' I. Εκδίδεται κάθε τρίμηνο. Δεκέμβρης 1983

.. ' Εκδίδεται κάθε τρίμηνο Δεκέμβρης 1983

ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κώστα Α. Δρόσου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ~τόχος της εργασίας αυτής είναι η παρουσίαση διαφόι:χuν διδακτικών μεθόδων για την εισαγωγή και κατανόηση βασικών εννοιών της Πιθανότητας στη μέση εκπαίδευση. Επιπλέον οι μέθοδοι αυτές στοχεύουν: i) ~την ανάπτυξη μιας ισχυρής και αυθεντικής πιθανοτικής διαίσθησης, συσχετίζοντας την έννοια τrις πιθανότητας με άλλες γνωστότερες όπως π.χ. της μάζας, και του εμβαδού. ii) Να συμπληρώσουν τα ήδη υπάρχοντα διδακτικά βιβλία, που κατά τη γνώμη του γράφοντος, δεν καταβάλλουν καμμιά προσπάθεια προς τη μεριά της μεθοδολογικής εισαγωγής των εννοιών της πιθανότητας. Η μελέτη της πιθανότητας, πολλές φορές παρουσιάζεται, σαν δύσκολη και ίσως πρωτόγνωρη εμπειρία για τον αρχάριο. Αυτό οφείλεται στην παντελή έλλειψη, π ιθανοτικής εμπειρίας και σπουδής στο δημοτικό ή στο Γυμνάσιο. Όπως είναι γνωστό η δυτική επιστημονική παιδεία έχε ι περιοριστεί περισσό ~ερο στα ντετερμινιστικά χαρακτηριστικά της επιστήμης και έχει τελείως α μελήσει τη σπουδή του αβέβαιου, του δυνατού και του πιθανού. Αξίζει να αναφερθούν ενδεικτικά δυο παραδείγματα όπου η έλλειψη αυθεντικής διαίσθησης, οδηγεί πολλές φορές σε παρανοήσεις:..,.. Παρόδειγμα Κατά τη γέννηση ενός παιδιού, η πιθανότητα να έχουμε αγόρι εί.ναι i Ποιές από τις παρακάτω ακολουθίες ενδείξεων ~χει τη μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης, όταν θεωρούμε ότι έχουμε οικογένειες με 6 παιδιά; (i) ΑΚΚΑΚΑ (ii) ΑΑΑΑΚΑ, Α ':'"αγόρι", Κ="κορίτσι". Οι απαντήσεις των περισσοτέρων είναι η (i), γιατί υπάρχει η εσφαλμένη εντύπωση ότι ο ίσος αριθμός αγοριών και κοριτσιών είναι πιο συμβιβα-

2 στός με την πιθανότητα~ να έχουμε ένα αγόρι. Ωστόσο η σωστή απάντηση είναι ότι και οι δύο ακολουθίες έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης ~ ~ Παράδειγμα 2 Με τις ίδιες ΠροUποθέσεις όπως στο παράδειγμα 1, ποιά είναι η πι θανότητα μεταξύ έξη παιδιών να έχουμε τρία κορίτσια ; (i) ~ (ii) ~ (iii) άλλη 46 μαθητές απάντησαν την (i j, 1 τη σωστή {ii) και 18 την (iii). Στόχος λοιπόν της διδασ κ αλίας των μαθηματικών είναι να μετα δ ώσει κάπο ι α μαθηματικό αποτελέσματα (γνώσει ς), αναπαραγάγοντας ταυτόχρονα και τι ς διαδικασίες σκέψης που οδηγούν σ ' αυτό, μα κα ι δημιουργώντας μιαν ανεπτυγμένη, ισχυρή και αυθ~ντική διαίσθηση γύρω από τι ς εισαγόμενες μαθηματ ι κές έννοιες και αποτελέσματα. Το κύριο σφάλμα των διδακτικών βιβλίων στοιχειώδους Πιθαvότητας, αλλά πολλές φορές και των διδασκόντων είναι ότι δίνουν στο μαθητή την εντύπωση ό τ ι, η πιθανότητα είναι τεχνικές συνδυαστικής α νάλυσης (πολλές φορές πολύ δύσκολες) και τίποτε άλλο. Αυτό πρέπει να προσεχτεί ιδιαίτερα δ ί -... νοντας ένα καλοζυγισμένο μίγμα από τεχνικές έννοιες, ασκήσεις κα ι προβλήματα. Πρέπει ακόμα να σημειωθεί ότι η Πιθανότητα και η Στατιστική δεν έ χει ακόμα βρει τη θέση που αρμόζει στα μαθηματικό της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Η γνώμη του γράφοντος είναι ότι: i) Πρέπει να διατεθεί περισσότερος χρόνος και χώρος για τη διδασκαλία της Πιθανότητας και της Στατιστικής. Ένα ή δύο μικρά κεφάλαια που συνήθως διατίθενται, δεν διευκολύνουν στο να δει κανείς τη σπουδαιότητα των μαθημάτων αυτών. ii) Το επίπεδο της παρουσίασης, της εργασίας αυτής,σίγουραδεν είναι ανώτερο από τα αντίστοιχα επίπεδα Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Ωστόσο περιέχει, με ένα τρόπο κατάλληλο, βασικές και βαθειές μαθηματικές έννοιες. 1. TYXAA ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ Το τ υχαίο πείραμα είναι μια βασική, αρχική έννοια για την πιθαvο-

3 θεωρία. Επειδή εμάς μας ενδιαφέρει η διαισθητική ανάπτυξη της έννοιας αυτής θα προσπαθήσουμε να την εξετάσουμε σε περισσότερο βόθος. Πολλές φορές, λέγεται ότι η Πιθανοθεωρία είναι η μελέτη των μαθηματικών μοντέλων των τυχαίων φαινομένων (εμπειρικά τυχαία πειράματα). Πριν λοιπόν προχωρήσουμε κρίνεται σκόπιμο να δώσουμε την έννοια του μαθηματικού μοντέλου για ένα εμπειρικό φαινόμενο. Μια απλοποιημένη σχηματική παράσταση ενός μαθηματικού μοντέλου κάθε εμπειρικής επιστημονικής πραγματικότητας, είναι και η παρακάτω: Μ Α θ ΗΗλ-τ ιi'.η- Σχήμα 1 Ένα παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου, που γίνεται αμέσως κατανοητό είνα ι το Ευκλείδειο Γεωμετρικό μοντέλο για το χώρο. Στο μοντέλο αυτό η ε μπειρική έννοια του υλικού σημείου aντιστοιχίζεται στο γεωμετρικό σημείο, που δεν έχει καθόλου διαστάσεις. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η μαθηματική έννοια "τετράγωνο" είναι μια αφαίρεση των υλικών, εμπειρικών τετραγώνων, χωρίς να έχει καμμιά ιδιαίτερη σχέση με κανένα από αυτά. Στόχος μας είναι να εισάγουμε ης έννοιες της Πιθανότητας με τον ί διο τρόπο που εισάγονται οι γεωμετρικές έννοιες. Ένα εμπειρικό φαινόμενο θα λέγεται τυχαίο αν χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα, ότι η παρατήρησή του, κάτω από τις ίδιες πρακτικά συνθήκες δεν οδηγεί στο ίδιο παρατηρούμενο αποτέλεσμα. Δηλαδή ένα τυχαίο

4 εμπειρικό φαινόμενο, είναι εκείνο, που κάτω από τις ίδιες πρακτικό συ ν θήκες, δεν μπορούμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. Ένα απλό εμπειρικό τυχαίο φαινόμενο (ή και εμπειρικό τυχαίο πείραμα) είναι η ανάρριψη και η παρατήρηση της ένδειξης ενός νομίσματος. Για να διατηρούμε τις ίδιες πρακτικό συνθιiκες ανόρριψης, χρησιμοποιούμε την παρακάτω μηχανή ανόρριψης νομισμάτων. Σχήμα 2 Το αφηρημένο (ιδεατό) μαθηματικό "τυχαίο πείραμα" μπορεί να επαναληφθεί (εννοιολογικό) όσεc; φορέc; θέλουμε, κότω από ακριβώς τιc; ίδιε ς συνθήκες. Μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι τα ιδεατά "τυχαία πειράματα"σχετίζονται με τα εμπειρικά τους αντίστοιχα, με τον ίδιο τρόπο που σχετίζεται το γεωμετρικό σημείο ή σχήμα με τα υλικά aντίστοιχά τους. Στην Πιθανοθεωρία λοιπόν η έννοια "τυχαίο πείραμα" αναφέρεται σε μια ιδεατή διαδικασία παραγωγής δεδομένων (μετρήσεων κλπ.) και όχι στη διάταξη (όργανα κλπ.) και στην εκτέλεση του πειράματος. Έτσι η "τυχαιότητα" αναφέρεται στα αποτελέσματα και όχι στη διαδικασία εκτέλεσης και το μηχανισμό του πειράματος. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι αναρρίπτουμε ένα νόμισμα. Τότε ο δειγματικός χώρος Ω μπορεί να δίδεται από: (i) Ω = {Κ,Γ} αν θεωρήσουμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα είναι τα Κ = "κεφαλή" και Γ = "γράμματα". (ii) Ω={Κ,Γ,Ο} αν θεωρούμε ότι το να σταθεί όρθιο το νόμισμα είναι ένα δυνατό αποτέλεσμα.

(i i i) Ω={Κ,Γ,Ο, Χ} αν θεωρούμε ότι το να χαθεί το νόμισμα είναι ένα 5 δυνατό αποτέλεσμα. Πρέπει τώρα.να παρατηρήσουμε ότι οι περιπτώσεις (i), (ii), (iii) παρ"όλο που σχετίζονται με την ίδια διαδικασία ιδεατού πειραματισμού, α νόρριψης δηλαδή ενός νομίσματος, πρέπει να θ εωρούνται διαφορετικό τυχαία πειράματα. Γιατί όπως είπαμε δεν μας ενδιαφέρει αν στρίβο υμε ένα νόμισμα κλπ. αλλά πόσα δυνατό αποτελέσματα παίρνουμε. Το άημείο αυτό θα γίνει α κό'μα πιο καθαρό στη συνέχε ι α. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός ιδεατού τυχα ίο υ πε ιράματ ος (που μπορεί δηλαδή να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθή κες, και που δεν μπορούμε να προβλέ ψουμε το αποτέλεσμά του) λέγεται δ ε ι γ ματοση με ίο και η ολότητα όλων των δυνατών δειγματοσημείων λέγεται δ ε ι γ ματ ικός χώρος. Έτσι για το "τυχαίο π είραμα " τη ς ανάρριψης ενός νομίσματος ο δειγματ ικός χώρος είναι ο Ω={Κ,Γ} όπου Κ ="κεφαλή", Γ = "γράμμα". Στη συνέχεια θα κάνουμε δύο βασικές παρατηρήσεις: i) Η φύση των δειγματοσημείων δεν υπεισέρχεται στη θεωρία μας. Για παράδειγμα τα εμπειρικά τυχαία πειράματα: α) Ανάρριψη ενός νομίσματος Ω={Κ,Γ} β) Γέννηση ενός παιδιού Ω={Α,Κ} γ) Από ένα δοχείο που πε ριέχ ει μαύρες και άσπρες σφαίρες επιλέγουμε μια Ω = {Μ,Α} και γενι κά όλα τα πειράματα με δυο αποτελέσματα αλλά με διαφορετικό διαισθητικό υπόβαθρο, aντιστοιχίζονται στο ίδιο ιδεατό τυχαίο πείραμα,. με δυο αποτελέσματα Ω={ω 1,ω2} και για τη θεωρία μας δεν αποτελούν διαφορετικά τυχαία πειράματα. Δr1λαδή το ιδεατό πείραμα, με δειγματικό χώρο Ω = {ω 1,ω 2 } α ποτελεί θεωρητικό αντιπρόσωπο μιας ολό κλ ηρης κλάσης τυχαίων πειραμάτων με διαφορετικό διαισθητικό υπόβαθρο. ii) Τα δειγματοσημεία πρέπει να είναι μη-αναλύσιμα σε α πλούστερα στοιχεία. Για παράδειγμα έστω το τ υχαίο πείραμα της ανάρριψης ενός νομίσματος

6 δυο φορές. Τότε ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι ο και όχι ο Ω=/(Κ,Κ), (Κ,Γ), (Γ,Κ), (Γ,Γ)/ Ω'=/(2Κ,ΟΓ), (1Κ,1Γ), (ΟΚ,2Γ)j, όπου π.χ. (2Κ,ΟΓ) όπου π.χ. (2Κ,ΟΓ) σημαίνει 2 κεφαλές και Ο γράμματα, γιατί (1Κ,1Γ) αναλύεται στα πιο στοιχειώδη δειγματοσημεία (Κ,Γ) και (Γ,Κ). ~αν συμπέρασμα των παραπάνω συνθηκών και παρατηρήσεων έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω είναι μοναδικός για κάθε ιδεατό τυχαίο πείραμα. Η φύση των δειγματοσημείων δεν ενδιαφέρει τη θεωρία. Το διαισθητικό υπόβαθρο του πειραματισμού δεν ενδιαφέρει τη θεωρία. Για τη θεωρία αυτό που έχει σημασία είναι πόσα δειγματοσημεία έχει ο Ω και για κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος να υπάρχει ακριβώς ένα και μόνο ένα δειγματοσημείο. Αξίζει να ση μειωθεί ότι υπάρχουν συγγραφε ίς που δεν δέχονται τη μοναδικότητα του δειγματικού χώρου. Η άποψη του γράφοντος είναι, ότι αυτό είναι ατυχές, γιατί στα μαθηματικά πάντα μας ενδιαφέρει η μοναδικότητα. Η άποψη του μοναδικού δειγματικού χώρου δίδεται με αδρές γραμμές και. από τον Feller: An ntroduction to Probability Theory and its Applications. Wiley 1968, που θεωρείται ένα από τα πιο έγκυρα βιβλία πιθανοθεωρίας. Η έννοια του ιδεατού τυχαίου πειράματος θα συμπληρωθεί στη συνέχεια, αφού μιλήσουμε πρώτα για πιθανότητες. Ας θεωρήσουμε τώρα μερικούς γειγματικούς χώρους, τυχαίων πειραμάτων, με ιδιαίτερο διαισθητικό υπόβαθρο. ~ 1. Αναρρίπτουμε ένα νόμισμα 2 φορές. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι Ω= /(Κ,Κ), (Γ,Κ), (Κ,Γ), (Γ,Γ) Τα στοιχεία του Ω μπορεί να τα παραστήσουμε και ως: 2~... \1-~\'\'o\V <ιc:,r) r ----r- -- -<f(fίt) Ι ι ~χήμα 3 ~ - - ~~Γ -~<r,~ ϊ

7... 2. Τυχαία πειράματα ρουλέττας. Με μια ρουλέττα είναι δυνατόν να παρασταθούν τυχαία πειράματα με 2,3,,n δυνατά αποτελέσματα. (Επίσης με aριθμήσιμο και με την ισχύ του συνεχούς, πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων). n.χ. Σχήμα 4 Παρατήρηση. Το τυχαίο π είραμα μιας ρουλέττας με δυο αποτελέσμα-. τα Ω={1,2} είναι ισοδύναμο με την ανάρριψη ενός νομίσματος Ω={Κ,Γ}, και η ανάρριψη ενός ζαριού είναι ισοδύναμη με μια ρουλέττα με έξη δυνατά αποτελέσματα..,. 3. Γεωμετρικά πειράματα τύχης. Τα γεωμετρικά πειράματα τύχης είναι εξαιρετικά κατάλληλα, στο να μας καταδείχνουν την ιδεατή φύση των τυχαίων πειραμάτων της πιθανοθεωρίας. Επιπλέον συνδέουν την πιθανότητα με τη γεωμετρία διευκολύνοντας έτσι την κατανόηση της φύσης της πιθανότητας. α) Έστω ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους k. Σχήμα 5 Επιλέγουμε τώρα τυχαία, ένα σημείο Μ του ΑΒ. Τα δυνατό αποτελέσματα είναι όλα τα σημεία του ΑΒ, άρα ο δειγματικός χώρος έχει την ισχύ του συνεχούς. β) Έστω Ω ένα υποσύνολο του R 2 (ορθογώνιο κύκλος κλπ.). Ω Β Θ Σχήμα 6

8 Επιλέγουμε στην τύχη ένα σημείο Μ του Ω. Και εδώ ο Ω έχει την ι σχύ του συνεχούς. Ορισμός. Όταν το Ω είναι πεπερασμένο η aριθμήσιμα άπειρο τότε κάθε υποσύνολό του Α λέγεται ενδεχόμενο η γεγονός, δηλαδή αν α. συμβολίζει την κλάση των ενδεχομένων τότε στην περίπτωση αυτή α.=ρ(ω). Αν όμως ο Ω έχει την ισχύ του συνεχούς, όπως π. χ. στα γεωμετρικό τυχαία πειράματα, τότε το σύνολο ΟLτων ενδεχομένων είναι γνήσιο υποσύνολο του Ρ(Ω) δηλαδή α.~ Ρ(Ω). Ωστόσο στην πε~ίπτωση αυτή θα περιοριστούμε σε πολύ απλό γεωμετρικά ενδεχόμενα του α. για τα οποία μπορούμε εύκολα να υ πολογίζουμε το εμβαδά τους με μεθόδους της στοιχειώδους Γεωμετρίας. Θα λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α έχει πραγματοποιηθεί αν το αποτέλεσμα ω ε Ω του τυχαίου πειράματος ανήκει στο ενδεχόμενο Α, δηλ. αν ωεα. Γενικώτερα έχουμε. Γλώσσα Πιθανοθεωρίας Γλώσσα συνολοθεωρίας - Δειγματικός χώρος - σύνολο αναφοράς - Δυνατό αποτέλεσμα του τυχαί- - στοιχείο του Ω ου πειράματος ή δειγματοσημείο - Ενδεχόμενο ότι κάποιο δειγ- - υποσύνολο του Ω ματοσημείο του Α,πραγματοποιείται η εμφάνιση του Α. - Ενδεχόμενο ότι κανένα δειγ-,- Συμπλήρωμα του Α ματοσημείο του Α δεν πραγματοποιεί τα ι. - Εμφάνιση του Α ή 1 Α 2... ή An - Ένωση των Α,.. 1 ;c,an - Εμφάνιση του Α και 1.. -τομή των A 1,A 2,.,An... και Α η και Α 2 - Η εμφόν ι ση του Α συνεπάγεται - Η σχέση του περιέ- - την εμφάνιση του Β χεσθαι - Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β - Αδύνατο ενδεχόμενο - Βέβαιο ενδεχόμενο - ξένα μεταξύ του σύνολα Α,Β - κενό σύνολο - ολόκληρος ο χώρος Συμβολισμός Ω ω ε Αε(J.~ Ω Ρ(Ω) A 1 Uf\ 2 U UAn n n n Α1 Α2 An ASB 0 Ω

9 ι.- Παραδείγματα 1. Αναpρίπτουμε δύο διακεκριμένα ζάρια και μας ενδιαφέρουν οι ενδείξεις τους. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος και το σύνολο των γεγονότων. Να εκφρασθούν τα ενδεχόμενα: Α={το άθροισμα των ενδείξεων είναι ίσο με 6} Β={και τα δύο ζάρια δείχνουν τις ίδιες ενδείξεις} C={τουλάχιστον μια ένδειξη, είναι διαιρετή με το 2} Λύση Πέρα από το διαισθητικό υπόβαθρο, εδώ έχουμε ένα τυχαίο πείραμα με 36 αποτελέσματα, δηλαδή: (1 '1) (1,2) ( 1,3) (1,4) (1.~) { 1,6) { 12,1 Ι (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) Ω= (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) } =Ω "' ( 4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ( 4,5) ( 4,6) ( 6,1 ) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) {6,6) ο ο όπου Ω={1,2,3,4,5,6} Το σύνολο των γεγονότων ΟL =Ρ{Ω) είναι όλα τα υποσύνολα του Ω. Ειδικά έχουμε: Α= j{5, 1), ( 4,2)' (3,3), (2,4)' { 1,5) 1 Β= j( 1,1), ( 2,2)' {3,3), (4,4), (5,5), (6,6) Ι 2. C= j( 1,2), ( 1,4)' ( 1 '6)' (2, 1)' (2,2)' (2,3), (2,4), (2,5), {2,6), (3,2), ( 3,4)' ( 4, 1)' {4,2), {4,3), (4,4), {4,5), (4,6), (5,2)' (5,4), (5,6), (6, 1)' (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), {6,6) ι Αναpρίπτουμε δύο νομίσματα. Να ~αθοpισ θεί. το Ω και το 0L Λύση Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} 1). = Ρ (Ω)=~0, {ΚΚ},{ΚΓ},{ΓΚ},{ΓΓ},{ΚΚ.. ΚΓ},{ΚΚ,ΓΚ},{ΚΚ,ΓΓ}, {ΚΓ,ΓΚ}, {ΚΓ,ΓΓ},{ΓΚ,ΓΓ},{ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ},{ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ},{ΓΚ,ΓΓ,ΚΚ},. {ΓΓ,ΚΚ,ΚΓ}, Ω~

10 Έτσι, εκτός από την πιθανότητα, που θα ορίσουμε στην επόμενη παράγραφο, η διαταγμένη δυάδα (Ω,α) ορlζει όλα τα υπόλοιπα χαρακτηριστικό του τυχαίου πειράματος. 3. Αναρρίπτουμε ένα νόμισμα μέχρι να πάρουμε κεφαλή Κ. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω και το 0L Λύση Ω={Κ,ΓΚ,ίΓΚ,ΓΓΓΚ,,ΓΓ ΓΚ, } '-ν-" n-1 Ο πληθάριθμος του Ω είναι τοχ 0 δηλαδή το Ω είναι ισοδύναμο με το σύνολο Ν. Ακόμα και σ"αυτή την περίπτωση έχουμε ότι QL=P(Ω). 4. Δύο διακεκριμένες σφαίρες, τοποθετούνται τυχαία σε τέσσερα κουτιά. Να περιγραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Λύση Ω= ι (χ,y) χ =1,2,3,4 y=1,2,3,41 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4) j (2,1),(2,2),(2,3),(2,4) = (3, 1),(3,2),(3,3),(3,4) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4) όπου (χ,y) σημαίνει ότι η πρώτη ι σφαίρα τοποθετείται στο κουτί χ και η δεύτερη στο κουτί y. Επίσης εδώ έχουμε σ. = Ρ (Ω). Ασκήσεις 1. Τέσσερα αντικείμενα ω 1,ω2,ω3,ω4 ελέγχονται για το αν είναι ελαττωματικά ή όχι. Να περιγραφεί ο δειγματικός χώρος. Ας ορίσουμε τώρα τα ενδεχόμενα: Α=''τουλάχιστον ένα από τα 4 αντικείμενα που ελέγχθησαν είναι ελαττωματικό". Β=" Όλα τα αντικείμενα είναι μη-ελαττωματικά". C='Άκριβι;Jς δύο από τα αντικείμενα είναι ελαττωματικά". Να ερμηνευθούν τα παρακάτω ενδεχόμενα: ( i) AUB, (ii)aπb, (iii) AUC, (iν) Α n C

11 2. Ένα ζάρι αναρρίπτεται μέχρι να εμφανισθούν δυο εξάρια στη σειρά. Να περιγραφεί ο δειγματικός.χώρος του πειράματος. 3. Ένα κουτί περιέχει η αντικείμενα, από τα οποία k είναι ελαττωματικά. Να περιγραφεί ο δειγματικός χώρος νια κάθε ένα από τα παρακάτω τυχαία πειράματα. (i ) Δύο αντικείμενα ανασύρονται τυχαία χωρίς επανάθεση. (ii) Δύο αντικείμενα ανασύρονται τυχαία με επανάθεση (iii) Ανασύρουμε αντικείμενα χωρ ί ς επανάθεση, μέχρι να ανασύρουμε έ να ελαττωματικό. (iν) Ανασύρουμε αντικείμενα με επανάθεση μέχρι να ανασύρουμε ένα ε λαττωματικό. 4. Ένα δοχείο περιέχει 10 σφαίρες, αριθμημένες από το 1 έως το 10. Επιλέγουμε δύο σφαίρες τυχαία; με επανάθεση. Να περιγραφούν ο δειγματικός χώρος Ω και το γεγονός, ''ο αριθμός της δεύτερης σφαίρας να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό της πρώτης". 2. ΠΙθΑΝΟΤΗτΑ Μέχρι τώρα έχουμε εξετάσει τις έννοιες: δειγματικός χώρος, ενδεχόμενο και τυχαιότητα ενός τυχαίου πειράματος. Θα θέλαμε στη συνέχεια να ο λοκληρώσουμε την έννοια του τυχαίου πειράματος, εξετάζοντας τη δυνατότητα ορισμού ενός "μέτρου" της τυχαιότητας, που θα το καλούμε πιθανότητα. Για τη φύση της τυχαιότητας και του μέτρου της, της Πιθανότητας υ πάρχουν πολλές και αμφιλεγόμενες αιτόψεις. Μι.α παλιά άποψη (Laplace), που συναντιέται και σήμερα, είναι ο μηχανιστικός ντετερμινισμός. Η άποψη αυτή υποστηρίζει, ότι η μοναδικιi αιτία της τυχαιότητας, είναι η άγνοιά μας νια τις αιτίες που σχετίζονται με ένα τυχαίο φαινόμενο. Επιπλέον ισχυρίζεται ότι αν γνωρίζαμε όλα τα αίτια, σε ένα τυχαίο φαινόμενο, θα μπορούσαμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε το αποτέλεσμα (ντετερμινισμός). Μια άλλη άποψη, που υποστηρίζεται από πολλούς, μεταξύ των οποίων και από το Ρώσσο Πιθανοθεωρητι κό Β. V. Gnedenko, είναι αυτή που ισχυρίζεται ότι η τυχαιότητα και το μέτρο της, η πιθανότητα, έχει μια αντικειμε-

12 νική υπόσταση και εκφράζει βασικούς νέους νόμους που εμφανίζονται και είναι σύμφυτοι με τη μελέτη μεγάλου αριθμού φαινομέν~ν (μαζικό φαινόμενα). Η δεύτερη άποψη ενισχύεται και από τα αποτελέσματα της Στατιστικής Μηχανικής αλλά και της Κβαντομηχανικής. Κατά τη μελέτη π.χ. της συμπεριφοράς ενός αερίου χρησιμοποιήθηκαν στην αρχή μη-πιθανοθεωρητικές μέθοδοι (π.χ. περιγραφή της κίνησης κάθε μορίου με μια διαφορική εξίσωση) σε κάθε μόριο του αερίου. χωρίς τελικό να μπορεί να φθάσει κανείς σε κάποιο λογικό απο τέλεσμα. Από τη στιγμ~ όμως που οι Maxwell και Boltzmann εισήγαγαν την ι δέα της πιθανότητας, για τη μελέτη ~ιεγάλου αριθμού μορίων, μόνο τότε έγινε δυνατή η περιγραφή της συμπεριφοράς των αερίων; σαν αποτέλεσμα της στατιστ ι κής ομαλότητας μεγάλου αριθμού μορίων. Το μέτρο της τυχαιότητας που έχει το περισσότερο ισχυρό διαισθητικό υπόβαθρο, είναι η σχετική συχνότητα. Ας υποθέσουμε ότι εκτελούμε ένα τυχαίο πείραμα n φορές. Έστω ν (Α) οι φορές που εμφανίστηκε ένα n συγκεκριμένο γεγονός Α, και Το πηλίκο σ (Α) λέγεται σχετική συχνότητα το.υ Α. Παρατηρούμε ότι αν εκτελέσουμε το τυχαίο πείραμα n φορές, όπού το n είναι αρκετά n μεγάλο, η σχετική συχνότητα σταθεροποιείται γύρω από κάποια συγκεκριμένη τιμή, Για παράδειγμα, aναρρίπτοντας ένα νόμισμα, παρατηρήθηκαν τα παρακότω: Αριθμός αναρρίψεων Αριθμός κεφαλών σχετική συχνότητα 10 7 0,7 50 28 0,56 100 54 0,54 200 106 0,53 1000 493 0,493 10000 4981 0,498. Ετσι θα μπορούσαμε να πούμε ότι η πιθανότητα να φέρουμε κεφαλή τείνει προς το 0,5. Η θεωρητικοποίηση αυτής της εμπειρικής αντίληψης yια ~~ν.πt~β~ό~ητα άρχισε από τον Von Mi ses. όχι με μεγάλη επιτυχία. Σήμερα.- η )~qτέύθ!iνση

13 αυτή έχει δώσει μια συνεπή μαθηματική θεωρία. Αυτό έγινε με τη βοήθέια των αναδρομικών συναρτήσεων. (Δες, Schnorr, C.P. Zufalligkeit and Wahrscheinlichkeit, Lecture Notes in Mathematics, Νο 218, Springer, 1971). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι η σχετική συχνότητα έχει τις παρακότω ιδ ιότφ;ες : (i) Ο:>σ (Α):>1 και σ (Ω)=1 n n ( ii) Αν AnB=~ τότε σ (ΑUΒ)=σ (Α)+σ (Β) n n n Επίσης αν βρισκόμαστε σε πειρόματα τύχης με πεπερασμένο δειγματικό χώρο, ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας για το ενδεχόμενο Α, Ρ( Α):- (Α)_ευνοϊκές περιπτώσεις νια το Α (Ω) δυνατ ς περιπτωσεις όπου :#(Α) : =" αριθμός των στοιχείων του Α", ικανοποιεί επίσης τις ιδιότητες ( i) και ( i i). θα μπορούσαν λοιπόν ο ι ιδιότητες ( i) και ( i i) να ληφθούν σαν αξιώματα νια τη μαθηματική θεμελίωση της πιθανότητας; Πριν απαντήσουμ~ θα χρειaστεί.να αποκτήσουμε μια πληρέστερη, _ διαισθητική αντίληψη για την ένl,!οια της πιθανότητας. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται μια σύνδεση των εμπειρικών εννοιών σχετική συχνότητα από τη μια μεριά και μήκος-εμβαδά-όγκος και μόζα από την όλλη... Τέλος η σύνθεση όλου αυτού του δ ι αισθητικού υπόβαθρου, θα μας δώσει μια ξεκόθαρη αντίληψη νια τη μαθηματική f.ννοια της πιθανότητας. 2.1. Πιθανότητα και εuβαδό Η σχέση της πιθανότητας και του εμβαδού, θα μας (/ΧJ)τίσει καλύτερατη φύση της πιθανότητας και των ιδιοτήτων της. Ας θεωρήσουμε μερικό τυχαία πειράματα, με ισχυρό διαισθητικό υπόβαθρο..,.. ο) Τυχαίο πείραμα ρουλέττας. Έστω το τυχαίο πείραμα της ρουλέττας: Σχήμα 7

14 Ειναι φανερό ότι αν εκτελέσουμε το πείραμα η φορές, τότε οι σχετικές συχνότητες των 1,2,3 θα είναι περίπου ανάλογες των εμβαδών των κυκλικών τομέων. Έτσι αν το εμβαδό του κύκλου είναι πr 2 και ε 1,ε 2,ε 3 τα εμβαδά των αντίστοιχων κυκλικών τομέων, τότε ε ε ε Ρ({1})-π;zcε 1, Ρ({2})-π: 2 Cε 2, Ρ({3})-π:2 Cε 3 όπου c-π~ 2 Δηλαδή: Οι πιθανότητες των γεγονότων 1,2,3 είναι ανάλογες των εμβαδών των ε 1,ε 2,ε 3 λέττα, Αν τώρα θεωρήσουμε το διάστημα [0, 1], τυλιγμένο γύρω από μια ρου- ΓΛΑ k\( / Σχήμα 8 τότε το πείραμα αυτό ισοδυναμεί με την τυχαία επιλογή ενός αριθμού μεταξύ Ο και 1. Είναι φανερό ότι η πιθανότητα, ο αριθμός αυτός να ανήκει στο ενδεχόμενο Α είναι ανάλογη με το μήκος του τόξου που απαρτίζει το Α. Κάθε α ριθμός του [0,1] είναι ένα δυνατό αποτέλεσμα, έτσι ο δειγματικός χώρος Ω= =[ο, 1] έχει την ισχύ του συνεχούς. Το ίδιο πείραμα μπορεί να κατανοηθεί και με άλλα τυχαία πειράματα με διαφορετικό διαισθητικό υπόβαθρο.... β) Γεωμετρικά τυχαία πειράματα-γεωμετρική Πιθανότητα Θα εισάγουμε τις γεωμετρικές πιθανότητες, χρησιμοποιώντας πιχ.)τα ένα εμπειρικό τυχαίο πείραμα με ισχυρό διαισθητικό υπόβαθρο και κάνοντας μια αφαίρεση του πειράματος αυτού, θα πάρουμε φυσιολογικό την έννοια των γεωμετρικών τυχαίων πειραμάτων και πιθανοτήτων. ~ Το τυχαίο φαινόμενο της βροχής. Η βροχή είναι ένα μαζικό φαινόμενο. Ας υποθέσουμε ότι η πυκνότητα των σταγόνων μέσα στο χώρο είναι η ίδια. Μόλις η βροχή αρχίσει, ας υποθέσουμε ότι παρατηρούμε μια ορθογώνια πλάκα μιας πλατείας, που στη μέση έχει ένα κυκλικό σχέδιο:

15 Ω Σχήμα 9 Σημειώνουμε τις σταγόνες που πέφτουν μέσα στο ν κύκλο (Κ), και αυτές που πέφτουν μέσα στην πλόκα, αλλά έξω από τον κύκλο. (Kc). Παρατηρούμε τότε διατάξεις όπως η παρακάτω : Δεν υπάρχει καμιά ομαλότητα στη διαδοχή των παραπάνω συμβόλων. Έ τσι αν παρατηρήσουμε τη 1 Οη σταγόνα ότι έπεσε μέσα στον κύκλο, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε τι θα γίνει με την 11η. Από την άλλη μεριά,εξετάζοντας καλύτερα το τυχαίο αυτό φαινόμενο, μπορεί να δει ότι στο τέλος της βροχής, ο κύκλος δέχθηκε σε σχέση με το ορθογώνιο, περίπου τόσες σταγόνες, όσο είναι η αναλογία του εμβαδού του σε σχέση με το ορθογώνιο. Βέβαια εδώ η πτώση κάθε σταγόνας αποτελεί και ένα τυχαίο πε ί ραμα. Από τα παραπάνω έχουμε ότι, σε n πτώσεις σταγόνων ν η (Κ)_ εμβαδό του κύκλου v-τωι εμβόδο του ορθογωνίου n, Ας περάσουμε τώρα σε ένα ιδεατό τυχαίο πείραμα: αντί για πλάκα της πλατείας έχουμε ένα γεωμετρικό σχήμα, το σχήμα του ορθογωνίου π.χ., και α- ντί ν ι α σταγόνες βροχής έχουμε μια βροχή J ~ από γεωμετρικά σημεία. Σχήμα 10

16 Στο ιδεατό αυτό πείραμα είναι φανερό ότι η πιθανότητα ένci γεωμετρικό σημείο να χτυπήσει τον κύκλο δίδεται από Ρ(Κ) εμβ(κ)_c.εμβ(κ) εμβ(ω) 1 όπου c-εμβ(ω) Αν για Ω πάρουμε το [ο, 1]χ[Ο, 1] :=j(x,y) \x,yεr! τότε για κάθε υποσύνολο Α~Ω. για το οποίο είναι δυνατόν να υπολογισθεί το εμβαδά του, έχουμε ότι: Ρ(Α)=εμβ(Α) Απ ό τ ιι.. ' ι αραπόνω συνάγεται ότι: για κάθε υποσύνολο του Ω:=[0,1)χ[ο,~ / με "καλώς ο,j_υμ έ νη έννοια εμβαδού", μπορούμε να θέτουμε σαν πιθανότητά του το εμβαδά τ ο.. Έτσ ι, κάθε υποσύνολο, του οποίου το εμβαδά είναι καλιι'!ς ορι υ.. ε vο είναι ένα ενδεχόμενο ή γεγονός. Άρα, ορθογώνια, τετρά ν. ;;, tρίγωνα, κύκλοι, κλπ. υποσύνολα του Ω, είναι όλα ενδεχόμενα. Από π, n.ί ρ απάνω συζήτηση, μπαίνει επιτακτικά το ερώτημα: Υπάρχουν υποσύνολα τ cu Ω :rou δεν έχουν ένα καλά ορισμένο εμβαδά; Η απάντηση είναι καταφατική. Υ!l\Jr,,σ υ ν παθολογικά υποσύνολα του Ω που πράγματι δεν είναι δυνατόν να ορ ισ ε.. καλώς το εμβαδά τους. Ωστόσο, εμείς θα περιοριστούμε μόνο σε ενδεχόμεν α πο " ο υπολογισμός του εμβαδού των γίνεται με τη στοιχειώδη Γεωμετρία. Εύκο λα φοι v εται ότι, αφού η πιθανότητα είναι ανάλογη του εμβαδού, και το εμβαδ ά έχ~l τ ις παρακάτω ιδιότητες: (i) ε μβ\α)gο, εμβ(ω)<+φ (ii) Αν ι''-πβ= ~ τότε εμβ(αnβ)=εμβ(α)+εμβ(β) "Άρα και n π ιθανότητα θα πρέπει να έχει τις ιδιότητες ( i ) Ρ (Α) ς Q, Ρ (Ω)= 1 ~ * (ii) Αν AnB=0 τότε P(AUB) =P(A}+P(B) ~ Στο παραπόνω γεωμετρικό τυχαίο πείραμα με Ω = [ο, 1] χ [ο, 1], ας θέσου-

17 με το ερώτημα: μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό του κύκλου, χρησιμοποιώντας π.χ. μόνο ορθογώνια ή ενώσεις ορθογωνίων; ( Σχήμα Ω 11 Είναι φανερό ότι όσο πιο λεπτά γίνονται τα ορθογώνια τόσο περισσότερο πλησ ι άζουμε το εμβαδό τ:ου κ ύκλου. Στο όριο έχουμε το εμβαδό του Α. Έτσι νια να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό του Α, πρέπει να προσθέσουμε στα αξιώματα (*), ή να αντι καταστήσουμε το (ii) με το παρακάτω αξίωμα: (ii) Αν Α 1,Α, είναι μ ια α~ολουθία ενδεχομένων τέτοιων ώστε 2 A.nA.=0, i:;t:j τότε l. J P(A 1 UA 2 U. UAnU... )= P(A 1 )+P(A 2 )+. +P(An)+. ή πιο σύντομα Έτσι χρησιμοποιώντας το προηγούμενο γεωμετρικό τυχαίο πείρα μ α καταλήξαμε στα αξιώματα του Kolmogoroν για την πιθαν ότητα, δηλαδή τα (i) και ( i i ) 1 Παρατήρηση 1η Η ιδιότητα ( i i-) λέγεται προσθετική ιδιότητα της πιθανότητας και η (ii)' σ-προσθετική. Αξίζει να σημειωθεί εδώ, ότι υπάρχει μια περίπτωση τυχαίου φαινομένου στην Κβαντομηχανική όπου η προσθετική ιδιότητα φαίνεται να μην ισχύε~ (Βλ. σχήμα της επόμενης σελίδας). Έστω S μια πηγή μόνο-ενεργειακών ηλεκτρονίων, και (δ ) ένα διά- 1 φραγμα με δύο οπές Α και Β και (δ ) 2 ένα δε ύ τερο διάφραγμα. Αν κλείσουμε την

18 Σχήμα 12 οπή Β τότε ένα ηλεκτρόνιο θα χτυπήσει ένα σημείο του διαφράγματος (δ ) που 2 ανήκει στο υποσύνολο Μ, με πιθανότητα ΡΑ(Μ). Όμοια ΡΒ(Μ) είναι η πιθανότητα να φθάσει το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο του Μ, με την οπή Α κλειστή. Αν και οι δύο οπές είναι ανοικτές τότε έχει βρεθεί πειραματικό ότι, Παρατήρηση 2η Το τυχαίο πείραμα της επιλογής ενός ση με ίου από το Ω={Ο,1] χ [ο,1], μπορεί βέβαια να πάρει και τη μονοδιάστατη έκδοση, αρκεί να κάνουμε τις α ντικαταστάσεις: Ω=[0,1], και μήκος αντί εμβαδό. Έτσι αναβ" είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα Μ Α κ Δ Β τότε η πιθανότητα το σημείο Μ να επιλέγει από το υποδιάστημα ΊΌ\" του ΑΒ=Ω δίδεται από: Ρ[τοΜε(ΚΛ)] P((<ΛJ) μήκος του (1<7\) μήκος του (ΑΒ) Έχοντας τώρα στο μυαλό μας ότι η πιθανότητα έχει τις ί- διες ιδιότητες με αυτές του εμβαδού, μπορούμε εύκολα, με τη βοήθεια και διαγραμμάτων του Venn να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες:

19 (1) Αν Α~Β τότε Ρ(Α) :> Ρ(Β) (2) P(Ac)=1-P(A) (3) Ρ(Α U Β )=Ρ(Α }+Ρ( Β)-Ρ(Α n Β) (4) Α,ΒΕ (J., P(A-B)=P(A)-P(AnB) Ι 8] εμβ(α):;; εμβ(β) 2.2. Πιθανότητα και μάζα Μέχρι τώρα είδαμε ότι η π ι θανότητα συνδέεται με.τη Γεωμετρία. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τη σχέση της πιθανότητας και της Αναλυτικής ~1ηχανικής. Η πιθανότητα όπως ήδη έχουμε πει, είναι της ίδιας φύσης με την απόσταση, το εμβαδά και τον όγκο στη Γεωμετρία. Αναφορικά με τη Μηχανική θα δούμε ότι η πιθανότητα είναι της ίδιας φύσης με τη μάζα. Στη Μηχανική συνήθως θεωρούμε ένα γεωμετρικό σημείο Μ με μάζα m, ή έ να σύστημα υλικών σημείων με αντίστοιχες μάζες, ή την κατανομή μιας πεπερασμένης μάζας σε ένα στερεό σώμα Ω. Έστω η πεπερασμένη μάζα ενός στερεού σώματος Ω. Η κατανομή της μάζας στο σώμα Ω δεν είναι αναγκαίο να είναι ομοιογενής. Για κάθε υποσύνολο Α του Ω, έστω m(a) η μάζα του υποσώματος Α. Προφανώς, m(a)~o m(a):.>m(ω)=c<+co Αν τώρα Α 1,Α,.,Αη 2.. είναι ξένα μεταξύ τους υποσι~ματα του Ω, τότε m ( ~ Α ) = ; m(a ) η. η η = 1 η = 1 Έτσι βλέπουμε ότι η μάζα έχει τις (δtες ιδιότητες με την πιθανότητα αλλά και το ίδιο διαισθητικό υ- πόβαθρο. Πρέπει εδώ να πούμε ότι στο τυχαίο πείραμα της ανάρριψης ενός νομίσματος, η κατανομή της μάζας μέσα στο νόμισμα (Μηχανική) και η συμμετρικότητα (Γεωμετρία) του νομίσματος, καθορίζουν και τις πιθανότητες p 1 και p 2 των δύο όψεων. τους αντίστοιχα. Στη συνέχεια θα αναφέρουμε μερικά τυχαία πειράματα και τα μηχανικά

20 Πιθανότητα Μηχανική 1. Ανόρριψη ενός νομίσματος και γενικά, τυχ. πείραμα με δύο δυνατό αποτελέσματα Ω={ωl,ω2} και Πιθανότητες Ρ1οΡ2 1'. Σύστημα δύο υλικών σημείων ω1, ω 2 με αντίστοιχες μάζες Ρ1οΡ2 2. Γεωμετρικό τυχ. πείραμα της τυχ. επιλογής σημείου από το 2'. Υλική ράβδος με ομοιογενή σταθερή μάζα. διάστημα ΑΒ.... Το τυχαί.ο πείραμα της Ρωμαϊκής Κρήνης. Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε ένα πολύ θεαματικό μοντέλο μάζας για δυωνυμικό πειράματα (πειράματα με δύο δυνατό αποτελέσματα). Στην πραγματικότητα πρόκειται νια ένα μοντέλο μάζας για τη δυωνυμική κατανομή, που θα μελετήσουμε αργότερα. Σχήμα 13 Η μάζα του νερού που εκρρέει είναι μια μονάδα βάρους ανά μονάδα χρόνου. Αν υποθέσουμε ότι οι κούπες είναι συμμετρικές, τότε από την πρώτη κούπα και από κάθε εκροή, εκρέει~ μονάδα βάρους ανά μονάδα χρόνου κοκ. Γε~νιέται αμέσως το ερώτημα: Με ποιό έννοια το παραπάνω είναι ένα τυχαίο πείραμα, και πού βρίσκεται η τυχαιότητα; Το νερό αποτελείται από μεγάλο αριθμό μορίων. Το τυχαίο πείραμα βρίσκεται στη συμπεριφορά του κάθε μορίου. Δε μπο ρούμε να είμαστε βέβαιο ι αν κάποιο συγκεκριμένο μόριο, θα πάει προς τη μ ι α ή την άλλη εκροή. Παίρνοντας όμως ένα τεράστιο αριθμό μορίων, βλέπουμε ότι υπάρχει μια στατιστική ομαλότητα: μισή μάζα μορίων θα εκρεύσει από τη μια μεριά και μισή από την άλλη (συμμετρική κούπα). Μπορούμε λοιπόν να πούμε, ό τι επε ιδή υπάρχει σχεδόν άπειρος αριθμός μορίων, δηλαδή επαναλαμβάνουμε το τυχαίο πείραμα σχεδόν άπειρες φορές, η εκροή του νερού~ από τη μια μεριά και ~ από την άλλη δίνει την πιθανότητα ένα συγκεκριμένο μόριο να περάσει α πότη μια ή την άλλη εκροή!!!

21 Είναι πλέον ξεκάθαρο ότι το τυχαίο πείραμα (μια κούπα) για ένα συγκεκριμένο μόριο είναι ισοδύναμο μ ε την ανάρριψη ενός νομίσματος, καιγενικάμε το τυχαίο πείραμα με δύο δυνατά αποτελέσματα. Οι δύο κούπες αντιστοιχούν με την ανάρριψη δύο νομι σμάτων κοκ. Παρατήρηση Αν κάθε κούπα είχε 3 ή 4 ή.. n εκροές τότε θα είχαμε πολυωνυμικά πειράματα τύχης. ~ Η υλική ράβδος* α) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια υλική ράβδο: a------------b με σταθερή πυκνότητα ρ=c (Μάζα ανά μονάδα μήκους), δηλαδή έστω ότι έχουμε μια ομογενή υλική ράβδο. Τότ ε είναι γνωστό ότι η μάζα m της ράβδου δίνεται από τον τύπο m=μήκος (a,b) P =( b-:-a) Ρ β) Έστω τώρα μια μη-ομογενής υλική ράβδος, με πυκνότητα ρ=ρ(χ) νια κάθε χε [ a, b]. Η πυκνότητα ρ( ) μας καθορίζει την κατανομή της Σ χ ήμα 14 * Μπορεί να παραληφθεί.

22 μάζας στη pάβδο. Θα δούμε στη συνέχεια ότι έχουμε και μια πυκνότητα πιθανότητας, ακpιβώς αντίστοιχη που μας καθορίζει πως κατανέμεται η πιθανοθεωρητική μάζα. Θα θέλαμε να υπολογίσουμε τη μάζα m της ράβδου. Έστω χ (a,b), δίpουμε μια aπειροστική αλλαγή κατά dχ. Η μεταβολή αυτή δεν διακρίνεται με γυμνό οφθαλμό, αλλά μόνο με ένα απειροστικό μικροσκόπιο με διαχωριστική δύναμη dχ (Δες: H.J. Keisler: Elementary Calcυlus, Prindle, Weber Schmidt, 1976, νια τις σύγχρονες έννοιες aπειροστών και aπειροστικών μικροσκοπίων). Μεταξύ των χ και x+dx η πυκνότητα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή και ίση με ρ(χ) άρα η aπειροστική μάζα dm της ράβδου μεταξύ χ και x+dx, είναι άπειρα κοντά με την ποσότητα ρ(χ)dχ, δηλαδή dm ~p(χ )dχ Άρα παίρνουμε ότι η ολική μάζα της ράβδου δίδεται από τον τύπο: b m=j ρ(χ)dχ=εμβαδό κάτω από τη συνάρτηση a ρ(χ) και μεταξύ a και b Αν τώρα ορίσουμε τη συνάρτηση f(x)~(x), τότε b J a f(x)dx=1 και η f(x) είναι ακριβώς το αντίστοιχο της πυκνότητας πιθανότητας. 3. ΧΩΡΟΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗτΑΣ ΚΑΙ ΗΧΑΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ Από την προηγούμενη συζήτηση, έγινε φανερό, ότι το μαθηματικό αντι κε ί μενο που αντιστοιχεί με ένα τυχαίο πείραμα είναι η διαταγμένη τριάδα (Ω,σ., Ρ) όπου Ω είναι ο δειγματικός χώρος, η κλάση των γεγονότων και Ρ μια συνολοσυνάρτηση: Ρ: -[0,1] Α-Ρ(Α) χώρος, α. η κλάση των γεγονότων με τις ακόλουθες ιδιότητες: ( i) Ρ(Ω )=1 (ii) Για κάθε ακολουθία γεγονότων, Α,Α,... ξένων μεταξύ τους, 1 2