HY118-Διακριτά Μαθηματικά Διάλεξη #07 Τρίτη, 09/03/2021 Το υλικό των διαφανειών έχει Αντώνης Α. Αργυρός βασιστεί σε e-mail: διαφάνειες argyros@csd.uoc.gr του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 09-Mar-21 1 1
Την προηγούμενη φορά Εκφραστική ικανότητα του κατηγορηματικού λογισμού Παραδείγματα ποσοτικοποιημένων εκφράσεων που μπορούν να αποδοθούν στον κατηγορηματικό λογισμό 09-Mar-21 2 2
Κι άλλα παραδείγματα Έστω μεταβλητές x, yμε π.ο.τους ακέραιους αριθμούς Στην παρακάτω πρόταση, ποιό είναι το νόημα του κατηγορήματος Α; x (Α(x) ( y (x=2y))) 09-Mar-21 3 3
Κι άλλα παραδείγματα x (Α(x) ( y x=2y)) Για κάθε ακέραιο x, o xέχει την ιδιότητα Ααν και μόνο αν είναι ο διπλάσιος κάποιου άλλου ακέραιου Οι ακέραιοι xπου έχουν την ιδιότητα Αείναι το διπλάσιο κάποιου άλλου ακέραιου... ΑΡΤΙΟΙ 09-Mar-21 4 4
Κι άλλα παραδείγματα Έστω μεταβλητές x, y, zμε π.ο.τους ακέραιους αριθμούς Στην παρακάτω πρόταση, ποιό είναι το νόημα του κατηγορήματος P; x ( ) P(x) ((x>1) ( yz ((x=yz) (y 1) (z 1)))) 09-Mar-21 5 5
Κι άλλα παραδείγματα x (P(x) ((x>1) ( yz ((x=yz) (y 1) (z 1))))) Ένας ακέραιος xέχει την ιδιότητα P, αν και μόνο ανείναι μεγαλύτερος από το1 και δεν αποτελεί γινόμενο κάποιων άλλων δύο ακεραίων,καθένας από τους οποίους είναι διαφορετικός της μονάδας.... ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 09-Mar-21 6 6
Η εικασίατου Goldbach (αναπόδειχτη) Χρησιμοποιώντας τα Α(x) και P(x) από τις προηγούμενες διαφάνειες, x( (x>2 Α(x)) ). p q (P(p) P(q) (p+q= x)) Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων. 09-Mar-21 7 7
Μπορεί η κατηγορηματική λογική να εκφράσει την πρόταση τα περισσότερααντικείμενα έχουν την ιδιότητα P ; Όχι! Μπορεί η κατηγορηματική λογική να εκφράσει το πολλάαντικείμενα έχουν την ιδιότητα P ; Όχι, επίσης 09-Mar-21 8 8
Συμπερασμός στον κατηγορηματικό Υποθέσεις: λογισμό, παράδειγμα 1. Οι άνθρωποι είναι θνητοί 2. Οι θεοί είναι αθάνατοι Θέλουμε να εξετάσουμε την αλήθεια της πρότασης: Κανείς άνθρωπος δεν είναι θεός 09-Mar-21 9 9
Παράδειγμα συμπερασμού Προτασιακές μορφές: 1. Η(x) = Οx είναι άνθρωπος 2. Μ(x) = Οx είναι θνητός 3. G(x) = Οx είναι θεός Το x είναι μεταβλητή που ορίζεται σε ένα σύνολο που περιλαμβάνει θεούς και ανθρώπους 09-Mar-21 10 10
Παράδειγμα συμπερασμού Υποθέσεις: οι άνθρωποι είναι θνητοί x(η(x) Μ(x)) οι θεοί είναι αθάνατοι x(g(x) M(x)) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: ( Κανείς άνθρωπος δεν είναι θεός. ) x (H(x) G(x)) 09-Mar-21 11 11
Απόδειξη με ισοδυναμίες Αρκεί να δείξουμε ότι η πρόταση (( x(h(x) M(x)) ( x(g(x) M(x)))) ( x(g(x) H(x))) είναι ταυτολογία. Πράγματι, (( x(h(x) M(x)) ( x(g(x) M(x)))) ( x(g(x) H(x))) (( x(g(x) M(x))) ( x(h(x) M(x))) ( x(g(x) H(x))) (( x(g(x) M(x))) ( x( M(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x( G(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x ( G(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) p p T ΟΕΔ 09-Mar-21 12 12
Μίαάλλη απόδειξη x (Η(x) M(x)) ( οι άνθρωποι είναι θνητοί ) και x (G(x) M(x)) ( οι θεοί είναι αθάνατοι ). Υποθέστεότι x (H(x) G(x)).Ας το ονομάσουμε a. Για αυτό το a,ισχύει ότι H(a) G(a).Τότε Από την πρώτη υπόθεση προκύπτει ότι: M(a). Από την δεύτερη υπόθεση ότι: M(a).Αντίφαση! Επομένως, δεν μπορεί να ισχύει η υπόθεσή μας ότι x (H(x) G(x)). Επομένως, προκύπτει ότι: x (H(x) G(x)) ( Δεν υπάρχει άνθρωπος που να είναι θεός. ) 09-Mar-21 13 13
Αποφασισιμότητα Είδαμε δύο τρόπους ελέγχουισοδυναμιών στον προτασιακό λογισμό: 1. Ελέγχοντας τους πίνακες αληθείας 2. Χρησιμοποιώντας νόμους ισοδυναμίας Είδαμε πως το(1) μπορεί να γίνει αλγοριθμικά. Λέμε ότι το να δείξουμε την ισοδυναμία προτάσεων στον προτασιακό λογισμό είναι ένα πρόβλημα αποφασίσιμο (decidable) 09-Mar-21 14 14
Αποφασισιμότητα Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναμιών στον προτασιακό λογισμό είναι πρόβλημα αποφασίσιμο: μπορούμε να αποφανθούμε για το κατά πόσον μία ισοδυναμία ισχύει ή όχι με αλγοριθμικό τρόπο (ανεξάρτητα αν αυτός μπορεί να απαιτεί πάρα πολύ χρόνο) Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναμιών στον κατηγορηματικό λογισμό είναι, γενικά, πρόβλημα μη αποφασίσιμο Επομένως, η απόδειξη θεωρημάτων παραμένει «τέχνη»(και για τους ανθρώπους και για τους υπολογιστές!) Ωστόσο, κάτω από προϋποθέσεις, προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού είναι αποφασίσιμες 09-Mar-21 15 15
09-Mar-21 16 16
PROLOG Μερικές γλώσσες προγραμματισμού βασίζονται ολοκληρωτικά στην κατηγορηματική λογική Η πιόγνωστή είναι ηprolog. Ένα πρόγραμμα στην Prolog είναι ένα σύνολο από προτάσεις ( δεδομένα/γεγονότα ) και( κανόνες ) της κατηγορηματικής λογικής. Η είσοδος στο πρόγραμμα είναι μία πρόταση/ερώτηση Θέλουμε να ξέρουμε αν αυτή είναι αληθής ή ψευδής Ο μεταγλωττιστής τηςprolog κάνει κάποιο αυτοματοποιημένο αφαιρετικό συμπερασμό για να αποφασίσει κατά πόσον το ερώτημα απαντάται σαν συμπέρασμα από τα δεδομένα 09-Mar-21 17 17
Δεδομένα στηνprolog Απλές, μη-σύνθετες προτάσεις προτασιακού λογισμού. π.χ., αρέσει(γιάννης,μαρία) Μικροί χαρακτήρες για σταθερές και κατηγορήματα, κεφαλαίοι για μεταβλητές. 09-Mar-21 18 18
Κανόνες στηνprolog Μίακαθολικά ποσοτικοποιημένη πρότασητης γενικής μορφής x y(p(x,y) Q(x)), όπου xκαι yείναι μεταβλητές, και P, Q κατηγορήματα. ΣτηνProlog: q(x) :- p(x,y). Παράδειγμα: αρεστός(x) :- αρέσει(χ,υ). 09-Mar-21 19 19
Σύζευξη -διάζευξη Η λογική σύζευξη κωδικοποιείται χρησιμοποιώντας όρους σε ένα κανόνα οι οποίοι χωρίζονται με κόμμα. Η λογική διάζευξη κωδικοποιείται με την ύπαρξη πολλών κανόνων. Π.χ., η x(((p(x) Q(x)) R(x)) S(x)) μπορεί να γραφεί στην Prolog ως: s(x) :- p(x),q(x) s(x) :- r(x) 09-Mar-21 20 20
Συμπερασμός στηνprolog Όταν δίνουμε μία ερώτηση στην Prolog, αυτή Ψάχνει για να καθορίσει αν η ερώτηση μπορεί να αποδειχτεί από τα διαθέσιμα δεδομένα. Αν ναι, επιστρέφει αληθές, αλλιώς ψευδές. Αν η ερώτηση περιλαμβάνει μεταβλητές, επιστρέφονται όλες οι τιμές που κάνουν την ερώτηση αληθή. 09-Mar-21 21 21
Παράδειγμα απλού προγράμματος στηνprolog Παράδειγμα προγράμματος: αρέσει(γιάννης,μαρία). αρέσει(μαρία,κώστας). αρέσει(γιάννης, γιάννης). αρεστός(x) :- αρέσει(χ,υ). Παράδειγμα ερώτησης:? αρεστός(z) επιστρέφει:... 09-Mar-21 22 22
Παράδειγμα απλού προγράμματος στηνprolog Παράδειγμα προγράμματος: αρέσει(γιάννης,μαρία). αρέσει(μαρία,κώστας). αρέσει(γιάννης, γιάννης). αρεστός(x) :- αρέσει(χ,υ). Παράδειγμα ερώτησης:? αρεστός(z) επιστρέφει:... μαρία γιάννης 09-Mar-21 23 23
PROLOG Η PROLOG έχει και άλλα κατασκευάσματα (π.χ. I/O), αλλά η λογική είναι ο «σκηρός πυρήνας» της. 09-Mar-21 24 24
09-Mar-21 25 25
Βασικές μέθοδοι απόδειξης
Αποδείξεις Στα μαθηματικά, μία απόδειξηείναιμία διαδικασία που καθορίζει με αυστηρό τρόπο την αλήθεια μίας πρότασης. 09-Mar-21 27
Ορολογία Αξίωμα: Μία πρόταση την οποία θεωρούμε αληθή χωρίς απόδειξη και η οποία εξυπηρετεί στο να ορίζει τις βασικές δομές με βάση τις οποίες προσπαθούμε να βγάλουμε περαιτέρω συμπεράσματα. Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων: Μορφές συλλογισμών που οδηγούν από υποθέσεις σε συμπεράσματα. Θεώρημα: Μία πρόταση η οποία έχει αποδειχτεί ότι είναι αληθής. 09-Mar-21 28
Oρολογία Λήμμα Ένα θεώρημα μικρής σημασίας που χρησιμοποιείται προκειμένου να αποδείξουμε ένα θεώρημα μεγαλύτερης σημασίας. Πόρισμα-Ένα θεώρημα μικρής σημασίας το οποίο αποδεικνύεται εύκολα ως συνέπεια της απόδειξης ενός σημαντικότερου θεωρήματος. Εικασία Μία πρόταση για την οποία πιστεύουμε πως είναι αληθής, αλλά η αλήθεια της οποίας δεν έχει αποδειχτεί. Θεωρία Το σύνολο όλων των θεωρημάτων τα οποία μπορούν να αποδειχτούν από ένα δοσμένο σύνολο αξιωμάτων. 09-Mar-21 29
Θα μελετήσουμε ορθούς (αλλά και εσφαλμένους!)κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων, καιαρκετές στρατηγικές απόδειξης. 09-Mar-21 30
Σημασία Η απόδειξη ενός θεωρήματος μας επιτρέπει να βασιστούμε στην ορθότητά του ακόμα και στις πιο κρίσιμες/ειδικές περιπτώσεις. Πέρα από τα μαθηματικά, η απόδειξη θεωρημάτων έχει επίσης εφαρμογές στην επαλήθευση προγραμμάτων (program verification), την ασφάλεια υπολογιστών, τα αυτοματοποιημένα συστήματα εξαγωγής συμπερασμάτων, κλπ. 09-Mar-21 31
Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων, γενική μορφή Ένας κανόνας εξαγωγής συμπερασμάτων είναι ένα πρότυποτο οποίο καθορίζει πως εάν ένα σύνολο από προϋποθέσεις αληθεύουν, τότε μπορούμε να συνάγουμε ότι ένα συμπέρασμαείναι αληθές. προϋπόθεση 1 προϋπόθεση 2 συμπέρασμα σημαίνει επομένως 09-Mar-21 32
Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων & «εάν τότε» Κάθε ορθόςκανόνας εξαγωγής συμπερασμάτων αντιστοιχεί σε μία πρόταση της μορφής «εάν τότε» η οποία αποτελεί ταυτολογία. προϋπόθεση 1 Κανόνας προϋπόθεση 2 Συμπέρασμα Αντίστοιχη ταυτολογία: ((προϋπ.1) (προϋπ.2) ) Συμπέρασμα 09-Mar-21 33
Μερικοίκανόνεςγια τον προτασιακό λογισμό p Κανόνας της πρόσθεσης p q p q p Κανόναςτης απλοποίησης p Κανόνας της σύζευξης q p q 09-Mar-21 34
Modus Ponens & Tollens p p q q q p q p Κανόνας modus ponens (κανόνας επιβεβαίωσης) Κανόνας modus tollens (κανόνας άρνησης) 09-Mar-21 35
«Συλλογισμοί» p q q r p r p q p q Κανόνας του υποθετικού συλλογισμού Κανόνας του διαζευκτικού συλλογισμού Αριστοτέλης (384-322 π.χ.) 09-Mar-21 36
Ορθότητα των κανόνων εξαγωγής συμπερασμάτων Για καθέναν από αυτούς τους κανόνες, μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε την ορθότητά τους... Παράδειγμα: Κανόνας του διαζευκτικού συλλογισμού: ((p q) p) q Το ότι η παραπάνω πρόταση αποτελεί ταυτολογία μπορεί πολύ εύκολα να αποδειχτεί υπολογίζοντας τον πίνακα αληθείας της. 09-Mar-21 37
Υπενθυμίζω Η πρόταση p q έχει το νόημα η p q είναι ταυτολογία Η πρόταση p q έχει το νόημα η p q είναι ταυτολογία 09-Mar-21 38
Τυπικές αποδείξεις Μία τυπική (formal)απόδειξη ενός συμπεράσματος C, δοσμένων προϋποθέσεων p 1, p 2,, p n αποτελείται από μία πεπερασμένη ακολουθία βημάτων, κάθε ένα από τα οποία εφαρμόζει κάποιο κανόνα εξαγωγής συμπερασμάτωνστις προϋποθέσειςή σε ήδη αποδεδειγμένες προτάσειςγια να εξάγει μία νέα αληθή πρόταση, μέχρι να καταλήξει στο συμπέρασμα C. 09-Mar-21 39
Ορθότητα και αλήθεια Λέμε ότι μία απόδειξη είναι ορθήαν ποτέ δεν οδηγεί από αληθείςυποθέσειςσε ψευδή συμπεράσματα. 09-Mar-21 40
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθήαπόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 41
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθήαπόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές 09-Mar-21 42
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 43
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές ή ψευδές 09-Mar-21 44
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 45
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές ή ψευδές 09-Mar-21 46
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 47
Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές ή ψευδές 09-Mar-21 48
Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Έστω οι εξής υποθέσεις: Δεν έχει ήλιο και κάνει κρύο. Αν κολυμπήσουμε τότε σημαίνει πως έχει ήλιο Αν δεν κολυμπήσουμε θα κάνουμε βαρκάδα. Αν κάνουμε βαρκάδα, θα γυρίσουμε σπίτι νωρίς. Δοσμένων αυτών των προϋποθέσεων αποδείξτε ότι Θα γυρίσουμε στο σπίτι νωρίς χρησιμοποιώντας κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων. 49
Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Δεν έχει ήλιο και κάνει κρύο Αν κολυμπήσουμε σημαίνει πως έχει ήλιο. Αν δεν κολυμπήσουμε θα κάνουμε βαρκάδα. Αν κάνουμε βαρκάδα, θα γυρίσουμε σπίτι νωρίς. Θα γυρίσουμε στο σπίτι νωρίς ήλιος= Έχει ήλιο ; κρύο= Κάνει κρύο ; κολύμπι= Θα κολυμπήσουμε ; βαρκάδα = Θα κάνουμε βαρκάδα ; νωρίς= Θα γυρίσουμε στο σπίτι νωρίς. 50
Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Οι προϋποθέσεις μπορούν να γραφούν ως εξής: (1) ήλιος κρύο (2) κολύμπι ήλιος (3) κολύμπι βαρκάδα (4) βαρκάδα νωρίς 51
Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Βήμα Απόδειξη από 1. ήλιος κρύο Προϋπ.#1. 2. ήλιος Απλοποίηση της1. 3. κολύμπι ήλιος Προϋπ.#2. 4. κολύμπι Modus Tollensστις2,3. 5. κολύμπι βαρκ. Προϋπ.#3. 6. βαρκάδα Modus Ponens στις 4,5. 7. βαρκάδα νωρίς Προϋπ.#4. 8. νωρίς Modus Ponens στις 6,7. 52