ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί: Δευτέρ 7 Ινουρίου 019 Διάρκει Εξέτσης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδ 5 πράγρφος 1.3 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδ 41 πράγρφος 1.5 Α3. i. Λάθος ii. Σωστό iii. Σωστό iv. Σωστό v. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. β β συν, β β 1 1 β 1 Β. Κάνοντς πράξεις στην σχέση ( β+λ)( λβ ) 3 β+λ λβ 3 λβ β+λ β λ 3 ( )( ) λβ β+λ β λ 3 4λ 1+λ λ 3 έχουμε: λ + λ λ λ ή 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 5

2 B3. H τετμημένη του δινύσμτος x είνι: ( ) H τετγμένη του δινύσμτος x είνι: ( ) +β + β 1+ 1 β β β β 4 Με βάση τ πρπάνω το διάνυσμ x είνι: x (, ) λ 1 ν ω η γωνί που σχημτίζει το διάνυσμ x με τον άξον xx x τότε εϕω 1 άρ ω 135 ή ω 315 x, βρίσκετι στο 4 ο τετρτημόριο η ζητούμενη Επειδή το διάνυσμ ( ) γωνί είνι η ω 315 Β4. Βρίσκουμε τ μέτρ των δινυσμάτων β κι +β ( ) β β β+β άρ β 3 +β +β 4 + 4β+β άρ +β 3 ( ) Επομένως έχουμε: u ββ+ +β u 3β+ 3 κι v ββ +β v 3β 3 Άρ u v ( 3β+ 3)( 3β 3 ) ( 3β) ( 3 ) Οπότε τ δινύσμτ u,v είνι κάθετ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5

3 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Με βάση το διπλνό σχήμ έχουμε: A β, άρ ΟΑ β, Ισχύει ( ΑΒ ) ( ΟΕ ) β κι ΟΕ // ΑΒ άρ ΟΕ ΑΒ β κι επειδή ΟΕ ( β,0) Ισχύει: β 4 β β+ 0 4 β 4 β άρ β ( β,0) Επίσης ΟΑΕ 45 άρ το τρίγωνο ΟΑΕ ορθογώνιο κι ισοσκελές επομένως β ( ΟΕ ) ( ΑΕ) β Άρ β, (, ). Γ. Γι τ σημεί Α κι Ε ισχύει Α (, ), (,0) Ε κι το Κ μέσο του ΑE άρ xa + xe + xk xκ xκ ya + ye + 0 yκ 1 yk y Κ Επομένως Κ (,1) άρ ΟΚ (,1) Γι το διάνυσμ ΑΒ έχουμε: ΑΒ x x, y y,0 x, y ( ) ( ) ( ) B A B A B B xb xb 4 yb 0 yb ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 5

4 Επομένως Β ( 4, ) άρ ΟΒ ( 4, ) 4 det ( OB,OK) άρ ΟΒ // ΟΚ 1 κι Ο κοινό σημείο επομένως τ σημεί ΟΒΚ,, συνευθεικά. yα yo 0 Γ3. Η ευθεί ΟΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΟΑ 1 κι επειδή xα xo 0 ( ε1 ) ΟΑ θ ισχύει λε λ ΟΑ λ ε. 1 Οπότε η ευθεί ( ε 1) διέρχετι πό το σημείο Κ (,1) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε 1 άρ θ έχει εξίσωση: y 1 1x ( ) y x Γ4. Η ευθεί ΟΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 1 κι διέρχετι πό το σημείο Ο 0,0 άρ έχει εξίσωση y x. ( ) Άρ το συμμετρικό του Κ ως προς την y x είνι το σημείο Κ ( 1, ). ΘΕΜΑ Δ Δ1. Γι τον άξον xx ισχύει: y 0 άρ η ευθεί γίνετι: x 1 x επομένως Α(,0) Γι τον άξον yy ισχύει: x 0 άρ η ευθεί γίνετι: y 1 y β Β 0, β β επομένως ( ) Επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισοσκελές ισχύει ΟΑ ΟΒ x y β β ( ) ( ) A B ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 5

5 Δ. Μ μέσο του ΟΑ άρ xa + x O ya + y O xm xm κι ym ym 0 άρ Μ,0 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς ΒΜ είνι: ym y β B λ ΒΜ εφόσον πό το Δ1 έχουμε ότι β x x M B Άρ η ευθεί ΒΜ έχει εξίσωση y 0 x y x ή y x β Δ3. Κάθε σημείο της μεσοκθέτου ενός ευθύγρμμου τμήμτος ισπέχει πό τ άκρ του. Θ βρούμε την μεσοκάθετο του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ. β Ισχύει: λ ΑΒ 1 Έστω ( ζ ) η μεσοκάθετος τότε ( ζ) ΑΒ λ λ 1 λ 1 ΑΒ ζ ζ x x Α + Β xλ xλ Έστω Λ το μέσο του ΑΒ, τότε yα + yβ yλ β yλ β άρ Λ, ή Λ, Επομένως ( ζ) :y yλ λζ( x xλ) y+ x+ y x Δ4. Η ευθεί ( ) ( ) β λ η Εφόσον οι ευθείες ( η),( ) η : β x y έχει συντελεστή διεύθυνσης ε είνι κάθετε τότε έχουμε: β ( η) ( ε) λη λ ε 1 λ η 1 1 β β β β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 5