4. GaK - Cvičenia z predmetu Pravdepodobnosť a matematicka štatistika Súhrn



Σχετικά έγγραφα
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Το άτομο του Υδρογόνου

Metódy spracovania experimentálnych výsledkov Autor pôvodného textu: Peter Ballo

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Matematická štatistika

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

Κατανοµές-Λυµένα Παραδείγµατα. 2. Ποια είναι η πιθανότητα µεταξύ 12:00 και 12:10 να µπουν ακριβώς 4 πελάτες µεταξύ 12:02-12:03 και 12:05-12:06;

Λύση: Ισολογισµός ισχύος στο Λέβητα Καυσαερίων: (1)

1 lim. Analýza výstupných dát simulácie Odhad neznámej strednej hodnoty

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU

Regresná analýza x, x,..., x

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

1 Koeficient kovariancie

ΤΖΑΚΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΕΡΟΘΕΡΜΑ Φ , ,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,700 Φ 250 1,800 Φ 250 1,800 Υ: 1.75 B:0.59 Π: 0.

συνήθων µεθόδων καθαίρεσης. ΜΟΝΑ Α ΜΕΤΡΗΣΗΣ: κυβικό µέτρο (m3) πραγµατικού όγκου προ της καθαιρέσεως () ΠΟΣΟΤΗΤΑ: 5,00

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

VYHODNOCOVANIE CHYBY MERANIA

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

Pravdepodobnosť a štatistika

ΟΔΗΓΙΕΣ Η εξέταση έχει διάρκεια 60 λεπτά. Δεν επιτρέπεται να εγκαταλείψετε την αίθουσα εξέτασης πριν περάσει μισή ώρα από την ώρα έναρξης.

Pravdepodobnosť a štatistika

Πειραιάς:17/10/2012

3. prednáška. Komplexné čísla

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

ΑΡΧΕΣ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ (Θ) ΑΡΧΕΣ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ (Θ)

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών

Štatistika s Excelom 1. Jurečková Mária Molnárová Iveta. Štatistika s Excelom

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

Ekvačná a kvantifikačná logika

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

x j hodnota štatistického znaku x - aritmetický priemer ni absolútna početnosť m počet tried hšt ti ti kéh m počet tried hšt ti ti kéh

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α

1. písomná práca z matematiky Skupina A

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

KEΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΞΕΑ - ΒΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΟΝΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1)

TO O I IA TA XO EIA MÓËÌfiÓÈÔ applefi ÙÔ apple Ú ı ÚÔ

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Ε' ΕΣΑΚΕ, ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ, Ο.Α.ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ,

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΣ

W el = q k φ (2.1) W el = z k e 0 N A φn k = z k F φn k (2.2) dg p,t = µ k dn k δw (2.3)

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΡΜΠΟΥΤΙ ΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΕΡΓΟ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΙΚΟΥ ΤΟΙΧΙΟΥ ΝΕΚΡΟΤΑΦΕΙΩΝ ΤΚ ΚΟΡΜΙΣΤΑΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: 4 0.

15REQ

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

ZNAKY. Ordinálne znaky = možno usporiadať, ale nie je podstatná veľkosť rozdielu!

Ξ Ο Ο Α Α , , Ο Ο Α Α 1.621,20 ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3

1 o K E F A L A I O ΟΡΓΑΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΊΈΧΜϋΛ01ΐΚ.0 ΕΚ11ΑΙΔΕΥΤ1Κ0 ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

! # %& #( #) #! # +, # # #./00

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

( ) 3. Štatistika 1 Charakteristiky tvaru rozdelenia Indexy. Miery šikmosti a špicatosti. (1) Koeficient šikmosti. γ = x x n

ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ Εισαχθέντων

Ι Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ


ΟΡΟΙ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ_- 1 - από 32

ΑΙΩΝΑ. ΜΑΘΗΜΑ ΛΑΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ κ.μαρινα ΒΡΕΛΛΗ-ΖΑΧΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΑΛΑΤΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ 6084 ΕΞΑΜΗΝΟ Γ (3006 ~ 00Fj

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετάφραση: Δ.Ν. Μαρωνίτης

ΦΩΣ ΤΥΠΟ

=========================

ε vyjadruje pravdepodobnos, že ε x. Funkcia f(x) je tiež oznaená ako hustota

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Menovky na dvere, čísla, prívesky, kľúčenky

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

ΑΠΟΝΤΕΣ: (Αν και προσκλήθηκαν νόµιµα) Στεργίου Καψάλης ηµήτριος, Πρόεδρος. 1. Κοσµοπούλου Αναστασία, Μέλος. Αντιπρόεδρος

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. Από το πρακτικό της αριθ. 26/2013 τακτικής Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Φιλαδελφείας-Χαλκηδόνος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΡΑ ΙΕΝΕΡΓΕΙΑ

( ) ( ) ( ) Παγκόσμιο χωριό γνώσης. 13 ο ΜΑΘΗΜΑ Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: = g 2 g. Δύναμης α : Εκθετικής με βάση α

Για τις προτάσεις Α1 έως και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή επιλογή.

i 5 i 1 i 4 i 2 3 i 3

Μ Ε Λ Ε Τ Η. Προμήθεια υλικών και φυτοφαρμάκων για τη συντήρηση υφιστάμενων και δημιουργία νέων χώρων πρασίνου Δ.Ε. Γουβών

Νέα Στοιχεία Για την υλοποίηση της συγκεκριµένης διαχείρισης έχουν προστεθεί στην εφαρµογή τα παρακάτω πεδία.

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΛΑΦΡΑ ΛΑΣΠΩ ΗΣ ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΕΠΑΘΛΟ Ι ΙΟΚΤΗΤΗ 1 ος ος ος ος 200

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

ΤΕΧΝΙΚH EKΘΕΣΗ. Η σύναψη σύμβασης εκτέλεσης της προμήθειας θα γίνει σύμφωνα με τις διατάξεις:

Άσκηση 1. Το σχήµα δείχνει το διάγραµµα των ενεργειακών σταθµών του ατόµου υδρογόνου. Τα µήκη κύµατος λ 1

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΠΑΛΛΗΝΗΣ Ιθάκης 12, 15344, Γέρακας Τηλ.: ,Fax: Οικονομική Επιτροπή Αριθ.

ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ ΑΕΙ 2009 Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Κρήτης

ΠΡΟΜΕΤΡΗΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΔΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

Για φοροδιαφυγή άνω των

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΥΦΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΛΑΣΜΑ ΧΑΜΗΛΗΣ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ΑΣΕΠ : Πίνακας κατάταξης υποψηφίων ορισµένου χρόνου 1 από 23

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΑΔΑ: ΒΛΩΒΟΛΖΛ-79Κ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Σ.Δ.Ο. ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

Μ Ε Λ Ε Τ Η. Προμήθεια υλικών και φυτοφαρμάκων για τη συντήρηση υφιστάμενων και δημιουργία νέων χώρων πρασίνου Δ.Ε. Χερσονήσου

ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

0 irotmttm * eka.ia.gtxi Me ΤΗΝ ΠΡΟΝΟΙλ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΟΥ Μ V ΤI \ Η Ν Η C

Testy dobrej zhody. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)

Η ύπαρξη μεταπτυχιακού τίτλου σπουδών θα συνεκτιμηθεί.

Transcript:

. GaK - Cvčea z predmetu Pravdepodoboť a matematcka štattka Súhr Pravdepodobot. Na klade je ty druh vyrobku. Z celkoveho moztva ma 7% predpau hmotot a 8% predpay rozmer. Takto je zame, ze 6% z celkoveho moztva je uple bezchybych. Kolko percet preavuju kuy, ktore eplaju a jedo krterum, teda u uple zle? Ozacee: P(H) - pravdepodobot, ze vyrobok ma predpau hmotot P(H') = - P(H) pravdeopdobot, ze predpau hmotot ebude mat. P(R) - pravdep predpaho rozmeru, P(R') = - P(R) P(H R) vyrobok je bezchyby (prava hmotot a rozmer) P(H R) = P(H) + P(R) - P(H R) vyrobok ma apo jedu vlatot v poradku (H alebo R) P(H' R') vyrobok je uple chyby P H 7% P R 8% P HaR 6% P HaleboR P H + P R P HaR P HaleboR = 9 % Uple zle kuy preavuju doplok mozy tych, ktore maju apo jedu vlatot dobru, teda P(H' R') = - P(H R) = P HaleboR = %. Majme klobuk belym a cerym kralkm. Potupe vytaheme dvoch kralkov. Ak po prvom tahu vratme kralka apäť do klobuku, a) aka je pravdepodobot, ze kralk vytahuty v.tahu je cery? P(C ) a) aka je pravdepodobot C, ak kralk vytahuty v.tahu bol bely? P(C B ) Ak prveho vytahuteho echame voku, b) aka je pravdepodobot, ze kralk vytahuty v.tahu je cery? P(C ) b) aka je pravdepodobotc, ak kralk vytahuty v.tahu bol bely? P(C B ) Prklad a) je a ezavle udalot, v prklade b) u udalot uz zavle, pretoze druhy poku je ovplyvey prvym. V a) a b) a pytaju a epodmeeu pravdepodobot, aopak v a) a b) uz de o podmeeu pravdepodobot, a tak ozacee P(C B ) preavuje pravdepodobot atata C za podmeky atata B. a) P(C ) = 7 b) P(C ) = + ( ) 7 ( 7 ) =.57 a) P(C B ) = P(B C ) / P(B ) = P(B ).P(C ) / P(B ) = P(C ) = 7 Pozamka: Pr ezavlych pokuoch P(A B) = P(A) =.57 b) P(C B ) = P(B C ) / P(B ) = =.57. Vedee podku, kde 7% lud krade a rozhodlo zlodejov odhalt pomocou dektoru lž a alede tych, ktor tetom eprejdu, preputt. Detektor lž ma upeot 95%. Kolko percet zametacov bude preputeych? 7 ( 7 ) 7 =.667 Ozacee: P(Z) =.7 pravdepodobot, ze (ahode vybraty) zametaec je zlodej P(N) = - P(Z) =.9 --//-- je evy P(T N) =.95 pravdpodobot, ze evy prejde tetom P(T' N) = - P(T N) =.5 --//-- eprejde tetom P(T Z) = - P(T' Z) =.5 P(T) =? pravdepodobot, ze zametaec prejde tetom Podla vety o uplej pravdepodobot: P T P T.N P N + P T.Z P Z P T =.887 P Z.7 P N P Z P T.N.95 P T.Z.5. Do predaje elektroky u televzory dodavae ba troma frmam a to v pomere 5%, % a % celkoveho objemu dodavky. Poruchovot televzorov je v tom tom porad 7%, 5% a %. S akou pravdepodobotou bude ahode vybray televzor zly? Ak a aozaj podarlo vybrat poruchovy televzor, aka je pravdepodobot, ze bol doday prvou frmou?

Ozacee: P(F ) - pravdepodobot, ze TV je z -tej frmy P(Z F ) - pravdep., ze TV je zly za predpokladu, ze je z -tej frmy P(Z) =? pravdep., ze ahode vybraty TV je zly P(F Z) =? pravdep., ze TV je z -tej frmy, ak bolo ztee, ze je zly (Veta o uplej pravdepodobot:) P F. P Z.F.5.5.7 P Z P F P Z.F + P F P Z.F + P F P Z.F P Z =.5.. (Bayeova veta:) P F P Z.F P F.Z P P F.Z =.67 Z 5. Hadzeme 5 kockou. Upechom pr jedom hode je padute etky.aka je pravdepodobot, ze budeme upe? Prklad je typckou aplkacou Beroulho chemy: ktora vyjadruje pravdeopdobot, ze pr -krat opakovaom pokue budeme k-krat upe. P( k, )! k! ( k)! pk ( p) k P(, 5) =. p 6 Nahoda premea 6. Baketbalta ma upeot zaahu 7%. Najdte rozdelee pravdepodobot ahodej premeej, ktorou je pocet upeych zaahov pr 5 aobom opakova pokuu. Dajme hodoty, ktore ahoda premea moze adobudat, do vektora X: p 7% 5.. X X T = ( 5 6 7 8 9 5 ) + Jej rozdelee pravdepodobot moze byt dae tabulkou pravdepodobotí, alebo predpom. Kedze zo zadaa X je zrejme, ze bude mat bomcke rozdelee pravdepodobot, jej pravdepodobota fukca je daa vztahom: P comb(, ) p ( p) alteratve: P dbom(,, p) + + Dtrbuca fukca bude fukca kumulatvych pravdepodobot, teda F P alteratve: F pbom(,, p) + j+ + j = Nameto tabulky vykrelme graf pravdepodobotej aj dtrbucej fukce Streda hodota: E X P X E X =.5 Dperza P...5 F.5.8 P D X X E X D X =.5 6 9 5 X 6 9 5 X S akou pravdepodobotou a baketbalta traf apo krat? P(X > ) = - P(X ) = F =.7 Kolko krat a mu traft, aby doahol 8% upeot? Ztujeme 8% kvatl: qbom(.8,, p) =. To te a da odctat aj a grafe dtrbucej fukce Nech pr tom tom baketbaltov je ahoda premea (Y)daa uctom bodov, ktore zka poca 5 hodov, ak za kôš zka a za mute koša trat 5bodov. Najdte jej tredu hodotu: E(Y).

Y X 5( X) alteratve: Y 5( ) + kedze pravdepodobot budu rovake ako pre prlue X, potom E Y P Y E Y = 8.5 7. Nahoda premea X preavuje pocet pokazeych kuov v er ovovyrobeych televzorov. Veme, ze kazovot prevadzky je 8 kuov a vyrobkov, takto veme, ze X ma Pooovo rozdelee pravdepodobot. Aka je pravdepodobot, ze v pomeutej er a vykytu ajvac poruchove televzory? pravdepodobota fukca Pooovho rozdelea: P( ) 8 p λ p λ! e λ alteratve P( ) dpo, λ P(X ) = P(X=) + P(X=) + P(X=) + P(X=) P + P + P + P =.6 alebo pomocou dtrbucej fukce: ppo(, λ) =.6 8. Fukca hutoty pravdepodobot f() pojtej ahodej premeej X adobuda hodoty (-) pre <,+π/>, mmo tohto tervalu je ulova. a) Overte, c f() pla podmeku pre fukcu hutoty, b) ajdte dtrbucu fukcu F() a obe fukce vykrelte, c) vypoctajte tredu hodotu, dperzu a 95% kvatl ahodej premeej X d) ztte pravdepodobot P( X <.) f ( ) otherwe f + π Reee a) b) ( ) d co( ) alteratve: f( t) = co( ) F f( t) F f < co( ) otherwe f + π c) treda hodota E X t f( t) dperza D X E X =.785 D X =.7 f t t E X 95% kvatl: odhadom z grafu bude kde okolo X =, preto zadame pocatocu podmeku: q potom a kvatl q bude reem rovce F(q) =.95 : q root( F( q).95, q) q =.5 E X q.95 f.5 F.5 d) P( X <.) = F(.) F =.

9. Spojta ahoda premea je daa vojou dtrbucou fukcou: a) Vypoctajte kotatu A, b) f(), E X, D X, 8% kvatl a P( X<.5) c) graf F(), f() F f <.5 A + π f.5 f >.5.5 a) aby F() bola dtrbuca fukca, mu "zacat" a ule a "koct" a jedcke, v aom prpade F(-.5) = a F(.5) = F F A a tak kedze =.5 A, potom A = / b) d d + π (v fukcu F() mume zovu zadefovat) 9 co π π F f <.5 + π f.5 f >.5.5 f 9 co π π f.5.5 alteratve f otherwe d d F E X t f( t) E X =.8 D X ( t E X ) f( t) D X =. q q root( F( q).8, q) q =.9 F(.5) F =. E X q.8 f.5 F.5. Poca 5-tch tyzdov bola ledovaa vyroba paelov. Pocty ekvaltych paelov v jedotlvych tyzdoch u uvedee v tabulke. a) Vypoctajte artmetcky premer, modu, meda, rozptyl, merodaju odchylku, varacy koefcet a varacy rozah. b) Zotavte tabulku abolutej pocetot (frekveca tab.) a zobrazte ju (htogram). pael 5 6 8 Reee a) artmetcky premer a mea( pael) a =.7 ajmeej zlych paelov: ajvac ch bolo: m( pael) = 8 ma( pael) = 8 varacy rozah: ma( pael) m( pael) =

pocet vetkych mera legth( pael) = 5 meda merodaja odchylka (tadard devato) varacy koefcet meda( pael) = tdev( pael) =.7 v v =.88 a Poz.: "tredy" obahuju avye jedu hodotu (9), pretoze fukca "ht" vyzaduje tervalovu povahu argumetu "tredy". odhad merodajej odch.: =.97 modu urcme z tabulky abolutych pocetotí, ako hodotu tattckeho zaku "pael" ajvyou pocetotou tdev( pael) b) pocet tred tattckeho zaku: t ma( pael) m( pael) + t =.. t + krok medz tredam: kt tredy: tredy 8 + kt ( ) tredy T = ( 8 9 5 6 7 8 9 ) abolute pocetot: p ht( tredy, pael) p T = ( 6 8 9 6 5 ) g kt dorm(, a, ) htogram abolutych pocetot: tu je jae rozozat modu = Ak by me chcel emprcke rozdelee tattckeho zaku vzuale porovat teoretckym rozdelem pravdepodobot ahodej premeej, ktorou by bol pocet chybych paelov za tyzde, potom prelozme htogramom gauovu krvku odhadutym parametram a ormovau a rozmer abolutych pocetot (to je ta fukca g() defovaa ad grafom) p g 5 7 8 9 5 6 7 8 9 tredy,. Majme zovu prpad ekvaltych paelov. Tetokrat je vak je ameto povodej (eroztredeej) tabulky "pael" daa tabulka tredych pocetotí "p". Vypoctajte artmetcky premer, dperzu a meda. T 8 9 5 6 7 8 Tab tredy zak: Tab 6 8 9 6 5 treda pocetot: p Tab Reee artmetcky premer: p a a =.7 celkovy pocet (pocet mera): p dperza kumulatve pocetot ( a) p = 5.6.. legth( p) kp p kp T = ( 5 9 5 8 7 9 5 ) j j =

Meda m e je defovay ako protreda hodota tattckeho zaku, ak u hodoty zaku uporadae podla velkot, teda: - ak = m+, tak m e = m+ - ak = m, tak m e = ( m + m+ ) / Pomocka: Z htogramu kumulatvych pocetot ho ztme ako hodotu a o, ktorej tlpec ako prvy doahe urove m rep. (m+)/ Takze meda m e =. Nahoda premea X, ktorou je % chybych tehel ma ormale rozdelee pravdepodobot o tredou hodotou µ = 9 a dperzou = 9, teda X ~ N(9,9). a) Vypoctajte pravdepodobot toho, ze v dodavke tehel vac ako 5% a meej ako 5% chybych tehel. b) Za ake ajze perceto chybych tehel a mozme zaruct pravdepodobotou.95? kp 6 htogram kumulatvych pocetotí 8 9 5 6 7 8 5+ 6 µ 9 9 Reee Ulohu tohto typu mozo ret za pomoc vtavaych fukc mathcadu rovako ako pouztm tabulek.ukazeme obdva pooby. a) P( 5 < X < 5) = P 5 µ < Z < 5 µ = P 5 9 < Z < 5 9 = φ φ, kde Z = X µ je ahoda premea ormovaym ormalym rozdelem pravdepodobot, teda Z ~ N(,), φ je dtrbuca fukca ormovaeho ormaleho rozdelea, jej hodoty u zotavee do tabulek, ktore mozo ajt v mohych publkacach o matematckej tattke (teda v krptach). V Mathcade mozo dtrbucu fukcu ormaleho rozdelea ajt pod ozacem "porm" a plat φ() = porm(,, ). A tak mozme ulohu vyratat bez tabulek: P( 5 < X < 5) = P < Z < = porm(,, ) porm,, =.886, alebo jedoduche P( 5 < X < 5) = porm( 5, µ, ) porm( 5, µ, ) =.886. b) Reme rovcu P( X < q) =.95, kde q azyvame 95% kvatlom rozdelea pravdepodobot. Ak emame mozot vypoctat dtrbucu fukcu eormovaeho ormaleho rozdelea (apr. pomocou mathcadu), mume opat prejt z N(µ, ) a N(,), ktorej hodoty dtrbucej fukce u tabelovae, teda X µ q µ P( X < q) = P < < = φ q µ =.95, a v tabulke ajdeme hodotu argumetu pr hodote fukce φ()=.95. Bude to pree hodota.65. Jej a ma rovat vyraz q µ, teda z toho ztme, ze q =.65 + µ =.95. To te pomocou Mathcadu: alebo ete jedoduche: q qorm(.95,, ) + µ q qorm.95, µ, q =.95 q =.95. Nech X ~ N(,). a) Vypoctajte pravdepodobot toho, ze artmetcky premer realzac ahodej premeej X pade do tervalu (.8,.) v prpade, ze me urobl mera. b) Kolko mera mume vykoat, aby artmetcky premer padol do tohoto tervalu pravdepodobotou.95? Reee Artmetcky premer A je ahoda premea, A = X, ktorej rozdelee pravdepodobot je N µ, predpokladu ze X ma rozdelee N ( µ, ). µ za

b).95 = P.8 A. φ(. ) = φ. = φ. -, reme teda rovcu φ. q qorm.95 +,,, q =.96.Zarove q =. a z toho ( q), teda = 8.. a) P(.8 < A <.) = P.8 alebo P(.8 < A <.) = porm., µ, =.95 /. V tabulkach c Mathcade mozo ajt.975 kvatl N(,) rozdelea: A. porm.8, µ, =.68 = φ - φ( ) = porm(,, ) porm(,, ) =.68 Alteratve reee vyuzva fukcu "root", ktora umercky vypocta kore rovce v tvare f(z)=, ak je daa pocatoca (prblza) hodota ezamej "z". Naa ezama ech je. 5 Poz.: Cm preeje zadame pocatocu podmeku, tym preej vyledok dotaeme. root porm., µ, porm.8, µ,.95, = 87.58 : Mume urobt apo 85 mera aby a am artmetcky premer pravdepodobotou 95% zmetl do tervalu (.8,.). Itervaly poľahlvot, tetovae hypotez. Preverovala a zdatot tudetov v koku do vyky. Vyledky u v tabulke pocetot. a) Urobte bodovy odhad tredej hodoty a dperze b) Nech ma ahoda premea X (doahuta vyka koku) rozdelee N(µ, ), potom ajdte 95% obojtray aj lavotray terval polahlvot pre µ, b) pr zamom rozptyle = b) pr ezamom, a urcte hed aj 95% obojtray terval polahlvot pre varacu Reee a) bodovy odhad tredej hodoty: α 95% a p M a = 5.6 p M p = 5 M 5 6 7 8 9 5 7 6 bodovy odhad dperze: ( a) p = 88.6 bodovy odhad merod. odchylky: = 9.7 b) obojtray terval: a µ.95 = - α = P(DO < µ < HO) = P k α < < k α, kde k α je krtcka hodota N(,) rozdelea a hlade α vyzamot α. Vypoctame ju ako k α qorm,, alebo ajdeme v tabulkach pod ozacem u, -α/ kazdopade je to (-α/)% kvatl a pre α =.5 a rova k α =.96. Potom z erovc k α < a µ < k α dotaeme, ze dola hraca: DO a k α hora hraca: HO a + k α

DO = 5.5 HO = 55.5 lavotray terval: a µ.95 = - α = P(DL < µ < ) = P k α < < gauovej krvky., rozdel je v tom, ze teraz a cele α preue pod lavy chvot α k α qorm,, dola hraca: DL a k α DL = 5. b) obojtray terval a µ.95 = - α = P(DO < µ < HO) = P t α < < t α, kde t α je krtcka hodota Studetovho t-rozdelea a hlade dola hraca: DO a t α α vyzamot α. Vypoctame ju ako kvatl t-rozdelea, t α qt,, alebo ajdeme v tabulkach ako t. -,α Vmme, ze parametram t-rozdelea e je treda hodota a rozptyl, ale tzv. tupe volot, v aom prpade -. Pre α =.5 bude t α =. a z erovc t α < a µ < t α dotaeme hora hraca: HO a + t α lavotray terval: α t α qt, DO = 9. dola hraca: DL a t α HO = 6. DL = 9.9 Poz.: Nameto merodajej odchylky me pouzl jej bodovy odhad. Itervalovy odhad dperze. Ak X ~ N(µ, ), potom plat = P χ P D < < H ( ) ~ χ (-). Hladame take D a H, aby platlo P D < < H < < χ = P > χ ( ) > χ = - α. Po uprave = P ( ) ( ) > >, kde χ a χ u χ χ krtcke hodoty χ (-) rozdelea. V tabulkach ch ajdeme ako kvatly χ -,-α/ a χ (v tomto porad), a -,α/ vmathcade a vypoctaju aledove χ qchq α, χ =.555 α χ qchq, χ = 7.

Pozor, kvatly v tabulkach u zacee opace ako v Mathcade, teda apr. χ -,-α/ = qchq(α/,-). Vylede hrace tervalu polahlvot pre dperzu budu D ( ) χ D = 7.67 5. V mete LM je zama fabrka a vyrobu alkoholu. V ahodom vybere 5domacot tohto meta a ledovala potreba alkoholckych apojov v prebehu roka. Z ahodeho vyberu a vypoctal artmetcky premer a 8.9ltrov a merodaja odchylka 8.5ltrov. Celotata premera roca potreba alkoholu a jedu domacot je µ 7.8ltrov. Na hlade vyzamot α 5% tetujte hypotezu, ze prtomot fabrky ema vplyv a vy alkoholzmu obyvatelov meta a teda potreba v mete a el od celotateho premeru. Reee Nulova hypoteza H : a = µ Alteratva hypoteza H : a > µ (alteratva je jedotraa!) Potup reea takejto ulohy je podoby ako pr urcova tervalu polahlvot, zmela a ba "flozofa" zadaa ulohy. Mume vypoctat tetovacu tattku, ozacme ju TS, a ztt c pade do tervalu ohraceeho (v aom prpade jedou) krtckou hodotou KH, teda TS < KH. Ak e, teda ak TS KH, potom ulovu hypotezu H zametame. Tetovacou tattkou je ormovay artmetcky premer (porovaj prkladom /b pravotray terval polahlvot pre tredu hodotu): a µ TS TS =.89 α Krtckou hodotou je t -,α (kvatl t-rozdelea), v Mathcade a vyrata: KH qt, KH =.68 : Kedze TS =.89 > KH =.68, zametame hypotezu o rovot tredych hodot, teda prtomot fabrky pravdepodobe zvyuje potrebu alkoholu v mete. H ( ) χ H = 6.56 6. Ztovala a hmotot porobetoovych tvarc. Vyledky (v kg) u uvedee v tabulke. Hodota 5.98 vzbudla podozree, ze de o hrubu chybu meraa. Ztte a) Grubbovym T-tetom, b) Doovym Q-tetom a hlade vyzamot α., c hodotu treba zo uboru vyluct. merae hodoty: Reee -pocet mera: legth( X' ) -artmetcky premer: a mea( X' ) -merodaja odchylka: Uporadajme vektor X vzotupe, teda od ajmeeho po ajvac prvok: X = ort( X' ) X' ( 5.8 5.8 5.85 5.88 5.8 5.8 5.98 5.78 5.8 5.8 5.86 5.8 ) T a = 5.8 a) V prpade ajvacej hodoty X za tetovacu tattku bereme X T = ( 5.78 5.8 5.8 5.8 5.8 5.8 5.8 5.8 5.85 5.86 5.88 5.98 ) X a T T =.75 =.5 tdev ( X' ) a porovavame krtckou hodotou, ktoru mozo ajt ba v tabulke pre Grubbov tet: T,α =.55. b) Pr Doovom tete emume pozat a a, jeho la je vak mea. Tetovacu tattku Q =.5 porovavame tabelovaou krtckou hodotou Q,α =.8 (opat ba v tabulkach) Q X X X X : V oboch tetoch vyla tetovaca tattka vaca ako krtcka hodota, preto hodotu X = 5.98 vylucme. Pouzta lteratura: [] Bučko, M.: Pravdepodobot a matematcka tattka. VTaEL Bratlava 99. [] Dalloová, A., Mear, R.: Pravdepodobot a matematcka tattka. Navody a cvcea. STU Bratlava 98. [] Zvára, K., Štěpá, J.: Pravdepodobot a matematcka tattka. VEDA Bratlava.