Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.

Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr)

Σκοπός και Περιεχόμενο του Μαθήματος Πως μεταφέρονται τα σήματα από το ένα σημείο στο άλλο; Χρησιμοποιούμε τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι μία ειδική περίπτωση ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αποτελείται από μία συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και μία συνιστώσα μαγνητικού πεδίου. Επομένως για να μάθουμε πως διαδίδονται τα σήματα θα πρέπει να μάθουμε(μερικούς) από τους κανόνες που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

Διάρθρωση του Μαθήματος Ενότητα 1: Τα μαθηματικά εργαλεία(διανύσματα, μερικές παράγωγοι, διανυσματικοί τελεστές, Ενότητα : Εξισώσεις Maxwell(συμπεριλαμβάνουμε επίπεδα κύματα, οριακές συνθήκες, πόλωση, ανάκλαση, διάθλαση και τα περί ισχύος) Ενότητα3:Κεραίες(διανυσματικάδυναμικά, στοιχειώδηδίπολα, περιοχές πεδίου, διάγραμμα ακτινοβολίας, βασικές παράμετροι κεραίας, θεώρημα της αμοιβαιότητας, η κεραία ως δέκτης) Ενότητα4: Κυματοδηγοί(σταθεράδιάδοσης, τρόποιδιάδοσης, ορθογώνιοιμεταλλικοίκυματοδηγοί, κύματατεκαιτμ, κυκλικόςμεταλλικόςκυματοδηγός, ομοαξονικόςκυματοδηγός, επίπεδος διηλεκτρικός κυματοδηγός).

Ενότητα 1 Τα βασικά μαθηματικά εργαλεία

Η έννοια του διανύσματος Έναδιάνυσμαείναιενμέρειέναευθύγραμμοτμήματοοποίο συνδέειδύοσημείαακαιβ. «Ενμέρει»γιατίσεκάθεδιάνυσμαθαπρέπειναπροσδώσουμε καιμίαφορά, δηλαδήνααποφασίσουμεανπηγαίνειαπότοα στοβήαπότοβστοα. κάθεδιάνυσμαaκαθορίζεταιαπότρειςσυντεταγμένεςa x,a y και a z a = ( ax, ay, az )

Πράξεις με Διανύσματα Πρόσθεση a ( a b, a b, a b ) + b= + + + x x y y z z Πολλαπλασιασμός με σταθερά λa = ( λa, λa, λa ) x y z Εσωτερικό γινόμενο Εξωτερικό γινόμενο a b= axbx + ayby + azbz a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) z y z y z x z x z y z y z

Ιδιότητες Γινομένων a b= b a a b= b a ( a+ b) c= a c+ b c ( a+ b) c= a c+ b c a ( b c) = b ( c a) = c ( a b) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( b c)( a d)

Μέτρο και Μοναδιαία Διανύσματα x=(1,,) y z = (,1,) = (,,1) Τα παραπάνω διανύσματα είναι μοναδιαία επειδή έχουν μέτρο ίσο με την μονάδα. Το μέτρο ενός διανύσματος ορίζεται ως a = a + a + a = a a x y z Κάθεδιάνυσμαaμπορείναγραφτείκαιως: a= a x+ a y+ a z x y z

Το εξωτερικό γινόμενο λίγο διαφορετικά a b= x y z a a a x y z b b b x y z a a a a a a a b = x b b y b b + z b b y z x z x y y z x z x y a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) z y z y z x z x z y z y z

Μερικές ιδιότητες Δύοδιανύσματαa καιbείναικάθεταανκαιμόνοεάν: a b= Δύοδιανύσματαa καιbείναιπαράλληλαανκαιμόνοεάν υπάρχει μία σταθερά λ τέτοια ώστε: b=λa Για τα μοναδιαία διανύσματα που ορίσαμε πρίν: x y= z y z= x z x= y

Μερικές ιδιότητες a ( a b) = b ( a a) = b ( a b) = a ( b b) = Επομένως το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι κάθετο στα αρχικά διανύσματα! x y z a ( λa) = a a a = x y z λa λa λa x y z Το εσωτερικό γινόμενο δύο παράλληλων διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν!

Μερικές Ιδιότητες a b = ( a b) ( a b) = ( b b)( a a) ( a b)( a b) = b a a b a b + a b = b a Αν δύο διανύσματα είναι κάθετα τότε σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση το μέτρο του εξωτερικό τους γινομένου ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους a b = b a

Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων Στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο(x,y,z) στο χώρο καθορίζεται από τρεις αριθμούς(ρ,φ,z) x= ρ cosφ y= ρ sinφ z = z Όσο αφορά τα διανύσματα μπορούνε να αναπαρασταθούν στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων ως εξής: a= aρρ+ aφφ+ a z z Ταδιανύσματαρ,φκαιzείναι μοναδιαίακαικάθεταμεταξύτους. Δίνονται από τις σχέσεις: ρ= cosφx+ sinφy φ= sinφx+ cosφy z= z

Από το καρτεσιανό σύστημα στο κυλινδρικό και ανάποδα: aρ cosφ sinφ ax a φ sinφ cosφ a = y a z 1 a z ax cosφ sinφ aρ a y sinφ cosφ a = φ a z 1 a z

Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων Στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο(x,y,z) στο χώρο καθορίζεται από τρεις αριθμούς(r,θ,φ) x y = r sinθ cosφ = r sinθ sinφ z = r cosθ Όσο αφορά τα διανύσματα μπορούνε να αναπαρασταθούν στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων ως εξής: a= a r+ aφ+ aθ ρ φ θ Ταδιανύσματαr,θκαιφείναι μοναδιαίακαικάθεταμεταξύτους. Δίνονται από τις σχέσεις: r= sinθ cosφx+ sinθ sinφy+ cosθz θ= cosθ cosφx+ cosθ sinφy sinθz φ= sinφx+ cosφy

Από το καρτεσιανό σύστημα στο σφαιρικό και ανάποδα: a ρ sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ ax a θ cosθ cosφ cosθ sinφ sinθ a = y a φ sinφ cosφ a z ax sinθ cosφ cosθ cosφ sinφ a ρ a y sinθ sinφ cosθ sinφ cosφ = aθ a z cosθ sinθ aφ

Μερικές Παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι χρησιμοποιούνται όταν έχουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Για μία συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x,y), ο«επίσημος τρόπος» να ορίσουμε τις παραγώγους είναι ο εξής: f ( x, y ) = lim f ( x, y) f ( x y ) x x x x x f ( x, y ) = lim y y y y y, f ( x, y) f ( x y ), Στην πράξη, μπορούμε να υπολογίζουμε την μερική παράγωγο μίας συνάρτησης ως προς μία μεταβλητή χρησιμοποιώντας όλα όσα ξέρουμε για τις συνήθεις παραγώγους, αντιμετωπίζοντας όλεςτιςάλλεςμεταβλητέςωςσταθερές.

Μερικά παραδείγματα ανf(x,y)=x +y, τότεθαέχουμε f/ x=xαφούόπωςείπαμεθα θεωρούμεπωςηyείναισταθεράοπότε (y )/ x=. Παρόμοιαθαέχουμε f/ y=y. Στηνπερίπτωσηόπουf(x,y)=x 3 +y 3 f y = 6 y f y x =

Διανυσματικές Συναρτήσεις Στιςβαθμωτέςσυναρτήσειςαντιστοιχούμεμίατιμήf(x,y) (μιγαδική ή πραγματική) σε κάθε συνδυασμό μεταβλητών x και y Στις διανυσματικές συναρτήσεις αντιστοιχούμε ένα διάνυσμα Α(x,y) (με μιγαδικές ή πραγματικές συντεταγμένες) σε κάθε συνδυασμό μεταβλητών x και y Φυσικά, αντί για δύο μεταβλητές θα μπορούσαμε να είχαμε συναρτήσεις τριών μεταβλητών. A( x, y, z) = A ( x, y, z) x+ A ( x, y, z) y+ A ( x, y, z) z x y z Παράδειγμα: x + y + z A( x, y, z) = 3x+ 5y+ 6z 9+ xyz

Αρμονικές Διανυσματικές Συναρτήσεις Ιδιαίτερα χρήσιμες για τα παρακάτω είναι οι λεγόμενες διανυσματικές συναρτήσεις. ΈστωΑ καιkσταθεράδιανύσματα. Τότεησυνάρτηση A( r) = A jk e r ονομάζεταιδιανυσματική αρμονικήσυνάρτηση. ΓιαπαράδειγμαανΑ =(1,,3) καιk=(3,,1)τότε: ( 3 + + ) ( 3 + + ) ( 3 + + ) jk r A( r) = A e = e j x y z x+ e j x y z y+ 3e j x y z z

Τελεστές Οι τελεστές είναι μετασχηματισμοί που μας μεταφέρουν από μία συνάρτηση σε μία άλλη. Για παράδειγμα ο τελεστής της παραγώγισης d/dx μετασχηματίζει μία συνάρτηση f στην παράγωγο της df/dx Μπορούμε να ορίσουμε τελεστές οι οποίοι μετασχηματίζουν μία διανυσματική ή βαθμωτή συνάρτηση σε μία άλλη διανυσματική ή βαθμωτή συνάρτηση. Οπρώτοςτελεστήςπουθαγνωρίσουμεείναιηκλίσημίας βαθμωτής συνάρτησης, f f f f ( x, y, z) = x+ y+ z x y z Το σύμβολο ονομάζεται«ανάδελτα»

Τελεστές Το ανάδελτα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τελεστής-διάνυσμα με «συντεταγμένες», =( / x, / y, / z) Μπορούμε επομένως να ορίσουμε διάφορες δράσεις του τελεστή σκεπτόμενοι τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Για παράδειγμα όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με ένα αριθμό έχουμε: Μετονίδιοτρόπο: λa= ( λa, λa, λa ) x y z f f f f ( x, y, z) = x+ y+ z x y z Παρατηρείστεπωςηf στηνουσίαέχειμεταφερθείσεκάθε συνιστώσα του =( / x, / y, / z) όπως περίπου και στην περίπτωση ενός πολλαπλασιασμού διανύσματος με αριθμό!

Επιπλέον Τελεστές Η απόκλιση(εσωτερικό γινόμενο του με διανυσματική συνάρτηση) A A A x y z A= + + x x y y z z x y z a b= a b + a b + a b To curl(εξωτερικό γινόμενο του με διανυσματική συνάρτηση) A A A A A A y z z z x y z y x z y x A= x y+ z a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) z y z y z x z x z y z y z

Η Λαπλασιανή Τέλος ορίζουμε και την Λαπλασιανή f f f x y z f = + + A= A x+ A y+ A z x y z Οι βασικοί νόμοι του ηλεκτρομαγνητισμού που θα χρησιμοποιήσουμε για να μελετήσουμε την διάδοση των σημάτων εκφράζονται πολύ πιο εύκολα βάση των τριών τελεστών που ορίσαμε, δηλαδή Α, Α και f

Παράδειγμα ΈστωΑ καιkσταθεράδιανύσματακαιορίζουμεπάλιτην αρμονική συνάρτηση A( r) = A jk e r Τότε: A= jk A e + jk A e + jk A e = j( k A ) e j k r j k r j k r j k r x x y y z z A= jk A jk e r Επομένως στην περίπτωση μίας αρμονικής συνάρτησης οι τελεστές Α, Α δρούνε σαν εξωτερικό και εσωτερικό γινόμενο αντίστοιχα! A= k A

Οι διαφορικοί τελεστές στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων ψ 1 ψ ψ ψ = ρ + φ + z ρ ρ φ z 1 1 A A ( ) φ z A= ρ Aρ + + ρ ρ ρ φ z 1 A A z φ Aρ A z 1 1 A ( A ) ρ A = ρ + + ρ φ ρ φ z φ z ρ z ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ z 1 f 1 f f f = ρ + +

Οι διαφορικοί τελεστές στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων f 1 f 1 f f = r + θ + φ r r θ r sinθ φ 1 ( ) 1 1 Aφ A= r A r + ( Aθ sinθ) + r r r sinθ θ r sinθ φ r A= ( A sin ) φ θ r sinθ θ Aθ φ θ 1 Ar φ A ( ) r + raφ ( raθ ) r + sinθ φ r r r θ 1 1 1 f r f sinθ f f = + + r r r r sinθ θ θ r sin θ φ

Μην φοβάστε! Δεν χρειάζεται να ξέρετε τους τύπους απέξω!!!

Τι μάθαμε: ΤαβασικάμαθηματικάεργαλείατωννόμωντουΗ/Μπουθα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια: Διανύσματα Προσθεση διανυσμάτων και εσωτερικό/εξωτερικό γινόμενο Μερικές παράγωγοι Διανυσματικές συναρτήσεις Διανυσματικοί τελεστές Συστήματα συντεταγμένων

Ενότητα Εξισώσεις Maxwell (+επίπεδακύματα, οριακέςσυνθήκες, πόλωση, ανάκλαση, διάθλαση και τα περί ισχύος)

Περί Πεδίων Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι μια ειδική κατηγορία ηλεκτρομαγνητικώνπεδίων. Τοηλεκτρομαγνητικόπεδίοαποτελείταιαπόδύοσυνιστώσες: τηνέντασητουηλεκτρικούπεδίουεκαιτηνένταση του μαγνητικού πεδίου Η. Κάθε ηλεκτρικό φορτίο δημιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο ένα ηλεκτρικό πεδίο μέσω του οποίου επιδρά πάνω σε άλλα ηλεκτρικά φορτία Κάθε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο δημιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο ένα μαγνητικό πεδίο μέσω του οποίου επιδρά πάνω σε άλλα κινούμενα ηλεκτρικά φορτία

y q z r -r 1 a(r -r 1 ) r q 1 r 1 Δύναμη Coulomb x Ότανταφορτίαείναιακίνηταή κινούνται με πολύ αργή ταχύτητα τότε ισχύει ο νόμος του Coulomb Έναφορτίοq 1 δημιουργείστον περιβάλλοντα χώρο ένα ηλεκτρικό πεδίο με ένταση Ε της οποίας το μέτρο δίνεται από την σχέση: E = E = q 1 4πε R τοrείναιηαπόστασημεταξύτοφορτίουq 1 καιτοσημείουστο χώροπουμετράμετηνένταση. Ησταθεράε είναιη διηλεκτρική σταθεράτουκενούκαιισούται μεε =8.854 1-1 Fm -1

ΤοΕσανδιάνυσμα q z r -r 1 a(r -r 1 ) r q 1 r 1 όπουr 1 είναιηθέσητου φορτίουq 1 στοχώροκαι τοa(r,r 1 ) είναιένα διάνυσμα το οποίο έχει μέτροίσομε1 καισυνδέει τασημείαrκαιr 1 με κατεύθυνσηπροςτοr 1. y x q E( r ) = a( r, r ) 1 1 4πε R a( r, r ) = 1 r r r r 1 1

Δύναμη Lorentz Όταν υπάρχει και μαγνητικό πεδίο στο χώρο, τότε ένα κινούμενο φορτίοq δέχεταιτηνεπίδρασητόσοτουηλεκτρικούόσοκαιτου μαγνητικού πεδίου ταυτόχρονα. Η συνολική δύναμη που εξασκείται σε αυτό, ονομάζεται δύναμη Lorentz και δίνεται από την σχέση: F= q E+ µ ( v H) Όπουvείναιηταχύτητατουφορτίουq μ ημαγνητικήδιαπερατότηταπουστηνπερίπτωση τουκενού καιείναιίσημεμ =4π 1-7 Η/m Ηείναιηέντασητουμαγνητικούπεδίου

Εξισώσεις Maxwell B E= t D H= + t D=ρ B= J Νόμος του Faraday Νόμος του Ampere Νόμος του Gauss Νόμος του Gauss Τορείναιηπυκνότητατουελεύθερουφορτίουπουυπάρχειστο χώρο. Το διάνυσμα J είναι η πυκνότητα του ελεύθερου ηλεκτρικού ρεύματος. DκαιΒείναιηπυκνότηταηλεκτρικήςκαιμαγνητικήςροής

Καταστατικές Εξισώσεις Στις εξισώσεις Maxwell υπάρχουν 5 διανυσματικά μεγέθη(τα D,E,B,H καιj) καιέναβαθμωτό(τορ). Ορισμένααπόαυτάσυνδέονται: ΗσχέσηπουδιέπειταDκαιΒ με τα Ε και Η αντίστοιχα ονομάζονται καταστατικές εξισώσεις καικαθορίζονταιαπότουλικόστοοποίουπάρχουνταπεδία. Στα υλικά που θα εξετάσουμε, οι καταστατικές εξισώσεις γράφονται: D=εE B=µ H Τοεείναιηδιηλεκτρική σταθεράτουμέσου. Στηγενικήπερίπτωσητοεείναιμίασυνάρτησητηςθέσηςε=ε(r). Στηνπερίπτωσηόπουτομέσοείναιτοκενόήοαέραςη διηλεκτρικήσταθεράισούταιμεε=ε =8.854 1-1 Fm -1.

Πυκνότητα Ρεύματος και πυκνότητα ελεύθερου φορτίου ΤοJκαιτορεπίσηςσχετίζονταιμετοείδοςτουυλικούκαιτα φορτία που υπάρχουν σε αυτό. αςυποθέσουμεπωςστομέσομαςυπάρχειέναςπληθυσμόςαπό σωματίδια τα οποία μπορούν να κινούνται ελεύθερα(δηλαδή δεν δεσμεύονταιαπόταάτοματουυλικού) Αυτά φέρουν ένα ηλεκτρικό φορτίο q και κινούνται με ταχύτητα v. Αν υποθέσουμε πως η πυκνότητα των σωματιδίων ανά μονάδα όγκου είναι n(r), τότε: ρ ( r) = n( r) q J( r) = qn( r) v

Εξισώσεις Maxwell (ξανά!) = µ H E t ε E H= + J t ( εε) = ρ Η= Έχουμε αντικαταστήσει τις καταστατικές εξισώσεις του μέσου D=εE B=µ H

Εξισώσεις Maxwell (στον ελεύθερο χώρο) Στονελεύθεροχώροήτον αέρα: α) δενέχουμεελεύθεραφορτία (J=ρ=) καιβ) ε(r)=ε Οι εξισώσεις Maxwell γράφονται ως εξής: = µ H E t =ε E H t Ε= Η=

Ο Μετασχηματισμός Fourier Κάθε συνάρτηση x(t) μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο των συχνοτήτων, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, + = jωt X ( ω) x( t) e dt + 1 jωt x( t) = X ( ω) e dω π Ευθύς μετασχηματισμός Ανάστροφος μετασχηματισμός Η τελευταία εξίσωση λέει πως κάθε συνάρτηση(εκτός αν είναι πολύ ανώμαλη) μπορεί να παρασταθεί με ένα άθροισμα εκθετικών συναρτήσεων της μορφής Χ(ω)exp(jωt) Θυμηθείτε πως σύμφωνα με τον Riemann το ολοκλήρωμα είναι στηνουσίαέναάθροισα( dt ΣΔt)

Μετασχηματισμός Fourier των Η/Μ πεδίων + 1 jωt E( r, t) = E% ( r, ω) e dω π + E( r, ω) E% ( r, t) e = jωt To ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι συναρτήσεις του χρόνου Σεκάθεσημείοτουχώρουμπορούνκαιαυτάεπομένωςνααναλυθούν κατά Fourier. To ωραίομετιςεξισώσειςmaxwell(τουλάχιστονστηνμορφήπουθατις δούμε εμείς) είναι ότι είναι γραμμικές Ανέχωδύοπεδία(Ε 1,Η 1 ) και(ε,η ) πουείναιλύσειςτους, τότεκαιτο πεδίο(c 1 E 1 +c E, c 1 H 1 +c H ) είναιλύσητους. Τοπαραπάνωγενικεύεταικαιγιαμεγαλύτεροάθροισμα. Επομένως αν βρω τις λύσεις των εξισώσεων Maxwell της μορφής Ε (r)exp(jωt), τότεμπορώνατιςπροσθέσωσύμφωναμετηνπρώτη εξίσωση και να βρω την γενικότερη λύση dt

Οι εξισώσεις Maxwell για αρμονικά κύματα E= E ( ) j t r e ω H= H ( ) j t r e ω Αρμονικά κύματα E = jωµ H H = jωε E E = H = Αν αντικαταστήσουμε τις αρμονικές λύσεις στις εξισώσεις Maxwell απλοποιούνται ακόμα περισσότερο t e jωt = jωe jωt

Υπάρχουν μιγαδικά πεδία? ΌΧΙ! Στην φύση υπάρχουν μόνο πραγματικά πεδία. Πεδία της μορφήςε exp(jωt) δενυπάρχουν. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορούμε να αθροίζουμε πολλάπεδίατηςμορφήςε exp(jωt) καιναπαίρνουμε πραγματικά πεδία! 1 ( ωt φ) E( r, t) = E cos + Πραγματικό Πεδίο 1 1 E( r, t) = E e e + E e e jφ jωt jφ jωt 1 1 Άθροισμα Δύο Μιγαδικών!

ΤοΗ/Μφάσμα Μήκοςκύματος, λ=πc/ωόπουc=3 1 8 m/sec ηταχύτητατου φωτός στο κενό.

Επίπεδα Κύματα ΠρόκειταιγιααρμονικάκύματατηςμορφήςΕ 1 (r)exp(jωt) όπουτο Ε 1 (r)εξαρτάταιαρμονικάαπότοr E( r, t) H( r, t) = = E 1 H e 1 e j( k r+ωt) j( k r+ωt) Το διάνυσμα k ονομάζεται το κυματάνυσμα του επίπεδου κύματος κάθε ηλεκτρομαγνητικό σήμα μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων 4 + + + + 1 j E( r, t) = dω dkx dk y dkze% ( k, ω) e ω π ( t k r)

Εξισώσεις Maxwell για επίπεδα κύματα E E E E E E = + y z z z x y z y x z y x E x y z E = ( E, E, E ) = ( E e, E e, E e ) j k r j k r j k r x y z 1x 1y 1z ( ) E = j k E 1 j e k r οτελεστής έδωσετηνθέσητουστοεξωτερικόγινόμενοk Παρόμοιαο δίνειτηθέσητουστοk

Εξισώσεις Maxwell για επίπεδα κύματα E = jωµ H k E1 =ωµ H1 H = jωε E k H1 = ωε E1 E = H = k E1 = k H1= έχουμεθέσειεαντίε γιανασυμπεριλάβουμετηνπερίπτωση όπου το μέσο έχει διαφορετική διηλεκτρική σταθερά από αυτή του κενού.

Ιδιότητες Επίπεδων Κυμάτων k E1 = k H1= Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθεταστοk k E1 =ωµ H1 k H1 = ωε E1 Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθεταστοkκαικάθεταμεταξύτους (θυμηθείτε τις ιδιότητες του εξ. γινομένου) H k E

Ο κανόνας του δεξιού χεριού k E1 =ωµ H1

Το μέτρο του διανύσματος k k E1 =ωµ H1 k H1 = ωε E1 k k E = ω µ εe 1 1 ( ) ( ) ( ) k k E = k E k k k E = k k E = k E 1 1 1 1 1 1 =ω µ ε 1 k E E k =ω µ ε

Ησημασίατουk E( r, t) = E 1 e j( k r+ωt) ω = c Έστωπωςτοδιάνυσμαkείναιπαράλληλομετονάξονατωνx Σεκάθεσημείοτουχώρουμπορούμεναυπολογίσουμετηφάση του επίπεδου κύματος, φ(r,t)=ωt-k r Έναμέτωποτουκύματοςορίζεταιωςηεπιφάνειαπουέχει σταθερή φάση. Το μέτωπο φ= είναι το επίπεδο ωt-k r= ή ισοδύναμαk (r-r 1 )= όπουr 1 =(ωt/ k,,) Τοεπίπεδοαυτότέμνειτονάξονατoυxστοσημείο(ω/ k )t Επομένως το μέτωπο μετακινείται με ταχύτητα v φ =ω/ k =1/(μ ε) 1/ Στοκενόέχουμεε=ε καιαναντικαταστήσουμεπαίρνουμε: v φ =3 1 8 m/s δηλαδήτηνταχύτητατουφωτόςστοκενό Επομένωςτομέτωποτουκύματοςοδεύειμετηνταχύτητατου φωτός! Τυχαίο; Δεν νομίζω! k

Μήκος Κύματος Επίπεδων Κυμάτων Έστωπάλιπωςτοδιάνυσμαkείναιπαράλληλομετονάξονα τωνx Ηχωρικήεξάρτησητωνεπίπεδωνκυμάτωνείναιαρμονική, δηλαδή της μορφής: e = e jk r+ ωt jkx+ ωt Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει πως αν το t είναι σταθερό, η χωρική εξάρτηση επαναλαμβάνεται με περίοδο λ όπου Τολείναιτομήκοςκύματος! π π c λ = = k ω k = k = ω c

Δείκτης Διάθλασης Συχνά αντί της διηλεκτρικής σταθεράς χρησιμοποιούμε τον δείκτη διάθλασης για να περιγράψουμε τις ιδιότητες του μέσου. k ω ε = ω µ ε = c ε Ο δείκτης διάθλασης του μέσου ορίζεται από την σχέση: n = ε ε Οπότε: k = ωn c

Εμπέδηση Κύματος Αν δύο διανύσματα είναι κάθετα το μέτρο του εξωτερικό τους γινομένου ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους: H k E1 =ωµ H1 k k E =ωµ H 1 1 E Z = E1 ωµ µ H = ω µ ε = ε 1 ΤομέγεθοςZ είναιηεμπέδησητουκύματος Στηνπερίπτωσητουκενούαναντικαταστήσουμεε =8.854 1-1 Fm -1 καιμ =4π 1-7 Η/mθαπάρουμεΖ=376.73Ω

Πόλωση Επίπεδου Κύματος Θυμηθείτε: Στην φύση υπάρχουν μόνο πραγματικά πεδία! Επομένως δεν είναι δυνατόν να παρατηρήσουμε ποτέ ένα επίπεδοκύμα. Ας θεωρήσουμε ένα πραγματικό κύμα με ηλεκτρικό πεδίο ( ω φ ) E ( r, t) = E cos t kz+ x x x ( ω φ ) E ( r, t) = E cos t kz+ y y y E ( r, t ) = Τότε μπορούμε να γράψουμε τις συνιστώσες ως εξής: 1 1 E ( r, t) = E e e + E e e 1 jφ 1 y ω jφ y Ey ( r, t) = Eye e + Eye e z jφx j( ωt kz) jφx j( ωt kz) x x x j( t kz) j( ωt kz)

Πόλωση Επίπεδου Κύματος Ορίζουμε ένα διάνυσμα E jφx Exe jφ y = E e y οπότε το ηλεκτρικό πεδίο γράφεται ως άθροισμα επίπεδων κυμάτων: * j( ωt kz) j( ωt kz) j( ωt kz) 1 1 1 E( r, t) = E e + e = Re e E E { } Προσέξτεότιk=kzκαιεπομένωςισχύειk Ε=

Πόλωση Επίπεδου Κύματος ΠωςεξελίσσεταιτοδιάνυσμαΕστοχώρο; Αςτοπαραστήσουμεσεένασύστημα συντεταγμένων ώστε να έχει αρχή το κέντρο των αξόνων Μετηνπάροδοτουχρόνουτοσημείο (E x (t),e y (t)), δηλαδήτοάκροτουδιανύσματος, κινείταιπάνωσεμίακαμπύλητηςοποίαςτα χαρακτηριστικά μπορούμε να υπολογίσουμε Με λίγη απλή τριγωνομετρία: ( ) ( ) { ω φ ω φ } E = E cos t kz cos sin t kz sin x x x x ( ) ( ) { ω φ ω φ } E = E cos t kz cos sin t kz sin y y y y ΑνθεωρήσουμεπωςταE x καιe y είναιγνωστάτότεαπότις παραπάνω εξισώσεις είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τα cos(ωtkz) καιτοsin(ωt-kz).

Πόλωση του Κύματος Για το σκοπό αυτό βρίσκουμε την ορίζουσα του συστήματος D = Ex cosφx Ex sinφx E E sin E cosφ E sinφ = y y y y ( φ φ ) x y y x E E sinφ D E E E E x x x c = = x y sinφy y x sin x Ey Ey sinφy φ E cosφ E D E E E E x x x s = = y x cosφx x y cos y Ey cosφy Ey φ

Γραμμική Πόλωση ΑνηορίζουσαDείναιίσημεμηδέντότετοσύστημαέχειλύση μόνοανd c =D s =. ΓιαναείναιD= θαπρέπειe x = ήe y = ήsin(φ y -φ x )=, οπότε φ y =φ x ήφ y =π+φ x. Σεκάθεπερίπτωσητοσημείο (E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσε μίαευθείαπουπερνάειαπότηναρχήτωναξόνων. ΑνE x = τότεηευθείααυτήείναιοάξοναςτωνyενώανe y = τότε πρόκειταιγιατονάξονατωνx. Ανφ y =φ x ήφ y =π+φ x θαέχουμε: E y = ± E E y x E x όποτεπρόκειταιγιαμιαευθείαπουπάλιπερνάειαπότηναρχή τωναξόνωνκαιηκλίσητηςείναι±ε y /Ε x. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για γραμμική πόλωση

Πόλωση Επίπεδου Κύματος ΑνηορίζουσαDδενείναιμηδέντότεεκμεταλλευόμενοιτο γεγονόςότιcos (ωt-kz)+sin (ωt-kz)=1 θαέχουμε: E E y E x y E x sinφy sinφx + cosφx cosφy = sin φy φ x Ex E y Ey E x ( ) E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey ( ) φ φ ( φ φ ) y x y x

Κυκλική Πόλωση E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey ( ) φ φ ( φ φ ) y x y x Απότηνπαραπάνωεξίσωσησυνάγουμεπωςανφ y =±π/+φ x και Ε x =E y =Κτότε E x E y + = 1 K K καιεπομένωςτoσημείο(e x (t),e y (t)) βρίσκεταιπάνω σεένακύκλο πουέχεικέντροτηναρχή τωναξόνωνκαιακτίνακ=ε x =E y Τότελέμεπωςτοκύμαέχεικυκλική πόλωση.

Ελλειπτική Πόλωση E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey Στην γενική περίπτωση μπορούμε να δείξουμε πως η παραπάνω εξίσωσηαντιστοιχείσεμίαέλλειψη. Πράγματι πρόκειται μία εξίσωση της μορφής ( ) φ φ ( φ φ ) y x y x Ax Bxy Cy F + + + = B 1 1 ( ) 1 1 4AC= 4 cos φ φ < y x Ex Ey Ex Ey Επομένως πρόκειται για μία έλλειψη και μιλάμε για ελλειπτική πόλωση.

Συνοψίζοντας τα περί πόλωσης Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: Τοσημείο(E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσεμίαευθείαπουπερνάει απότηναρχήτωναξόνωνανφ y =φ x ήe x = ήe y =. Στηνπερίπτωση αυτήλέμεπωςτοκύμαμαςέχειγραμμικήπόλωση. Τοσημείο(E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσεένανκύκλομεκέντρο τηναρχήτωναξόνωνκαιακτίνακανφ y =±π/+φ x καιε x =E y =Κ. Στηνπερίπτωσηαυτήλέμεπωςτοκύμαμαςέχεικυκλική πόλωση. Σεκάθεάλληπερίπτωσητο(E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσεμία έλλειψη. Στηνπερίπτωσηαυτήλέμεπωςτοκύμαμαςέχει ελλειπτική πόλωση.

Οριακές Συνθήκες Μέχριτώραθεωρήσαμεπωςοχώροςστον οποίοεξετάσαμετα κύματα μας ήτανε ομογενής, δηλαδή η διηλεκτρική σταθερά ε δενεξαρτιόταναπότοχώροκαιμάλισταητιμήτηςήτανείσημε την διηλεκτρική σταθερά του κενού. Τιγίνεταιόταναυτόδενισχύει? Π.χότανοχώροςαποτελείται από δύο υλικά? Για παράδειγμα φανταστείτε κύματα που διαδίδονται πάνω από τη θάλασσα. Κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας η διηλεκτρικήσταθεράείναιπερίπουε =3ε (διηλεκτρικήσταθερά τουνερού) ενώπάνωαπότηνεπιφάνειατηςείναιε 1 =ε (διηλεκτρικήσταθεράτουαέρα) ε=ε ε=8ε

Οριακές Συνθήκες ΤιμαςλένεοιεξισώσειςMaxwell γιαταπεδίαστηνδιαχωριστική επιφάνεια; Στηνμορφήτουςμέχριτώρα τίποταήσχεδόντίποτα. Ολόγος είναι πως το ε(x,y,z)=ε(z) δεν είναι συνεχής συνάρτηση! Αυτό δημιουργεί ένα πρόβλημα εξαιτίας του Νόμου του Gauss ο οποίος λέει ότι D= [ ε Ex] + ε E y + [ ε Ez] = ρ x y z Οι παράγωγοι μέσα στην παρένθεση δεν ορίζονται, επειδή το ε(x,y,z)=ε(z) δεν είναι συνεχής συνάρτηση Μπορούμεωστόσοναθεωρήσουμεπωςηε(z) δεν παρουσιάζει ασυνέχεια αλλά είναι πολύ απότομη Παραλείπουμε την ανάλυση!

Οριακές Συνθήκες ( ) ( ) ( ) n D D =ρ 1 s n B B = 1 n H H = J 1 s ( ) n E E = 1 Στιςπαραπάνωσχέσεις, D 1 καιd είναιηηλεκτρικήροήακριβώς πάνω και κάτω από την διαχωριστική επιφάνεια αντίστοιχα ΟμοίωςορίζονταικαιταΒ i,h i, E i Tαρ s καιj s ονομάζονταιεπιφανειακέςπυκνότητεςφορτίουκαι ρεύματος και οφείλονται σε ενδεχόμενες ασυνέχειες των D και H n=n(x,y) είναι το διάνυσμα που είναι κάθετο στην επιφάνεια D ( x, y) = lim D( x, y, z) D( x, y) = lim D( x, y, z) 1 z + z

Ανάκλαση και Διάθλαση Επίπεδων Κυμάτων Ας εξετάσουμε λοιπόν τι συμβαίνει όταν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε μία επιφάνεια που χωρίζει δύο μέσα. τόσο το κύμα που προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια (προσπίπτων) όσοκαιτοκύμαπουανακλάται(ανακλώμενο) αλλά και το κύμα που διαθλάται(διαθλώμενο) θεωρούμε πως είναι επίπεδα κύματα Εξ. Maxwell στομέσο1 ( E E ) jωµ ( H H ) + = + i r i r ( Hi Hr) jωε1( Ei Er) ( E E ) + = + + = i ( H H ) + = i r r Εξ. Maxwell στομέσο E = jωµ H t H = jωε E Et = H = t t t t

Εξισώσεις Maxwell για το προσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα ( E E ) jωµ ( H H ) + = + i r i r ( Hi Hr) jωε1( Ei Er) ( E E ) + = + + = i ( H H ) + = i Συνολικό Πεδίο r r Αφαιρούμε το προσπίπτον από το συνολικό! E = jωµ H r H = jωε E r Er = Hr = 1 r r Προσπίπτον Πεδίο E = jωµ H i H = jωε E i Ei = Hi = 1 i i Τοπροσπίπτονπεδίοστηνπεριοχή1 είναιτοπεδίοπουθα υπήρχεανδενυπήρχετομέσο. Επομένωςστηνπεριοχή1 υπακούει τις εξισώσεις Maxwell

Μορφή των πεδίων E i = E e jki r i E r = E e jk r r r E t = E e jkt r t H i = H e jki r i H r = H e jk r r r H t = H e jkt r t k i = ω µ ε = k 1 1 k r = ω µ ε = k 1 1 k t = ω µ ε = k Κάθε ένα από τα κύματα παρουσιάζει μία αρμονική εξάρτηση ως προς τις χωρικές συντεταγμένες Οι σταθερές διάδοσης μπορεί να έχουν διαφορετικό μέτρο στο μέσο1 καιστομέσο αφούδιαφέρειηδιηλεκτρικήσταθερά!

Οριακές συνθήκες για τα επίπεδα κύματα ( ε ε ) n E / E / = 1 1 1 ( ) n H H = 1 ( ) n H H = 1 ( ) n E E = 1 Θεωρούμε πως δεν υπάρχουνε ελεύθερα φορτία στην διαχωριστική επιφάνεια n είναι το διάνυσμα που είναι κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια.

Οριακές συνθήκες για τα επίπεδα κύματα 1 1 n ( E e + E e ) = n E e ε jk r jk r jk r i r t 1 ε i r t ( ) n H e + H e = n H e jk r jk r jk r i r t i r t ( i r ) ( t) n H e + H e = n H e jk r jk r jk r i r t ( i r ) ( t ) n E e + E e = n E e jk r jk r jk r i r t Οι παραπάνω σχέσεις θα πρέπει να επαληθεύονται για κάθε r =(x,y,). Γιαναισχύειαυτόθαπρέπει: k r = k r = k r i t r kix = ktx = krx kiy = kty = kry

Στροφή των αξόνων kiy = kty = kry = Μπορούμε να στρέψουμε το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ηπροβολήτουδιανύσματοςk i ναείναιίσημεμηδέν ωςπροςτον άξονατωνy Απότιςοριακέςσυνθήκεςξέρουμεπωςτοίδιοθαπρέπεινα ισχύεικαιγιατιςσυντεταγμένεςωςπροςyτωνk t καιk r Αυτόσημαίνειπωςκαιτατρίαδιανύσματαθαβρίσκονταιστο ίδιο επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο x-z.

Οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης Λίγη ακόμη τριγωνομετρία: k = k sin 1 θ ix k = k sin θ tx k = k sin 1 θ rx kix = ktx = krx i t r k sinθ = sinθ i sinθ = k 1 i r sinθ t Νόμος της Ανάκλασης n θ = θ i r sinθ = n 1 i sinθ Νόμος της Διάθλασης (Snell) t

Κρίσιμη Γωνία ΟνόμοςτουSnell συνεπάγεταιότι, sinθ = t n n 1 sinθ i Ανn 1 /n >1 αυτόσημαίνειπωςυπάρχουνετιμέςτηςθ i γιατις οποίεςδενμπορούμεναυπολογίσουμετοθ t Αυτόσυμβαίνειότανθ i >θ c όπουτοθ c υπολογίζεταιαπότην σχέση sinθ c = Τοθ c ονομάζεταικρίσιμηγωνία n n 1

Εξισώσεις Fresnel Οι εξισώσεις Maxwell μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε και τις εντάσεις των κυμάτων. Αςυποθέσουμεπωςοιεντάσειςτουηλεκτρικούκαιτου μαγνητικού πεδίου για το προσπίπτον κύμα είναι όπως φαίνονται στο σχήμα(ηλεκτρικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης) j i Eiy Eie k = r Ei Hix = cos Z 1 j i θ i e k r E ty = j t E e t k r H rx = E Z r 1 cos j r θ k r e r E ry = j r E e k r r H tx = E Z t cos j t θ e t k r

Εξισώσεις Fresnel Χρησιμοποιούμε τις οριακές συνθήκες για να γράψουμε τις σχέσεις των πεδίων στην διαχωριστική επιφάνεια Ety = Ery + Eiy Htx = H rx + Hix E = E + E t r i E E E cosθ = Z Z Z t i r t 1 1 cosθi Συντελεστής Ανάκλασης ρ v E ε 1 cosθi ε cosθ r t n1 cosθi n cosθt = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 i t 1 i t Συντελεστής Διέλευσης t v E ε 1 cosθ t i n1 cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 i i 1 i t

Ηλεκτρικό Πεδίο παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης ρ t p p E ε 1 cosθt ε cosθ r i n1 cosθt n cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 t i 1 t i E ε 1 cosθ t i n1 cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 t i 1 t i

ΣυντελεστέςΑνάκλασηςότανn 1 <n 1.5 ρ v ρ p ρ -.5-1.1..3.4.5 θ i /π

ΣυντελεστέςΑνάκλασηςότανn 1 >n 1 ρ v.5 ρ p ρ -.5-1.1..3.4.5 θ i /π Hγραφικήπαράστασηδενεκτείνεταισεόλοτονάξονατηνθ i καθώςδενμπορούμεναυπολογίσουμετοsinθ t όταν τοθ i ξεπερνάειτοθ c =.16π. Παρατηρείστεπωςκοντάστηνγωνίααυτή, έχουμε ρ v ρ p 1 κάτι που υποδεικνύει ότι το κύμα ανακλάται πλήρως στην διαχωριστική επιφάνεια

Ισχύς του Ηλεκτρομαγνητικού Κύματος το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μπορεί να μετακινήσει ηλεκτρικά φορτία και επομένως να παράγει κάποιου είδος έργου Ησυνολικήδύναμηπουδέχεταιτοφορτίοδίνεταιαπότην δύναμη Lorentz dw dt ( ) F= qe+ µ q v H ( ) { µ } dw = F dr= qe+ q v H dr d = { qe+ µ ( )} { ( )} q v H r = qe+ µ q v H v dt τοδιάνυσμαv Hείναικάθετοστοvκαιεπομένως(v H) v= P dw = = ( qv) E dt

Ισχύς του Ηλεκτρομαγνητικού Κύματος Σεένανόγκομεπολλάκινούμεναφορτία, ηπυκνότηταισχύος που προσφέρεται από το πεδίο στα φορτία του όγκου δίνεται από την σχέση: p loss = P 1 Nq V = v V E = J E Nq J= nqv= v V Γιαναυπολογίσουμετην ισχύππουπροσφέρειτο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα πρέπει να ολοκληρώσουμε σε όλο τον όγκο Π= loss = V V p dv E J dv

Θεώρημα Poynting ήπώςναυπολογίζετετιςαπώλειεςχωρίςναξέρετετοj S = E H S= H E E H B E= t D H= + t J B D S= H E E J t t

Θεώρημα Poynting ήπώςναυπολογίζετετιςαπώλειεςχωρίςναξέρετετοj B D S= H E E J t t B D SdV = S nds = H dv E dv E JdV t t V S V V V Θεώρημα Gauss B D E H nds+ H dv + E dv = E JdV t t ( ) S V V V

Θεώρημα Poynting ήπώςναυπολογίζετετιςαπώλειεςχωρίςναξέρετετοj B D SdV = S nds = H dv E dv E JdV t t V S V V V H E E H nds+ µ H dv + εe dv = E JdV t t ( ) S V V V 1 E 1 H E = E H = H t t t t E H nds+ udv = E JdV t ( ) S V V 1 1 u = µ H + ε E (J/m 3 )

Ερμηνεία(?) του θεωρήματος Τοuέχειδιαστάσειςενέργειαςανάμονάδαόγκουκαι αναφέρεται ως η«πυκνότητα της αποθηκευμένης ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικούπεδίου». Το διάνυσμα S ονομάζεται διάνυσμα Poynting και έχει διαστάσεις ισχύος ανά μονάδα επιφανείας. E H nds+ udv = E JdV t ( ) S V V 1 1 u = µ H + ε E

Εφαρμογή στην περίπτωση μίας λεπτής πλάκας Στο εσωτερικό της πλάκας υπάρχουνε διάφορα ελεύθερα φορτία και η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος είναι ίση με J Ανυποθέσουμεπωςστην άκρητηςπλάκαςτο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι πολύ ασθενές τότε: ( ) ( ) ( ) E H nds E H n ds E H n ds 1 1 S S S ( ) ( ) 1 1 E H n ds E H n ds = E JdV udv 1 1 t S S V V η μεταβολή στο επιφανειακό ολοκλήρωμα του διανύσματοςsαπότηνεπιφάνειαs 1 στην επιφάνειαs ισούταιμετιςαπώλειεςισχύος λόγω των ελεύθερων φορτίων και το ρυθμό μεταβολής της πυκνότητας της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

Αρμονικά Πεδία(Πραγματικά) 1 j t 1 * E( r, t) = E1( r) e ω + E1 ( r) e jωt 1 j t 1 * H( r, t) = H1( r) e ω + H1( r) e jωt 1 jωt 1 1 S( r, t) = ( E H ) e + ( E H ) e + 4 4 4 E H + E H ± j ωt 1 * = { οροι που περιέχουν το e } + Re 1 1 E H * * jωt * * 1 1 1 1 1 1 1 1 E 1 1 1 ( r, t) [ ( )] e ( ) e ( ) 4 E r 4 E r E r j ωt * j ωt = 1 + 1 + 1 H 1 1 1 ( r, t) [ ( )] e ( ) e ( ) 4 H r 4 H r H r j ωt * jωt = 1 + 1 + 1 u = 1 ε E r + 1 µ + ± j ωt { e } 1( ) H1( r) οροι που περιέχουν το

Αρμονικά Πεδία(Πραγματικά) 1 j t 1 * J( r, t) = J1( r) e ω + J1( r) e 1 E J= E J + E J + jωt { * * ± j } { ωt 1 1 1 1 οροι που περιέχουν το e } Χρησιμοποιούμε το Θ. Poynting θαέχουμεσταδύομέρητηςεξίσωσηςόρουςπουέχουνχρονική εξάρτηση σύμφωνα με το exp(jωt), όρους με χρονική εξάρτηση σύμφωνα με το exp(-jωt) και όρους που δεν έχουν καθόλου χρονικήεξάρτηση(μέσεςτιμές). Οιαντίστοιχοιόροισταδύομέρηθαπρέπειναείναιίσοι(αλλιώς δεν υπάρχει ελπίδα να επαληθεύεται η για κάθε t!) 1 1 Re ( ) Re E H nds = dv E J S * * 1 1 1 1 V Θεώρημα Poynting για τα αρμονικά πεδία.

Διάνυσμα Poynting για αρμονικά πεδία 1 W= Re E H P 1 = W n ds S 1 { * } 1 1 Διάνυσμα Poynting για τα αρμονικά πεδία. Μέση Ισχύς για τα αρμονικά πεδία Στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος έχουμε: 1 { } 1 * { ( *)} 1 W= Re E1 H1 = Re E1 k n E1 = E1 k Z Z Στηνπερίπτωσηόπουδεν έχουμεηλεκτρικόρεύμα(j 1 =) 1 Re ds = ( *) 1 1 E H n S n

Ισχύς Ανακλώμενου και Διαθλώμενου Κύματος W z 1 E k z E cosθ i i i = i = n1 i Z1 ki Z Z k z ρ cosθr W z E E Z 1 r r = r = n1 i k r Z k cos t z τ θt t = t = n ι k t Z W z E E R = ρ T = τ n n 1 cosθ t cosθ i

Συντελεστές Ανάκλασης και Διέλευσης Ισχύος όταν n 1 <n 1 1.8.8.6 R v.6 R p ρ.4 T v ρ.4 T p...1..3.4.5 θ i /π.1..3.4.5 θ i /π

Συντελεστές Ανάκλασης και Διέλευσης Ισχύος όταν n 1 >n 1 1 R v R p.8 T v.8 T p.6.6 ρ ρ.4..1..3.4.5 θ i /π.4..1..3.4.5 θ i /π

Τι μάθαμε: Τις εξισώσεις Maxwell Tα επίπεδα κύματα Τις οριακές συνθήκες Ταπερίισχύοςτουπεδίου Τους βασικούς νόμους της διάθλασης και της ανάκλασης

Ενότητα 3 Βασικά Στοιχεία Κεραιών

Previously on Lost (with Maxwell) ΟιεξισώσειςMaxwell-περιέχουντοηλεκτρικόρεύμαJκαιτην πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου ρ που καθορίζουν την χρονική καιχωρικήκατανομήτων εντάσεωνεκαιη. Για να αποτυπώσουμε επομένως ένα σήμα στο ηλεκτρομαγνητικό μας πεδίο μπορούμε να το αποτυπώσουμε στοηλεκτρικόρεύμαj. Οι κεραίες είναι διατάξεις οι οποίες είναι ειδικά σχεδιασμένες ώστεναδημιουργούνμίακατάλληληκατανομήτουjηοποίαμε τηνσειράτηςναδημιουργείτιςκατάλληλεςκατανομέςεκαιη

Διανυσματικό Δυναμικό ΑςορίσουμεένανέομέγεθοςΑτοοποίοθατοονομάζουμε διανυσματικό δυναμικό και το οποίο σχετίζεται με την πυκνότητα μαγνητικής ροής Β ως εξής B = A Ένα βασικό θεώρημα της διανυσματικής ανάλυσης λέει πως αν μία διανυσματική συνάρτηση Β έχει Β=, τότε υπάρχει μία συνάρτηση Α τέτοια ώστε να ισχύει η παραπάνω σχέση Έχουμε και μία σχετική ελευθερία να επιλέξουμε την συνάρτηση Α. Εφόσον ( φ)=, τότε και η συνάρτηση A = A+ φ B= A= A

Τα πεδία σε σχέση με το διανυσματικό δυναμικό B = A H 1 = µ A E= jωµ H= jω A Όταν Φ 1 = Φ τότεεν γένειυπάρχειμίασυνάρτησηfγιατην οποίαφ 1 =Φ + f, συνεπώςησυνεπάγεταιότι: E = jωa+ f

Το διανυσματικό δυναμικό και το ρεύμα H 1 = µ A E = jωa+ f H= J+ jωε E 1 ω ε jωε f µ = + A J A ( ) A= A A ( j f) ω εµ µ ωµ ε A+ A= J+ A+

ΑπλοποιήστετοΑκαιτηνζωήσας ΜπορούμεναεπιλέξουμετοΑέτσιώστε A= jωµ ε f ( j f) ω εµ µ ωµ ε A+ A= J+ A+ Συνδέσαμε το δυναμικό μετορεύμα! A ω εµ A µ J + = j E= jωa A ωµ ε ( )

Βρίσκοντας το πεδίο(με την πράσινη συνάρτηση) jk r r µ e A( r) = J( r ) dv 4π r r V Η παραπάνω σχέση ισχύει στον ελεύθερο χώρο ΜαςλέειπωςγιαναβρούμετοΑ(x,y,z) θαπρέπεινα προσδιορίσουμε τον όγκο V μέσα στον οποίο περιλαμβάνεται το ηλεκτρικό μας ρεύμα J(x,y,z ) Μετά να ολοκληρώσουμε το J(x,y,z ) πολλαπλασιασμένο με τον κατάλληλοπαράγοντα όπουr=(x,y,z) καιr =(x,y,z ). Το r-r είναι η απόσταση του εκάστοτε σημείου(x,y,z ) που θεωρούμε εντός του όγκου που περιλαμβάνει τις πηγές και του σημείου(x,y,z) όπου θέλουμε να υπολογίσουμε το Α. Όταν υπολογίσουμε το Α τότε μπορούμε να υπολογίσουμε και το Η/Μ πεδίο.

Ηπρώτημαςκεραία: τοδίπολοτουhertz z y l J r x r =(x,y,z ) r=(x,y,z) ΗπυκνότηταρεύματοςJ θεωρείται πως είναι σταθερόσεόλοτομήκος του σύρματος. Υποθέτουμε επίσης πως η πυκνότητα του ρεύματος είναι προσανατολισμένη κατά τονάξονατωνz J = J z z jk r r l / jk r r l / jk r r e e I e dv πρ J z dz dz r r r r r r V l / l / µ µ µ A( r) = J( r ) z = z 4π 4π 4π

ΜιααπλοποίησηγιατοΑ υποθέτουμεπωςτομήκοςτουσύρματοςείναιτόσομικρόσε σχέση με την απόσταση μεταξύ του κέντρου του σύρματος και του σημείου r=(x,y,z) έτσι ώστε να ισχύει r r = x + y + ( z z ) x + y + z = r z J r r=(x,y,z) A( r) µ Il e 4π r jkr z l x y r =(x,y,z )

Υπολογισμός των πεδίων από το δίπολο του Hertz ΗσυνάρτησηΑεξαρτάταιμόνοαπότομέτροτουδιανύσματος r =rτοοποίοαποτελείκαιτηναπόστασητουσημείουr=(x,y,z) απότοκέντροτωναξόνων. Ο υπολογισμός του H πραγματοποιείται πιο εύκολα όταν περνάμε στις σφαιρικές συντεταγμένες A r sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ Ax A θ cosθ cosφ cosθ sinφ sinθ A = y A φ sinφ cosφ A z jkr µ Ile Ar = Az cosθ = cosθ 4π r A θ µ Ile = Az sinθ = 4π r A φ = jkr sinθ

Υπολογισμός των πεδίων από το δίπολο του Hertz 1 H= A µ r Aθ 1 Ar Ar ( Aφ sinθ) θ ( raφ ) φ A= ( raθ ) rsinθ + + θ φ r sinθ φ r r r θ εφόσονδενέχουμεεξάρτησηαπότοφκαιa φ = H φ Ar jkil sinθ 1 = ( raθ ) 1 e µ r = + r θ 4π r jkr jkr H φ H r = H θ = jkil sinθ 1 = 1+ e 4π r jkr jkr

Υπολογισμός των πεδίων από το δίπολο του Hertz E 1 = jωε H Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) E φ = jkr Χρησιμοποιούμε το νόμο του Faraday για να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο

Υπολογισμός Ισχύος του πεδίου 1 W= Re E H { * } ( ) r ( ) E H = Eφ+ E r H θ = re H θe H * * * φ θ θ φ r φ 1 W= Re r θ { * * E } θ Hφ Er Hφ W n= W r= 1 { *} Z Il sin Re Eθ Hφ = 8 λ r θ Παρατηρούμε πως η πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ισχύος μειώνεται~1/r. Γιατολόγοαυτόοιειδικοίπολλέςφορέςσυνιστούνναέχετε μακριάτοκινητόαπότοκεφάλισας!

Διάγραμμα Ακτινοβολίας Μπορούμε να κάνουμε ένα τρισδιάστατο γράφημα που να μας δίνει κάποια πληροφορία για την πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας κανονικοποιημένη ως προς την μέγιστη τιμή της W n ( φ θ) ( φ, θ, r ) ( φ θ r ) r W, = = sin max,, { r W } Θεωρούμε τα σημεία r=(x,y,z) σε μία σφαίρα τα οποία προφανώς επαληθεύουντηνεξίσωσηx +y +z =r Για κάθε σημείο πάνω στην σφαίρα μπορούμε να υπολογίσουμε έναδιάνυσμαvτοοποίοναείναιπαράλληλομετοrκαιτου οποίουτομέτροναισούταιμεw n (θ,φ), δηλαδή: v ( φ, θ) = ( φ, θ) W n r θ

Διάγραμμα Ακτινοβολίας Διπόλου

Ισοτροπικό διάγραμμα ακτινοβολίας Μια κεραία η οποία ακτινοβολεί παντού την ίδια πυκνότητα ισχύος ονομάζεται ισοτροπική και θα έχει ένα σφαιρικό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ένα πιο ρεαλιστικό(κατευθυντικό) διάγραμμα Ομεγάλοςλοβόςπουτηνίδια διεύθυνση και φορά με τον άξονα τωνzονομάζεταικύριοςλοβός. Υπάρχει ένας μικρός οπίσθιος λοβός ο οποίος έχει κατεύθυνση τον z Eμφανίζονται και μερικοί πλευρικοίλοβοί. Εξαιτίαςτωνλοβώναυτώνη κεραία δεν μεταδίδει μόνο προς την κατεύθυνση που επιθυμούμε κάτι που μπορεί να προκαλέσει παραμόρφωση λόγω παρεμβολών.

Περιοχές Πεδίου ανάλογαμετηντιμήτουkrδιακρίνουμετρειςπεριοχέςγιατο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Ηπρώτηπεριοχήαντιστοιχείσετιμέςkr<<1, δηλαδήr<<λ. Η περιοχή αυτή ονομάζεται περιοχή κοντινού πεδίου H φ jkil sinθ 1 = 1+ 4π r jkr E = H = H = φ r e Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr θ jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) jkr H φ jkr Ile sin θ 4π r E = H = H = E r E θ φ r θ jkr Ile jz cos θ 3 π kr jkr Ile jz sin θ 3 4π kr

Περιοχές Πεδίου Ηδεύτερηπεριοχήαντιστοιχείστηνπεριοχή όπουτοkrείναιμεν μεγαλύτεροσεσχέσημετηνμονάδα. Ηπεριοχήαυτήπου ονομάζεται περιοχή ενδιάμεσου πεδίου H φ jkil sinθ 1 = 1+ 4π r jkr E = H = H = φ r θ e jkr H φ jkile 4π r r jkr sinθ E = H = H = φ θ Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) jkr E r E θ jkr Ile Z cos θ π r jz kile 4π r jkr sinθ

Περιοχές Πεδίου Υπάρχεικαιητρίτηπεριοχή, ηπεριοχήτουμακρινούπεδίουστην οποία kr>>1 H φ jkil sinθ 1 = 1+ 4π r jkr E = H = H = φ r θ e jkr H φ jkile 4π r jkr sinθ Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) jkr E E = H = H = r E θ φ jz r kile 4π r jkr θ sinθ

Χαρακτηριστικά του Πεδίου στη Μακρινή Περιοχή ΣτηνπεριοχήαυτήδενυπάρχεισυνιστώσαE r τόσοτοηλεκτρικόόσοκαιτομαγνητικόπεδίοείναικάθεταστο μοναδιαίο διάνυσμα r Επίσης αν βρισκόμαστε αρκετά μακριά από το κέντρο των αξόνων τότε στην γκρι επιφάνεια του σχήματος μπορούμε να θεωρήσουμε πως οι εντάσειςαυτέςείναισχεδόνσταθερές. Επομένως ένας παρατηρητής που μετράει το πεδίο στην επιφάνεια αυτή βρίσκει πως πρόκειται σχεδόν για ένα επίπεδο κύμα το οποίο διαδίδεται προς την κατεύθυνση του r E H Eθ Z = H φ µ ε

Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας ένταση ακτινοβολίας U Γιατοδίπολο, U = r W r U = Z Il 8 λ sin θ ΤογεγονόςπωςτοUείναιανεξάρτητοαπότοr, κάνειτην ένταση ακτινοβολίας περισσότερο κατάλληλη να εκφράζει τις ιδιότητες της κατεθυντικότητας της κεραίας. Κατευθυντικό κέρδος(directive gain) D D U = U όπουτοu είναιηέντασηακτινοβολίαςγιαμίαυποθετική ισοτροπική κεραία η οποία ακτινοβολεί την ίδια συνολική ισχύ P μετηνκεραίαμας.

Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας Εφόσον η κεραία αναφοράς μας είναι ισοτροπική, αν φανταστούμε μία σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r με κέντρο την κεραίααυτή, ηπυκνότηταισχύοςθαείναιw r =P/(4πr ), επομένως U=r W r =P/(4π), οπότε: D ( ) ( ) πw r 4 πu φ, θ 4 φ θ = = P, r ΣτηνπερίπτωσητουδίπολουτουHertz P Z Il 3P U = sin θ = sin θ 8 λ 8π D 3 sin = θ

Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας ΟρίζουμετώρατηνκατευθυντικότηταD max τηςκεραίαςωςτη μέγιστη τιμή του κατευθυντικού κέρδους Dmax = max{ D} ΣτηνπερίπτωσητουδίπολουτουHertz D = max 3 ΗακτινοβολούμενηισχύςPδενισούταιπάνταμετηνισχύP in που προσφέρουμε στην κεραία. Ορίζουμε ως απόδοση ακτινοβολίας της κεραίας το πηλίκο: e cd = P P in

Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας Τοκέρδοςτηςκεραίας G (, ) φ θ = ( ) 4 πu φ, θ P in G( φ, θ ) = e U ( φ, θ ) cd Αντίσταση Ακτινοβολίας R r = 1 P I ΣτηνπερίπτωσητουδίπολουτουHertz R r π l = Z 3 λ

Διέγερση μίας κεραίας(πως δημιουργούμε το J;) I = V ( g R ) r+ RL+ Rg L+ r + g R R R P = 1 V g 1 1 1 in = g = g RL+ Rr + Rg P V I V R r e cd P Rr = = P R + R + R in L g r

Προσαρμογή Κεραίας P = 1 V g R ( R + R + R ) r r L g Η P μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται η f ( a) = a ( a+ β) όπουa=r r καιβ=r L +R g f ( a) = β a ( a+ β) 3 Επομένωςμεγιστοποιείταιότανβ=a, δηλαδήr L +R g =R r. στην περίπτωσηαυτήe cd =.5

To Θεώρημα της Αμοιβαιότητας ΑςθεωρήσουμεδύοδιαφορετικέςκατανομέςτουJέστωJ 1 καιj κάθεμίααπότιςοποίεςότανβρίσκεταισεέναμέσοαπουσίατης άλληςδημιουργούνταηλεκτρομαγνητικάπεδία(ε 1, Η 1 ) και(ε, Η ) αντίστοιχα E = jωµ H 1 1 H = jωε E + J 1 1 1 E = jωµ H H = jωε E + J F= E1 H E H1 F= H E1 E1 H H1 E+ E H1 S F= E J E J 1 1 ( ) 1 1 F nds = E J E J V dv ΌτανR V E J dv = E J 1 1 V dv

Τιθέλειναπειοποιητής; αςυποθέσουμεπωςταρεύματαj 1 καιj βρίσκονταιτοκάθεένα πάνωσεέναπολύστενόκαλώδιομήκουςl 1 καιl αντίστοιχα E J l A = E J l A 1 1 1 1 Ανορίσουμεταδιανύσματαb 1 καιb ναέχουνμέτροτηνμονάδα καιναείναιπαράλληλαμετακαλώδιατότεη μπορείναγραφεί: I l E b = I l E b 1 1 1 1 Αςυποθέσουμετώραπωςμεκάποιοντρόπομετράμετηδιαφορά δυναμικού στα άκρα των αγωγών r a V = E dr= l E b 1 1 1 r a1 r b V = E dr= l E b 1 1 r b1

Τιθέλειναπειοποιητής; ΠωςαντορεύμαΙ 1 δημιουργήσειέναπεδίοπουέχειωςσυνέπεια μίαδιαφοράδυναμικούδv πάνωστονδεύτεροαγωγόκαιαντο ρεύμαι δημιουργήσειέναπεδίοπουέχειωςσυνέπειαμία διαφοράδυναμικούδv 1 πάνωστονπρώτοαγωγόαυτέςπρέπει ναδιέπονταιαπότην. I1 V1 = I V Πρόκειται για μία ιδιότητα του χώρου στις οποίες βρίσκονται οι πηγές ρεύματος.

Τιθέλειναπειοποιητής; Θεωρείστεδύοκεραίες«1»και. Ηκεραία«1»εκπέμπειένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο το οποίο λαμβάνεται από την κεραία προκαλώντας κίνηση των ελεύθερων φορτίων που βρίσκονται στους αγωγούςτης. Ανστην«1»τοηλεκτρομαγνητικόπεδίοδημιουργείταιαπότορεύμαΙ 1 έχειωςαποτέλεσμαμίαδιαφοράδυναμικούδv στηνκαιστητο πεδίοδημιουργείταιαπότορεύμαι πουέχειωςαποτέλεσμαμία διαφοράδυναμικούδv 1 στην«1», τότε V I V = I 1 1

Τιθέλειναπειοποιητής; V1 = Z11I1+ Z1I V = ZI+ Z1I1 τορεύμαι 1 πουδιέρχεταιστοναγωγό«1»δημιουργείμίαπτώση τάσηςζ 11 Ι 1 ανεξάρτητααπότοανυπάρχειηκεραίαήόχι. ΟμοίωςισχύειγιατοΖ Ι καιτοναγωγόαντίστοιχα ΔV 1 Ι 1 =ΔV Ι σημαίνειζ 1 Ι Ι 1 =Ζ 1 Ι 1 Ι καιεπομένωςζ 1 =Ζ 1 «Σεένασύστημαδύοκεραιών, ηισχύςπουλαμβάνειημίακεραία από την άλλη είναι ίδια ανεξάρτητα με το ποια κεραία θεωρούμε πως εκπέμπει και ποια λαμβάνει!»

Ηκεραίαωςδέκτης A e = PT W i ΤοενεργόάνοιγματηςκεραίαςΑ e τοοποίοορίζεταιωςτοπηλίκο τηςισχύοςp T πουηκεραίαπαραδίδεισταάκρατηςπροςτην πυκνότητα ισχύος του προσπίπτοντος ηλεκτρομαγνητικού κύματοςw i. Αν θέλουμε με μεγιστοποιήσουμε την ισχύ λήψης τότε θα πρέπει R =R r V V = I R = R R+ Rr P = V 8R r A P V e = = Wi 1 8Rr Wi 1

Το ενεργό άνοιγμα ενός στοιχειώδους διπόλου V = l E 1 z V = l E max, 1 W i = 1 Z E 1 A max, e = l 4R Z r A e PT = W i A max, e 3λ = = 8π.119λ

Ηκεραίασανπομπόςκαισανδέκτης D A = D A 1 e1 e D A D λ π max,1 max, = = max, e1 Amax, e 4 Σεένασύστημαδύοκεραιών, ολόγοςμεταξύτης κατευθυντικότητας και του ενεργού ανοίγματος τους πρέπει να είναι σταθερός! Το μέγιστο ενεργό άνοιγμα και η μέγιστη κατευθηντικότητα μίαςκεραίαςέχουνσταθερόλόγοίσομελ /4π.

Τι μάθαμε: Πώς να υπολογίζουμε τα Η/Μ πεδία εξαιτίας ενός ρεύματος (μέχρις ένα βαθμό ) Το στοιχειώδες δίπολο Τις περιοχές του πεδίου Το διάγραμμα ακτινοβολίας Τις βασικές παραμέτρους μιας κεραίας Πωςηκεραίαλειτουργείωςδέκτης Την αρχή της αμοιβαιότητας

Ενότητα 4 Κυματοδηγοί

Εισαγωγικά Στηνπαρούσαενότηταθαδούμεπωςμπορούμενα περιορίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα μέσα σε διατάξεις που το μεταφέρουν από τον πομπό στο δέκτη χωρίς τις μεγάλες γεωμετρικές απώλειες που υφίστανται στον ελεύθερο χώρο. Κυματοδηγός Η διηλεκτρική σταθερά ε=ε(x,y) είναι συνήθως ανεξάρτητη από τηνz. Ο κυματοδηγός μας μπορεί να περιβάλλεται από έναν πολύ καλό αγωγό(μέταλλο) το οποίο να απαγορεύει στο ηλεκτρομαγνητικόπεδίοναδιαδοθείεκτόςτουκυματοδηγού.

Αγωγοί Πρόκειται για υλικά που έχουν αφθονία ελεύθερων ηλεκτρονίων (φορτίων). Είναιταγνωστάμαςμέταλλα. J =σ E H= jωε E+ J= jωε E ε ε 1 j σ = ωε για να συμπεριλάβουμε την επίδραση των ελεύθερων φορτίων στις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων αρκεί να αντικαταστήσουμε το ε με ε

Κύματα μέσα στους Αγωγούς οι εξισώσεις που αποδείξαμε για τα επίπεδα κύματα ισχύουν με τηναλλαγήαπόεμεε k 1/ 1/ = ω ( µ ε ) = ω ( µ ε) 1 σ jωε 1/ Αςυποθέσουμεότιτοσείναιπολύμεγάλοκαιεπομένως ( ) 1/ 1/ σ ω µ ε σ k ω ( µ ε) j = 1 j = a 1 j ωε ωε a = σ µ ε 1/ exp( jkz) = exp( az jaz) ( ) ( ) Μέσασεέναναγωγότο κύμα αποσβαίνει!

Κύματα μέσα στους Αγωγούς ( ) 1/ 1/ σ ω µ ε σ k ω ( µ ε) j = 1 j = a 1 j ωε ωε 1/ ( ) ( ) Αντοσείναιπολύμεγάλο, τοαείναικαιαυτόπολύμεγάλοκαι τοκύμαεξασθενείπολύγρήγορα. Αντοσήτανάπειρο(είχαμεδηλαδήέναναγωγόμεπολύμικρή αντίσταση) τότετοκύμαθαήτανεμηδέν. Ναλοιπόνγιατίμέσασεέναντέλειοαγωγότοηλεκτρικόπεδίο (και επομένως και το μαγνητικό) είναι ίσο με μηδέν).

Τρόποι Διάδοσης j E( r) = E ( x, y) e β z j H( r) = H ( x, y) e β z Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του κυματοδηγού μπορεί να γραφεί ως υπέρθεσητωντρόπωνδιάδοσηςτουκυματοδηγού. Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένας τρόπος διάδοσης είναι ένα πεδίο της παραπάνω μορφής όπουτοβονομάζεταισταθεράδιάδοσηςτουτρόπουδιάδοσης.

Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες E= jωµ H H= jωε ( x, y) E E = xe + ye T x y H = xh + yh T x y ( εe) = H= T = x + y x y ( ε ) ( ε E ) y ( ε ) E E E ( εe) = + + = ( εe ) + ε x y z z H H x y H z H z H= + + = T HT + x y z z x z z T T ( εe ) jβε E E= = T T z H= H jβ H = T T z

Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες E E E E E E y z x z x y z y z x y x E= x y+ z E E E E = + + y x x y z z y x E jβ Ey x jβ Ex y z E y z E= jωµ H x Ez jβ( Ex Ey ) = jωµ T x y y x H E E x y Ez Ez ( T Ez) z= x+ y z= x y x y y x ( E ) j ( ) = j z β z E ωµ H T z T T ( E E ) ( E E ) z E = z x+ y = y x T x y x y ( E ) j ( ) j z z β z z E = ωµ z H T z T T

Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες Παρόμοια... ( ) E + jβe = jωµ z H T z T T ( ) H + jβh = jωε z E T z T T Ey E x E= jωµ H z= jωµ H x y z z E = T T E z x y E x y Παρόμοια... E = jωµ H T T z H = jωε E z T T z z

Αν έχετε επιβιώσει μέχρι εδώ, συγχαρητήρια! Έχετε καταφέρει να γράψετε τις εξισώσεις Maxwell σε μία μορφή που οι εγκάρσιες συνιστώσες του πεδίου έχουν ως ένα σημείο απεμπλακεί από τις διαμήκεις ( ) E + jβe = jωµ z H T z T T ( ) H + jβh = jωε z E T z T T E = jωµ H T T z z H = jωε E T T z z ( εe ) jβε E = T T z H jβ H = T T z

Αντί 6 χρειαζόμαστε μονάχα συνιστώσες ( ) H + jβh = jωε z E T z T T E ( z H ) ( E ) j ( ) = j E + jβ = jωµ T z T T z β z E ωµ H T z T T p = ω µε β jβ jωµ z E = z E p p H H T T z T z jωε jβ = z E p p H T T z T z E H jβ jωµ = E + z p p H T T z T z jωε jβ = z E p p H T T z T z

Αντί 6 χρειαζόμαστε μονάχα συνιστώσες H x H jωε Ez jβ H = p y p x y jωε Ez jβ H = p x p y z z E E y x jβ Ez jωµ H = p x p y jβ Ez jωµ H = + p y p x z z έχουμεεκφράσειτιςεγκάρσιεςσυνιστώσεςτουπεδίουε Τ καιη Τ συναρτήσειδιαμηκώνσυνιστωσώνε z καιh z.

Ορθογώνιος Μεταλλικός Κυματοδηγός περιβάλλεται από τέλειο αγωγό και στο εσωτερικό του έχει ένα υλικό με διηλεκτρική σταθεράε(x,y)=ε 1 ( ε ) jβε E E = T ET jβ Ez = T T z z z + = E jβ jωµ = E + z p p H T T z T z β ωµ + z β = p p T T Ez T H z Ez ωµ ωµ ωµ H H H { H } p p p x y z z T z T z = T z T z = T y + x = ωµ H H p y x x y β p E β = p E T T z T z E E + = + + = x y z z T Ez p Ez p E z

ΒρίσκονταςταΕ z καιh z E E + = + + = x y z z T Ez p Ez p E z H H + = + + = x y z z T H z p H z p H z To H z δίνεταιαπόμίαπαρόμοια εξίσωση Για να προσδιορίσουμε πλήρως τα Ε z καιh z χρειαζόμαστεκαιτις οριακές συνθήκες που πληρούν στα άκρα του κυματοδηγού.

Οριακές Συνθήκες Στομέταλλοόλαταπεδίαείναιμηδέν ( ) n B B = 1 ( ) n E E = 1 E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = z z z z E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = x x y y H (, y) = H ( a, y) = H ( x,) = H ( x, b) = x x y y

Τι σημαίνουν οι οριακές συνθήκες για τις διαμήκεις συνιστώσες; E H jβ E (, y) jωµ H (, y) p y p x z z y (, y) = + = x jωε Ez (, y) jβ H z (, y) (, y) = = p y p x Ez (, y) H z (, y) = = y x

Τι σημαίνουν οι οριακές συνθήκες για τις διαμήκεις συνιστώσες; E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = z z z z Ez (, y) H z (, y) Ez ( a, y) H z (, y) = = = = y x y x Ez ( x,) H z ( x,) Ez ( x, b) H z ( x, b) = = = = x y x y H z ( x,) H z ( x, b) H z (, y) H z ( a, y) = = = = x x y y

Τιείναιόλααυτά; Και όμως είναι κάτι σημαντικό! Έχουμε εκφράσει τις x και y συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίουσυναρτήσειτωνzσυνιστωσώνδηλαδήτηςh z καιe z. Αυτό έχει γίνει στην γενική περίπτωση όπου έχουμε μία τυχαία διατομή οπότε ισχύει και στην περίπτωση του μεταλλικού κυματοδηγού. Έχουμε βρει δύο εξισώσεις οι οποίες περιγράφει τις συνιστώσες H z καιe z. ΠαρατηρείστεπωςστηνεξίσωσητουE z δεν εμφανίζεταικαθόλουτοh z καιτοανάποδο. Απόόλεςτιςπιθανέςλύσειςτωνκαιθαπρέπειναεπιλέξουμε αυτές που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες στην άκρη της διατομής του κυματοδηγού που τώρα ξέρουμε ποιες είναι!

ΤΕκαιΤΜκύματα ΜπορούμεναλύσουμετηνεξίσωσηγιατοE z ΞΕΧΩΡΙΣΤΑαπό τηνεξίσωσηγιατοη z αφούτόσοηίδιαηεξίσωσηόσοκαιοι οριακέςσυνθήκεςδενπεριέχουντοη z. ΟμοίωςμπορούμεναλύσουμετηνεξίσωσηγιατοΗ z ΞΕΧΩΡΙΣΤΑαπότηνεξίσωσηγιατοΕ z αφούτόσοηίδιαη εξίσωση όσοκαιοιοριακέςσυνθήκεςδενπεριέχουν τοε z. Έστω ότι καταφέρνουμε να βρούμε λύσεις των εξισώσεων MaxwellοιοποίεςέχουνετηνσυνιστώσαΕ z παντούίσημεμηδέν. Τα κύματα αυτά ονομάζεται μαγνητικά εγκάρσια(transverse electric-τε). ΕπίσηςανκαταφέρναμεναβρούμεκύματαμεΗ z = τότεαυτάθα ήτανε μαγνητικά εγκάρσια(transverse electric- ΤΜ) ΆμαβρούμετιςΤΕκαιτιςΤΜλύσειςτότεαπλάπροσθέτουμετα πεδία τους για να βρούμε την συνολική λύση.

ΕξισώσειςτωνπεδίωνΤΕ(Ε z =) z x H j H p x β = z y H j H p y β = z x j H E p y ωµ = z y j H E p x ωµ =+

ΕξισώσειςτωνπεδίωνΤΜ(H z =) z x E j H p y ωε = z y E j H p x ωε = z x E j E p x β = z y E j E p y β =

Βρίσκοντας την άκρη E E + = + + = x y z z T Ez p Ez p E z Η μέθοδος των χωριζομένων μεταβλητών Ez = X ( x) Y ( y) 1 d X 1 d Y + = p X dx Y dy d X 1 X dx = p x p = p + p x y 1 d Y y Y dy = p

Βρίσκοντας την άκρη 1 X dx d X x x = p X ( x) = Ae jp x + Be x jp x Θαπρέπειόμως E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = z z z z X () = X ( a) = jpxa jpxa A+ B= Ae + Be = e jp a x = jpxa e p x mπ a = X ( x) A sin m π x = a

Βρίσκοντας την άκρη ΜεπαρόμοιοτρόπομπορούμεναβρούμεκαιτηνY(y) p y = nπ b Y ( y) sin n π y b = B ΤελικάτοπεδίοE z =XY τουτρόπουτμ mn θαδίνεταιαπότην Ηδεσταθεράδιάδοσης mπ x nπ y Ez ( x, y) = C sin sin a b mπ nπ β = ω µ ε p = ω µ ε a b

Φανταστικό ή Πραγματικό β; mπ nπ β = ω µ ε p = ω µ ε a b Υπάρχουντιμέςτουωγιατιςοποίεςθαέχουμεω μ ε<p οπότετο β θα είναι φανταστικό! Ένα κύμα με φανταστικό β ονομάζονται αποσβένον κύμα Ένα κύμα με πραγματικό β είναι φορέας ηλεκτρομαγνητικής ισχύος και ονομάζεται κυματοδηγούμενο κύμα * * * βωε E ExH y EyH E H z= x = + ( ) E z z 4 p x y 1 * ωε E Re { } 4 Re z E z P= ds { β} ds E H = p + x y S S Ένα αποσβένον κύμα δεν μεταφέρει ισχύ! Ότανβ= τότεοτρόποςδιάδοσηςλέμεπωςβρίσκεταιστην αποκοπή

Συχνότητες αποκοπής mπ nπ β = ω µ ε = a b ω mn 1/ 1/ 1 mπ nπ 1 mπ nπ = + = + µ ε a b c a b Γιασυχνότητεςω>ω mn otm mn βρίσκεταιπάνωαπότηναποκοπή (κυματοδηγούμενο κύμα) ενώω<ω mn βρίσκεταικάτω απότηναποκοπή(αποσβένονκύμα)

Μετιμοιάζειτο Ε z ;

Βρίσκοντας την άκρη (για τα ΤΕ) H x H y z z + + p H z = H z ( x,) H z ( x, b) H z (, y) H z ( a, y) = = = = x x y y Μέθοδος Χωριζόμενων Μεταβλητών, κτλ mπ x nπ y H z ( x, y) = C cos cos a b ω mπ nπ β = ω µ ε p = c a b

Μετιμοιάζειτο Η z ;

Διάδοση σημάτων μέσα σε έναν κυματοδηγό ΑςυποθέσουμεπωςέχουμεένανμόνοτρόποδιάδοσηςτονΤΕ 1. + 1 j t x( t) = dω X ( ω) e ω π + 1 j ( ) z j t y( t) X ( ω) e β ω + = ω π β ( ω) β + β ( ω ω ) 1 + + 1 1 y t X ω e e X ω e e x t β1l π π jβl jβω 1 L+ jωt jβl 1 j L ( ) ( ) ( ) jβωl jωt β = = + = ( ) οδέκτηςλαμβάνειμίαέκδοσητουx(t) καθυστερημένηκατάβ 1 L

Ταχύτητα Ομάδας ονομάζουμε την ταχύτητα του σήματος v g ( ) L 1 dβ ω β1l β1 dω = = = 1 β = ( ω / c) p 1 = dβ = 1 ω 1 ω 1 v ( ω / c) p = = φ vg dω c β c c v v g φ = c

Κυκλικός Μεταλλικός Κυματοδηγός H jωε jβ = z E p p H T T z T z E ( R, φ ) = z Eφ ( R, φ ) = H ( R, φ ) = r E jβ jωµ = E + z p p H T T z T z E ρ z T Ez = ρ+ H H ρ z T z = ρ+ Ezφ φ H zφ φ

Κυκλικός Μεταλλικός Κυματοδηγός H H E φ ρ ρ jωε E = p ρ φ z jωε E = p ρ z jβ H z p ρ jβ H z p ρ φ jωµ H z jβ Ez = p ρ φ p ρ E φ jωµ H z jβ Ez = p ρ p ρ φ Έχουμε εκφράσει τις εγκάρσιες συνιστώσες σε συνάρτηση των διαμήκων αλλά αυτή τη φορά στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων

Τι σημαίνουν οι οριακές συνθήκες για τις διαμήκεις συνιστώσες; E H φ ρ ( φ R) ( φ R) ( φ, ) jβ ( φ, ) jωε Ez R H z R, = = p ρ φ p ρ ( φ, ) j ( φ, ) jωµ H z R β Ez R, = = p ρ p ρ φ H E z z ( φ, R) ρ ( φ, R) φ = = E ( R, φ ) = z

Βρίσκοντας την άκρη 1 E z 1 Ez T Ez + p Ez = ρ + + p E z = ρ ρ ρ ρ φ 1 H z 1 H z T H z+ p H z = ρ + + p H z = ρ ρ ρ ρ φ Μέθοδοςχωριζομένωνμεταβλητών: Θέτουμεπ.χ. E z =Ρ(ρ)Φ(φ) d dρ d Φ ρ ρ ρ dρ dρ + dφ + = p d dφ Φ p = ( ) φ ρ d Ρ ρ dρ + + p ρ m Ρ= dρ dρ

Ξέρετε να λύνετε την ( φ) d Φ p = dφ jp φ ΘαπρέπειΦ(φ+πκ)= Φ(φ) γιακάθεακέραιοκ. Επομένως, φ φ Φ = Ae + Be jp φ φ p φ = m ( φ) C cos( mφ) Dsin( mφ) Φ = +

ΓιατουςτρόπουΤΜ, ξέρετεναλύνετετην όπουοισυναρτήσειςj m (x) καιυ m (x) ονομάζονταισυναρτήσεις Besselπρώτουκαιδεύτερουείδουςαντίστοιχα. ΗΥ m (pρ) απειρίζεταιγιαρ= οπότεδεναντιστοιχείσεκάποιο πραγματικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Θέτουμε επομένως Β= ρ d Ρ d d ρ Ρ ρ dρ ρ ( + + p m ) Ρ= Ρ ( R) = ( ρ) = ( ρ) + ( ρ) P AJ p BY p m E ( ρ, φ) = AJ ( pρ)cos( mφ) z m E ( ρ, φ) = AJ ( pρ)sin( mφ) z m m

Συναρτήσεις Bessel

Ιδιότητες Συναρτήσεων Bessel 1 ( ) J ( x) = x m m = ( 1 x ) 4 µ µ µ!( µ + m)! mπ π Jm( x) cos x π x 4 Γιαμεγάλαx m J m+ 1( x) = J m( x) J m 1( x) x m m 1 J m( x) = J m( x) + J m 1( x) = J m( x) Jm 1( x) = Jm 1( x) J m 1( x) x x [ ]

Συχνότητες Αποκοπής για τους ΤΜ J ( ) m pr = J ( x ) = m mn xmn pmn = R TM cx ω mn = R mn Ταx mn είναιοιμηδενισμοίτηςσυνάρτησηςbesselj m (x)

Συχνότητες Αποκοπής για τους ΤΜ dρ ( R) dρ = dj m( pr) dρ ω = TE mn cy R mn = Ταy mn είναιοιμηδενισμοίτηςπαραγώγουτηςσυνάρτησηςbessel J m (x)

Τρόποι ΤΕ(Σχεδόν τα ίδια Παντελάκη μου) ρ d Ρ d d ρ Ρ ρ dρ ρ ( + + p m ) Ρ= dρ dρ ( R) = ( ρ) = ( ρ) + ( ρ) P AJ p BY p m m H ( ρ, φ) = AJ ( pρ)cos( mφ) z m H ( ρ, φ) = AJ ( pρ)sin( mφ) z m

Συχνότητες Αποκοπής J ( x ) = m mn ω = TM mn cx R mn dj ( ymn) dρ m = ω = TE mn cy R mn

Ομοαξονικοί Κυματοδηγοί Ηανάλυσηείναιπαρόμοιαμετονκυκλικόκυματοδηγό. Μεμία βασική διαφορά. Οκυματοδηγόςτώραμπορείναυποστηρίξεικαιέναντρόποο οποίοςείναικαιτεκαιτμ, δηλαδήέχειe z =H z = και χαρακτηρίζεται ως ΤΕΜ

Αναζητώντας το ΤΕΜ ( ) E + jβe = jωµ z H T z T T ( ) H + jβh = jωε z E T z T T E = jωµ H T T z H = jωε E z T T z z ( εe ) jβε E = T T z H jβ H = T T z T ( ) βe = ωµ z H T ( ) βh = ωε z E E = T T H = T T E = T T H = T T T T

Αναζητώντας το ΤΕΜ ή το βαθμωτό δυναμικό E = E = V T T T T E = T T = V T Γιατί«δυναμικό»? V V V dw = qe dr= q( V) dr= q dx+ q dy+ q dz x y z { } W ( r ) W ( r ) = q V ( r ) qv ( r ) 1 1

Αναζητώντας το βαθμωτό δυναμικό 1 V 1 V TV = ρ + = ρ ρ ρ ρ φ E V 1 V T = TV = ρ ρ φ E φ = 1 V ρ φ E ( a, φ) = E ( b, φ) = φ φ V ( a, φ) V ( b, φ) = = φ φ Επομένως οι οριακές συνθήκες επιβάλλουν να μην έχουμε εξάρτησηαπότοφότανρ=ακαιρ=β