Στόχοι Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικά εργαλεία ανάλυσης του Excel που έχουν εφαρµογή σε οικονοµικά και επιχειρησιακά προβλήµατα.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εργαλεία Στόχοι Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικά εργαλεία ανάλυσης του Excel που έχουν εφαρµογή σε οικονοµικά και επιχειρησιακά προβλήµατα. Προσδοκώµενα αποτελέσµατα Με βάση το υλικό που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο θα πρέπει να είστε σε θέση να: Χρησιµοποιείτε το εργαλείο ανάλυσης σεναρίων για να υπολογίζετε το φύλλο εργασίας για διαφορετικούς συνδυασµούς τιµών των ορισµάτων Υπολογίζετε τιµές ορισµάτων τύπου ή συνάρτησης οι οποίες ικανοποιούν ένα συγκεκριµένο αποτέλεσµα Πραγµατοποιείτε αναλύσεις ευαισθησίας µίας και δύο παραµέτρων Χρησιµοποιείτε τα εργαλεία ανάλυσης δεδοµένων για να πραγµατοποιείτε προχωρηµένες στατιστικές αναλύσεις Να συντάσσετε και να επιλύετε σύνθετα προβλήµατα βελτιστοποίησης. Έννοιες - κλειδιά Σενάρια Αναζήτηση στόχου Πίνακας δεδοµένων Ανάλυση δεδοµένων Επίλυση Εισαγωγικές παρατηρήσεις Εκτός από απλές µαθηµατικές, στατιστικές κοκ πράξεις το Excel χρησιµοποιείται για την αντιµετώπιση σύνθετων προβληµάτων που απαιτούν ιδιαίτερα πολύπλοκες υπολογιστικές διεργασίες. Στο κεφάλαιο αυτό συζητάµε τα εργαλεία ανάλυσης του Excel που χρησιµοποιούνται στα πλαίσια σύνθετων αναλύσεων στα οικονοµικά και επιχειρησιακά προβλήµατα. Τα εργαλεία ανάλυσης περιλαµβάνουν µία σειρά από εργαλεία υποθετικής ανάλυσης,

77 εργαλεία προχωρηµένης στατιστικής ανάλυσης και µία ρουτίνα για την αντιµετώπιση σύνθετων προβληµάτων βελτιστοποίησης. ΕΝΟΤΗΤΑ 3.1 Data Tools (Ανάλυση δεδοµένων) What-if Analysis (Ανάλυση πιθανοτήτων) 3.1.1 Scenario Manager ( ιαχείριση σεναρίων) Αρκετά συχνά ζητείται η σύνταξη ενός επιχειρηµατικού σχεδίου και η εξέταση διαφορετικών συνδυασµών για τους παράγοντες που το επηρεάζουν. Κάθε ένας από αυτούς τους συνδυασµούς είναι ένα σενάριο. Το Excel µας δίνει τη δυνατότητα να αποθηκεύσουµε συνδυασµούς τιµών σενάρια για τις παραµέτρους του προβλήµατος που εξετάζουµε και µε µία απλή κίνηση να δούµε το αποτέλεσµα του κάθε σεναρίου ξεχωριστά. Έστω ότι θέλουµε να εξετάσουµε την ΚΠΑ ενός επιχειρηµατικού σχεδίου κάτω από τρία σενάρια: αισιόδοξο, λογικό, απαισιόδοξο. Τα δεδοµένα του σχεδίου συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Επιτόκιο προεξόφλησης περιόδου 10% Κόστος επένδυσης - 40,000 Ταµειακή ροή 1ης περιόδου 8,000 Ταµειακή ροή 2ης περιόδου 9,200 Ταµειακή ροή 3ης περιόδου 10,000 Ταµειακή ροή 4ης περιόδου 12,000 Ταµειακή ροή 5ης περιόδου 14,500 Τα τρία σενάρια που εξετάζουµε αφορούν στις τιµές του προεξοφλητικού επιτοκίου, του κόστους επένδυσης και της ταµειακής ροής της 5 ης περιόδου. Συγκεκριµένα το αισιόδοξο σενάριο θέλει την τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου στο 8%, του κόστους επένδυσης στα 35,000 και την ταµειακή ροή της 5 ης περιόδου στα 16,500. Το λογικό σενάριο είναι αυτό που περιγράφεται από τα δεδοµένα του πίνακα. Και το απαισιόδοξο σενάριο θέλει την τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου στο 12%, του κόστους επένδυσης στα 45,000 και την ταµειακή ροή της 5 ης περιόδου στα 12,500. Θέλουµε να εξετάσουµε την τιµή της ΚΠΑ του σχεδίου για τα τρία αυτά σενάρια.

78 Τοποθετούµε τα δεδοµένα σε φύλλο εργασίας και υπολογίζουµε την ΚΠΑ µε τις τιµές που δίνονται. Στη συνέχεια: Βήµα 1: Βήµα 2: Βήµα 3: Στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools (Εργαλεία δεδοµένων), πιέζουµε το πλήκτρο What-if Analysis (Ανάλυση πιθανοτήτων) και επιλέγουµε Scenario Manager ( ιαχείριση σεναρίων) Πιέστε Add (Προσθήκη) προκειµένου να εισάγετε ένα νέο σενάριο Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται εισάγετε το όνοµα του σεναρίου (Scenario name), τα κελιά που περιλαµβάνουν τις τιµές που είναι διαφορετικές για το συγκεκριµένο σενάριο (Changing cells) προσέξτε πως ορίζονται τα διαδοχικά και τα µη διαδοχικά κελιά και αν θέλετε κάποιο σχόλιο (Comment)

79 Βήµα 4: Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται εισάγετε τις τιµές των κελιών που έχετε προσδιορίσει στο προηγούµενο βήµα Βήµα 5: Πιέστε Add για να εισάγετε τα υπόλοιπα σενάρια, OK για να δεχτείτε απλά το σενάριο που εισάγατε ή Cancel για να ακυρώσετε το σενάριο που εισάγατε Τα κελιά που προσδιορίζουν το σενάριο θα πρέπει απαραιτήτως να έχουν αριθµητικές τιµές και όχι συναρτήσεις ή τύπους. Σε αυτή την περίπτωση το Excel θα µετατρέψει το περιεχόµενο των κελιών σε αριθµητικές τιµές. Για να τρέξετε ένα σενάριο: Βήµα 1: Στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools, πιέζουµε το πλήκτρο What-if Analysis και επιλέγουµε Scenario Manager

80 Βήµα 2: Επιλέξτε το σενάριο που θέλετε να τρέξετε, για παράδειγµα το αισιόδοξο και πιέστε το πλήκτρο Show. Το Excel τρέχει το σενάριο που ζητήσατε. Ουσιαστικά δίνει στα κελιά που προσδιορίσατε τις τιµές που παίρνουν στο αισιόδοξο σενάριο και υπολογίζει την ΚΠΑ µε τις τιµές αυτές. 3.1.2 Goal Seek (Αναζήτηση στόχου) Όταν γνωρίζετε το επιθυµητό αποτέλεσµα ενός τύπου, αλλά όχι την τιµή εισαγωγής µίας από τις παραµέτρους του τύπου, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το εργαλείο Goal Seek (Αναζήτηση στόχου), που βρίσκεται στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools. Έστω ότι στο πρόβληµα της 3.1.1 θέλουµε να υπολογίσουµε τον ΕΒΑ κάτω από το λογικό σενάριο. ηλαδή θέλουµε να βρούµε την τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου η οποία καθιστά την ΚΠΑ ίση µε µηδέν. Τα βήµατα που πρέπει να ακολουθήσουµε αφού τοποθετήσουµε τα δεδοµένα σε φύλλο εργασίας όπως παραπάνω - είναι τα εξής: Βήµα 1: Στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools, πιέζουµε το πλήκτρο What-if Analysis και επιλέγουµε Goal Seek (Αναζήτηση στόχου)

81 Βήµα 2: Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται ορίζουµε το κελί στόχο (Set cell), την τιµή στόχο (To value) και το κελί που περιλαµβάνει την τιµή που θα µεταβάλλεται (By changing cell) προκειµένου να επιτευχθεί η τιµή στόχος στο κελί στόχο. Βήµα 3: Πιέζουµε ΟΚ οπότε εµφανίζεται ένα νέο πλαίσιο διαλόγου που µας παρουσιάζει το αποτέλεσµα της επεξεργασίας. Στο φύλλο εργασίας έχει επιστραφεί η τιµή (9.63%) η οποία ικανοποιεί το κριτήριο που τέθηκε και η ΚΠΑ που υπολογίζεται µε βάση αυτή την τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου είναι 0. Βήµα 4: Πιέζουµε ΟΚ αν αποδεχόµαστε την τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου τον ΕΒΑ δηλαδή που προέκυψε ή Cancel για να επιστρέψουµε στις αρχικές τιµές προεξοφλητικού επιτοκίου και ΚΠΑ.

82 Η αναζήτηση στόχου πραγµατοποιεί βελτιστοποίηση χωρίς περιορισµούς (unconstrained optimization) οπότε θα πρέπει να ελέγχεται κάθε φορά η φυσική ερµηνεία των λύσεων. Για σύνθετα προβλήµατα όπου µπορούν να προσδιοριστούν και οι πιθανοί περιορισµοί των µεταβλητών χρησιµοποιείται η εφαρµογή Solver (Επίλυση) που θα δούµε σε επόµενη ενότητα. 3.1.3 Data Table (Πίνακας δεδοµένων) Το Excel παρέχει τη δυνατότητα διεξαγωγής µίας ακολουθίας εντολών, πράξεων για διαφορετικές τιµές µίας ή δύο µεταβλητών χωρίς να είναι απαραίτητη η αντιγραφή των σχέσεων υπολογισµού. Οι πίνακες δεδοµένων είναι ιδιαίτερα χρήσιµοι σε περιπτώσεις όπου θέλουµε να πραγµατοποιήσουµε ανάλυση ευαισθησίας π.χ. πως µεταβάλλεται η καθαρή παρούσα αξία ενός έργου καθώς µεταβάλλεται η τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου ή πως µεταβάλλεται η καθαρή παρούσα αξία ενός έργου καθώς µεταβάλλεται η τιµή του προεξοφλητικού επιτοκίου και ο οριακός συντελεστής φορολόγησης. Θα δούµε την εφαρµογή των πινάκων δεδοµένων µέσα από δύο παραδείγµατα. Έστω ότι υπολογίζουµε την τελική αξία µίας σειράς πληρωµών µίας νοµισµατικής µονάδας και την παρούσα αξία µίας σειρά πληρωµών µίας νοµισµατικής µονάδας για επιτόκιο 4.5% και 5 πληρωµές. Ο υπολογισµός αυτός γίνεται µέσω των συναρτήσεων FV και PV µε τις κατάλληλες αναφορές στα κελιά που περιλαµβάνουν τις τιµές των ορισµάτων. Θέλουµε αρχικά να δούµε πως µεταβάλλεται η τελική αξία και η παρούσα αξία της σειράς πληρωµών αν αντί για 5 πληρωµές έχουµε 1, 5, 10, 15, 20. Ένας γρήγορος τρόπος για να το κάνουµε αυτό είναι µέσω πίνακα δεδοµένων µίας µεταβλητής. Τα βήµατα που πρέπει να ακολουθήσουµε είναι τα εξής:

83 Βήµα 1: Βήµα 2: ηµιουργούµε στήλη (ή γραµµή) που περιλαµβάνει τις τιµές της µεταβλητής για τις οποίες θα επαναληφθεί ο υπολογισµός της υπό εξέταση σχέσης Πραγµατοποιούµε αναφορά στη σχέση την οποία εξετάζουµε στο άνω δεξί άκρο της στήλης µε τις τιµές που δηµιουργήσαµε στο Βήµα 1 όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Στο παράδειγµα που εξετάζουµε η αναφορά γίνεται και στις δύο σχέσεις (τελική αξία, αρχική αξία) Βήµα 3: Βήµα 4: Επιλέγουµε το εύρος Β12:C17 (άνω αριστερό άκρο ως κάτω δεξί άκρο του πίνακα) Στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools, πιέζουµε το πλήκτρο What-if Analysis και επιλέγουµε Data Table Βήµα 5: Στο Column input cell (Κελί εισαγωγής στήλης) προσδιορίζουµε τη διεύθυνση του κελιού που περιλαµβάνει την αρχική τιµή της µεταβλητής η οποία θα αντικαθίσταται κάθε φορά από τις τιµές που έχουν καταχωρηθεί στο Βήµα 1, δηλαδή το κελί B6 που περιλαµβάνει τον αριθµό των πληρωµών

84 Σε περίπτωση που ο πίνακας είχε οριστεί οριζοντίως είχαµε δηλαδή γραµµή που περιλαµβάνει τις τιµές της µεταβλητής για τις οποίες θα επαναληφθεί ο υπολογισµός της υπό εξέταση σχέσης προσδιορίζουµε το κελί Β6 στο Row input cell (Κελί εισαγωγής γραµµής) Βήµα 6: Επιλέγουµε ΟΚ ή πιέζουµε το Eenter Το αποτέλεσµα της ενέργειας που περιγράψαµε είναι να εµφανιστούν στην περιοχή Β13:C17 η τελική αξία και η παρούσα αξία της σειράς πληρωµών για επιτόκιο 4.5% και 1, 5, 10, 15, 20 πληρωµές. Ασφαλώς η εφαρµογή που περιγράψαµε µπορεί να γίνει και για µία στήλη µόνο, π.χ. µόνο αρχική ή µόνο τελική αξία, καθώς επίσης και για περισσότερες από δυο στήλες αν θέλαµε να εξετάσουµε την ευαισθησία και άλλων µεγεθών ως προς το πλήθος των πληρωµών. Το παράδειγµα που εξετάστηκε αφορά στη δηµιουργία πίνακα δεδοµένων µίας µεταβλητής. Πολλές φορές είναι χρήσιµο να διερευνηθεί η ευαισθησία µίας σχέσης καθώς µεταβάλλονται οι τιµές δύο µεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται. Στην περίπτωση αυτή γίνεται η χρήση πίνακα δεδοµένων δύο µεταβλητών. Θα δείξουµε ως παράδειγµα πως υπολογίζονται τιµές για την τελική αξία µίας σειράς πληρωµών σε πίνακα αναγωγής, για διαφορετικά επιτόκια και διαφορετικό αριθµό

85 πληρωµών. Οι τιµές που εξετάζουµε είναι για επιτόκιο 3.5%, 4.0%,, 5.5% και 1, 5, 10, 15, 20 πληρωµές. Για να διαµορφώσουµε το κατάλληλο περιβάλλον στο Excel, ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Βήµα 1: Βήµα 2: Βήµα 3: ηµιουργούµε στήλη που περιλαµβάνει τις τιµές της µίας µεταβλητής για τις οποίες θα επαναληφθεί ο υπολογισµός της υπό εξέταση σχέσης ηµιουργούµε γραµµή που περιλαµβάνει τις τιµές της δεύτερης µεταβλητής για τις οποίες θα επαναληφθεί ο υπολογισµός της υπό εξέταση σχέσης Πραγµατοποιούµε αναφορά στη σχέση την οποία εξετάζουµε όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Στο παράδειγµα που εξετάζουµε η αναφορά γίνεται µόνο στη σχέση της τελικής αξίας Βήµα 3: Βήµα 4: Βήµα 5: Επιλέγουµε το εύρος Α21:F26 Στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools, πιέζουµε το πλήκτρο What-if Analysis και επιλέγουµε Data Table Στο Κελί εισαγωγής στήλης προσδιορίζουµε τη διεύθυνση του κελιού που περιλαµβάνει την αρχική τιµή της µεταβλητής η οποία θα αντικαθίσταται κάθε φορά από τις τιµές που έχουν καταχωρηθεί στο εύρος A22:A26 σε διάταξη στήλης ενώ στο Κελί εισαγωγής γραµµής προσδιορίζουµε τη διεύθυνση του κελιού που

86 περιλαµβάνει την αρχική τιµή της µεταβλητής η οποία θα αντικαθίσταται κάθε φορά από τις τιµές που έχουν καταχωρηθεί στο εύρος B21:F21 σε διάταξη γραµµής, τα Β6 και Β5 αντίστοιχα Βήµα 6: Επιλέγουµε ΟΚ ή πιέζουµε το Enter Το αποτέλεσµα της ενέργειας που περιγράψαµε είναι να εµφανιστούν στην περιοχή Β22:F26 η τελική αξία της σειράς πληρωµών για επιτόκιο 3.5%, 4.0%,, 5.5% και 1, 5, 10, 15, 20 πληρωµές. Παράδειγµα 1 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Θέλετε να κάνετε αίτηση για στεγαστικό δάνειο ύψους 200,000. Το σταθερό επιτόκιο στο οποίο δανείζει η τράπεζα είναι στην παρούσα φάση 4.5%. Το δάνειο θα εξοφλείται τοκοχρεολυτικά σε µηνιαία βάση. Έχετε την επιλογή να δανειστείτε για 15, 20, 25, 30, 35 ή 40 χρόνια. Για να υπολογίσετε τη δόση του δανείου µπορείτε να χρησιµοποιήσετε την συνάρτηση PMT µε τα κατάλληλα ορίσµατα και να δηµιουργήσετε ένα πίνακα µίας µεταβλητής όπως φαίνεται στην εικόνα:

87 Παρατηρήστε στη σύνταξη της συνάρτησης PMT την προσαρµογή του ετήσιου επιτοκίου σε µηνιαίο Β2/Β4 και τον προσδιορισµό του αριθµού πληρωµών ως συνάρτηση του αριθµού ετών Β4*Β3 ώστε να µπορούµε να πραγµατοποιήσουµε στη συνέχεια την ανάλυση ευαισθησίας. Το κελί C9 περιλαµβάνει την αναφορά στο κελί Β6 όπου γίνεται ο αρχικός υπολογισµός της τοκοχρεολυτικής δόσης. Για να εµφανιστούν τα αποτελέσµατα στα κελιά C10:C15 πρέπει: να επιλέξουµε τα κελιά Β9:C15, στο µενού Data, στην κατηγορία Data Tools, να πιέσουµε το πλήκτρο What-if Analysis και µετά Data Table και στο Κελί εισαγωγής στήλης να δώσουµε τη διεύθυνση Β3. Έστω τώρα ότι θέλουµε να µεταθέσουµε την απόφαση µας δύο µήνες αργότερα. Στο σχετικά ασταθές επιτοκιακό περιβάλλον που επικρατεί τα επιτόκια µετά από δύο µήνες µπορούν να κινηθούν κατά 0.25% ή 0.50% είτε ανοδικά είτε πτωτικά οπότε θα θέλατε να εξετάσετε ποια θα είναι η δόση σε κάθε περίπτωση επιτοκίου και πιθανής διάρκειας. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να καταστρώσουµε ένα πίνακα δεδοµένων δύο µεταβλητών. Το αποτέλεσµα της ανάλυσης φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Στο Κελί εισαγωγής στήλης καταχωρούµε τη διεύθυνση Β3 όπως προηγουµένως ενώ στο Κελί εισαγωγής γραµµής καταχωρούµε τη διεύθυνση Β2. Ο πίνακας που προκύπτει έχει την εξής ερµηνεία: η µηνιαία δόση του δανείου για διάρκεια 30 ετών και επιτόκιο 4.25% είναι 983.33.

88 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.2 Ανάλυση δεδοµένων Μια ευρύτατη γκάµα σύνθετων στατιστικών υπολογισµών προσφέρεται µέσω του εργαλείου Data Analysis (Ανάλυση εδοµένων). Ο χρήστης καλείται να ορίσει τα δεδοµένα που επιθυµεί να αναλύσει καθώς επίσης και τις επιµέρους παραµέτρους της ανάλυσης. Το Excel χρησιµοποιώντας ειδικές µακροεντολές πραγµατοποιεί τους σχετικούς υπολογισµούς και επιστρέφει αποτελέσµατα σε συγκεκριµένη µορφή συνήθως οργανωµένα σε µορφή πίνακα κα σε κάποιες περιπτώσεις και γραφήµατα. Για να εκκινήσετε το εργαλείο Data Analysis, επιλέξτε το µενού Data και στη συνέχεια πιέστε το πλήκτρο Αµέσως εµφανίζεται ένα πλαίσιο διαλόγου το οποίο σας προτρέπει να επιλέξετε ένα από τα διαθέσιµα εργαλεία ανάλυσης δεδοµένων. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα δώσουµε µία συνοπτική περιγραφή των διαθέσιµων εργαλείων ανάλυσης. Θα εστιάσουµε την περιγραφή µας στην ανάλυση παλινδρόµησης ενώ θα συζητήσουµε συνοπτικά τις χρήσεις των υπόλοιπων εργαλείων.

89 3.2.1 Anova (Ανάλυση διακύµανσης) Αναφορικά µε την ανάλυση διακύµανσης οι διαθέσιµες επιλογές περιλαµβάνουν: ανάλυση διακύµανσης κατά ένα παράγοντα, ανάλυση διακύµανση δυο παραγόντων µε αλληλεπίδραση και ανάλυση διακύµανσης δυο παραγόντων χωρίς αλληλεπίδραση. Η ανάλυση διακύµανσης κατά ένα παράγοντα εκτελεί µια απλή ανάλυση διακύµανσης, επαληθεύοντας την υπόθεση ότι οι µέσες τιµές δύο ή περισσοτέρων δειγµάτων είναι ίσες (εφόσον λαµβάνονται από πληθυσµούς µε την ίδια µέση τιµή). Η τεχνική αυτή επεκτείνεται στις δοκιµές δύο µέσων τιµών, όπως ο έλεγχος t. Η ανάλυση διακύµανσης δυο παραγόντων µε αλληλεπίδραση εκτελεί µια παραλλαγή, δύο παραγόντων µε αναπαραγωγή, της ανάλυσης διακύµανσης ενός παράγοντα, που περιλαµβάνει περισσότερα από ένα δείγµατα για κάθε οµάδα δεδοµένων. Τέλος η ανάλυση διακύµανσης δυο παραγόντων χωρίς αλληλεπίδραση εκτελεί µια ανάλυση διακύµανσης δύο παραγόντων, η οποία δεν περιλαµβάνει περισσότερες από µία δειγµατοληψίες ανά οµάδα, κάνοντας δοκιµή της υπόθεσης ότι οι µέσες τιµές δύο ή περισσοτέρων δειγµάτων είναι ίσες (εφόσον λαµβάνονται από πληθυσµούς µε την ίδια µέση τιµή). Η τεχνική αυτή επεκτείνεται σε δοκιµές για δύο µέσες τιµές, όπως ο έλεγχος t. 3.2.2 Correlation (Συσχέτιση) Το εργαλείο ανάλυσης Συσχέτιση µετρά τη σχέση µεταξύ δύο συνόλων δεδοµένων, τα οποία έχουν κλιµάκωση, ώστε να είναι ανεξάρτητα από µονάδα µετρήσεως. Ο υπολογισµός της συσχέτισης πληθυσµού επιστρέφει τη συνδιακύµανση των δύο συνόλων δεδοµένων, διαιρούµενη δια του γινοµένου των τυπικών τους αποκλίσεων. Επιστρέφει ένα πίνακα όπου το κάθε στοιχείο αντιπροσωπεύει τη συσχέτιση µεταξύ των αντίστοιχων στηλών (ή γραµµών) δεδοµένων. 3.2.3 Covariance (Συνδιακύµανση) Το εργαλείο ανάλυσης Συνδιακύµανση χρησιµοποιείται σε συναφές πλαίσιο ανάλυσης µε το εργαλείο Συσχέτιση. Επιστρέφει τη συνδιακύµανση των δύο συνόλων δεδοµένων σε πίνακα όπου το κάθε στοιχείο αντιπροσωπεύει τη συνδιακύµανση µεταξύ των αντίστοιχων στηλών (ή γραµµών) δεδοµένων. Χρησιµοποιεί τη συνάρτηση COVAR ενώ στη διαγώνιο του πίνακα που επιστρέφεται, στη γραµµή i, στήλη i υπολογίζεται η συνδιακύµανση µίας µεταβλητής µε τον εαυτό της δηλαδή η διακύµανση του πληθυσµού όπως υπολογίζεται από τη συνάρτηση VARP.

90 3.2.4 Descriptive Statistics (Περιγραφικά στατιστικά) Το εργαλείο αυτό επιστρέφει επιλεγµένα περιγραφικά στατιστικά κεντρικής τάσης και διασποράς. 3.2.5 Exponential Smoothing (Εκθετική εξοµάλυνση) Το εργαλείο Exponential Smoothing προβλέπει µια τιµή, µε βάση την πρόβλεψη της προηγούµενης περιόδου, προσαρµοσµένη κατά το σφάλµα αυτής της προηγούµενης πρόβλεψης. Το εργαλείο χρησιµοποιεί τη σταθερά εξοµάλυνσης a, το µέγεθος της οποίας καθορίζει την ανταπόκριση των προβλέψεων στο σφάλµα της προηγούµενης πρόβλεψης. 3.2.6 F-Test Two-Sample for Variances (Έλεγχος F των διακυµάνσεων δύο δειγµάτων) Το εργαλείο αυτό πραγµατοποιεί έναν έλεγχο F δύο δειγµάτων για τη σύγκριση των διακυµάνσεων δύο πληθυσµών. Με βάση τη µηδενική υπόθεση, δύο δείγµατα προέρχονται από κατανοµές µε κοινή διακύµανση. 3.2.7 Fourier Analysis (Ανάλυση Fourier) Το εργαλείο ανάλυσης Fourier επιλύει προβλήµατα γραµµικών συστηµάτων και αναλύει περιοδικά δεδοµένα, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του Μετασχηµατισµού Fourier (Fast Fourier Transform - FFT) για το µετασχηµατισµό δεδοµένων. Το εργαλείο αυτό υποστηρίζει επίσης αντίστροφο µετασχηµατισµό, ο οποίος, όταν εφαρµοστεί στα ήδη µετασχηµατισµένα δεδοµένα, επιστρέφει τα αρχικά δεδοµένα. 3.2.8 Histogram (Ιστόγραµµα) Αυτό το εργαλείο ανάλυσης υπολογίζει µεµονωµένες και αθροιστικές συχνότητες για µια περιοχή κελιών δεδοµένων και κλάσεων δεδοµένων. Το εργαλείο αυτό δηµιουργεί δεδοµένα για τον αριθµό των εµφανίσεων µιας τιµής σε ένα σύνολο δεδοµένων. 3.2.9 Moving Average (Κυλιόµενος µέσος) Χρησιµοποιήστε το εργαλείο ανάλυσης Moving Average για να υπολογίσετε τιµές σε στο διάστηµα πρόβλεψης, µε βάση τον µέσο όρο της µεταβλητής επί ενός συγκεκριµένου αριθµού προηγούµενων διαστηµάτων.

91 3.2.10 Random Number Generation (Γεννήτρια τυχαίων αριθµών) Αυτό το εργαλείο ανάλυσης επιστρέφει µία περιοχή µε ανεξάρτητους τυχαίους αριθµούς που λαµβάνονται από µία κατανοµή µεταξύ πολλών, π.χ. Uniform, Normal, Bernoulli, Binomial, Poisson. 3.2.11 Rank and Percentile (Τάξη και εκατοστηµόρια) Χρησιµοποιήστε το εργαλείο Rank and Percentile για να δηµιουργήσετε ένα πίνακα µε την αριθµητική και την ποσοστιαία σειρά κατάταξης κάθε τιµής σε ένα σύνολο δεδοµένων. 3.2.12 Regression (Παλινδρόµηση) Το εργαλείο ανάλυσης Παλινδρόµηση εκτελεί γραµµική παλινδροµική ανάλυση, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, για να προσαρµόσει µια γραµµή σε ένα σύνολο παρατηρήσεων. Μπορείτε να αναλύσετε τον τρόπο που µια µεµονωµένη εξαρτηµένη µεταβλητή επηρεάζεται από τις τιµές µίας ή περισσοτέρων ανεξάρτητων µεταβλητών. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται το πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται κατά την ενεργοποίηση της ρουτίνας Παλινδρόµηση στην Ανάλυση εδοµένων από το µενού Εργαλεία. Η Περιοχή εισόδου Υ περιλαµβάνει τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής ενώ η Περιοχή εισόδου Χ περιλαµβάνει τις τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής ( η των ανεξάρτητων µεταβλητών αν το πρόβληµα είναι πολυµεταβλητό). Καθορίστε τις επιλογές Ετικέτες (αν στο πρώτο κελί των δεδοµένων σας έχετε καταχωρήσει το όνοµα της µεταβλητής), Βαθµός εµπιστοσύνης, Ο σταθερός όρος είναι 0 ανάλογα µε το πρόβληµα. Μπορείτε να επιλέξετε αν τα δεδοµένα θα επιστραφούν σε συγκεκριµένο σηµείο το φύλλου εργασίας που επεξεργάζεστε, σε νέο φύλλο εργασίας του βιβλίου εργασίας που επεξεργάζεστε ή σε νέο βιβλίο εργασίας. Επιλέξτε τέλος αν θέλετε να σας επιστραφούν τα Υπόλοιπα ή/και τα Τυποποιηµένα υπόλοιπα ή/και τα σχετικά διαγράµµατα ή/και το ιάγραµµα κανονικής πιθανότητας.

92 Αφού ολοκληρώσετε την εισαγωγή των ορισµάτων και πραγµατοποιήσετε τις υπόλοιπες επιλογές σας στο φύλλο εργασίας (εφόσον αυτό έχετε επιλέξει) εµφανίζεται ο ακόλουθος πίνακας: Η χρήση της ρουτίνας Παλινδρόµηση παρουσιάζει το πλεονέκτηµα ότι πραγµατοποιεί µία περισσότερο ολοκληρωµένη ανάλυση σε σχέση µε τις δυνατότητες που παρέχουν οι στατιστικές συναρτήσεις που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Παρατηρήστε ωστόσο ότι η ανάλυση αυτή παρουσιάζει µία στατικότητα, δηλαδή τα αποτελέσµατά της δεν ανανεώνονται αν αλλάξουν τα αρχικά δεδοµένα. Σε περιπτώσεις όπου κάτι τέτοιο απαιτείται προτιµάται η χρήση των ανάλογων συναρτήσεων.

93 3.2.13 Sampling ( ειγµατοληψία) Το εργαλείο αυτό δηµιουργεί δείγµα από έναν πληθυσµό, θεωρώντας ως πληθυσµό την περιοχή εισόδου. Όταν ο πληθυσµός είναι υπερβολικά µεγάλος για να γίνει επεξεργασία ή γράφηµα, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα. Μπορείτε επίσης να δηµιουργήσετε ένα δείγµα, το οποίο περιέχει µόνο τιµές από ένα συγκεκριµένο τµήµα µιας περιόδου, αν θεωρείτε ότι τα εισαγόµενα δεδοµένα είναι περιοδικά. 3.2.14 t-test (Έλεγχος t) Το εργαλείο t-test ελέγχει τους µέσους όρους διαφορετικών τύπων πληθυσµών. ιακρίνονται τρεις περιπτώσεις: έλεγχος t του µέσου δύο δειγµάτων συσχετισµένων ζευγών, έλεγχος t δύο δειγµάτων µε υποτιθέµενες ίσες διακυµάνσεις και έλεγχος t δύο δειγµάτων µε υποτιθέµενες άνισες διακυµάνσεις. Μεταξύ των αποτελεσµάτων που λαµβάνονται µε αυτό το εργαλείο είναι και η διακύµανση συνόλου, ένα αθροιστικό µέτρο της διασποράς δεδοµένων περί τη µέση τιµή, που προέρχεται από τον τύπο που ακολουθεί. 3.2.15 z-test (Έλεγχος z) Το εργαλείο αυτό εκτελεί έλεγχο z δύο δειγµάτων για µέσες τιµές µε γνωστές διακυµάνσεις. Το εργαλείο αυτό χρησιµοποιείται για τον έλεγχο υποθέσεων της διαφοράς µεταξύ των µέσων τιµών δύο πληθυσµών. Παράδειγµα 2 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στο Παράδειγµα 3 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 δίνονται µέσες ετήσιες τιµές πετρελαίου για τα έτη 1994 2007 (πηγή ΟΠΕΚ) σε δολάρια ανά βαρέλι. Έτος 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 $/βαρέλι15.53 16.86 20.29 18.68 12.28 17.48 27.6 23.12 24.36 28.1 36.05 50.64 61.08 63.34 Μπορούµε να υπολογίσουµε τα περιγραφικά στατιστικά χρησιµοποιώντας το εργαλείο Descriptive Statistics από την εφαρµογή Data Analysis. Συγκεκριµένα, στην οµάδα εργαλείων Analysis, ενεργοποιούµε το πλήκτρο Data Analysis και αφού επιλέξουµε από τη λίστα Descriptive Statistics, συµπληρώνουµε το πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται όπως στην παρακάτω εικόνα:

94 Τα περιγραφικά στατιστικά θα εµφανιστούν στην περιοχή κελιών που έχουν ως άνω αριστερό άκρο το κελί D2. Για να κατασκευάσουµε ένα ιστόγραµµα για τα δεδοµένα, στην οµάδα εργαλείων Analysis, ενεργοποιούµε το πλήκτρο Data Analysis και αφού επιλέξουµε από τη λίστα Histogram, συµπληρώνουµε το πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται όπως στην παρακάτω εικόνα:

95 Το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι ένας πίνακας αποτελεσµάτων και ένα γράφηµα: Σηµειώνεται ότι το ιστόγραµµα που δηµιουργείται είναι ένα ταξινοµηµένο ιστόγραµµα (Pareto), δηλαδή παρουσιάζει τα δεδοµένα στον σε φθίνουσα σειρά της συχνότητας. Εάν στο πλαίσιο διαλόγου δεν ενεργοποιηθεί η επιλογή Pareto (sorted histogram), το Excel

96 παρουσιάζει τα δεδοµένα σε αύξουσα σειρά και παραλείπει τις τρεις δεξιότερες στήλες που περιέχουν τα ταξινοµηµένα δεδοµένα. Εφόσον ενεργοποιηθεί το πλαίσιο ελέγχου Cumulative Percentage δηµιουργείται µια στήλη στον πίνακα εξόδου για αθροιστικά ποσοστά. Η επιλογή Chart Output δηµιουργεί ένα ενσωµατωµένο ιστόγραµµα στον πίνακα εξόδου. Στην εικόνα που ακολουθεί δεν έχει ενεργοποιηθεί η επιλογή Pareto (sorted histogram), ενώ είναι ενεργοποιηµένες οι επιλογές Cumulative Percentage και Chart Output. ΕΝΟΤΗΤΑ 3.3 Επίλυση Η Επίλυση επιτρέπει τον υπολογισµό της βέλτιστης τιµής (ελάχιστης, µέγιστης ή συγκεκριµένης) για τον τύπο ενός κελιού - το οποίο ονοµάζεται κελί προορισµού - σε ένα φύλλο εργασίας. Η Επίλυση λειτουργεί µε µια οµάδα κελιών, τα οποία σχετίζονται είτε άµεσα είτε έµµεσα µε τον τύπο του κελιού προορισµού. Μεταβάλλοντας τις τιµές στα κελιά που καθορίζονται από τον χρήστη τα ρυθµιζόµενα κελιά - η Επίλυση καταλήγει µε τον τύπο του κελιού προορισµού, στο αποτέλεσµα που καθορίζετε. Οι τιµές στα ρυθµιζόµενα κελιά µπορεί να υπακούουν σε περιορισµούς που καθορίζει ο χρήστης και διαµορφώνουν το σωστό φυσικό πλαίσιο του προβλήµατος που επιλύεται. Θα παρουσιάσουµε τις βασικές πτυχές τις χρήσης της επίλυσης µε τη χρήση ενός παραδείγµατος 1. Μία εταιρεία κατασκευάζει τηλεοράσεις, στερεοφωνικά και ηχεία, από ένα απόθεµα κοινών εξαρτηµάτων. Τα εξαρτήµατα είναι περιορισµένα και πρέπει να καθορίσετε το 1 Χρησιµοποιείται το παράδειγµα Πρόβληµα συνδυασµού προϊόντων µε ελάττωση περιθωρίων κέρδους από το αρχείο το Solvsamp.xls. Το αρχείο βρίσκεται στο φάκελο C:\Program Files\Microsoft Office 2007\Office12\SAMPLES σε υπολογιστές που έχουν εγκαταστηµένο το Excel.

97 πιο επικερδές µεικτό προϊόν για την κατασκευή. Το κέρδος ανά µονάδα κατασκευής ωστόσο µειώνεται αντιστρόφως ανάλογα προς τον όγκο, λόγω πρόσθετων τιµολογιακών κινήτρων που απαιτούνται για την απορρόφηση από τα κανάλια διανοµής. Συγκεκριµένα, το κέρδος για κάθε συσκευή υπολογίζεται από τη σχέση: 0.9 Κέρδος = (Κέρδος ανά συσκευή) (Ποσότητα) όπου το µέγεθος Ποσότητα προσδιορίζει τον αριθµό των συσκευών που κατασκευάζονται και το κέρδος ανά συσκευή είναι 75, 50 και 35 για τις τηλεοράσεις, τα στερεοφωνικά και τα ηχεία αντίστοιχα. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται ο αριθµός των εξαρτηµάτων που χρειάζεται για να κατασκευαστεί κάθε συσκευή. Τηλεόραση Στέρεο Ηχείο Απόθεµα Σκελετός 1 1 0 450 Καθοδικός σωλήνας 1 0 0 250 Μεγάφωνο 2 2 1 800 Τροφοδοτικό 1 1 0 450 Ηλεκτρονικά 2 1 1 600 Ζητείται να βρεθεί η α αριθµός των τηλεοράσεων, στέρεο και ηχείων που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να µεγιστοποιηθεί το κέρδος. Το πρόβληµα µπορεί να αποτυπωθεί στο φύλλο εργασίας ως εξής: Στο κελί F2 εισάγουµε τη συνάρτηση =SUMPRODUCT($B$8:$D$8,B2:D2) η οποία επιστρέφει το άθροισµα των γινοµένων του αριθµού συσκευών επί τον αριθµό των εξαρτηµάτων που απαιτεί κάθε συσκευή για την κατασκευή της. Στο κελί Β11

98 υπολογίζεται το συνολικό κέρδος ανά συσκευή µέσω της σχέσης =B10*B8^0.9. Το συνολικό κέρδος είναι το άθροισµα των συνολικών κερδών ανά συσκευή και υπολογίζεται στο κελί Β12. Αρχικά έχουµε υποθέσει ότι ο αριθµός των συσκευών που κατασκευάζεται είναι 100 για κάθε συσκευή. Για να βρούµε τη βέλτιστη αναλογία: Βήµα 1: Στο µενού Data, στην κατηγορία Analysis (Ανάλυση), πιέζουµε το πλήκτρο Solver Βήµα 2: Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται καταχωρούµαι τα ορίσµατα όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα µε την εξής λογική: Το όρισµα Target Cell (Κελί προορισµού) είναι το κελί που περιλαµβάνει τη σχέση που βελτιστοποιείται Το όρισµα Equal Τo προσδιορίζει αν η βελτιστοποίηση είναι µεγιστοποίηση (Max), ελαχιστοποίηση (Min), η σύγκλιση σε ακριβή τιµή (Value of) Το όρισµα By Changing Cells (Με αλλαγή των κελιών) δείχνει τα κελιά που περιλαµβάνουν τις τιµές οι οποίες µεταβάλλονται προκειµένου να επιτευχθεί ο στόχος της βελτιστοποίησης Στο πλαίσιο Subject to the Constraints (Περιορισµοί) εισάγονται οι περιορισµοί του προβλήµατος. Για να εισάγετε

99 έναν περιορισµό, πιέστε Add (Προσθήκη) και στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται: Στην εικόνα φαίνεται ο περιορισµός σύµφωνα µε τον οποίο ο αριθµός των εξαρτηµάτων που χρησιµοποιούνται δεν µπορεί να υπερβαίνει το απόθεµα του. Επιλέξτε ΟΚ για να εισάγετε τον περιορισµό, Cancel για να τον ακυρώσετε ή Add για να εισάγετε επιπλέον περιορισµούς. Επιλέγοντας ΟΚ επιστρέφουµε στο βασικό πλαισίου διαλόγου Το πλήκτρο Solve (Επίλυση) επιλύει το πρόβληµα βελτιστοποίησης. Το πλήκτρο Options (Επιλογές) δίνει τι δυνατότητα στο χρήστη να ρυθµίσει τις παραµέτρους της ρουτίνας βελτιστοποίησης, ενώ το Reset All (Επαναφορά όλων) καθαρίζει το πλαίσιο διαλόγου από όλα τα ορίσµατα. Επιλέγουµε Solve οπότε εµφανίζεται ένα νέο πλαίσιο διαλόγου όπως φαίνεται στην εικόνα:

100 Βήµα 3: Στα κελιά Β8:D8 έχουν καταχωρηθεί οι τιµές που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήµατος ενώ στο πλαίσιο διαλόγου µας δίνεται η δυνατότητα να διατηρήσουµε τη λύση της επίλυσης επιλέγοντας ΟΚ ή να επαναφέρουµε τις αρχικές τιµές του προβλήµατος. Στο κελί Β12 εµφανίζεται το µέγιστο κέρδος. Ο βέλτιστος αριθµός συσκευών είναι (περίπου) 160 τηλεοράσεις, 200 στέρεο και (περίπου) 80 ηχεία. Με αυτά τα δεδοµένα το µέγιστο συνολικό κέρδος είναι 14,917. Παράδειγµα 3 2 / ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ας υποθέσουµε ότι είστε οικονοµικός σύµβουλος ή διευθυντής µίας εταιρείας. Ένα από τα καθήκοντά σας είναι η διαχείριση επενδύσεων βραχυπρόθεσµων και µετρητών µε τέτοιο τρόπο, ώστε να µεγιστοποιούνται τα έσοδα από τόκους, διατηρώντας παράλληλα αρκετό κεφάλαιο διαθέσιµο για την αντιµετώπιση των εξόδων. Θα πρέπει να αντικαταστήσετε τα υψηλότερα επιτόκια που απορρέουν από µακροπρόθεσµες επενδύσεις µε την ευελιξία που παρέχει η επένδυση του κεφαλαίου σε βραχυπρόθεσµες επενδύσεις. Ζητείται να καθορίσετε την επένδυση του επιπλέον ποσού σε µερίσµατα ενός, τριών και έξι µηνών, ώστε να µεγιστοποιηθεί ο τόκος εσόδων και να διασφαλιστεί 2 Χρησιµοποιείται το παράδειγµα Κεφάλαιο κίνησης από το αρχείο το Solvsamp.xls. Το αρχείο βρίσκεται στο φάκελο C:\Program Files\Microsoft Office 2007\Office12\SAMPLES σε υπολογιστές που έχουν εγκαταστηµένο το Excel.

101 ότι το ποσό των µετρητών κάθε µήνα θα είναι µεγαλύτερο των 100,000. ίνεται ο ακόλουθος πίνακας: Αυτό το µοντέλο υπολογίζει το τελικό ποσό µετρητών, βάσει ενός αρχικού ποσού µετρητών (από τον προηγούµενο µήνα), τα έσοδα από επενδύσεις που έχουν λήξει, έξοδα για νέες επενδύσεις καθώς επίσης και τα µετρητά που απαιτούνται για τα µηνιαία έξοδα της. Πρέπει να πάρετε εννέα, συνολικά, αποφάσεις: τα ποσά που θα επενδυθούν σε επενδύσεις διάρκειας ενός µήνα στους µήνες από 1 έως 6, τα ποσά που θα επενδυθούν σε επενδύσεις τριών µηνών στους µήνες από 1 έως 4 και τα ποσά που θα επενδυθούν σε επενδύσεις διάρκειας έξι µηνών στο µήνα 1. Το συνολικό κέρδος από τους τόκους υπολογίζεται στο κελί Η5 το οποίο αποτελεί το κελί στόχο στο πρόβληµα που εξετάζεται. Τα ρυθµιζόµενα κελιά είναι τα κελιά τα οποία περιέχουν το χρηµατικό ποσό που επενδύεται σε κάθε τύπο επενδύεται. Αυτά είναι τα κελιά Β11:G11 (επενδύσεις διάρκειας 1 µήνα), τα κελιά Β12 και Ε12 (επενδύσεις διάρκειας 3 µηνών) και Β13 (επενδύσεις διάρκειας 6 µηνών). Οι περιορισµοί του προβλήµατος πρέπει να εξασφαλίζουν ότι το χρηµατικό ποσό που επενδύεται θα είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 0, εποµένως Β11:G11 0, Β12 και Ε12 0 και Β13 0 καθώς και ότι το συνολικό ποσό στη λήξη κάθε µήνα θα είναι 100,000. Το πρόβληµα βελτιστοποίησης εισάγεται στη ρουτίνα Solver όπως φαίνεται στην εικόνα: