Παξνπζίαζε ινγηζκηθνύ Geogebra ζηνπο θαζεγεηέο.

Παξνπζίαζε ινγηζκηθνύ Geogebra ζηνπο θαζεγεηέο. Κεθάλαιο εθαπμογέρ οπιζμένος ολοκληπώμαηορ (Μαθημαηικά -Γ Δνιαίος Λςκείος-Δπιλογήρ) Τν θεθάιαην, εθαπμογέρ οπιζμένος ολοκληπώμαηορ (Μαθημαηικά -Γ Δνιαίος Λςκείος-Δπιλογήρ), πξνζθέξεηαη λα δηδαρηεί κε έλα δπλακηθό καζεκαηηθό ινγηζκηθό, δηόηη ππάξρεη ε δπλαηόηεηα λα κειεηεζνύλ νη δηάθνξεο κνξθέο γξαθηθώλ αλαπαξαζηάζεσλ, πνιιώλ ζπλαξηήζεσλ, κέζσ ησλ νπνίσλ λα θαηαλνεζνύλ νη έλλνηεο ηνπ εκβαδνύ ελόο ρσξίνπ, αλαιπηηθά, ζπλνπηηθά θαη δηαδξαζηηθά. Τν ινγηζκηθό Geogebra έρεη ηε δπλαηόηεηα λα κεηαζρεκαηίζεη θαη λα δώζεη κε έλα πνιύ θαιό ηξόπν ηόζν ηελ αλαπαξάζηαζε ησλ γεσκεηξηθώλ ελλνηώλ, ζαλ δπλακηθό ζύζηεκα γεσκεηξίαο, όζν θαη ηε δπλαηόηεηα λα εμεηάδεη ηηο κεηαβιεηέο γηα ηνπο αξηζκνύο, ηα δηαλύζκαηα, ηα ζεκεία θαη λα ππνινγίδεη ηηο παξαγώγνπο θαη ηα νινθιεξώκαηα ζπλαξηήζεσλ. Η ρξήζε ηνπ είλαη πνιύ απιή, δηόηη πξνζεγγίδεη κε θηιηθό ηξόπν θαη απιό ηνλ ρξήζηε ηνπ, έηζη ώζηε λα ηνλ θαζηζηά γλώζηε ηνπ πεξηερνκέλνπ ηνπ θαη ηθαλό λα αλαθαιύςεη, από κόλνο ηνπ, ηε δπλακηθή ηνπ κε κόλν ηε γλώζε κεξηθώλ εληνιώλ πνπ δίλνληαη κε απιό θαη θαηαλνεηό ηξόπν. Αθόκε είλαη αλνηθηό ινγηζκηθό πνπ πξνζθέξεηαη δσξεάλ ζην δηαδίθηπν. www.geogebra.org. Αξρηθά, κπνξείηε λα ην θάλεηε downloading θαη ζα εκθαληζηεί ην εηθνλίδην Αθνύ ην αλνίμεηε ζα εκθαληζηεί ε πην θάησ ζειίδα ζηελ νπνία αξηζηεξά είλαη ην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο θαη δεμηά ηεο γεσκεηξίαο/αλαιπηηθήο γεσκεηξίαο/γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ. Κάζε εληνιή εηζάγεηαη ζην ηnput θαη ακέζσο θαηαγξάθεηαη αξηζηεξά, ζην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο θαη εθηειείηαη ζην παξάζπξν ηεο γεσκεηξίαο. Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 1

Γηα ηε δηδαζθαιία ηεο ελόηεηαο ηνπ εκβαδνύ ρσξίνπ ρξεηάδνληαη νη πην θάησ εληνιέο: Αλ δεηείηε αόξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f. Integrate[f] Αλ δεηείηε ην νξηζκέλν νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f κε όξηα α, β. Integrate[f,a,b] Αλ δεηείηε ην νξηζκέλν νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f κε όξηα α, β θαη n-intervalsδηακεξίζεηο. Integrate[f,a,b,n] Αθόκε έρεη ηε δπλαηόηεηα λα εκθαλίδνληαη ην θάησ θαη ην πάλσ άζξνηζκα, ηνπ εκβαδνύ ησλ νξζνγσλίσλ κηαο ζπλάξηεζεο, ππό κνξθή νξζνγσλίσλ, κε ηηο πην θάησ εληνιέο: Lowersum[f,a,b,n] Uppersum[f,a,b,n] Πλεονεκηήμαηα /μειονεκηήμαηα ηος λογιζμικού ωρ επγαλείο σπήζηρ. Βαζηθό πιενλέθηεκα είλαη όηη ππάξρεη δσξεάλ θαη κπνξεί λα ην πάξεη ν θάζε έλαο κε πινύζην ππνζηεξηθηηθό πιηθό ζηελ ηζηνζειίδα ηνπ www.geogebra.org. Δπίζεο εθζπγρξνλίδεηαη θάζε ρξόλν θαη κπνξεί λα αλαβαζκηζηεί πνιύ εύθνια. Οη εληνιέο ηνπ καζαίλνληαη εύθνια θαη απιά. Καιύπηεη ηόζν άιγεβξα όζν θαη γεσκεηξία θαη κπνξεί λα δηδαρηνύλ ζρεδόλ όιεο νη ελόηεηεο ηνπ Α.Π. Τν εγρεηξίδην ηνπ είλαη θαη ζηα ειιεληθά πνιύ ζπλνπηηθό θαη πεξηεθηηθό ζε απιή γιώζζα, παξαζέηνληαο ζε θάζε θεθάιαην ηηο απαξαίηεηεο εληνιέο, ώζηε λα απνθεύγεηαη ε απνζηήζηζε εληνιώλ. Αθόκε βαζηθό πιενλέθηεκα ηνπ είλαη ε δεκηνπξγία δπλακηθνύ θύιινπ εξγαζίαο κε ηε ρξήζε ηνπ JavaScript. Μπνξείηε δειαδή λα δεκηνπξγήζεηε αξρεία html (ελεξγνπνηείηαη ζε όινπο ηνπο θπινκεηξεηέο), γηα ην θύιιν εξγαζίαο, αξρείν ggp γηα ηελ θαηαζθεπή ζην GeνGebra, θαη πνιιά αξρεία geogebra.jar πνπ πεξηέρνπλ όιν ην πξόγξακκα θαη ελεξγνπνηείηαη από ην θύιιν εξγαζίαο, επηηξέπνληαο έηζη ζην δηδάθνληα λα θαηαζθεπάδεη δπλακηθά θύιια. Δξγαζίαο. Όια ηα πην πάλσ αξρεία ζα πξέπεη λα βξίζθνληαη ζην ίδην directory, γηα λα δνπιέςεη, ε θαηαζθεπή θαη ην θύιιν εξγαζίαο, σο δπλακηθό. Τα αξρεία java πξέπεη λα εγθαηαζηαζνύλ δσξεάλ, ζηνλ ππνινγηζηή, από ηελ ηζηνζειίδα http://www.java.com. Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 2

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΔΜΒΑΓΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΔΣΑΞΤ ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΙ ΑΞΟΝΑ Γηα ηε δηδαζθαιία ηεο ελόηεηαο ηνπ νξηζκέλνπ νιεθιεξώκαηνο (νξηζκόο, ηδηόηεηεο, εθαξκνγέο) ην Α.Π. δίλεη 12 δηδαθηηθέο πεξηόδνπο. Η ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο κπνξεί λα καο βνεζήζεη λα θαιύςνπκε ζε πνιύ ιηγόηεξν δηδαθηηθό ρξόλν ηελ ελόηεηα, κε πνιύ πεξηζζόηεξα παξαδείγκαηα θαη κε ηξόπν πνπ λα θαιύπηνληαη όια ηα καζεζηαθά ζηπι ησλ καζεηώλ, πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δηάθνξεο κνξθέο δηαθνξνπνηεκέλεο δηδαζθαιίαο. Γξαζηεξηόηεηα1: Δθαπμογή ηων ενηολών για ηην επίηεςξη ηων ζηόσων. Αθνύ γξάςεηε ηε ζπλάξηεζε ς=ρ 2, ζηε κνξθή ς=ρ^2 ζην ρώξν input-enter, εκθαλίδεηαη ζην παξάζπξν ησλ γξαθηθώλ, ην γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο θαη κπνξείηε λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ ζην δηάζηεκα [-2,2] κε ηελ εληνιή Integrate[f,0,2] ή integrate[f,-2,0]. Ο καζεηήο παξαηεξεί ηελ πην θάησ ηδηόηεηα: 0 2 fdx 2 0 fdx Δκθαλίδεηαη ην ζθηαζκέλν κέξνο ηνπ ρσξίνπ θαη ππνινγίδεηαη ην εκβαδόλ. Μπνξείηε λα αιιάμεηε ηε κεηαβιεηή ηνπ εκβαδνύ παηώληαο δεμί θιηθ πάλσ ηνπ θαη rename. Μεηαθηλώληαο ηελ θακπύιε εηθνλίδεηαη ε λέα ζπλάξηεζε θαη κπνξεί λα παξαηεξήζεη ν καζεηήο ηόζν ηελ εμίζσζε ηεο λέαο ζπλάξηεζεο όζν θαη ην εκβαδόλ θάησ από ηελ Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 3

θακπύιε. Η δπλαηόηεηα, κεηαθίλεζεο ηεο θακπύιεο, έρεη κεγάιε πξνζηηζέκελε αμία δηόηη ζε ειάρηζην ρξόλν ν καζεηήο κπνξεί λα δεη ηε κνξθή ηεο ζπλάξηεζεο ς=ρ 2, λα κεηαζρεκαηίδεηαη ζε κηα λέα ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο ς=(ρ-α) 2 +β, πνπ ήδε γλσξίδεη λα θαηαζθεπάδεη αιγεβξηθά. Ο εθπαηδεπηηθόο, κε θαηάιιειεο εξσηήζεηο, κπνξεί λα ειέγμεη θαη λα θάλεη ζπεηξνεηδή ρξήζε ηνπ πεξηερνκέλνπ, γηα ηε γλώζε ησλ ζηνηρείσλ ηεο ζπλάξηεζεο όπσο: (1) ηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο γξαθηθά θαη αιγεβξηθά (2) ηα ηνπηθά αθξόηαηα (3) ηα ζεκεία ηνκήο κε ηνπο άμνλεο, (4) ηε κνλνηνλία θ.ά. Αθνύ αλαθιεζεί, ε γλώζε, ζα παξαηεξήζεη ν καζεηήο, όηη ην εκβαδόλ αιιάδεη ζηηο δηάθνξεο πεξηνρέο θαη παίξλεη αξλεηηθέο ηηκέο γηα ς<0. Γηαθξίλεη έηζη όηη δεν κπνξεί λα νινθιεξώλεη κηα ζπλερή ζπλάξηεζε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο αλ πξώηα δελ ειέγμεη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο κε ηνπο άμνλεο. Με ηελ εληνιή integral[f,-2,2] ππνινγίδεηαη ην εκβαδόλ Δ2 όπνπ γξήγνξα κπνξεί λα δηαπηζησζεί όηη είλαη ε δηαθνξά ησλ δύν εκβαδόλ θαη όρη ην απόιπην άζξνηζκα ηνπο. Οξίδεηαη έηζη όηη ζηελ πεξίπησζε πην πάλσ ηζρύεη: 2 2 fdx 0 2 fdx Αθόκε, ζηελ πην πάλσ πεξίπησζε κπνξεί άκεζα λα θαηαλνεζεί όηη ηζρύεη ε ηδηόηεηα: 2 0 fdx 2 0 fdx 0 2 fdx Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 4

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ (ζςνέσεια) Μεηαθηλώληαο ηε ζπλάξηεζε, γηα ς>0 παξαηεξνύκε όηη ην εκβαδόλ ηζρύεη γηα Δ 2 =Δ+Δ 1. Άξα γεληθεύεηαη όηη, ζηελ πεξίπησζε πνπ δελ ηέκλεη ηνλ ρ-άμνλα κηα ζπλάξηεζε, ηα όξηα δελ επεξεάδνπλ ηελ απάληεζε. Αλ ε ζπλάξηεζε είλαη ζην ς<0, απιά ζα πξέπεη λα ζεσξεζεί, ζαλ απάληεζε, ε απόιπηε ηηκή ηεο. Η πην πάλσ δξαζηεξηόηεηα γηα εύξεζε ησλ νξίσλ ζπλάξηεζεο κπνξεί λα επαλαιεθζεί γηα δηάθνξεο θακπύιεο κεγαιύηεξνπ βαζκνύ, ηξηγσλνκεηξηθέο θ.ά. Γξαζηεξηόηεηα 2 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ ΔΤΡΔΗ ΟΡΙΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΡΙΣΟΤ ΒΑΘΜΟΤ Σην πην θάησ παξάδεηγκα δίλεηαη κηα θακπύιε ηξίηνπ βαζκνύ ς=ρ*(ρ-1)*(ρ+3) θαη κε ηηο εληνιέο: integral[f,-3,0], integral[f,0,1], integral[f,-3,1], ακέζσο παξαηεξνύλ όηη δεν ηζρύεη ε ζρέζε: Δ=Δ 1 +Δ 2 Άξα, νη καζεηέο, πξέπεη λα θάλνπλ ηελ παξαηήξεζε, όπσο θαη ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα, όηη είηε ζα βξνπλ ηελ απόιπηε ηηκή ησλ αζξνηζκάησλ, ησλ επη κέξνπο εκβαδώλ ησλ ρσξίσλ, είηε ζα αιιάμνπλ ηα όξηα, δειαδή όηη ηζρύεη κηα βαζηθή ηδηόηεηα ησλ νξίσλ ζηα νινθιεξώκαηα ε πην θάησ: Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 5

1 0 o fdx 1 fdx E 2 Αθνύ θαηαλνήζνπλ, ηα όξηα ησλ ρσξίσλ, ηα νπνία ζα νξίδνπλ ην εκβαδόλ ηνπ θαζώο θαη ηηο ηδηόηεηεο ησλ νξίσλ, ζα πξέπεη λα κειεηεζεί γηαηί ην νινθιήξσκα, πνπ νξίδεηαη θάησ από κηα θακπύιε, δίλεηαη από ηνλ ηύπν ηνπ αζξνίζκαηνο, ησλ ζηνηρεησδώλ εκβαδώλ νξζνγσλίσλ θαη ζηε ζπλέρεηα λα ππνινγίζνπλ ην εκβαδόλ κεηαμύ δύν θακππιώλ. Γξαζηεξηόηεηα 3 ΔΤΡΔΗ ΔΜΒΑΓΟΤ ΚΑΜΠΤΛΗ ΚΑΙ ΑΞΟΝΑ Αλαθέξεηαη ζην βηβιίν (ζ.138, ΥΠ&Π,Γ Δληαίνπ Λπθείνπ-επηινγήο) όηη γηα ηελ εύξεζε ηνπ εκβαδνύ Δ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ην δηάγξακκα ηεο f, ηηο επζείεο ρ=α, ρ=β θαη ηνλ άμνλα ηνλ ρ δίλεηαη από ηνλ ηύπν b a fdx Με ηελ εληνιή Inputa=-6 enter b=2 enter f(x)=exp(x) Slider n Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 6

Integral[f,-a,b,n] Τν ρσξίν ρσξίδεηαη ζε ζηνηρεηώδε νξζνγώληα εκβαδά όπνπ κεηαθηλώληαο ν καζεηήο ην slider κπνξεί λα παξαηεξήζεη ηη ζπκβαίλεη κε ην δρ ην νπνίν κεηώλεηαη θαη ειαρηζηνπνηείηαη ην ζθάικα. Βιέπε γηα λ=10 θαη λ=50 πην θάησ. Με ηελ εληνιή lowersun[f,a,b,n] ππνινγίδεηαη θάζε θνξά ην ειάρηζην εκβαδόλ θάησ από ηελ θακπύιε θαη κπνξνύλ λα δηαπηζηώζνπλ ηε δηαθνξά ηνπ ζθάικαηνο από ηελ Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 7

πξαγκαηηθή ηηκή. Υπάξρεη θαη ε εληνιή Uppersum[f,a,b,n] κε ηελ νπνία κπνξεί λα ππνινγηζηεί ην πάλσ άζξνηζκα ησλ ζηνηρεησδώλ εκβαδώλ ηνπ ρσξίνπ. Η δηαθνξά ηνπ πάλσ θαη ηνπ θάησ νξίνπ είλαη εκθαλήο όηη δειαδή, κεηώλεηαη αηζζεηά ην ζθάικα, θαζώο ην λ απμάλεηαη θαη πιεζηάδεη ην πξαγκαηηθό εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ Δ=7.39 ην νπνίν ππνινγίδεηαη κε ηελ εληνιή integral[f,a,b]. Όηαλ ην λ=100 πιεζηάδνπκε ην πξαγκαηηθό εκβαδόλ θαη παξαηεξνύλ όηη κεδελίδνληαη ζρεδόλ ηα ζθάικαηα. Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 8

Γξαζηεξηόηεηα 4 ΔΜΒΑΓΟΝ ΜΔΣΑΞΤ ΓΤΟ ΚΑΜΠΤΛΩΝ Δκθαλίδνληαη νη ηηκέο ηνπ εκβαδνύ, ησλ δύν θακππιώλ, κεηαμύ ησλ ζεκείσλ Α, Β. Πξέπεη, αθνύ παξαηεξήζεθε ζηα πξνεγνύκελα κε θαηάιιειεο εξσηήζεηο όηη θαζώο ην δρ κεηώλεηαη, κε ηελ κεηαθίλεζε ηνπ SLIDER δειαδή, αύμεζε ησλ ηηκώλ ηνπ, λα αληηιεθζνύλ όηη ην δεηνύκελν εκβαδόλ βξίζθεηαη κε ηελ δηαθνξά ησλ δύν εκβαδόλ πνπ βξέζεθαλ κε ηελ εληνιή integral[f,a,b,n], integral[g,a,b,n] θαη γηαηί; Με ηελ θαηαζθεπή ησλ δύν θακππιώλ επζείαο ς=ρ θαη ς=ρ^2 κπνξνύλ λα εξσηεζνύλ ηη ζπκβαίλεη κε ην εκβαδόλ κεηαμύ ηνπο. Τν ινγηζκηθό έρεη ηελ δπλαηόηεηα κεηαθηλώληαο ην slider λα νδεγεζνύλ ζηα πην πάλσ ζπκπεξάζκαηα γηα ην ζθάικα. Σηελ πεξίπησζε όκσο ηνπ εκβαδνύ, κεηαμύ ησλ δύν θακππιώλ, κπνξνύλ λα δνπλ ην εθπιεθηηθό ηεο ηερλνινγίαο, ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ησλ εκβαδώλ. Όηη δειαδή, ην εκβαδόλ ησλ ζηνηρεησδώλ νξζνγσλίσλ θάησ από ηελ θακπύιε αθήλεη ηόζν ζθάικα όζν ησλ ζηνηρεησδώλ εκβαδώλ θάησ από ηελ επζεία. Άξα ππνινγίδνληαο ηελ δηαθνξά ησλ δύν ζηνηρεησδώλ νξζνγσλίσλ, βξίζθνπκε ην δεηνύκελν εκβαδόλ κεηαμύ ησλ θακππιώλ. Άξα, δδ=θ(ρ)δρ-g(ρ)dx Πεξηκέλνπκε, λα παξαηεξήζνπλ νη καζεηέο, όηη ην ζηνηρεηώδεο ηξίγσλν (θάησ από ηελ επζεία) ηζνύηαη πεξίπνπ, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα, κε ην ζηνηρεηώδεο ηξίγσλν θάησ από ηελ θακπύιε (βιέπε βέινο). Αληηθαζηζηώληαο ην ηξίγσλν θάησ από ηελ επζεία κε απηό θάησ από ηελ θακπύιε, πξνθύπηεί ην δεηνύκελν ζηνηρεηώδεο εκβαδόλ ηνπ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ. Άξα θαζώο ην δρ κεηώλεηαη, ε δηαθνξά ησλ ζηνηρεησδώλ νξζνγσλίσλ καο δίλεη θαηά πξνζέγγηζε ην εκβαδόλ κεηαμύ ησλ Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 9

θακππιώλ. Σεκεηώλνπκε εδώ όηη ην ινγηζκηθό καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα παξαηεξήζνπκε, εθηόο από ηε κείσζε ηνπ ζθάικαηνο, κε αύμεζε ησλ δηακεξίζεσλ ησλ ζηνηρεησδώλ νξζνγσλίσλ θαη κηα άιιε πξνζέγγηζε κείσζεο ηνπ ζθάικαηνο. Με ανηικαηάζηαζη ίζων σωπίων με ίζα θάηη πνπ ν Αξηζηνηέιεο νλόκαζε «κοινή έννοια» (δει. γεληθό αμίσκα) «αθαηξώληαο ίζα κέξε από ίζα ην εκβαδόλ είλαη ην ίδην» θαη ην νπνίν εθαξκόδεηαη όρη κόλν ζηα καζεκαηηθά, αιιά ζε θάζε επηζηήκε πνπ έρεη λα θάλεη κε πνζόηεηεο.(bunt,l., Jones, P., &Bedient, J., 1981,p.151). Πην θαζαξά κπνξνύκε λα ηνπο δείμνπκε ζην δηπιαλό ζρήκα όηη ην δρ είλαη ην πάρνο ηνπ ζηνηρεηώδνπο νξζνγσλίνπ θαη ηζνύηαη κε ρ-(ρ+δρ)=δρ, θαη ην ύςνο ηνπ είλαη AB-CB=θ(ρ)-g(ρ). Άξα ην εκβαδόλ ηνπ δδ= (AB-CB)δρ=(θ(ρ)-g(ρ))δρ. Α C Β Πην απιά, ε πην πάλσ πξνζέγγηζε, γηα ηελ απόδεημε ηνπ εκβαδνύ ηνπ ρσξίνπ, ζα κπνξνύζε λα παξαηεξεζεί αξρηθά απμάλνληαο ηε ηηκή ηνπ slider π.ρ.γηα λ=10 θαη κεηά λ=100 θαη λα δεηεζεί, από ηνπο καζεηέο, λα θάλνπλ ηηο παξαηεξήζεηο γηα ην ζθάικα. Πξνζθέξεηαη ζηε δηδαθηηθή θαηαλόεζε, λα δεηεζεί λα ρξεζηκνπνηήζνπλ ηελ εληνιή, uppersum / lowersum, κε ηελ νπνία, αθνύ ηνπο εμεγήζνπκε ηελ ιεηηνπξγία ηεο, όηη δειαδή ππνινγίδεη ην πάλσ/θάησ άζξνηζκα ησλ ζηνηρεησδώλ νξζνγσλίσλ αληίζηνηρα, λα καο εμεγήζνπλ κε δηάθνξα παξαδείγκαηα ηη καο πξνζθέξεη ε ζπγθεθξηκέλε γλώζε. Αθόκα, κε ηε βνήζεηα ηεο δπλαηόηεηαο απηήο, λα καο εξκελεύζνπλ πσο ζπκβάιεη ζηελ θαηαλόεζε γηα κείσζε ηνπ ζθάικαηνο θαη πσο ηελ θαηαλννύλ. Απνηέιεζκα ηεο δηαδηθαζίαο απηήο θαη ηεο δξαζηεξηόηεηαο (αλαθνξά δξαζηεξηόηεηα 3) αλακέλνπκε κηα πιήξε εκπινθή ηνπ καζεηή ζην κάζεκα. Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 10

Παξαηεξνύκε όηη ην ζθάικα κεδελίδεηαη ζρεδόλ, θαη αλαθέξνπκε ην Θεώξεκα ηνπ Riemann. Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 11

Άζκηζη ππορ πποβλημαηιζμό Γηαηί ην εκβαδόλ κεηαμύ ησλ ζπλαξηήζεσλ ς=ρ 2 θαη ρ=ς 2 ηζνδπλακεί κε ην ζθηαζκέλν εκβαδόλ ζην πην θάησ ζρήκα. Να δώζεηε γξήγνξε απάληεζε κε ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζαο. Η άζθεζε γηα πξνβιεκαηηζκό έρεη ηελ δηθή ηεο αμία κε ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ απηνύ δηόηη είλαη πιένλ έηνηκνη νη καζεηέο λα θαηαλνήζνπλ κε γξήγνξα βήκαηα όηη ηα εκβαδά κεηαμύ ησλ θακππιώλ θαη ηεο λέαο θακπύιεο είλαη ηζνδύλακα κε κόλν κηα απιή εληνιή. Μπνξνύλ επίζεο λα κεηαθηλήζνπλ ηηο αξρηθέο θακπύιεο θαη λα εμάγνπλ λέα ζπκπεξάζκαηα όπσο: ην εκβαδόλ κεηαμύ ησλ θακππιώλ θαη ηεο λέαο ζπλάξηεζεο παξακέλεη ζηαζεξό;. Πποζηιθέμενη αξία σπήζηρ ηος λογιζμικού Σηελ πεξίπησζε ηνπ ινγηζκηθνύ geogebra, δίλεηαη ε δπλαηόηεηα ζηνλ θαζεγεηή λα δηδάμεη δπλακηθά. Παξαηεξνύκε όηη εθηόο από ηελ εμνηθνλόκεζε ρξόλνπ θαη ηελ νπηηθή απεηθόληζε ησλ γξαθεκάησλ δίλεηαη ε επθαηξία ζην δηδάζθνληα λα αλαθαιύςεη θαη ν ίδηνο άιιεο πξνζεγγίζεηο ζηε δηδαζθαιία ηνπ, πνπ λα ηελ θάλνπλ πην ειθπζηηθή θαη ζηνπο καζεηέο ηνπ. Υπάξρεη δειαδή, ε δπλαηόηεηα ζην δηαθνξεηηθό από απηό πνπ έκαζαλ κε ηελ παξαδνζηαθή δηδαζθαιία θαη λα αλαθαιύςνπλ έηζη έλα δηαθνξεηηθό δξόκν ζηε ιύζε ελόο πξνβιήκαηνο. Η πξνζηηζέκελε αμία γηα ην θεθάιαην πνπ αλαηπρζεθε, εθαξκνγώλ ζην νξηζκέλν νινθιήξσκα γηα εύξεζε εκβαδνύ ρσξίνπ, είλαη εκθαλείο θαη θαηαλνεηέο ζηηο δξαζηεξηόηεηεο κέζα από ηηο νπνίεο δελ ρξεηάδεηαη πεξαηηέξσ επεμήγεζε γηα λα πεηζζεί ν ζπλάδειθνο πώο λα ηηο αμηνπνηήζεη αιιά θαη λα ηηο ρξεζηκνπνηήζεη ζην κάζεκα ηνπ. Θεσξώ όηη εηδηθά ζην θεθάιαην ησλ εθαξκνγώλ ηνπ εκβαδνύ ν Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 12

δηδάζθσλ έρεη λα σθειεζεί πνιύ κε ηελ ηθαλόηεηα ηνπ ινγηζκηθνύ λα δηακεξίδεη ζε κηθξά νξζνγώληα ην ρσξίν θαη λα ππνινγίδεη ην εκβαδόλ ηνπο θάηη πνπ ε παξαδνζηαθή δηδαζθαιία αδπλαηεί λα πεηύρεη. Βοηθηηικό ςλικό για ηοςρ εκπαιδεςηικούρ http://www.geogebra.org/en/ http://users.sch.gr/kkyrits/trionymo.html Καξαδεκεηξίνπ Κξπζηαιιέληα-θαζεγήηξηα πιεξνθνξηθήο «Γηαδίθηπν θαη Δθπαίδεπζε, Πξνβιήκαηα θαη Πξννπηηθέο», Φιώξηλα, 16/5/2004. Φξπζνύια Φαηδερξίζηνπ-Μαζεκαηηθόο 13