η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο xy αρθρωμένη στο σημείο επαφής της O με σφαιρική άρθρωση, που επιτρέπει την ελεύθερη περιστροφή της περί το Ο. Επί της σφαίρας ενεργεί κρουστική δύναμη της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σημείο Αx, y του επιπέδου xy, με x> και y< σχ.11. Nα δείξετε ότι αμέσως μετά την απόσυρση της ώθησης η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας έχει την κατεύθυνση του διανύσματος " ". Δίνεται η ώθηση της κρουστικής δύναμης και η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: Η κρουστική δύναμη Fμεταβάλλει στον πολύ μικρό χρόνο δράσεώς της Δt τη στροφορμή L O της σφαίρας περί το σταθερό σημείο επαφής της Ο με το επίπε δο xy και σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης ο ρυθμός μεταβο λής της στροφορμής είναι ίσος με τη ροπή O περί το Ο των εξωτερικών δυνάμεων που δέχεται η σφαίρα, δηλαδή ισχύει η σχέση: d L O / dt = O 1 Σχήμα 11 H ροπή περί το Ο του βάρους της σφαίρας και της δύναμης από την άρθρωση είναι μηδενική, ενώ η αντίστοιχη ροπή της F είναι " " # F ", οπότε η 1 γράφεται:
d L O / dt = " " # F " Όμως έχουμε τις σχέσεις: " " " " F = F x i Fy j Fz k και " = x i # y j z k, οπότε θα είναι: " " # F " = " i " j " k F x F y F z x $y " " = F z y i x F z j x F y $ y F x k " όπου F x, F y, F z οι συνιστώσες της F ως προς τους αντίστοιχους άξονες του τρισορθογώνιου συστήματος Οxyz και i, j, k τα μοναδιαία διανύσματα των αξό νων. Εξάλλου η στροφορμή L O δίνεται από τη σχέση: L O = I x x i Iy y j Iz z k 4 όπου x, y, z οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το Ο και Ιx, Iy, Iz οι κύριες ροπές αδράνειας αυτής, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: I x =I y =mr mr /5 =7mR /5 και I z = mr /5 5 Συνδυάζοντας τις, και 4 παίρνουμε:
I x I y I z d x /dt = F z y d y /dt = x F z d z /dt = x F y " y F x # $ I x d x = y F z dt I y d y = x F z dt I z d z = x F y dt " y F x dt # $ d x = y d" z /I x d y = x d" z /I y /I z d z = x d" y #y d" y $ 6 Ολοκληρόνοντας τις εξίσωσεις 6 από έως Δt παίρνουμε τις συνιστώσες της τη στιγμή που αποσύρεται η κρουστική δύναμη, δηλαδή στο τέλος του χρόνου Δt.: x = y " z /I x y = x " z /I y /I z z = x " y #y " y $ 7 όπου x, y, z οι τρεις συνιστώσες της ώθησης της κρουστικής δύναμης F. H ταχύτητα v C του κέντρου της σφαίρας στο τέλος του χρόνου Δt υπολογίζεται μέσω της σχέσεως: v C = """ " OC = i j k x y z R = R y i # R x j 7 v C = R z R x I i " z 5 y y I j = z x 7mR x 5 i " z 7mR y j
v C = 5 z 7mR x i " y j = 5 z 7mR OA """ δηλαδή η ταχύτητα v C έχει την κατεύθυνση του διανύσματος OA ". P.M. fysikos Ένας λεπτός δίσκος μάζας m και ακτίνας r κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί οριζοντίου εδάφους, ώστε το σημείο επαφής του με αυτό να διαγράφει περιφέρεια ακτίνας R. To επίπεδο του δίσκου είναι υπό κλίση φ<π/ ως προς το κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο επαφής. i Εάν v είναι το σταθερό μέτρο της ταχύτητας του κέντρου του δίσκου, να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και την επιτάχυνση του κέντρου του. ii Nα βρείτε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ δίσκου και εδάφους, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση του δίσκου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Θεωρούμε τρισορθογώνιο σύστημα xyz κύριων αξόνων αδράνειας του δίσ κου, ακλόνητα συνδεδεμένο με αυτόν, του οποίου η αρχή είναι το κέντρο C του δίσκου, o άξονας x είναι κάθετος στο επίπεδό του, ο άξονας y έχει τη διεύθυνση της ευθείας που συνδέει το C με το σημείο επαφής Α του δίσκου με το έδαφος και ο άξονας z έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας v του κέντρου του δίσκου σχ. 1. Σχήμα 1 H γωνιακή ταχύτητα του δίσκου στο σύστημα αναφοράς του εδάφους είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα της γωνιακής ταχύτητας s της οφειλόμενης στην
κύλιση του δίσκου, της οποίας το μέτρο είναι v/r και της γωνιακής ταχύτητας της οφειλόμενης στην κυκλική κίνηση του κέντρου μάζας του, με μέτρο v/r, δηλαδή ισχύει: = s " 1 Οι προβολές ωx, ωy, ωz της γωνιακής ταχύτητας στους άξονες Cx, Cy, Cz αντι στοίχως είναι: x = s " # x = v r " #$µ x = v r " v R #µ$ y = "# y = "#$ = " v και R $ = z όπου Ωx, Ωy οι προβολές στους άξονες Cx και Cy αντιστοίχως της γωνιακής ταχύ τητας. Άρα η γωνιακή ταχύτητα εκφραζόμενη με όρους του συστήματος xyz δίνεται από τη σχέση: = v r " v R #µ$ v i " R,-$. 1 j = v r " 1 R #µ$ 1 i " R,-$ 1 j / 4 όπου i, j, k τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x, y, z αντίστοιχα. Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου στο σύστημα αναφοράς του εδάφους είναι η χρονική παράγωγος της, που συνδέεται με την αντίστοιχη παράγωγο d /dt στο σύστημα xyz μέσω της σχέσεως: xyz = d " dt = # $ d " dt xyz " 4
διότι ο μεν δίσκος στρέφεται ως προς το ακίνητο έδαφoς με γωνιακή ταχύτητα το δε σύστημα xyz στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα. Όμως λόγω της προ κύπτει d /dt, οπότε η 4 γράφεται: xyz = i j k = " # $ = " v R #µ$ " v R $ v r " v R #µ$ v R $ = = v v v "µ#$# $# R Rr R "µ#$#, k = v R "#$ 1 r µ R, - k 5 H επιτάχυνση a C του κέντρου C του δίσκου υπολογίζεται από τη σχέση: a C = a A " r C/A # " v = " r j # " v k 6 στην οποία το μεν εξωτερικό γινόμενο " r C/A εκφράζει την επιτρόχιο επιτά χυνση του C το δε εξωτερικό γινόμενο " v εκφράζει την κεντρομόλο επιτάχυν σή του στο σύστημα αναφοράς του εδάφους, ενώ η επιτάχυνση του σημείου επαφής Α είναι μηδενική λόγω της κυλίσεως του δίσκου. Σε όρους του συστήματος xyz για τα δύο αυτά εξωτερικά γινόμενα έχουμε: " r j = v r Rr #$ k " j = v R #$ i 7 και
"v k = i j k v r # v R $µ # v R v =# v R i# v v r # v R $µ, -. j " v k = # v / R $ i # R r # µ, 1 -. j 4 8 Η 6 λόγω των 7 και 8 γράφεται: a C = v R "#$ i v - R "#$ i R r µ$ /,. j 1 a C = v $ R R r "µ# j 9 ii O δίσκος κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w και της δύναμης επαφής F από το οριζόντιο έδαφος, η οποία αναλύεται στην οριζόντια στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N που είναι κατακόρυφη σχ. 1. Σύμφωνα με το θεώ ρημα κίνησης του κέντρου μάζας, η T αποτελεί για το κέντρο μάζας κεντρομόλο δύναμη, ενώ η N εξουδετερώνει το βάρος του δίσκου, αφού το κέντρο μάζας κινεί ται σε οριζόντια τροχιά. Έτσι θα έχουμε τις σχέσεις: T = mv /ρ και Ν = mg 6 όπου ρ η ακτίνα της κυλκικής τροχιάς που διαγράφει το κέντρο C του δίσκου, ίση με R- rημφ. Για να εξασφαλίζεται η μη ολίσθηση του δίσκου, πρέπει ο συντελεστής στα τικής τριβής μs μεταξύ δίσκου και εδάφους να ικανοποιεί τη σχέση:
T µ s N 6 mv " µ s mg v R r"µ# $ µ s g µ s v R " r#µ$ με g µ = v s min R r"µ# g R > rµ" P.M. fysikos O κάδος μιας μπετονιέρας στρέφεται περί τον γεωμετρι κό του άξονα, ο οποίος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα S ως προς τη μπετονιέρα. Kάποια στιγμή η μπετονιέρα αρχίζει να κινείται σε οριζόντιο κυκλικό δρόμο ακτίνας R, με ταχύτητα σταθερού μέτρου v. Eάν η συνολική μάζα της μπετονιέρας είναι M και η επιτάχυνση της βαρύτητας g, να βρεθούν οι κατακόρυφες αντιδρά σεις στους τροχούς της μπετονιέρας. Nα δεχθείτε ότι η απόσταση των μπροστινών και πισινών τροχών από την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το κέντρο μάζας της μπετονιέ ρας είναι ίση με α, η ροπή αδράνειας του κάδου ως προς τον άξονα περισ τροφής του είναι I, οι δε ροπές αδράνειας ως προς τους δύο άλλους κύριους άξονες του κάδου που διέρχονται από το κέντρο μάζας του είναι Ι/. ΛYΣH: Θεωρούμε τρισορθογώνιο σύστημα Cxyz κύριων αξόνων αδράνειας του κάδου της μπετονιέρας με αρχή το κέντρο μάζας του C, με τον άξονα Οx να ταυτίζε ται με τον άξονα συμμετρίας του κάδου, τον άξονα Cy να βρίσκεται στο ίδιο κατακό Σχήμα 1α Σχήμα 1β ρυφο επίπεδο που περιέχει τον άξονα Cx, ενώ ο άξονας Cz είναι οριζόντιος σχ. 1α,
Εάν είναι η γωνιακή ταχύτητα του κάδου ως προς το ακίνητο έδαφος και η γωνιακή ταχύτητα της οριζόντιας περιστροφικής κίνησης του κέντρου μάζας C του κάδου, θα ισχύει η σχέση: = S " = S i "x i "y j "z k 1 όπου Ωx, Ωy, Ωz οι συνιστώσες της και i, j, k τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. Για τις τρείς αυτές συνιστώσες σύμφωνα με το σχήμα 1β έχουμε τις σχέσεις: x = "µ# = v R $, y = "#$ = v R µ, z = οπότε η 1 γράφεται: = S v R "#$ i v R,µ j Η στροφορμη L C του κάδου περί το C θεωρούμενη με όρους του περιστρεφόμε νου μη αδρανειακού συστήματος xyz δίνεται από τη σχέση: L C = I x x i Iy y j Iz z k = I S v R "#$ i I v R,µ j Στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του εδάφους η ολική ροπή C περί το κέντρο μάζας C, των δυνάμεων που δέχεται ο κάδος είναι ίση με τη χρονική παράγωγο της στροφορμής L C, δηλαδή ισχύει:
L C C = d dt = d " $ # dt L C xyz L C C = " # L C i j k C = v R "#$ I S v R "#$, - v R µ I v R µ = / Iv 1 R, - µ"#$. Iv R " v S R #$, -µ. / k C = Iv R "µ# / v R $# v S R $#, 1 -. 4 k= = Iv R "µ# $ v S R #, - k 4 H ροπή C είναι ουσιαστικά η ροπή περί το C όλων των δυνάμεων που δέχεται ο κάδος από το αμάξωμα της μπετονιέρας, σύμφωνα δε με το αξίωμα της ισότητας Σχήμα 14 μεταξύ δράσεως αντιδράσεως το αμάξωμα δέχεται από τον κάδο ροπή περί το C
ίση με " C η οποία εξουδετερώνει την αντίστοιχη συνολική ροπή των κατακόρυ φων αντιδράσεων A 1, A των μπροστινών και των πισινών τροχών αντιστοίχως του αμαξώματος, αφού αυτό δεν περιστρέφεται περί τον άξονα Cz. Mε βάση τα παραπάνω θα έχουμε: " C A 1 # k A # k = A " A 1 k = # C 4 Iv R "µ# $ v S R #, - =. A A 1 A 1 A = Iv R" #µ$ v S R $, -. 5 Εξάλλου το κέντρο μάζας της μπετονιέρας που το θεωρούμε κατά προσέγγιση και κέντρο μάζας του κάδου δεν έχει κατακόρυφη κίνηση, όποτε θα ισχύει: A 1 A - Mg = A 1 A = Mg 6 Aπό τη λύση του συστήματος των 5 καi 6 υπολογίζουμε τις κατακόρυφες αντιδράσεις A 1, A. P.M. fysikos Tο ένα άκρο O ομογενούς και λεπτής ράβδου OΑ, μή κους L και μάζας m, έχει αρθρωθεί σε κατακόρυφη άτρακτο που περιστρέ φεται περί κατακόρυφο άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα 15. Η ράβδος κρατείται υπό κλίση φ ως προς την κατα κόρυφη διεύθυνση με τη βοήθεια οριζόντιου αβαρούς νήματος ΒΓ, του οποίου το άκρο Γ είναι στερεωμένο στην άτρακτο. i Να βρείτε την τάση του νήματος.
ii Nα βρείτε τη δύναμη επαφής που δέχεται η ράβδος από την άτρακτο. iii Υπό ποια συνθήκη η δύναμη επαφής είναι κατακόρυφη; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL / της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στη ράβδο. ΛΥΣΗ: i Θεωρούμε τρισορθογώνιο σύστημα xyz κύριων αξόνων αδράνειας της ράβδου, ακλόνητα συνδεδεμένο με αυτή, του οποίου αρχή είναι το άκρο Ο της ράβδου, ο άξονας Οx συμπίπτει με τη ράβδο, ο άξονας Οy ανήκει στο επίπεδο που Σχήμα 15 καθορίζει η ράβδος και ο άξονας περιστροφής, ενώ ο άξονας Οz είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό σχ. 15. Οι προβολές ωx, ωy, ωz της γωνιακής ταχύτητας στους άξο νες αυτούς είναι: ωx =ωσυνφ, ωy =ωημφ, ωz = 1 οπότε η εκφραζόμενη με όρους του xyz δίνεται από τη σχέση:
= "#$ i µ j όπου i, j, k είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοίχως. Η στροφορμή L της ράβδου περί το O, εκφραζόμενη και αυτή με όρους του xyz δίνε ται από τη σχέση: L = x " x i y " y j z " z k = x "#$ i y "µ j όπου Ιx, Iy, Iz οι ροπές αδράνειας της ράβδου ως προς τους κύριους άξονές της Οx, Οy, Οz αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύει: Ιx =, Iy = Iz = ml / Έτσι η σχέση γράφεται: L = ml "µ# j 4 Η συνολική ροπή περί το O που δέχεται η ράβδος, θεωρούμενη στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του εδάφους, είναι σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της στροφι κής κίνησης ίση με τη χρονική παράγωγο της στροφορμής L, δηλαδή ισχύει: = d L /dt 5 Όμως η χρονική παράγωγος d L /dt και η αντίστοιχη παράγωγος d L/dt xyz στο στρεφόμενο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς xyz συνδέονται με τη σχέση:
d L dt = d L $ # " dt xyz L 6 Λόγω της 4 είναι d L/dt xyz =, οπότε ο συνδυασμός των 4, 5 και 6 δίνει: ml " = "#$ i "µ j µ, j. - = ml " #µ$$ i j = ml " #µ$$ k 7 Με την προυπόθεση ότι στην επαφή της ράβδου με την άτρακτο δεν δημιουργειται επί της ράβδου ροπή αλλά μόνο δύναμη, η θα συμπίπτει με τη συνολική ροπή περί το Ο των εξωτερικών δυνάμεων που δέχεται η ράβδος, δηλαδή θα είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των ροπών περί το Ο του βάρους w της ράβδου, της τά σεως T του νήματος και της δύναμης επαφής R από την άτρακτο. Έτσι θα έχουμε: = w T R = "mg L #µ$ k TL#µ$ k 8 mg L "µ# k TL"µ# k = ml $ "µ## k mg T = ml" #$ T = m L "#$ g 8 iii Eάν R x, R y είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντιστοίχως της δυναμης επαφής R σχ. 16, το θεώρημα κίνησης του κέντρου μάζας C της ράβδου επιτρέπει λόγω της ισοταχούς οριζόντιας κίνησής του να γράψουμε τις σχέσεις:
T R x = m" L#µ$ / R y mg = 8 m L "#$ g,r = m L x -µ R y = mg. / 1 R x R y L mg = m "#$ µ 6 = mg 9 Σχήμα 16 Για να είναι η δύναμη R κατακόρυφη πρέπει Rx= και λόγω της πρώτης εκ των 9 πρέπει: m L 6 mg "#$ µ = = g L 1 "µ# $ #, - 1 με ημφ- συνφ> ή εφφ> / 11
Οι σχεσεις 1 και 11 αποτελούν την προυπόθεση για να είναι η R κατακόρυφη. P.M. fysikos Tο ένα άκρο O ομογενούς και λεπτής ράβδου ΑΒ, μήκους L και μάζας m, έχει αρθρωθεί σε άτρακτο που περιστρέφεται περί κατακό ρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα 17. Εάν η γωνιακή εκτροπή φ της ράβδου από την κατακόρυφη διεύθυνση είναι σταθερή, να βρείτε: i τη στροφορμή L της ράβδου περι το άκρο της Ο και την κίνητική της ενέργεια Κ και να αποδείξετε τη σχέση: L " = K ii τη σχέση μεταξύ του μέτρου της και της γωνίας φ, ώστε η άτρακτος να ασκεί στο άκρο Ο της ράβδου μηδενική ροπή και να τη σχολιάσετε. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL / της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στη ράβδο. ΛΥΣΗ: i Θεωρούμε ένα στοιχειώδες τμήμα της ράβδου, μήκους dr σε απόσταση r από το άκρο της O. Το τμήμα αυτό εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση διαγράφοντας οριζόντια περιφέρεια, της οποίας το κέντρο βρίσκεται στον άξονα περιστροφής της ατράκτου, η δε ακτίνα της είναι ίση με rημφ σχ. 17. H στροφορμή dl περί το Ο, του θεωρούμενου τμήματος δίνεται από τη σχέση: d L = r dm v = dm r " r #$ 1
όπου dm η μάζα του τμήματος, v η ταχύτητά του και r το διάνυσμα θέσεώς του ως προς το Ο. Όμως ισχύει η διανυσματική ταυτότητα: " a # b c b a b $ = a c c σύμφωνα με την οποία θα έχουμε: " r #$ r = r r " r " r Σχήμα 17 και η 1 γράφεται: d L = dm r " r#$ " r = dm r r#$ r
Eάν i, j είναι τα μοναδιαία διανύσματα κατά τη διεύθυνση της ράβδου και κατά την κάθετη επί τη ράβδο διεύθυνση που ανήκει στο κατακόρυφο επίπεδο ΑOZ θα έχουμε: = " #$ i µ j και r= r i οπότε η παίρνει τη μορφή: d L = dm r "#$ i r "µ j r "#$ i = dmr "µ j Oλοκληρώνοντας την με όρια ολοκληρώσεως και L, παίρνουμε τη στροφορμή L της ράβδου περί το άκρο της Ο, δηλαδή θα έχουμε: L = "µ# L j $ dmr = "µ# L j $ µr dr = "µ# µl j 4 όπου μ η γραμμική πυκνότητα της ράβδου. Παρατηρούμε από την 4 ότι η στρο φορμή L έχει την κατεύθυνση του διανύσματος j που σημαίνει ότι η γωνία των διανυσμάτων L και είναι π/- φ. H κινητική ενέργεια dκ τoυ στοιχειώδους τμήματος μάζας dm είναι: d = dmv = µdr " # = µ " r $µ dr 5 Oλοκληρώνοντας την 5 παίρνουμε την κινητική ενέργεια Κ της ράβδου, oπότε θα έχουμε: = " #µ $ L µr dr = " #µ $ µl = ml 6 " #µ $ 6
Εξάλλου για το εσωτερικό γινόμενο L " έχουμε τη σχέση: L " = L"#$ / - 4 L " = ml "#µ$/ "#µ$ L " = ml " #µ $/ 6 L " = K 7 ii H ολική ροπή περί το Ο επί της ράβδου στο σύστημα αναφοράς του έδάφους είναι, σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, ίση με τη χρονική παράγωγο της στροφορμής, δηλαδή ισχύει η σχέση: = d L dt 4 d ml = dt "#µ$ j = ml "#µ$ d j dt 8 όπου εδώ η χρονική παράγωγος του μοναδιαίου διανύσματος j έχει νόημα, διότι το διάνυσμα αυτό στο σύστημα αναφοράς του εδάφους περιστρέφεται και ως εκ τούτου μεταβάλλεται χρονικά. Επειδή το μέτρο του j είναι σταθερό ισχύει: d j dt = " j " j = #$ i µ j, d j dt = "#$ i j = "#$ k 9 όπου το k είναι ένα μονοδιαίο διάνυσμα που μαζί με τα i και j αποτελούν ένα δεξιόστροφο καρτεσιανό σύστημα. Η 8 λόγω της 9 γράφεται: = ml "#µ$ "$ k = ml " #µ$$ k 1
Εάν η άτρακτος ασκεί μηδενική ροπή επί της ράβδου δηλαδή ασκεί επί της ράβδου μόνο δύναμη επαφής R τότε η ταυτίζεται με τη ροπή περί το Ο του βάρους w της ράβδου η αντίστοιχη ροπή της R είναι μηδενική, δηλαδή θα έχουμε: = w = r C " w # $ = L i " wi w j = = L i mg"#$ i mgµ j, - = "mg L #µ$ k 11 Συνδυάζοντας την 1 με την 11 παίρνουμε: ml " #µ$$ k = mg L #µ$ k µ" L# $" g, - = µ" = ή "#$ = g L 1 H δεύτερη από τις 1 έχει νόημα εφ όσον συνφ 1, οπότε προκύπτει η δεσμευ τική σχέση: g / L " 1 " g / L 1 Για = g /L είναι φ=, δηλαδή η ράβδος δεν ανυψώνεται, παραμένουσα κατα κόρυφη, ενώ για > g /L η ράβδος ανυψώνεται παρουσιάζοντας ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ, που υπολογίζεται από τη σχέση 1. Στη δεύτε ρη αυτή περίπτωση η άτρακτος στήριξης της ραβδου δεν εξασκεί ροπή στη ράβδο. ος τρόπος: Θεωρούμε τρισορθογώνιο σύστημα Οxyz κύριων αξόνων αδράνειας
της ράβδου, ακλόνητα συνδεδεμένο με αυτή, του οποίου ο άξονας Οx συμπίπτει με τη ράβδο, ο άξονας Οy ανήκει στο επίπεδο που καθορίζει η ράβδος και ο άξονας περισ τροφής, ενώ ο άξονας Οz είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό σχ.18. Οι προβολές ωx, ωy, ωz της γωνιακής ταχύτητας στους άξονες αυτούς είναι: ωx =- ωσυνφ, ωy =ωημφ, ωz = 14 Eάν i, j, k είναι τα μοναδιαία διανύσματα του συστήματος xyz, η γωνιακή ταχύ τητα εκφραζόμενη με όρους του συστήματος αυτού δίνεται από τη σχέση: = "#$ i µ j 15 Η στροφορμή L της ράβδου περί το O, εκφραζόμενη και αυτή με όρους του συστήματος xyz δίνεται από τη σχέση: : L = x " x i y " y j z " z k = # x "$ i y "µ j 16 όπου Ιx, Iy, Iz οι ροπές αδράνειας της ράβδου ως προς τους κύριους άξονές της Οx, Οy, Οz αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύει: Ιx =, Iy = Iz = ml / Έτσι η σχέση 9 παίρνει τη μορφή: L = ml "µ# j 17 Aπό την 4 προκύπτει ότι η στροφορμή δεν είναι συγγραμμική με τη γωνιακή
ταχύτητα, αλλά σχηματίζει με αυτή γωνία θ=π/- φ. Η συνολική ροπή περί το O,που δέχεται η ράβδος ικανοποιεί τη σχέση: = d L dt = d " L $ # dt xyz L 18 όπου d L /dt ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής θεωρούμενος σ ένα αδρανειακό Σχήμα 18 στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του εδάφους και d L/dt xyz ο αντίστοιχος ρυθ μός μεταβολής της στροφορμής θεωρούμενος στο στρεφόμενο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς xyz. Όμως σύμφωνα με τη σχέση 17 ο ρυθμός αυτός είναι μηδέν, οπότε η 18 γράφεται: = " # L ml # 15,18 =, "#$ i #µ j µ - j/.
= " ml # $µ i j = " ml # $µ k 19 Τέλος η κινητική ενέργεια Κ της ράβδου εκφραζόμενη με όρους του συστήματος xyz δίνεται από τη σχέση: K = x " x y " y " z z = ml "#$ 6 = ml " #$ Oi σχέσεις 17, 19 και είναι ακριβώς ίδιες του 1 ου τρόπου εργασίας, οπότε ίδια θα είναι και η συνέχεια. P.M. fysikos