n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ )
|
|
- Ευθαλία Σάρρα Βασιλικός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) Ενίοτε η πραγματοποίηση ενός γεγονότος εξαρτάται από την πραγματοποίηση άλλου τινός γεγονότος. Κατ' αντιστοιχία, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να εξαρτάται από την πραγματοποίηση (ή όχι) ενός άλλου ενδεχομένου. Στα παραδείγματα που ακολουθούν, φαίνεται πως οι πιθανότητες επανεκτιμούνται καθώς πρόσθετες πληροφορίες παρέχονται. Στο μοντέλο που περιγράφεται ευθύς αμέσως, γίνεται προσπάθεια καταγραφής της διαισθητικής άποψης για την πιθανότητα. Στη συνέχεια παρουσιάζονται παραδείγματα, όπου εκτιμάται το μέτρο της υπό συνθήκη πιθανότητας σύμφωνα με τις προηγούμενες παραγράφους. Ένας ψηφιακός επικοινωνιακός δίαυλος παρουσιάζει σφάλμα μεγέθους bit για κάθε χίλια που μεταφέρει. Τα σφάλματα είναι σπάνια, αλλά όταν συμβαίνουν επηρεάζουν πολλά διαδοχικά bits, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται συγκεντρώσεις λανθασμένων bits. Με βάση το μοντέλο αυτό, αν μεταφερθεί ένα μοναδικό bit τότε η αναμενόμενη πιθανότητα να ληφθεί λανθασμένο είναι /000. Αναμένεται όμως να είναι πολύ μεγαλύτερη η πιθανότητα εσφαλμένης λήψης ενός bit αν έχει εξακριβωθεί ότι το αμέσως προηγούμενο bit λήφθηκε λάθος. Θεωρούμε το γεγονός A i={εκπομπή τυχαίου bit/ι =, }Α, όπου ΑΩ και στη συνέχεια το ΒΩ με Β j={εσφαλμένη λήψη bit/j =0.000}. Έστω ότι τα πρώτα bits μεταφέρθηκαν σωστά. Θεωρούμε το ΓΩ στο οποίο ανήκουν τα bits, Το μοντέλο περιγράφεται στο ακόλουθο διάγραμμα Venn. Γ Ω Β Σχήμα.7. Ο υπολογισμός της υπό συνθήκη πιθανότητας να συμβεί το Β όταν είναι γνωστό (ή δεδομένου) ότι συνέβη το Γ, απαιτεί να ληφθεί υπόψη ο περιορισμός του χώρου των επιτυχών περιπτώσεων σε ένα νέο με λιγότερα στοιχεία, αφού τα στοιχεία του Γ δεν συμμετέχουν πλέον στον υπολογισμό. Έτσι, αν n Ω, n Α,n Β και n Γ ' το πλήθος στοιχείων του Ω, Α, Β και Γ ' αντίστοιχα, η ζητούμενη πιθανότητα υπολογίζεται Ρ(Β/Γ ' ) = n B = n ' n B ' n n n ' = ( ') ( ') Παράδειγμα.7. θεωρούμε έναν αυτοκινητόδρομο μήκους 00 km και υποθέτουμε ότι η κατάσταση του και ο όγκος κυκλοφορίας δεν μεταβάλλονται στο τμήμα αυτό. Έτσι, η πιθανότητα δυστυχήματος είναι η ίδια για όλα τα σημεία του αυτοκινητόδρομου. Ορίζονται τα ενδεχόμενα: Α = {δυστύχημα στα πρώτα 30 χιλιόμετρα} και Β = {δυστύχημα μεταξύ 0ου και 60ου χιλιομέτρου}. Αφού όλα τα σημεία είναι ισοπίθανα (από πλευράς δυστυχήματος), μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πιθανότητα δυστυχήματος σε ένα διάστημα του δρόμου είναι ανάλογος του μήκους του διαστήματος. Άρα Ρ(Α) = 3/0 και Ρ(Β) = 4/0.
2 Αν γίνει γνωστό, ότι ένα δυστύχημα συνέβη ανάμεσα στο 0ο και 60ο χιλιόμετρο, ποια είναι η πιθανότητα να συνέβη το Α; Εδώ θα πρέπει πλέον να θεωρηθεί το Β ως βέβαιο γεγονός και να διερευνηθεί η πιθανότητα του Α κάτω από αυτή τη συνθήκη. Με την αυστηρή μαθηματική διατύπωση τα παρακάτω εκφράζονται με το χώρο πιθανοτήτων (Ω,,Ρ), όπου ο δειγματοχώρος Ω είναι πεπερασμένος με πληθικό αριθμό απλών γεγονότων n =00. Θεωρείται ακόμη ότι τα απλά γεγονότα του Ω είναι ισοπίθανα και ότι ο πληθικός αριθμός των απλών γεγονότων των Α και Β είναι n Α =30 και n Β =40, αντίστοιχα. Τότε Ρ(Α) = n Α /n και Ρ(Β) = n Β /n. Ακόμη, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του γεγονότος AΒ σαν Ρ(ΑΒ) = n ΑΒ /n. Με την παραδοχή ότι το Β είναι βέβαιο γεγονός, ζητούμε την πιθανότητα του Α. Θα πρέπει να θεωρήσουμε δειγματοχώρο τον Β με πληθικό αριθμό n Β. Επιτυχείς περιπτώσεις θα πρέπει να θεωρούνται τα κοινά σημεία των Α και Β που είναι n ΑΒ το πλήθος. Έτσι η πιθανότητα να συμβεί το Α αφού έχει συμβεί το Β, είναι n ΑΒ / n Β. Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος ορισμός Ορισμός.7. Αν (Ω,,Ρ) είναι ένας χώρος πιθανοτήτων και B με Ρ(Β)>0, τότε ορίζουμε τη δεσμευμένη πιθανότητα του A με τη σχέση Ρ(Α/Β) = Ρ(ΑΒ)/Ρ(Α) (.7.) Σημείωση.7. Η σχέση Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α/Β)Ρ(Β) = Ρ(Β/Α)Ρ(Α) που προκύπτει από την.7. λέγεται πολλαπλασιαστικός τύπος (ή νόμος του γινομένου ή νόμος των συνθέτων πιθανοτήτων). Σημείωση.7. Αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα, τότε Ρ(Β/Α)=0. Σημείωση.7.3 Αν BA, τότε Ρ(Β/Α) = Ρ(Β)/Ρ(Α) Ρ(Β). Σημείωση.7.4 Αν AB, τότε Ρ(Β/Α) = Σημείωση.7.5 Αν Ρ(Β) = 0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα Ρ(Α/Β). Σε ότι ακολουθεί η συνθήκη Ρ(Β) > 0 θα θεωρείται δεδομένη, σε κάθε αναφορά της δεσμευμένης πιθανότητας Ρ(Α/Β). Θεώρημα.7. Αν (Ω,,Ρ) είναι ένας χώρος πιθανοτήτων και Α, τότε και ο (Ω,,Ρ(./Α)) είναι χώρος πιθανοτήτων Απόδειξη: (α) Προφανώς Ρ(Β/Α) 0 (β) Ρ(Ω/Α)= (βλ. Σημείωση.7.4) (γ) Αν Β n είναι μια ακολουθία ασυμβίβαστων γεγονότων, τότε επειδή A( B n ) = n n έχουμε ( A ) και η AB n είναι και αυτή ακολουθία ασυμβιβάστων γεγονότων, θα B n Ρ( B n / A ) = (/Ρ(Α))Ρ( n n ( A B n ) ) = (/Ρ(Α)) P ( A B n ) = n n P ( B n / A) conditional probability
3 Παράδειγμα. 7. Σε ένα κουτί που περιέχει σφαίρες, βάζουμε μια άσπρη σφαίρα ύστερα παίρνουμε από το κουτί τυχαία μια σφαίρα. Βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα που θα πάρουμε να είναι άσπρη, αν είναι ισοπίθανες όλες οι υποθέσεις για το χρώμα των αρχικών σφαιρών. ΛΥΣΗ Έστω Α είναι ενδεχόμενο να πάρουμε μια άσπρη σφαίρα. Έχουμε τα επόμενα ενδεχόμενα για το χρώμα των αρχικών σφαιρών: Β -δεν περιέχεται άσπρη σφαίρα Β - περιέχεται μια άσπρη σφαίρα Β 3- περιέχονται δυο άσπρες σφαίρες Από τη στιγμή που υπάρχουν συνολικά τρία ισοπίθανα ενδεχόμενα και το άθροισμα πιθανοτήτων των είναι ίσο με τη μονάδα (αποτελούν τον δειγματικό χώρο), οπότε η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου είναι: Ρ(Β )=Ρ(Β )=Ρ(Β 3)=/3 Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, με δεδομένο ότι αρχικά το κουτί δεν περιείχε καμία άσπρη σφαίρα, είναι: Ρ(ΑΒ )=/3 Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, με δεδομένο ότι αρχικά το κουτί περιείχε μια άσπρη σφαίρα, είναι: Ρ(ΑΒ )=/3 Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, με δεδομένο ότι αρχικά το κουτί περιείχε δυο άσπρες σφαίρες, είναι: Ρ(ΑΒ 3)= Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα, δηλαδή να πάρουμε μια άσπρη σφαίρα, τη βρίσκουμε από τον τύπο της ολικής πιθανότητας: Ρ(Α)=Ρ(Β ) Ρ(ΑΒ )+ Ρ(Β ) Ρ(ΑΒ )+ Ρ(Β 3) Ρ(ΑΒ 3)
4 =/3 /3+/3 /3+/3 =/3 Παράδειγμα.7.3 Η πιθανότητα θανάτου ενός υγειούς ανθρώπου στο χρονικό διάστημα (t,t ), είναι t (t,t )) = a ( x) dx, όπου α(x) = 3*0-9 x (00-x) για x [0, 00] t και α(x)=0 για x 00. Στο ερώτημα ποια είναι η πιθανότητα να πεθάνει κανείς μεταξύ 60 και 70 ετών. Εφόσον θα ζήσει πάνω από 60 χρόνια, θα δοθεί απάντηση αφού γίνει χρήση της υπό συνθήκη πιθανότητας. Έχουμε λοιπόν, (60,70)/(60,)) = 3*0 3* x (00 x) dx x (00 x) dx = Μια θεμελιώδης πρόταση που αφορά τις δεσμευμένες πιθανότητες, δίνεται από το: Θεώρημα.7. Για οποιαδήποτε γεγονότα Α, Α,..., Α n, τέτοια ώστε Ρ(Α Α Α n- )>0, ισχύει ότι Ρ(Α Α Α n )= = Ρ(Α )Ρ(Α /Α )Ρ(Α 3 / Α Α )... Ρ(Α n /Α Α Α n-). Απόδειξη: Προφανώς Ρ(Α ) Ρ(Α Α ).... Α Α Α n-)>0. Επιπλέον έχουμε, λόγω διαδοχικών απαλοιφών Α Α Α n) = A A Ρ(Α ) A ) ) A A A3 ) A A... A A ) A A... A... A n ) n ) = = Ρ(Α )Ρ(Α /Α )Ρ(Α 3 / Α Α )... Ρ(Α n /Α Α Α n-). Άσκηση: Έστω ότι τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα με Ρ(Α)=α, Ρ(Β)=β και Ρ(Γ)=γ. Να βρεθεί η πιθανότητα Ρ((Α Β)/(Β Γ )). Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας, προκύπτει :
5 (A (B )) (A /(B )) () B ) Επειδή Α Β Γ= Ø, συνεπάγεται ότι (B ). Έτσι, από την () προκύπτει: (A ) (A ) (B )) () ) ) A A) ( ) ) ΓΑ c ) Δοθέντος ότι Ρ(Α)=0.6, Ρ(Α Β c )=0.8, Ρ(ΑΒΓ)=0.9 και Ρ(Α c Γ)=0.5, να προσδιορίσετε την Ρ(Β Με τη βοήθεια της συνθήκης δεσμευμένης πιθανότητας αποδεικνύεται ότι B B ) ) ) B Επίσης, B B ) ) ) ) B B B ) ) ) Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος : Ρ(Α)=0.6 Ρ(Α c )=- Ρ(Α)=0.4 Εφαρμόζουμε τη μέθοδο εύρεσης συναρτήσεων Bool:
6 0 4 6 c Α c Α Όπου τα γενετικά σύνολα Α,Β και Γ απαρτίζουν την κλάση Q={A,B,Γ} και τα ενδιάμεσα σύνολα m 0, m, m, m 3, m 4, m 5, m 6 και m 7. Α={ m 4, m 5, m 6, m 7} Β={ m, m 3, m 6, m 7} Γ={ m, m 3, m 5, m 7} Η Ρ(Α c Β Γ) = Ρ(m 3) Η Ρ(Α c ) = Ρ(m 0)+Ρ(m )+Ρ(m )+Ρ(m 3)=0.4 Δίδονται : Η Ρ(Α) = Ρ(m 4)+Ρ(m 5)+Ρ(m 6)+Ρ(m 7)=0.6 Η Ρ(ΑΒ c ) = Ρ(m 0)+Ρ(m )+Ρ(m 4)+Ρ(m 5)+Ρ(m 6)+Ρ(m 7)=0.8 Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι Ρ(m 0)+Ρ(m )=0. Και επειδή εξ υποθέσεως Ρ(Α c Γ) = Ρ(m )+Ρ(m 3) = 0.5 και Ρ(ΑΒΓ)=0.9= Ρ(m )+Ρ(m )+ Ρ(m 3)+Ρ(m 4)+Ρ(m 5)+Ρ(m 6)+Ρ(m 7)= Ρ(m )+Ρ(m )+ Ρ(m 3)+0.6 Συνεπάγεται ότι Ρ(m )+Ρ(m )+Ρ(m 3)=0.3 Αλλά είναι
7 Ρ(Α c ) = 0.4 = Ρ(m 0)+Ρ(m )+Ρ(m )+Ρ(m 3) = Ρ(m 0)+0.3 Από όπου συνεπάγεται: Ρ(m 0) = 0. Ρ(m ) = 0. Ρ(m 3) = 0.05 Έτσι τελικά, B B ) Pm ( 3) 0.05 ) ) Παράδειγμα.7.4 Σε ένα night club διασκεδάζουν n ζευγάρια. Διάφοροι λόγοι αυξάνουν την "εντροπία" στο χώρο έτσι ώστε στο τέλος η επιλογή των καβαλιέρων από τις ντάμες να γίνεται στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η κάθε ντάμα να χορεύει με τον αρχικό συνοδό της; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα, σκεπτόμαστε ως εξής. Αριθμούμε τις ντάμες,,...,η. Έστω Α i ={η i ντάμα χορεύει με τον συνοδό της), i =,...,n. Τότε έχουμε Ρ(Α ) = /n, Ρ(Α / Α ) = /(n-), Ρ(Α 3 / Α Α ) = /(n-),, Ρ(Α n / Α Α Α n- ) =. Άρα Ρ(Α Α Α 3 Α n) = /(n!).
8 Θεώρημα.7.3 Έστω Α ένα γεγονός που αν συμβεί τότε πραγματοποιείται οπωσδήποτε ένα από τα ασυμβίβαστα ανά δύο γεγονότα A,A,, An. Είναι P (A) = A) Ρ(ΑΑ) + P (A) Ρ(ΑΑ) + + An) Ρ(ΑΑn) Απόδειξη: Θα δείξουμε το Θεώρημα για n=. Όταν συμβεί το γεγονός Α, τότε συμβαίνει ένα από τα δυο ασυμβίβαστα γεγονότα A και A. Άρα, A=(A A) (A A) Με (A A) (A A) =. Σύμφωνα με το αξίωμα (γ) του ορισμού.3.4, Ρ(A) = Ρ(A A) + Ρ(A A) = A) Ρ(ΑΑ) + P (A) Ρ(ΑΑ). Παράδειγμα.7.5 Η πιθανότητα ότι μία περιοχή θα κτυπηθεί από ένα ή δύο τυφώνες σε ένα χρόνο είναι 0,3 και 0,05 αντίστοιχα. Η πιθανότητα ότι θα κτυπηθεί από περισσότερους τυφώνες θεωρείται αμελητέα. Η ίδια περιοχή ενδέχεται να υποστεί πλημμύρες στη διάρκεια ενός έτους. Αιτία των πλημμύρων ενδέχεται να είναι η τήξη των χιονιών στην περιβάλλουσα ορεινή περιοχή (πιθανότητα 0,) ή να οφείλονται σε καταιγίδα που έπεται ενός τυφώνα (πιθανότητα 0,5). Έχει αποδειχτεί η στατιστική ανεξαρτησία των πλημμύρων που οφείλονται στα χιόνια με εκείνες που οφείλονται σε τυφώνα. Ποια η πιθανότητα πλημμύρας σε ένα έτος; ΛΥΣΗ Έστω τα γεγονότα, Α i= {i ος τυφώνας θα κτυπήσει την περιοχή} i =, /A i = {πλημμύρες που οφείλονται στον i τυφώνα} D: {πλημμύρες που οφείλονται σε χιόνια}, με αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α )=0.3, Ρ(Α )=0.05, Ρ()=0.5 και D)=0.. Είναι γνωστή ακόμη η στατιστική ανεξαρτησία των και D. D)=)D). Έτσι η πιθανότητα πλημμύρας σε ένα χρόνο είναι: D) = )+D)-D)= (0.5)(0.)=0.35
9 Παράδειγμα.7.6 Κάποιος έγραψε Ν γράμματα και αφού τα έβαλε μέσα σε φακέλους, έγραψε τις διευθύνσεις έξω από τους φακέλους τυχαία. Να βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον σε ένα φάκελο η διεύθυνση να είναι η σωστή. ΛΥΣΗ Ορίζουμε τα γεγονότα Α κ (Κ=,,..., Ν), που Α κ = (στον φάκελο Κ είναι γραμμένη η σωστή διεύθυνση) Η ζητούμενη πιθανότητα N p A ) k k. Τα γεγονότα Ακ δεν είναι ασυμβίβαστα. ( N )! PA ( k ) N N! ( N )! Ak Aj ) Ak ) Aj / Ak ) N N N! ( N 3)! Ak Aj Ai ) Ak ) Aj / Ak ) Ai / Aj Ak ) N N N N!... A A... AN ) Ak ) Aj / Ak )... AN / A A... AN )... N N N N! Επειδή, N p A ) A )... A ) A A ) A A )... A A ) k k N 3 N N A A A )... A A A )... ( ) A A... A ) N 3 N N N N N N N N N... ( )... N N N 3 N N N N N N N... ( )! 3! 4! N! Όταν Ν είναι μεγάλο τότε το ρ e
10 Παράδειγμα.7.7 Τρεις τεχνικές εταιρείες υποβάλλουν προσφορές σε διαγωνισμό ανάθεσης ενός μεγάλου έργου. Η προηγούμενη αξιοπιστία των εταιρειών φαίνεται στο σχήμα Σχήμα.7.β όπου φαίνεται κατά πόσο οι ομάδες αυτές συμπληρώνουν τα έργα τους με καθυστέρηση ή όχι ( t= πραγματική διάρκεια, to διάρκεια συμβολαίου). Γνωρίζουμε ότι οι ομάδες Α και Β έχουν την ίδια πιθανότητα να αναλάβουν το έργο, ενώ η ομάδα Γ έχει διπλάσια πιθανότητα από την Α ή την Β. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι το έργο θα συμπληρωθεί χωρίς καθυστέρηση.
11 Αν τελικά καθυστερήσει το έργο, ποια είναι η πιθανότητα ότι το είχε αναλάβει η εταιρεία Γ; ΛΥΣΗ Ε = {το έργο θα συμπληρωθεί χωρίς καθυστέρηση} Ρ(Α) = Ρ(Β) = /4 = 0.5 Ρ(Γ) = 0,5 Ρ(Ε) = Ρ(Ε/Α)Ρ(Α) + Ρ(Ε/Β)Ρ(Β) + Ρ(Ε/Γ)Ρ(Γ) = 0,40,5 + 0,40,5 0,8= 0,6. Ρ(Γ/Ε) = E / ) ) E) = 0,x0,5 0,4 = 0,35 Άσκηση: (α) Εάν έχω τα γεγονότα Α,Β,Γ εκ των οποίων τα Β,Γ είναι ασυμβίβαστα, τότε να αποδειχθεί η σχέση: B Γ/Α)=Ρ(Β/Α)+Ρ(Γ/Α). (β) Εάν τα Β,Γ είναι ασυμβίβαστα να βρεθεί η Ρ(Α/Β Γ) συναρτήσει των Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Α/Β), Ρ(Α/Γ). Λύση: [( ) ] [( ) ( ) (α) Ισχύει Ρ(Β Γ/Α)=. ( ) ( ) Εφόσον τα Β,Γ είναι ασυμβίβαστα έχω Β Γ= οπότε και (Β Γ) Α=(Β Α) (Γ Α)=, οπότε τα (Β Α), (Γ Α) είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους. Άρα η Ρ(Β Γ/Α)=Ρ(Β Α)/ Ρ(Α)+Ρ(Γ Α)/Ρ(Α) Ρ(Β Γ/Α)=Ρ(Β/Α)+Ρ(Γ/Α). (β) Ισχύει A/B Γ)= P[ A ( B )] B ) P[( B ) A] B ) = P[( B A) ( A)]* ) A/ ) A/ )** )
12 A/B ) A/ ) A/ ) ) *Β,Γ ασυμβίβαστα ** τα (Β Α), (Γ Α) ασυμβίβαστα όπως αποδείξαμε στο (α) οπότε P[(Β Α) (Γ Α)] = B A)+Γ Α) =A +A Γ) =A/A)+A/Γ)Γ). Άσκηση: Έστω ότι τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανεξάρτητα με Ρ(Α)=α, Ρ(Β)=β και Ρ(Γ)=γ. Να βρεθεί η πιθανότητα Ρ((Α Β)/(Β Γ )) Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας, προκύπτει : (A (B )) (A /(B )) B ) (A ( ) ( ) (B )) () B ) Σύμφωνα με το θεώρημα.6.(ζ): (A ( ) ( ) (B )) () B ) ( ) ( ) ( ) (B ) ΘΕΜΑ ο : Ένας τυπικός δίαυλος ψηφιακού σήματος παρίσταται με το ακόλουθο σχήμα
13 q Σήμα Εισόδου P p 0 Σήμα Εξόδου q Στο σχήμα φαίνεται ότι εισερχομένου του ψηφίου 0 (με πιθανότητα π 0) λαμβάνεται σήμα εξόδου είτε 0 (με πιθανότητα q 0) είτε (με πιθανότητα p 0). Όταν έχουμε είσοδο (με πιθανότητα π ) λαμβάνεται σήμα εξόδου είτε 0 (με πιθανότητα p ) είτε (με πιθανότητα q ). Ποια είναι η πιθανότητα σφάλματος στο σήμα εξόδου; Απάντηση: Αν Β={λήψη εσφαλμένου σήματος στην έξοδο}, Α 0={εκπομπή 0}, Α ={εκπομπή }, Β 0={λήψη 0}, Β ={λήψη }, τότε, Ρ(Β)=Ρ(Β / Α 0)Ρ(Α 0)+ Ρ(Β 0/ Α )Ρ(Α )= p 0 π 0 +p π ΘΕΜΑ ο : Μια διάταξη μπορεί να καταστραφεί είτε από υπερφόρτωση είτε από κεραυνό. Δεχόμαστε ότι η διάρκεια ζωής της διάταξης αυτής μετράται σε ακέραιες χρονικές μονάδες, στις οποίες μια μόνο από τις αναφερθείσες αιτίες αστοχίας της διάταξης μπορεί να συμβεί (ένας κεραυνός ή μία υπερφόρτωση). Υποθέστε ότι η πιθανότητα p να υπάρξει κεραυνός είναι σταθερή για κάθε χρονική μονάδα. Υποθέστε ακόμη ότι η πιθανότητα υπερφόρτωσης την χρονική μονάδα i δεδομένου ότι δεν υπερφορτώθηκε μέχρι την χρονική μονάδα i- είναι r i όπου i =,,3,. Είναι γνωστό ότι α) τα γεγονότα «πτώση κεραυνού» και «υπερφόρτωση» είναι στατιστικά ανεξάρτητα, και β) τα γεγονότα «υπερφόρτωση την i χρονική μονάδα» και «υπερφόρτωση την j χρονική μονάδα» είναι μη συσχετιζόμενα μεταξύ τους. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι η διάταξη θα αστοχήσει (θα πάψει να λειτουργεί λόγω ενός τουλάχιστον από τα προαναφερθέντα αίτια) την j χρονική μονάδα.
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ
ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Στο ΔΠΘ, 55% σπουδάζουν θετικές επιστήμες (ΘΕ), 30% σπουδάζουν ΘΕ & είχαν καλή επίδοση στο λύκειο (ΚΕΛ), 15% δεν σπουδάζουν ΘΕ & είχαν ΚΕΛ & έχουν ένα τουλάχιστον γονέα πτυχιούχο
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΔείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);
Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός
Διαβάστε περισσότερα3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:
1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΈστω πρώτα μια συνάρτηση Ρ που πληροί τα αξιώματα (α), (β) και (γ) της ορισμού Ισχύει δηλαδή Ρ(ω j ) 0, για κάθε j = l, 2,...
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΩΡΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πεπερασμένος_δειγματοχώρος. Έστω ο πεπερασμένος δειγματοχώρος Ω ={ω,ω,...,ω n }. Η σ-άλγεβρα γεγονότων του Ω είναι η επίσης πεπερασμένη συλλογή των n υποσυνόλων του Ω. των
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του
Διαβάστε περισσότερα1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος
1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ (Α Β ) = Ρ (Α) Ρ (Α Β ). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: Ζήτημα 1ο Να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων και λεκτικά ποιο ενδεχόμενο παριστάνει κάθε ένα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότερα. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω
Διαβάστε περισσότεραf x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν
Διαβάστε περισσότεραΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
Διαβάστε περισσότεραΑ4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον
Διαβάστε περισσότεραμιας παρατήρησης όπου λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<72, τότε λ
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΑ Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 43 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 44 Α. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παραγωγίσιμη σε κάθε Α και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι: (cf ()) = cf () Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστό)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΗΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΤ ΘΕ 1. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, για κάθε x ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
Διαβάστε περισσότεραΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου
ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι
Διαβάστε περισσότεραΗ πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:
Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση
Διαβάστε περισσότεραρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης fxc είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας
Διαβάστε περισσότερα1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4
ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2
ΘΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΛΛΗΝΙΣ ΞΤΑΣΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΡΗΣΙΟΥ ΓΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΞΤΑΖΟΜΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΛΙ ΩΝ: ΠΝΤ
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 20 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότερα5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια
Διαβάστε περισσότεραΣτέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.
Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.
Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:
Διαβάστε περισσότερα5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 30 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.
Διαβάστε περισσότεραε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΑ Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Διαβάστε περισσότερα, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σάββατο, 4 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΑ. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότερα