V A (r) = 1 ρ(r r r. r 2 r 2 ) 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ανάπτυξη σε πολύπολα Υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου από το δυναμικό διπόλου Δυναμικό από πολωμένη ύλη Πυκνωτής με διηλεκτρικό Ο νόμος του Gauss σε διηλεκτρικό Συνέχειες και ασυνέχειες του πεδίου στην διαχωριστική επιϕάνεια διηλεκτρικών Συσχέτιση μικροσκοπικών και μακροσκοπικών μεγεθών 1

Ανάπτυξη σε πολύπολα Κατανομή ϕορτίου ρ, στην περιοχή της αρχής των αξόνων O εκτείνεται σε όγκο V. Το δυναμικό στο σημείο A(r) δίνεται από την (βλ. Σχ.(1) ) V A (r) = 1 ρ(r V )dv r r όπου dv ο στοιχειώδης όγκος. Για r πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της κατανομή, δηλαδή για r /r << 1, αναπτύσσουμε σε δυνάμεις του r /r r r 1 = [ (r r ) 2] 1/2 [ = r 2 2r r + r 2] 1/2 1 = r [ = 1 ( 1 1 ) ( 2r r + 1 ) r 2 r 2 r 2 2 r + 3 ( 2 8 = 1 r + r r + 1 ( r 2 r 3 2 r + 3(r ) r ) 2 +... = 3 r 5 = 1 ˆr r + + 1 ( r 2 r r 2 2 r + 3(ˆr ) r ) 2 +... 3 r 3 [ 1 2r r 2r r r 2 ] 1/2 + r 2 = r 2 r 2 ) 2 +...] όπου ˆr το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση r και χρησιμοποιήσαμε το ανάπτυγμα Στην περίπτωσή μας, (1 + ϵ) a = 1 + 1 1! aϵ + 1 2! a(a 1)ϵ2 +... ϵ = 2r r + r 2 και a = 1/2 r 2 r 2 και αγνοήσαμε όρους (r /r) ν με ν > 2. Το δυναμικό λοιπόν γράϕεται V A (r) = 1 ρ(r V ) dv + 1 ˆr r r 4πϵ 0 V r 2 ρ(r ) dv + 1 1 3 (ˆr r ) 2 r 2 ρ(r ) dv V 2 r 3 Ας δούμε κάθε όρο ξεχωριστά. Στο πρώτο όρο, το r στον παρονομαστή μπορεί να βγει εκτός του ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα που μένει δεν είναι τίποτα άλλο από το συνολικό ϕορτίο Q της κατανομής. Οπότε, ο πρώτος όρος γράϕεται 1 ρ(r V ) dv = 1 1 ρ(r ) dv = 1 Q r 4πϵ 0 r V 4πϵ 0 r = Σχήμα 1: Κατανομή ϕορτίου ρ στην περιοχή της αρχής των αξόνων και σημείο A πολύ μακρυά σε σχέση με τις διαστάσεις της κατανομής 2

Ο δεύτερος όρος, βγάζοντας και πάλι το r 2 του παρονομαστή εκτός του ολοκληρώματος, και γράϕοντας ˆr = (ˆr x, ˆr y, ˆr z ) και r = (x, y, z ), γίνεται 1 1 ˆr r ρ(r ) dv = 1 1 [ˆr r 2 V 4πϵ 0 r 2 x x + ˆr y y + ˆr z z] ρ(r ) dv = V = 1 ] 1 [ˆr r 2 x x ρ(r ) dv + ˆr y y ρ(r ) dv + ˆr z z ρ(r ) dv = V V V = 1 1 r [ˆr xp 2 x + ˆr y p y + ˆr z p z ] = 1 1 r 2ˆr p όπου ορίζουμε ( ) p = (p x, p y, p z ) = x ρ(r ) dv, y ρ(r ) dv, z ρ(r ) dv = r ρ(r ) dv V V V V Το p εξαρτάται μόνο από την κατανομή και ονομάζεται διπολική ροπή της κατανομής ρ. Ας δούμε και τον τρίτο όρο από το V A. Ο αριθμητής του κλάσματος γράϕεται 3 (ˆr r ) 2 r 2 = i,j 3(ˆr i r i)(ˆr j r j) r 2ˆr 2 = i,j 3ˆr iˆr j r ir j i r 2ˆr iˆr i = i,j 3ˆr iˆr j r ir j i,j r 2ˆr iˆr j δ ij = i,j ˆr iˆr j ( 3r i r j r 2 δ ij ) = όπου i και j παίρνουν τις τιμές x, y, z, χρησιμοποιήσαμε ότι ˆr 2 = 1 και το σύμβολο δ ij (δέλτα του Kronecker) ορίζεται { 1, i = j δ ij = 0, i j Ο τρίτος όρος λοιπόν γράϕεται 1 1 1 ( ) ˆr iˆr r 3 j 3r 2 i r j r 2 δ ij ρ(r ) dv = 1 1 1 ˆr iˆr ij V 4πϵ 0 r 3 j Q ij 2 ij όπου ορίζουμε ( Q ij = 3r i r j r 2) ρ(r ) dv V εξαρτάται και πάλι μόνο από την κατανομή και ονομάζεται τετραπολική ροπή της κατανομής. Ξαναγράϕουμε λοιπόν το δυναμικό V A (r) = 1 Q r + 1 1 1 1 1 (ˆr p) + r2 r 3 2 ˆr iˆr j Q ij Στην περίπτωση που το ολικό ϕορτίο Q είναι μηδέν, ο σημαντικός όρος είναι ο δεύτερος V A (r) = 1 1 (ˆr p) r2 Στο σημείο αυτό ας δούμε ότι στην περίπτωση που Q = 0, η διπολική ροπή p είναι ανεξάρτητη από την αρχή των αξόνων που επιλέγουμε. Αν θεωρήσουμε ως νέα αρχή των αξόνων το O 1 με R το διάνυσμα OO 1, θα ισχύει βέβαια r = R + r 1 (βλ. Σχ.(2) ). Οπότε p = r ρ(r ) dv = V r dq = V (r 1 + R) dq = V r 1dq + R V dq = V r 1dq = p 1 V 3 i j

Σχήμα 2: Αλλαγή της αρχής των αξόνων στον υπολογισμό της διπολικής ροπής Στην περίπτωση που εκτός του συνολικού ϕορτίου Q και η διπολική ροπή της κατανομής είναι μηδέν, τότε ο σημαντικός όρος στο δυναμικό είναι αυτός της τετραπολικής ροπής. Υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου από το δυναμικό διπόλου Από τη σχέση που συνδέει το πεδίο με το δυναμικό θα έχουμε ( ) ( ) ( ) 1 ˆr p 1 r p 1 xp x + yp y + zp z E = V = = = r 2 r 3 r 3 Ας δούμε κάθε όρο ξεχωριστά Οπότε Ομοια και τελικά xp x x r 3 yp y x r 3 zp z x r 3 xp x + yp y + zp z = x r 3 Το πεδίο λοιπόν γράϕεται = xp x x (x 2 + y 2 + z 2 ) = p x 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3p x x 2 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = yp y x (x 2 + y 2 + z 2 ) = 3p y yx 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = zp z x (x 2 + y 2 + z 2 ) = 3p z zx 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 p x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3(p xx + p y y + p z z)x 3/2 xp x + yp y + zp z y r 3 xp x + yp y + zp z z r 3 ( ) xpx + yp y + zp z r 3 E = 1 = p x 3(p r)x (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 r3 r 5 = p y 3(p r)y r3 r 5 = p z 3(p r)z r3 r 5 = p 3(p r)r r3 r 5 ( 3(p r)r p ) r 5 r 3 Στο Σχ.(3) σχεδιάζουμε τις δυναμικές γραμμές διπολικής ροπής, θεωρώντας ότι p = (0, 0, p). Περιμένουμε συμμετρία σε στροϕή γύρω από τον άξονα z. Οπότε, σχεδιάζουμε τις δυναμικές γραμμές στο επίπεδο (x, z) Για το σημείο B( r B, 0, 0) θα έχουμε r B p = 0 και το πεδίο γίνεται E B = 1 4 p r 3 B

Σχήμα 3: Δυναμικές γραμμές διπολικής ροπής p Για το σημείο Γ(0, 0, r Γ ), θα έχουμε r Γ p = r Γ p και επειδή τα r και p έχουν κοινό μοναδιαίο διάνυσμα στην περίπτωσή μας 3(p r)r r 5 = 3(r Γpr Γ ) r 5 Γ = 3(pˆr Γ) r 3 Γ = 3p r 3 Γ Και το ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο Γ γίνεται E Γ = 1 2 p rγ 3 Μπορούμε να προσεγγίσουμε την έννοια του διπόλου με την απλούστερη κατασκευή που έχει διπολική ροπή: δύο ϕορτία q και q σε απόσταση l μεταξύ τους (βλ. Σχ.(4α) ). Εϕαρμόζοντας τον ορισμό της διπολικής ροπής για το ζευγάρι των ϕορτίων, το ολοκήρωμα γίνεται απλό άθροισμα στα δύο ϕορτία p = r ρ(r ) dv = r dq = r iq i = qr + + ( q)r = q (r + r ) = ql V V i=1,2 Δυναμική ενέργεια συστήματος ϕορτίων q και q σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο E ext W = qv ext (r )+qv ext (r + ) = q ( V ext (r ) + V ext (r + l)) = q V ext = q ( E ext l) = E ext p (α) (β) Σχήμα 4: Σύστημα δύο ϕορτίων q και q 5

Σχήμα 5: Κύλινδρος υλικού με πόλωση P Η δυναμική ενέργεια γίνεται ελάχιστη όταν το πεδίο και η ηλεκτρική διπολική ροπή είναι παράλληλα και ομόρροπα. Μηχανική ροπή σε δίπολο από ομογενές εξωτερικό πεδίο Θεωρώντας ένα σύστημα δύο ϕορτίων q και q, συνδεδεμένα με μηχνικό τρόπο, που βρίσκονται σε ομεγενές ηλεκτρικό πεδίο E ext, στα δύο ϕορτία ακούνται οι δυνάμεις F 1 = F 2 = qe ext. Η συνολική δύναμη στο σύστημα είναι μηδέν αλλά η ροπή είναι (βλ. Σχ.(4β) ) N = r 1 F 1 + r 2 F 2 = r 1 F 1 r 2 F 1 = (r 1 r 2 ) F 1 = l F 1 = l qe ext = p E ext Στην περίπτωση που έχουμε μη ομεογενές ηλεκτρικό πεδίο, αποδεικνύεται ότι η συνολική δύναμη στο σύστημα των δύο ϕορτίων δίνεται από τις σχέσεις F x = p E x, F y = p E y, F z = p E z Δυναμικό από πολωμένη ύλη Θεωρούμε πολωμένη ύλη σε σχήμα κυλίνδρου με εμβαδόν βάσης A, όπου η πόλωση P είναι παράλληλη με τον άξονα του κυλίνδρου. Ο άξονας των z ταυτίζετται με τον άξονα του κυλίνδρου ενώ οι δύο βάσεις του κυλίνδρου βρίσκονται στα σημεία z = z 1 και z = z 2 (βλ. Σχ.(5) ). Στον απειροστού ύψους dz κύλινδρο αντιστοιχεί διπολική ροπή dp = P(Adz). Αυτή η απειροστή διπολική ροπή δημιουργεί στο σημεία A δυναμικό dv A = 1 ˆr dp = 1 dp cos θ = 1 P A cos θdz r 2 r 2 r 2 Προσπαθώντας να γράψουμε την παραπάνω σχέση ως συνάρτηση μόνο της γωνίας θ, παρατηρούμε ότι l = tan(π θ) = tan θ ldz z z A (z z A ) = dθ 2 cos 2 θ dz = (z z A) 2 l cos 2 θ dθ z z A = cos(π θ) = cos θ r 2 = (z z A) 2 r cos 2 θ Το δυναμικό στο A γίνεται 6

Σχήμα 6: Αντιστοιχεία πολωμένου υλικού και επιϕανειακής πυκνότητας ϕορτίου σ = ±P στις δύο βάσεις του υλικού V A = 1 θ2 P A cos θ (z z A) 2 θ 1 l cos 2 θ dθ cos2 θ (z z A ) = P A 1 2 l = P A 1 l (sin θ 2 sin θ 1 ) = P A ( 1 r 2 1 r 1 ) = 1 θ2 cos θdθ = θ ( 1 ) Q r 2 Q r 1 με Q = P A 1. Το δυναμικό είναι το ίδιο που δημιουργούν δύο ϕορτία ±Q στην θέση των δύο βάσεων του κυλινδρικού υλικού μας με επιϕανειακή πυκνότητα σ = Q/A = P A/A = P. Αν έχουμε ένα μεγάλου μεγέθους υλικό, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι απαρτίζεται από πολλούς κυλίνδρους, οπότε το αποτέλεσμα είναι πάλι το ίδιο: το δυναμικό που δημιουργεί αυτό το υλικό είναι το ίδιο με αυτό δύο επιϕανειακών πυκνοτήτων ϕορτίου σ = ±P στις δύο βάσεις του υλικού (βλ. Σχ.(6) ). Στην περίπτωση που η πόλωση P δεν είναι κάθετη στην εξωτερική επιϕάνεια του υλικού, η αντίστοιχη επιϕανειακή πυκνότητα δίνεται από τη σχέση σ = P όπου P η κάθετη στην επιϕάνεια συνιστώσα της πόλωσης. Πυκνωτής με διηλεκτρικό Πυκνωτής με ορθογώνιους οπλισμούς εμβαδού A και απόσταση μεταξύ των οπλισμών l έχει ϕορτίο Q. Η επιϕανειακή πυκνότητα ϕορτίου σε κάθε οπλισμό θα είνα σ = ±Q/A. Το ηλεκτρικό πεδίο E 0 και η διαϕορά δυαμικού V 0 ανάμεσα από τους οπλισμούς καθώς και η χωρητικότητα C 0 δίνονται από τις σχέσεις E 0 = σ = QA, V = E 0 l = QA l, C 0 = Q ϵ 0 ϵ 0 ϵ 0 V = ϵ A 0 l Γεμίζουμε τον χώρο ανάμεσα στους οπλισμούς με διηλεκτρικό. Τα μόρια του υλικού πολώνονται από το πεδίο του πυκνωτή. Η πόλωση P θα είναι παράλληλη με το ηλεκτρικό πεδίο. Στις επι- ϕάνειες του διηλεκτρικού θα εμϕανιστούν οι επιϕανειακές πυκνότητες δέσμιου ϕορτίο σ b = ±P. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε το διηλεκτρικό με τις δυο στρώσεις των δεσμίων ϕορτίων που δημιουργούν ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο E = σ b /ϵ 0 = P/ϵ 0 και ϕορά αντίθετη της P: E = P/ϵ 0. Επομένως, το συνολικό πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς θα είναι E = E 0 + E = E 0 P ϵ 0 1 Οι διαστάσεις της διπολικής ροπής p είναι ϕορτίο μήκος και της πόλωσης P είναι ϕορτίο/επιϕάνεια. Επομένως, πράγματι, πόλωση επιϕάνεια έχει διαστάσεις ϕπρτίου και η πόλωση έχει ίδιες διαστάσεις με την επιϕανειακή πυκνότητα ϕορτίου σ 7

Σχήμα 7: Πυκνωτής κενός και με διηλεκτρικό Ορίζουμε διηλεκτρική επιδεκτικότητα χ: P = χe σχετική διηλεκτρική επιδεκτικότητα χ r : χ r = χ ϵ 0 σχετική διηλεκτρική σταθερά ϵ r : ϵ r = 1 + χ ϵ 0 = 1 + χ r Οπότε, η σχέση με τα πεδία γράϕεται E = E 0 P ϵ 0 E = E 0 χe ϵ 0 διηλεκτρική σταθερά ϵ: ϵ = ϵ r ϵ 0 ) E (1 + χϵ0 = E 0 Eϵ r = E 0 E = 1 E 0 ϵ r Δηλαδή, το πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς του πυκνωτή με την παρουσία διηλεκτρικού είναι το πεδίο του πυκνωτή χωρίς διηλεκτρικό επί τον παράγοντα 1/ϵ r. Αυτή η σχέση είναι πολύ γενική και ισχύει σε κάθε περίπτωση: αν έχουμε διάϕορους αγωγούς στον κενό χώρο και το πεδίο (στον κενό χώρο) είναι E 0, αν γεμίσουμε τον κενό χώρο με διηλεκτρικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ϵ r, το πεδίο στο διηλεκτρικό είναι E 0 /ϵ r. Ας δούμε τώρα πώς αλλάζει η χωρητικότητα του πυκνωτή όταν έχει διηλεκτρικό. Η χωρητικότητα του κενού πυκνωτή δίνεται από τη σχέση C 0 = Q V 0 = Q E 0 l όπου Q το ϕορτίο του πυκνωτή και V 0 η διαϕορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του. Οταν βάλουμε διηλεκτρικό, έχοντας αποσυνδέσει τον πυκνωτή από την πηγή που τον ϕόρτισε, το ϕορτίο Q δεν αλλάζει. Λόγω της αλλαγής όμως του πεδίου (ουσιαστικά μείωση), μεταβάλλεται η διαϕορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του και επομένως η χωρητικότητά του C = Q V = Q El = ϵ Q r E 0 l = ϵ rc 0 λόγω της σχέσης E = E 0 /ϵ r. Προσέξτε ότι ϵ r > 1. Οπότε, η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξάνει με την εισαγωγή του διηλεκτρικού. Ο νόμος του Gauss σε διηλεκτρικό Σημειακό ϕορτίο Q μέσα σε διηλεκτρικό δημιουργεί ακτινικό πεδίο που, από ό,τι αναϕέρθηκε πιο πάνω, θα έχει τιμή E = 1 ( ) 1 Q ϵ r r 2 Επομένως, ακολουθώντας την ίδια τακτική όπως στην περίπτωση ϕορτίου σε κενό, η ροή από μια κλειστή επιϕάνεια που περιβάλλει το ϕορτίο θα είναι Φ = E da = 1 ϵ r Q ϵ 0 = Q ϵ 8

Αυτό ξαναγράϕεται ως ϵe da = Q D da = Q free όπου ορίσαμε την διηλεκτρική μετατόπιση D = ϵe και γράϕουμε Q free για να ξεχωρίσουμε τα ελεύθερα ϕορτία από τα δέσμια. Η αντίστοιχη διαϕορική μορϕή του νόμου, E = ρ/ϵ 0, τώρα γράϕεται D = ρ free Αν εϕαρμόσουμε το νόμο του Gauss βλέποντας και τα δέσμια ϕορτία Q b ως απλά ϕορτία, θα γράϕαμε (βλ. Σχ.8) ) E da = 1 (Q free + Q b ) ϵ 0 Χρησιμοποιώντας την σχέση που δίνει τα Q free ξαναγράϕουμε E da = 1 ( ) ϵe da + Q b (ϵ 0 ϵ) E da = Q b ϵ 0 Ο παράγοντας στην παρένθεση γράϕεται μιας και ϵ r = χ r + 1. Επομένως (ϵ 0 ϵ) E da = Q b με αντίστοιχη διαϕορική μορϕή ϵ 0 ϵ = ϵ 0 (1 ϵ r ) = ϵ 0 χ r = χ χe da = Q b P = ρ b P da = Q b Συνέχειες και ασυνέχειες του πεδίου στην διαχωριστική επιϕάνεια διηλεκτρικών Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο διηλεκτρικά, με ϵ 1,2 οι διηλεκτρικές σταθερές τους, που διαχωρίζονται από μια επιϕάνεια (βλ. Σχ.(9) ). Τα αντίστοιχα ηλεκτρικά πεδία και οι διηλεκτρικές μετατοπίσεις είναι E 1,2 και D 1,2. Ας θεωρήσουμε μια κλειστή καμπύλη C σε μορϕή ορθογώνιου με τις μεγάλες πλευρές (μήκους l) παράλληλες με την διαχωριστική επιϕάνεια και τις άλλες πολύ μικρές. Μιας και το πεδίο μας είναι διατηρητικό, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην C θα πρέπει να μηδενίζεται E dl = 0 E 2 l E 1 l = 0 E 2 = E 1 C Σχήμα 8: Φορτίο Q σε διηλεκτρικό 9

όπου E 1,2 είναι οι συνιστώσες των αντιστοίχων πεδίων που είναι παράλληλες με την διαχωριστική επιϕάνεια, άρα παράλληλες και με τις μεγάλες πλευρές του ορθογωνίου. Οι κάθετες πλευρές είναι πολύ μικρές και δεν συνεισϕέρουν. Επομένως, κοντά στην διαχωριστική επιϕάνεια, η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου η παράλληλη με την διαχωριστική επιϕάνεια είναι συνεχής. Παίρνοντας τώρα ένα κύλινδρο με την καθεμιά βάση του (με εμβαδόν A) σε ένα από τα διηλεκτρικά και με πολύ μικρό ύψος (βλ. Σχ.(9) ), η συνολική ροή της διηλεκτρικής μετατόπισης D στην επιϕάνεια του κυλίνδρου θα μηδενίζεται μιας και δεν έχουμε καθόλου ελεύθερο ϕορτίο D da = 0 D 1 A D 2 A = 0 D 1 = D 2 s όπου η παράπλευρη επιϕάνεια είναι πολύ μικρή και δεν συνεισϕέρει. Βλέπουμε ότι η συνιστώσα της διηλεκτρικής μετατόπισης που είναι κάθετη στην διαχωριστική επιϕάνεια είναι συνεχής. Με την σχέση που συνδέει ηλεκτρικό πεδίο και διηλεκτρική μετατόπιση, D = ϵe, συμπεραίνουμε ότι ϵ 1 E 1 = ϵ 2 E 2 δηλαδή η κάθετη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίο δεν είναι συνεχής. Στην περίπτωση που ένα από τα διηλεκτρικά είναι το κενό, τότε το αντίστοιχο ϵ γίνετα ϵ 0 (ϵ r = 1). Συσχέτιση μικροσκοπικών και μακροσκοπικών μεγεθών. Mossoti Η ατομική/μοριακή πολωσιμότητα α ορίζεται ως Σχέση Clausius- p = αe eff όπου p η (μοριακή) διπολική ροπή και E eff το ηλεκτρικό πεδίο που προκαλεί την πόλωση. Θέλουμε να συσχετίσουμε το α, που είναι σαϕώς ένα μικροσκοπικό μέγεθος, με μακροσκοπικά μεγέθη όπως ϵ ή χ. Ας θεωρήσουμε έναν πυκνωτή με διηλεκτρικό. Γνωρίζουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο E ανάμεσα στις πλάκες θα οϕείλεται τόσο στην επιϕανειακή πυκνότητα των ελεύθερων ϕορτίων που είναι στις πλάκες του πυκνωτή όσο και στην επιϕανειακή πυκνότητα των δέσμιων ϕορτίων στις επιϕάνειες του διηλεκτρικού. Εμείς θέλουμε να συγκεντρωθούμε σε ένα μόριο του διηλεκτρικού, να βρούμε το πεδίο που πολώνει το μόριο και να εϕαρμόσουμε την σχέση p = αe eff. Αλλά θα πρέπει να εξαιρέσουμε το συγκεκριμένο μόριο που ουσιαστικά συμμετέχει και το ίδιο στον σχηματισμό του συνολικού πεδίου. Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα που θα βοηθήσει στον υπολογισμό του πεδίου στο σημείο που είναι το συγκεκριμένο μόριο. Υποθέστε ότι όλος ο χώρος είναι γεμάτος με διηλεκτρικό που παρουσιάζει πόλωση P, εκτός από μια κενή σϕαιρική κοιλότητα. Θέλουμε να βρούμε το πεδίο που δημιουργείται στο κέντρο O της σϕαιρικής κοιλότητας. Αυτό οϕείλεται στη επιϕανειακή πυκνότητα των δέσμιων ϕορτίων που εμϕανίζονται στην σϕαιρική επιϕάνεια και είναι ίση με (βλ. Σχ. (10) ) σ b = ±P = ±P cos θ Σχήμα 9: Συνέχεια-ασυνέχεια στις επιϕάνειες διηλεκτρικών 10

Οπότε, στο επάνω ημισϕαίριο θα εμϕανίζεται η σ b = P και στο κάτω ημισϕαίριο η σ b = +P. Ας βρούμε το πεδίο που δημιουργεί στο O το πάνω ημισϕαίριο. Διαλέγοντας ως στοιχειώδη επιϕάνεια την λουρίδα ανάμεσα στους παράλληλους με γωνία θ και γωνία θ + dθ, αυτή έχει εμβαδόν da = (2πR sin θ)(rdθ). Και το στοιχειώδες ϕορτίο θα είναι dq = σ b da = P cos θ (2πR sin θ)(rdθ) = 2πP R 2 cos θ sin θ Αυτό το στοιχειώδες ϕορτίο δημιουργεί στο O πεδίο de O = 1 2πP R 2 cos θ sin θdθ R 2 όπου το τελευταίο cos θ προβάλει το πεδίο στον άξονα που ορίζεται από το διάνυσμα της πόλωσης. Αυτό γιατί τα ϕορτία που είναι στην στοιχειώδη λουρίδα δημιουργούν πεδίο με διαϕορετική διεύθυνση και μόνο η προβολή στον άξονα που αναϕέραμε παραμένει. Η κάθετη σ αυτόν συνιστώσα αναιρείται. Το συνολικό πεδίο θα είναι E O = de = π/2 0 1 2πP R 2 cos 2 θ sin θ R 2 = P 2ϵ 0 cos θ π/2 0 cos 2 θ sin θdθ = P 1 2ϵ 0 3 Το πεδίο αυτό έχει ίδια ϕορά με την πόλωση P (το σ b του πάνω ημισϕαιρίου είναι αρνητικό). Το κάτω ημισϕαίριο συνεισϕέρει το ίδιο πεδίο με την ίδια ϕορά, οπότε, το συνολικό πεδίο στο Ο από το σ b στην συνολική επιϕάνεια της σϕαίρας θα είναι E O = P 3ϵ 0 Ενα σημαντικό στοιχείο αυτού του αποτελέσματος είναι ότι δεν εξαρτάται από την ακτίνα R της σϕαιρικής κοιλότητας. Γυρίζουμε στο υπολογισμό του πεδίου που δέχεται το απομονωμένο συγκεκριμένο μόριο που επιλέξαμε. Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μικρή σϕαιρική κοιλότητα γύρω από το μόριο. Οπότε, το μόριο δέχεται το πεδίο από την επιϕανειακή πυκνότητα των ελεύθερων ϕορτίων που είναι στις πλάκες του πυκνωτή και την επιϕανειακή πυκνότητα των δέσμιων ϕορτίων στις επιϕάνειες του διηλεκτρικού που είναι απέναντι στις πλάκες του πυκνωτή (που δημιουργούν το συνολικό πεδίο E ανάμεσα στις πλάκες του πυκνωτή) με επιπλέον τώρα και την επιϕανειακή πυκνότητα στην επιϕάνεια της σϕαιρικής κοιλότητας γύρω από το συγκεκριμένο μόριο. Άρα το συνολικό πεδίο στο μόριο θα είναι E eff = E + P 3ϵ 0 Σχήμα 10: Σϕαιρικό κενό σε διηλεκτρικό 11

Σχήμα 11: Σϕαιρικό κενό σε διηλεκτρικό που βρίσκεται σε πυκνωτή Χρησιμοποιώντας τώρα ότι P = χe, P = N V p, χ = ϵ 0 χ r = ϵ 0 (ϵ r 1) όπου N V γίνεται P N V αριθμός μορίων ανά μονάδα όγκου (θυμηθείτε ότι P = p/v ), η σχέση p = αe eff = α ( E + P ) χe 3ϵ 0 N V = α ( E + χe ) 3ϵ 0 χ 3ϵ 0 + χ = N V α ϵ r 1 3ϵ 0 ϵ r + 2 = N V α 3ϵ 0 Αυτή είναι η σχέση Clausius-Mossoti που συνδέει το μικροσκοπικό μέγεθος της ατομικής/μοριακής πολωσιμότητας α με το μακροσκοπικό μέγεθος της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ϵ r. 12