ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Διατάξεις μέτρησης και καταμεριστές - Γέφυρες και μέθοδοι ισορροπίας ΜΕΡΟΣ Α: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΚΑΙ ΠΗΝΙΑ
1. Καταμεριστές τάσης και ρεύματος Χρησιμοποιούνται σε κυκλώματα από την κλίμακα των kv μέχρι την κλίμακα των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων Διατάξεις μέτρησης Βρίσκονται ενσωματωμένοι σε όλα σχεδόν τα βολτόμετρα και αμπερόμετρα για επέκταση της περιοχής μέτρησης (range) 2. Μετασχηματιστές μετρήσεων Χρησιμεύουν στη μέτρηση υψηλών εναλλασσόμενων εντάσεων ρεύματος και τάσεων
Οι καταμεριστές τάσης ή ρεύματος είναι διατάξεις ωμικών αντιστάσεων, πηνίων ή πυκνωτών ή συνδυασμού αυτών που στόχο έχουν να μοιράζουν (καταμερίζουν) την τάση ή το ρεύμα σε τιμές κατάλληλες για μέτρηση από όργανα ή διατάξεις μέτρησης. Οι τάσεις ή τα ρεύματα στα οποία εφαρμόζονται οι καταμεριστές μπορεί να είναι dc ή ac. Προαπαιτούμενο για τη μελέτη ή τη σχεδίαση ενός καταμεριστή τάσης ή ρεύματος είναι η γνώση της συμπεριφοράς των παθητικών στοιχείων κυκλωμάτων (αντιστάσεων, πυκνωτών, πηνίων) στο πεδίο των συχνοτήτων. 3
Παθητικά στοιχεία κυκλωμάτων Ο πυκνωτής Εικ. (α) - Γραφικό σύμβολο πυκνωτή χωρητικότητας C Εικ. (β) - Σχέση πολικότητας τάσης και φοράς ρεύματος σε πυκνωτή Εξίσωση i v σε πυκνωτή i = C dv dt Εξίσωση v i σε πυκνωτή v t = 1 C න t 0 tidτ + v(t 0 ) Passive sign convention 4
Παθητικά στοιχεία κυκλωμάτων Το πηνίο Εικ. (α) - Γραφικό σύμβολο πηνίου αυτεπαγωγής L Εικ. (β) - Σχέση πολικότητας τάσης και φοράς ρεύματος σε πηνίο Εξίσωση v i σε πηνίο v = L di dt Εξίσωση i v σε πηνίο i t = 1 L න t 0 tvdτ + i(t 0 ) Passive sign convention 5
Ανάλυση κυκλωμάτων στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση (Sinusoidal Steady-State Analysis) Ημιτονοειδής τάση Απόκριση στην ημιτονοειδή διέγερση Phasors Παθητικά στοιχεία κυκλώματος στο πεδίο συχνοτήτων Νόμοι Ohm και Kirchhoff στο πεδίο συχνοτήτων
Ημιτονοειδής τάση (sinusoidal voltage) Ημιτονοειδής τάση v = V m cos(ωt + φ) v ή v(t): η στιγμιαία τιμή της τάσης (σε Volts) V m : η μέγιστη τιμή ή πλάτος (amplitude) (σε Volts) ω: η κυκλική συχνότητα (σε rad/s) ω = 2πf = 2π T f: η συχνότητα (frequency) (σε Hertz, Hz) T: η περίοδος (period) της τάσης (σε seconds, s) T = 1 f φ: η γωνία φάσης (phase angle) (σε degrees, ή radians, rad) φ( ) = 180 π φ(rad) 7
Η φάση της ημιτονοειδούς κυματομορφής (τάσης ή ρεύματος) Προσδιορίζει την τιμή της συνάρτησης για t = 0 v = V m cos(ωt + φ) Αλλαγή της γωνίας φάσης φ 1. μετατοπίζει την κυματομορφή κατά φ/ω κατά μήκος του άξονα χρόνου t προς τα αριστερά, αν φ > 0 προς τα δεξιά, αν φ < 0 2. δεν επηρεάζει το πλάτος ή τη συχνότητα της κυματομορφής 8
Ενεργός τιμή ημιτονοειδούς συνάρτησης A. Ενεργός ή rms (root mean square) τιμή περιοδικής συνάρτησης V rms = 1 T t 0 t 0 +T v 2 dt B. Ενεργός τιμή ημιτονοειδούς τάσης V rms = 1 T න t 0 t 0 +T V m 2 cos 2 ωt + φ dt = V m 2 Περιοδική συνάρτηση: v t = v(t + T) 9
Phasor Μιγαδικός αριθμός που δείχνει το πλάτος και τη γωνία φάσης μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης. Βασίζεται στην ταυτότητα Euler που σχετίζει εκθετική και τριγωνομετρική μορφή της συνάρτησης e ±jθ = cos θ ± j sin θ cos θ = R e ±jθ αριθμού sin θ = J e ±jθ αριθμού το πραγματικό μέρος (Real part) του μιγαδικού το φανταστικό μέρος (Imaginary part) του μιγαδικού 10
Ημιτονοειδής τάση σε αναπαράσταση phasor V = V m e jφ Πολική μορφή v t = V m cos ωt + φ V = V m cos φ + j sin φ Ορθογώνια μορφή V = V m φ Συντομογραφία Ο μετασχηματισμός phasor μεταφέρει την ημιτονοειδή συνάρτηση από το πεδίο του χρόνου [v t ] στο πεδίο των συχνοτήτων Η συχνότητα ω εννοείται, η φάση φ δηλώνεται 11
Παράδειγμα Συμφωνείτε με την ένδειξη του AC βολτομέτρου U1 της εικόνας; v AB = v 1 + v 2 = 20 cos ωt 30 + 40 cos ωt + 60 όπου, ω η κυκλική συχνότητα των 50Hz Προσθέτοντας τις δύο τάσεις σε μορφή phasors, V AB = V 1 + V 2 = 20 ( 30 ) + 40 60 = 20 cos 30 j sin 30 + 40 cos 60 + j sin 60 = 17.32 j10 + 20 + j34.64 = 37.62 + j24.64 = 44.72 33.43 όπου, 44.72 = 24.64 2 + 37.32 2 και 33.43 = tan 1 26.64 37.32 Ένα AC βολτόμετρο δείχνει την rms τιμή της τάσης στα άκρα του ω = 2πf = 2π 50 314 rad/s 12
Σχέση V-I σε αντίσταση Εικ. (α) - Ο νόμος του Ohm σε αντίσταση R που διαρρέεται από ημιτονοειδές ρεύμα γράφεται i = I m cos ωt + θ v = RI m cos ωt + θ ή, σε μετασχηματισμό phasors [Εικ. (β)] V = RI m e jθ = RI m θ V = RI Εικ. (γ) - Στα άκρα μιας αντίστασης R οι στιγμιαίες τιμές τάσης v και ρεύματος i είναι σε φάση 13
Σχέση V-I σε πηνίο Ο νόμος του Ohm σε πηνίο αυτεπαγωγής L που διαρρέεται από ημιτονοειδές ρεύμα γράφεται i = I m cos ωt + θ v = L di dt = ωli m sin ωt + θ ή, σε μετασχηματισμό phasors j θ 90 V = ωli m e = ωli m e jθ e j90 = jωli m e jθ V = jωli e j90 = cos 90 j sin 90 = j 14
Διαφορά φάσης v i λόγω επαγωγής Στα άκρα μιας καθαρής επαγωγής L (π.χ., πηνίο αμελητέας ωμικής αντίστασης R) οι στιγμιαίες τιμές τάσης v και ρεύματος i είναι εκτός φάσης (out of phase) Η τάση προηγείται (leads) του ρεύματος κατά 90 ή, αλλιώς, το ρεύμα υστερεί (lags) της τάσης κατά 90. 15
Σχέση V-I σε πηνίο Σε πυκνωτή χωρητικότητας C στα άκρα του οποίου εφαρμόζεται ημιτονοειδής τάση γράφεται v = V m cos ωt + θ i = C dv dt = ωcv m sin ωt + θ ή, χρησιμοποιώντας συνημίτονο (για σύγκριση με το v) i = ωcv m cos ωt + θ 90 Σε μετασχηματισμό phasors I = jωcv m e jθ V = 1 jωl I 16
Διαφορά φάσης v i λόγω χωρητικότητας Στα άκρα ενός ιδανικού πυκνωτή (πυκνωτής με διηλεκτρικό άπειρης ωμικής αντίστασης) χωρητικότητας C οι στιγμιαίες τιμές τάσης v και ρεύματος i είναι εκτός φάσης σε αντίθετη φορά σε σχέση με την επαγωγή Η τάση υστερεί του ρεύματος κατά 90 ή, αλλιώς, το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά 90. 17
Παθητικά στοιχεία κυκλωμάτων στο πεδίο συχνοτήτων Εμπέδηση και Ανάδραση Εμπέδηση ή Σύνθετη Αντίσταση (Impedance) Ανάδραση (Reactance) Impedance and Reactance Values CIRCUIT ELEMENT IMPEDANCE REACTANCE Resistor R Inductor jωl ωl Capacitor j 1 ωc = 1 jωc 1 ωc 18
Παράδειγμα 1 50 Hz ημιτονοειδής τάση δικτύου, ενεργού τιμή 230V, εφαρμόζεται σε ένα πηνίο αυτεπαγωγής 20mH αμελητέας ωμικής αντίστασης. Να υπολογιστούν: (α) η ανάδραση του πηνίου; (β) η διαφορά φάσης του ρεύματος στο πηνίο; (γ) η ένδειξη ενός AC αμπερομέτρου συνδεμένου σε σειρά προς το πηνίο; (α) Ανάδραση X L = ωl = 2πfL = 2 3.14 50 20 10 3 = 6.28Ω (β) Η διαφορά φάσης του ρεύματος θα είναι 90 (υστερεί) ως προς την εφαρμοζόμενη τάση (γ) Ένα AC αμπερόμετρο μετράει την ενεργό (rms) τιμή του ρεύματος στο πηνίο. Από το νόμο του Ohm είναι I = V ωl = 230V 6.28Ω 37A Πηνίο από χοντρό χάλκινο αγωγό. 19
Παράδειγμα 2 Υπολογισμός σύνθετης αντίστασης εισόδου AC βολτομέτρου Input resistance, R IN = 10MΩ Input reactance, Χ IN = 1 jωc IN Total input impedance Z IN = R IN X IN = R INX IN R IN + X IN Z IN = Z IN = 1 (R IN ) jωc IN R IN + 1 jωc IN R IN 1 + jωr IN C IN 20
(συνέχεια) Z IN = R IN 1 + jωr IN C IN Πολλαπλασιάζοντας με το μιγαδικό συζυγή 1 jωr IN C IN παρονομαστή, παίρνουμε του ή, σε πολική μορφή Z IN = R IN 1 + ωr IN C IN 2 1 jωr INC IN Z IN = R IN 1 + ωr IN C IN 2 tan 1 ωr IN C IN Π.χ., για f = 10 khz, Z IN = 0.16 MΩ x + jy x jy = x 2 + y 2 21
22
Πυκνωτές και πηνία με απώλειες Οι πυκνωτές και τα πηνία παρουσιάζουν απώλειες, επειδή κατασκευάζονται από πραγματικά υλικά. Οι πυκνωτές, επειδή τα διηλεκτρικά τους υλικά δεν είναι τέλεια, δηλαδή, έχουν μια πεπερασμένη, έστω και πολύ μεγάλη, αλλά όχι άπειρη ωμική αντίσταση R. Τα πηνία, επειδή τα σύρματα (κατά βάση χαλκού) από τα οποία κατασκευάζοναι (περιελίσσονται) είναι υλικά μικρής μεν αλλά όχι μηδενικής ωμικής αντίστασης. 23
Ο πραγματικός πυκνωτής 24
Συντελεστής απωλειών πυκνωτή Η γωνία γ στο διάγραμμα τάσεων μεταξύ V CS και V ονομάζεται γωνία απωλειών Ο συντελεστής απωλειών α ορίζεται με την ακόλουθη σχέση 25
Σύνθετη αντίσταση πυκνωτή με απώλειες όπου 26
Πραγματικός πυκνωτής με παράλληλη αντίσταση απωλειών 27
Συντελεστής απωλειών πυκνωτή με παράλληλη αντίσταση απωλειών 28
Σύνθετη αντίσταση πυκνωτή με παράλληλη αντίσταση απωλειών όπου και 29
Επιλογή της κατάλληλης κυκλωματικής αναπαράστασης για τον πραγματικό πυκνωτή - Πυκνωτής μικρής χωρητικότητας Η μικρή χωρητικότητα C συνεπάγεται μεγάλη ανάδραση X C = 1/( C) Η επίδραση της παράλληλης αντίστασης (Rp) είναι σημαντικότερη της σειριακής (Rs) Η μικρή τιμή της αντίστασης Rs την καθιστά αμελητέα συγκριτικά με την ανάδραση X C Η παράλληλη συνδεσμολογία της αντίστασης απωλειών, δηλαδή, X C // Rp, πρέπει να επιλεγεί. https://literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/04284-90040.pdf?id=1000002196-1:epsg:man30
Επιλογή της κατάλληλης κυκλωματικής αναπαράστασης για τον πραγματικό πυκνωτή - Πυκνωτής μεγάλης χωρητικότητας Μεγάλη χωρητικότητα C συνεπάγεται μικρή ανάδραση X C = 1/( C) Η επίδραση της αντίστασης σε σειρά (Rs) είναι σημαντικότερη της παράλληλης (Rp). Η σειριακή συνδεσμολογία της αντίστασης απωλειών,δηλαδή, X C +R S, πρέπει να επιλεγεί. https://literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/04284-90040.pdf?id=1000002196-1:epsg:man 31
Πρακτικός κανόνας για την επιλογή της κατάλληλης κυκλωματικής αναπαράστασης για τον πραγματικό πυκνωτή Η κυκλωματική αναπαράσταση του πραγματικού πυκνωτή (αντίσταση απωλειών παράλληλα ή σε σειρά προς τη χωρητικότητα) εξαρτάται από την ανάδραση του πυκνωτή. Για X C 10 k, θεωρούμε την αντίσταση απωλειών σε παράλληλη συνδεσμολογία προς τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Για X C 10, θεωρούμε συνδεσμολογία σε σειρά. Για ενδιάμεσες τιμές, συνήθως ακολουθούμε τις συστάσεις του κατασκευαστή. Παράδειγμα Για πυκνωτή χωρητικότητας 20 F που λειτουργεί υπό εναλλασσόμενη τάση συχνότητας 1 khz (X C 8 ), καταλληλότερη θεώρηση είναι με την αντίσταση απωλειών σε σειρά. 32
Το πραγματικό πηνίο Στην περίπτωση ενός πραγματικού πηνίου, η αντίσταση απωλειών μπορεί να θεωρηθεί (όπως και στο πραγματικό πυκνωτή) ότι βρίσκεται σε σείρά ή παράλληλα προς την αυτεπαγωγή του πηνίου (Εικόνα) Πηνίο με απώλειες (πραγματικό πηνίο): Ισοδύναμο κύκλωμα και διανυσματικό διάγραμμα τάσης Η αντίσταση απωλειών R S σε σειρά προς την αυτεπαγωγή L S του πηνίου 33
Συντελεστής απωλειών πηνίου Αντίσταση απωλειών σε σειρά 34
Συντελεστής ποιότητας πηνίου Στα πηνία, σαν μέτρο των απωλειών (της ωμικής αντίστασης, χρησιμοποιείται ο συντελεστής ποιότητας (quality factor), Q, περισσότερο από το συντελεστή απωλειών α. 35
Σύνθετη αντίσταση πηνίου όπου 36
Πραγματικό πηνίο με παράλληλη αντίσταση απωλειών 37
Συντελεστής απωλειών πηνίου με παράλληλη αντίσταση απωλειών 38
Σύνθετη αντίσταση πηνίου με παράλληλη αντίσταση απωλειών όπου και 39
Επιλογή της κατάλληλης κυκλωματικής αναπαράστασης για πραγματικό πηνίο - Πηνίο μεγάλης αυτεπαγωγής Για μια ορισμένη συχνότητα, η ανάδραση X L = L είναι σχετικά μεγάλη (συγκρινόμενη με ενός πηνίου μικρή αυτεπαγωγής L) Η επίδραση της παράλληλης αντίστασης (Rp) είναι σημαντικότερη της σειριακής (Rs) Η παράλληλη συνδεσμολογία της αντίστασης απωλειών (X L // Rp) πρέπει να επιλεγεί. https://literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/04284-90040.pdf?id=1000002196-1:epsg:man40
Επιλογή της κατάλληλης κυκλωματικής αναπαράστασης για πραγματικό πυκνωτή - Πηνίο μικρής αυτεπαγωγής Για μικρές τιμές αυτεπαγωγής L, η ανάδραση X L = L είναι σχετικά μικρή Η επίδραση της αντίστασης σε σειρά (Rs) είναι σημαντικότερη της παράλληλης (Rp). Η σειριακή συνδεσμολογία της αντίστασης απωλειών, δηλαδή, X L +R S, πρέπει να επιλεγεί. https://literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/04284-90040.pdf?id=1000002196-1:epsg:man 41
Πρακτικός κανόνας για την επιλογή της κατάλληλης κυκλωματικής αναπαράστασης για το πραγματικό πηνίο Για X L 10, θεωρούμε την αντίσταση απωλειών σε σειρά προς την αυτεπαγωγή του πηνίου. Για X C 10 k,. θεωρούμε παράλληλη συνδεσμολογία Για ενδιάμεσες τιμές, συνήθως ακολουθούμε τις συστάσεις του κατασκευαστή. Παράδειγμα Για πηνίο αυτεπαγωγής 1 mh στο 1 khz (X L 6.3 ), καταλληλότερη θεώρηση είναι με την αντίσταση απωλειών σε σειρά. 42
Αμπερόμετρα - Βολτόμετρα Τα αμπερόμετρα και τα βολτόμετρα αποτελούν τις βασικές διατάξεις εκτέλεσης μετρήσεων σε ένα τεράστιο φάσμα μεγεθών. Εκτός των αμιγώς ηλεκτρικών συστημάτων, σχεδόν όλα τα φυσικά μεγέθη (π.χ., θερμοκρασία, πίεση, ροή υγρών, ταχύτητα, στάθμη υγρού, ένταση φωτισμού, μαγνητικό πεδίο) μπορούν να μετρηθούν με τη χρήση αμπερομέτρων και βολτομέτρων εφόσον χρησιμοποιηθούν κατάλληλοι αισθητήρες. Οι αισθητήρες μετατρέπουν το φυσικό μέγεθος σε μια ηλεκτρική τάση συνήθως μεταξύ 0V και 10V ή σε ένα ηλεκτρικό ρεύμα από 4mA έως 20mA. Αμπερόμετρα και βολτόμετρα διαθέτουν εσωτερικές αντιστάσεις οι οποίες επηρεάζουν τα κυκλώματα στα οποία συνδέονται και κατά συνέπεια επιδρούν στα αποτελέσματα των μετρήσεων. Η εσωτερική αντίσταση (πρέπει να )είναι πολύ μεγάλη στα βολτόμετρα και πολύ μικρή στα αμπερόμετρα.
Επέκταση περιοχής μέτρησης βολτομέτρου Αυξάνουμε τη το εύρος των μετρούμενων τάσεων V V ενός βολτομέτρου συνδέοντας σε σειρά μια κατάλληλη γνωστή αντίσταση Z. Ζ V η εσωτερική αντίσταση του βολτομέτρου I το ρεύμα που διαρρέει το βολτόμετρο από την υπό μέτρηση εξωτερική τάση Από το νόμο του Ohm έχουμε και I = V V ΤZ V V m = Z + Z V I Οπότε, η μετρούμενη τάση V m είναι V m = V V 1 + Z Z V 44
Παράδειγμα Ποια αντίσταση πρέπει να συνδέσουμε σε σειρά σε βολτόμετρο εσωτερικής αντίστασης 1 MΩ, εύρους μέτρησης ως 10 V ώστε να επεκτείνουμε τη περιοχή μετρήσεών του στα 100 V V m = V V 1 + Z Z V 100 = 10 1 + Z 1M Z = 100 10 1 1M = 9 MΩ 45
Μείωση της ευαισθησίας βολτομέτρου λόγω επέκτασης της περιοχής μέτρησης Η ευαισθησία ενός ψηφιακού οργάνου ισούται με το πηλίκο της κλίμακας μέτρησης V m δια της διακριτικής του ικανότητας 2 n, E m = V m 2 n όπου n ο αριθμός δυαδικών ψηφίων (bits) του μετατροπέα αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (analog-to-digital converter, ADC) του οργάνου Αυξάνοντας την κλίμακα μέτρησης με προσθήκη αντίστασης Z σε σειρά V m = V V 1 + Z Z V η ευαισθησία επηρεάζεται (μειώνεται ;;;) αντίστοιχα E m = E V 1 + Z Z V 46
Επέκταση περιοχής μέτρησης αμπερομέτρου Αυξάνουμε το εύρος μέτρησης ρεύματος I A ενός αμπερομέτρου συνδέοντας παράλληλα κατάλληλη γνωστή αντίσταση Z. Ζ A η εσωτερική αντίσταση του βολτομέτρου V η τάση που αναπτύσσεται στο αμπερόμετρο από το υπό μέτρηση εξωτερικό ρεύμα Από το νόμο του Ohm έχουμε V = ZZ V Z + Z V I m και V = I A ΤZ A Οπότε, το μετρούμενο ρεύμα I m είναι I m = I A 1 + Z A Z 47
Παράδειγμα Ισοδύναμο κύκλωμα αμπερομέτρου με διακόπτη επέκτασης περιοχής μέτρησης (range) Αμπερόμετρο εσωτερικής αντίστασης R A = 0.4 Ω έχει βασική κλίμακα μέτρησης ρεύματος (0 100 ma) με τους διακόπτες SW1 και SW2 ανοικτούς. Πόση γίνεται η κλίμακα ρεύματος για τις ακόλουθες θέσεις των διακοπτών: (α) SW1 κλειστός και SW2 ανοικτός, (β) SW1 ανοικτός και SW2 κλειστός, (γ) SW1 και SW2 κλειστοί Απάντηση: (α) 0 200 ma (β) 0 500 ma (δ) 0 600 ma