έστω ( ) Άρα Δ x,y εφόσον ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο θα ισχύει: AB = ΔΓ ΑΒ = ( x B x A, y B y A) = (,3 ) = (, ) ΔΓ = x x, y y = 5 x,3 y Γ Δ Γ Δ 5 x = x = 4 3 y= y= οπότε Δ( 4, ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 6
ΘΕΜΑ Δ Δ. (α) Η ( ) α+ β = ε y = αx+ α+ β τέμνει τον άξονα yy και τον άξονα xx στο σημείο προκύπτει θέτοντας y 0 = στην εξίσωση της ( ) στο σημείο ( ) Εφόσον το τρίγωνο είναι ισοσκελές ισχύει: ( ΟΑ) = ( ΟΒ) ya = x B = α = α Β-τρόπος A 0, επομένως α+ β B,0 ή B,0 το οποίο α α ε. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) είναι θετικός επομένως η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα xx είναι οξεία και επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές θα είναι η γωνία 45 επομένως λε = εφ45 α = (β) Εφόσον β = (, β ) τότε ( ) β = + β β = + β β + β = + β β β = Δ. Από τη σχέση α+ β = έχουμε διαδοχικά: α+ β = α+ β = 4 α + αβ+ β = 4 + α β συν α,β + = 4 α β συν α,β = α β συν α,β = συν α,β = Άρα ( ) ( ) α, β = 0 δηλαδή τα διανύσματα είναι ομόρροπα και επειδή έχουν ίσα μέτρα θα είναι ίσα. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 6
Δ3. Από τις εξισώσεις των ευθειών ( ε ),ε ( ) έχουμε: Α τρόπος = + ( ) ε : y = λx λ + λ + ( ) ε : y x λ Από τις (, ) ( ) προκύπτει : λx λ + λ+ = x λ+ λx x = λ λ λ x = λ λ Επειδή λ από την τελευταία εξίσωση προκύπτει x = λ οπότε έχουμε : y= λ λ+ y= λ+ αντικαθιστώντας στην ( ) Επομένως το κοινό τους σημείο είναι M( λ,λ + ) Η ευθεία ( ε ) έχει εξίσωση y= x+ που προφανώς το σημείο Μ ανήκει σε αυτήν για κάθε λ. Β τρόπος ε : y = x λ + x y = λ ε : y = λx λ + λ + λx y = λ λ Θα λύσουμε το σύστημα x y = λ λx y = λ λ με τη μέθοδο των οριζουσών λ D = λ λ 0 = + = (από υπόθεση) λ = = + + = λ λ ( ) Dx λ λ λ λ λ λ ( )( ) Dy = = λ λ 4 λ + λ = λ 4 = λ λ + λ λ λ Εφόσον D 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση, δηλαδή οι ευθείες τέμνονται. Άρα D = = και D x x x λ D y y= y= λ+ D ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 6
Επομένως το κοινό τους σημείο είναι M( λ,λ + ) Η ευθεία ( ε ) έχει εξίσωση y= x+ που προφανώς το σημείο Μ ανήκει σε αυτήν για κάθε λ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 6