ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου. Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Τεύχος Β Συγγραφή: Αθανασίου Ανδρέας Αντωνιάδης Μάριος Γιασουμής Νικόλας Έλληνα Αγγέλα Ματθαίου Κυριάκος Μουσουλίδου Μαριλένα Παπαγιάννης Κωνσταντίνος Τιμοθέου Σάββας Φιλίππου Ανδρέας Συντονιστής: Χρίστου Κωνσταντίνος, Καθηγητής Πανεπιστημίου Κύπρου Εποπτεία: Θεοφίλου Στέλιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Κωστή Αντώνιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παντελή Παντελής, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παπαγιάννη Όλγα, Επιθεωρήτρια Μέσης Εκπαίδευσης Γλωσσική επιμέλεια: Χριστόφια Παλάτου Μαριάννα Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2012 Εκτύπωση: Lithoweb Ltd ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ISBN: 978-9963-0-4653-9 Στο εξώφυλλο χρησιμοποιήθηκε ανακυκλωμένο χαρτί σε ποσοστό τουλάχιστον 50%, προερχόμενο από διαχείριση απορριμμάτων χαρτιού. Το υπόλοιπο ποσοστό προέρχεται από υπεύθυνη διαχείριση δασών.

Πρόλογος Με ιδιαίτερη χαρά προλογίζω το δεύτερο τεύχος των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου. Τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα Μαθηματικών βρίσκονται στον τρίτο χρόνο εφαρμογής τους και κατά την τρέχουσα σχολική χρονιά επεκτάθηκαν και καλύπτουν από την Α μέχρι και τη Γ Γυμνασίου. Όλες οι εκδόσεις των τελευταίων δύο χρόνων, για τα Μαθηματικά Α, Β και Γ Γυμνασίου είναι δοκιμαστικές και βρίσκονται υπό συνεχή αξιολόγηση, διαμόρφωση και βελτίωση στη βάση ανατροφοδότησης και γενικά παρατηρήσεων που προέρχονται και από τη βάση, τους μάχιμους καθηγητές των Μαθηματικών. Όλο το υλικό που παράγεται για το μάθημα των Μαθηματικών, όπως και το παρόν δεύτερο τεύχος των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου, αποσκοπεί στη βοήθεια τόσο των μαθητών όσο και των καθηγητών, στην πορεία τους μέσα από τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα, με στόχο το καλύτερο αποτέλεσμα. Είναι εμποτισμένο με τη φιλοσοφία των Νέων Αναλυτικών Προγραμμάτων και προσηλωμένο στην προαγωγή και ανάδειξη των βασικών δεξιοτήτων των μαθητών μας, το οποίο αποτελεί πρώτιστο μέλημά μας. Η προσπάθεια συνεχίζεται και οι προοπτικές είναι λαμπρές. Ευχαριστώ θερμά όλους τους συντελεστές της παρούσας έκδοσης. Δρ Ζήνα Πουλλή Διευθύντρια Μέσης Εκπαίδευσης

ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ 3 24 Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους Συντελεστής Διεύθυνσης (Κλίση) Ευθείας Συνθήκη Παραλληλίας Καθετότητας δύο ευθειών ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 27 40 Εξισώσεις Δευτέρου και Ανωτέρου βαθμού Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 43 666 Συναρτήσεις Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ς Είδη Συναρτήσεων

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Ευθεία Γραμμικά Συστήματα Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους Διερεύνηση Ένας επιχειρηματίας χρειάζεται να ενοικιάσει μια αποτάθηκε σε δύο εταιρείες, για να πάρει προσφορές. εξειδικευμένη συσκευή και Εταιρείαα Α Ζητά πάγιο ποσό 600 την εβδομάδα και επιπλέον 20 γιαα κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Με βάση τις πιο πάνω πληροφορίες να συμπληρώσ σετε τον πίνακα: ώρες χρήσης () εβδομαδιαίο κόστος () 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Εταιρείαα Β Ζητά πάγιο ποσό 500 την εβδομάδα και επιπλέον 40 γιαα κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Με βάση τις πιο πάνω πληροφορίες να συμπληρώσ σετε τον πίνακα: ώρες χρήσης () εβδομαδιαίο κόστος () 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Η πιο κάτω γραφική παράσταση παρουσιάζει το εβδομαδιαίο κόστος χρήσης της συσκευής σύμφωνα με τις προσφορές και από τις δύο εταιρείες. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση ή τους πιο πάνωω πίνακες, να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν: ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 3

(α) Αν ο επιχειρηματίας χρησιμοποιεί τη συσκευή 2 ώρες την εβδομάδα πόσα θα πληρώνει την εταιρείαα και πόσαα την εταιρεία ; (β) Αν ο επιχειρηματίας χρησιμοποιεί τη συσκευή 9 ώρες την εβδομάδα, πόσα θα πληρώνει την εταιρείαα και πόσαα την εταιρεία ; (γ) Πόσες ώρες την εβδομάδα πρέπει να χρησιμοποιεί τηη συσκευή ώστε το κόστος να είναι το ίδιο, σύμφωνα με τις προσφορές των δυο εταιρειών; Πόσο θα είναι το κόστος στην περίπτωση αυτή; Μαθαίνω Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους, (π.χ. 20 600 και 40 500) και βρίσκουμε το ζεύγος των αριθμών, πουυ είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότεε λέμε ότι επιλύουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους,. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και ονομάζεται κάθε ζεύγος τιμών, που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του. π.χ. Η λύση του γραμμικού συστήματος 20 600 40 500 είναι ε το ζεύγος 5, 700 γιατί και οι δύο εξισώσεις του συστήματος επαληθεύονται, αφού α 7000 20 5 600 και 7000 40 5 500. Για τη γραφική λύση ενός γραμμικούύ συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα γραμμικές εξισώσεις. αξόνων τις ευθείες που αντιστοιχούν στις δύο (α) Εάν οι ευθείες τέμνονται τότε προσδιορίζουμε τιςς συντεταγμένες του τομής τους,. Το ζεύγος, είναι η λύση τουυ συστήματος. σημείου (β) Εάν οι ευθείες είναι παράλληλες (δεν τέμνονται) τότε το σύστημα είναι αδύνατο (το σύστημα δεν έχει λύση). (γ) Εάν οι ευθείες ταυτίζονταιτ ι τότε όλα τα σημεία τους είναι κοινά και οι συντεταγμένες των σημείων είναι λύσεις του συστήματος. Το σύστημα δηλαδή, έχει άπειρες λύσεις. 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

π.χ. 2 3 Για το σύστημα: 9 κατασκευάζουμε τις ευθείες : 23 : 9. και Ακολούθως βρίσκουμε το σημείο τομής τους που είναι το 2, 7. Η λύση του συστήματος είναι η 2, 7. Για την αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. π.χ. Για να λύσουμε το σύστημα 2 1 7, ερ ργαζόμαστε ως εξής: Βήματα Λύνουμε τη μια από τις τ δύο εξισώσεις Λύνουμε την 2 1 ως προς του συστήματος ως προς τον έναα και έχουμε την τ 2 1. άγνωστο. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση Αντικαθιστο ούμε το 2 1 στη θέση του συστήματος και λύνουμε τηνν του στην εξίσωση ε 7 καιι εξίσωση που προκύπτει. έχουμε: 2 1 7 217 31 7 371 3 6 2 Την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε Αντικαθιστο ούμε το 2 στην την αντικαθιστούμε σε μια από τις δύο εξίσωση 2 1 και έχουμε: αρχικές ή σε μια ισοδύναμή τουςς και 2 2 1 βρίσκουμε την τιμή του άλλου 55 αγνώστου. Η λύση του συστήματος είναι το Άρα η λύση του συστήματος είναι ζεύγος, που βρήκαμε. 2 και 5 δηλαδή το ζεύγος, 2, 5. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 5

Παραδείγματα 1. Δίνονται οι εξισώσεις : 1 και : 3. (α) Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμών είναι λύσεις της εξίσωσης ε και ποια είναι λύσεις της εξίσωσης ; A) 0, 1 B) 1, 2 Γ) 2, 1 Δ) 1, 4 (β) Ποιο ζεύγος είναι λύση του συστήματος των εξισώσεωνν και ; Λύση: (α) Τα ζεύγη Α και Β είναι λύσεις της, γιατί την επαληθεύουν, δηλ. 101 και 211. Τα ζεύγη Β, Γ και Δ είναι λύσειςς της, γιατί την επαληθεύουν,, δηλ. 21 3, 123 και 41 3. (β) Το ζεύγος Β είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων και, γιατί επαληθεύει και τις δύο.. 2. Ο Χριστόφορος και ο Άρης έχουν μαζί 30. Αν ο Χριστόφορος έχει ταα διπλάσια χρήματα από τον Άρη, να βρείτε πόσα χρήματα έχει ο καθένας; Λύση: Συμβολίζουμε με τα χρήματα που έχει ο Χριστόφορος και τα χρήματα που έχει ο Άρης. Τότε: 30 και 2 Επειδή η δεύτερη εξίσωση είναι λυμένη ως προς, αντικαθιστούμε το 2 στη θέση του στην εξίσωση 30 και έχουμε: 2 30 330 10 Αντικαθιστούμε το 10 στην εξίσωση 2 και έχουμε: 2 10 20 Άρα, ο Χριστόφορος έχει 20 και ο Άρης 10. 6 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

3. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) 2 3 3 3 6 (β) 3 2 5 39 Λύση: Εκτός από τη μέθοδο της αντικατάστασης για την επίλυση των πιο μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: πάνω συστημάτων (α) 2x 3y 3 + x 3y 6 3 9 3 Παρατηρούμεε ότι οι συντελεστές του στις δύο εξισώσειςς του συστήματος είναι αντίθετοι. Άραα προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, προκύπτειι μια νέα εξίσωση με άγνωστο μόνοο το. Έτσι βρίσκουμε εύκολα την τιμή του. (*) Αντικαθιστούμε το 3στην εξίσωση 36 και έχουμε: 3 3 6 3 3 1 Άρα, η λύση του συστήματος είναι 3 και 1 δηλαδή το ζεύγοςς, 3,1. (β) 3x 2y 5 1 3x 2y 5 x3y 9 3 3x 9y 277 + 11 22 22 Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση επί 1 ( δηλ. παραμένει ως έχει) και τη δεύτερη επί 3, για να προκύψει ισοδύναμο σύστημα με τους συντελεστές του στις δύο εξισώσεις να είναι ε αντίθετοι. Στη συνέχεια ακολουθούμε σύστημα (α). την (*) ίδια διαδικασία με το Αντικαθιστούμε το 2 στην εξίσωση 3 9 και έχουμε: 69 3 Άρα, η λύση του συστήματος, 3,2. είναι 3 και 2 δηλαδή το ζεύγος (*) Η τεχνική που εφαρμόστηκε για την επίλυση των πιο πάνω π συστημάτων ονομάζεται μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 7

1. Να εξετάσετε κατά πόσο το τ ζεύγος αριθμών 3, 2είναι η λύση του συστήματος: x y 1 x 2y 0 (α) Να βρείτε γραφικά τη λύση των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του υπολογιστή μετακινώντας τους δρομείς ώστε να δημιουργήσετε τις πιο κάτω εξισώσεις. Δραστηριότητες y 3x 6 2. Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμώνν είναι η λύση του συστήματος: x2y 5 Α) 3,1 B) 3,44 Γ) 1,3 Δ) 1,9 3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_Sistimata.ggb.. Α) y 2x 1 y x 3 Β) y 3x 1 y x 1 Γ) y 3x1 Δ) y 3x 3 y 3x 3 y 3x 3 (β) Να γράψετε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά. 4. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) 3 (β) 3 2 5 2 6 39 (γ) 20 2 3 5. Ο Στέφανος και η Μαρίλια έχουν συνολικά 120. Αν ο Στέφανος Σ δώσει στη Μαρίλια 10, τότε θα έχουν τα ίδια χρήματα. Να βρείτε πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας. 6. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά, τα οποία μένουν σε 50 σκηνές των 4 και 6 ατόμων. Αν οι σκηνές είναι όλες γεμάτες, να υπολογίσετε ε πόσες είναι οι σκηνές των 4 και πόσες των 6 ατόμων. 7. Σε μια εκδρομή πήγαν συνολικά 60 παιδιά, αγόρια και κορίτσια. Τα αγόρια ήταν τριπλάσια από τα κορίτσια. Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόριαα και πόσα τα κορίτσια. 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

ΕΥΘΕΙΑ Συντελεστής Διεύθυνσης (Κλίση) Ευθείας Ε Διερεύνηση Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_Klisi_Eftheias.ggb. Να μετακινήσετε τους δρομείς και και να καταγράψετεε τις παρατηρήσεις σας. Μαθαίνω Αν ( είναι μια ευθεία και,,, είναι δύοο σημεία της, τότε η κλίση της ευθείας ορίζεται ως ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής προς την οριζόντια μεταβολή από το σημείο στο σημείο της ευθείας. Η κλίση ονομάζεται και συντελεστής ς διεύθυνσης της ευθείας () και συμβολίζεται με. y y 2 y 1 Ax 1, y 1 x x B x, y 2 1 2 2 y y Γ (ε) 2 1 x 1 x2 x Δηλαδή η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, και, με είναι ίση με. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 9

Κάθε ευθεία με εξίσωση έχει κλίση ίση με μ, δηλαδή. Απόδειξη: Παίρνουμε δύο σημεία, και, με πάνω στην ευθεία. Οι συντεταγμένες των δύο σημείων επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Άρα έχουμε: Aν η εξίσωση ευθείας είναι σε κανονική μορφή Γ 0, της ευθείας είναι ίση με, δηλαδή ή. 0 τότε η κλίση Απόδειξη: Αν Γ 0 Παρατήρηση, 0. Η γραφική παράσταση της είναι ευθεία κάθετη στον σ άξονα, 0. Η κλίση της ευθείας με εξίσωση δεν ορίζεται. Γενικά έχουμε: y ε y y ε ε των στoo σημείο y ε x x x x 0 0 00 Κάθε ευθεία τέμνει τ τον άξονα των στο σημείο 0,. H κλίση τηςς ευθείας (ε) δεν ορίζεται. 0 0 0 Αν 0, τότε η εξίσωση της ευθείας παίρνει τη μορφή και αρχή των αξόνων. διέρχεται από την 10 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

Παραδείγματα 1. Να βρεθεί η εξίσωση 2, 7. Λύση: Α τρόπος Τα δύο σημεία πρέπει δηλαδή: της ευθείας που να επαληθεύουν το περνά από τα σημεία 2,5 και γενικό τύπο της ευθείας, Για 2,5 5 2 (1) Για 2, 7 7 2 (2) Λύουμε το σύστημα των (1) και (2) 1. 2 5 (1) ) 2 7 (2) και βρίσκουμε 3 και Άρα, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι 3 1. Β τρόπος Τα δύο σημεία πρέπει να επαληθεύουν το γενικό τύπο της ευθείας. Α Γνωρίζουμε ότι η παράμετρος ισούται με την κλίση. Άρα υπολογίζουμε αρχικά την τιμή της κλίσης λ. 5 7 22 12 2 4 3 3 Β Γ Άρα η ζητούμενη 3. εξίσωση παίρνει τη μορφή: Το σημείο Α2,5 ανήκει στην ευθεία, οπότε: 56ββ β1. Άρα, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι y3 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 11

2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 0, 3 και έχει κλίση 2. που τέμνει τον άξοναα των τεταγμένων στο σημείο Λύση Η εξίσωση έχει τη μορφή και 2. Άρα η εξίσωση παίρνει τη μορφή 2. Η ευθεία τέμνει τον άξονα των στο σημείο 0, 3, οπότεε το 3. Άρα η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι 2 3. Δραστηριότητες 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μια εξίσωση : ευθείας από τη στήληη με την κλίση της στη στήλη ( α) 3 1 ( β) 1 (γ) 3 1 (δ) 1 ( ε) 2 1 (i) (ii) (iii) (iv) (v) 2 0 1 4 3 ( στ) 3 (vi) ( ζ) 5 ( η) 4 ( θ) 5 (vii) (viii) (ix) (x) (xi) 5 3 ί 1 12 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

2. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_ShmeiaEftheias_b.ggb Να σύρετε τα δύο σημεία έτσι ώστε να ανήκουν στηη ευθεία που σας δίνεται. Να πατήσετε το κουμπί «Νέαα Ευθεία» για να εμφανιστεί άλλη εξίσωση ευθείας. 3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_EvreshEftheias_b.ggb Να γράψετε στο πεδίο εισόδου την εξίσωση της συνάρτησης που περνά από τα σημεία και. Να επιλέξετε «Βοήθεια για εύρεση κλίσης» αν θέλετε βοήθεια. Να επιλέξετε «Εμφάνιση ευθείας» για επαλήθευση. 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και : (α) 3,2 και 1,1 (γ) 3,2 και 3,1 (β) 3,2 και 1,2 (δ) 3,2 και 0,0 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 13

5. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση με τη γραφική της παράσταση. (α) 2 4 (β) 2 4 (γ) 2 (δ) 4 (ε) 2 30 (στ) 2 A) B) Γ) Δ) Ε) ΣΤ) 6. Ο μισθός ενός εργάτη είναι 150, όταν εργάζεται 40 ώρες τη βδομάδα. Να κατασκευάσετεε γραφική παράστασηη που να δείχνει τη σχέση που συνδέει τις ώρες εργασίας με τα χρήματαα που κερδίζει ο εργάτης. Απόό τη γραφική παράσταση να υπολογίσετε: (α) το μισθό του για 18 ώρεςς δουλειάς. (β) τις ώρες που εργάστηκε, για να κερδίσει 190. 7. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: Εξίσωση (α) 4 (β) 3 4 8 (γ) 5 2 (δ) 2 Τιμή του α Τιμή του β Κλίσηη Τομή ευθείας ε με άξονα των τεταγμένων 14 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

8. Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει από αεροπλάνο που βρίσκεται σε ύψος 3000 από τη γη. Η ταχύτητα με την οποία πέφτει είναι 30 /. (α) Να εκφράσετεε το ύψος χρόνου. (β) Να υπολογίσετε σε ποιο του.. που βρίσκεται ο αλεξιπτωτιστής συναρτήσει του ύψος βρίσκεται 1 λεπτό μετάά από την πτώση 9. Μια άδεια δεξαμενή έχει όγκο 3. Μια αντλία αρχίζει να τη γεμίζει με ρυθμό 15 ί ανά λεπτό. Να εκφράσετε τον όγκο του νερού στη δεξαμενή συναρτήσει του χρόνου και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηη αυτή. (1 1000 ) 10. Σε μια δεξαμενή, χωρητικότητας 4000 ί, υπάρχουν 600 ί βενζίνης. Ένα βυτιοφόρο, που περιέχει 2000 ί, αρχίζει να τη γεμίζει. Αν το βυτιοφόρο γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό 100 ί ά ό, να βρείτε: (α) Την ποσότητα της βενζίνης που μένει στο βυτιοφόρο μετά από χρόνο. (β) Την ποσότητα της βενζίνης που περιέχει η δεξαμενή μετά από χρόνο. (γ) Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσει ις των συναρτήσεωνν αυτών και να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την τ οποία το βυτιοφόρο και η δεξαμενή έχουν ίσες ποσότητες βενζίνης. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 15

Συνθήκη Παραλληλίας Δύο Ευθειών Εξερεύνηση Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο «CEn6_SynthikhParall_b.ggb»» Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο και να μετακινήσετεε τα σημεία,, και ώστε οι ευθείες και να είναι παράλληλες. Τι παρατηρείτεε για τη σχέση των κλίσεών τους. Μαθαίνω Για τις ευθείες ε : και ε : ισχύει: Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις ( και διαφορετικές σταθερές και τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Ισχύει και η αντίστροφη πρόταση., Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις ( και ίσες σταθερέςς και τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Ισχύει και η αντίστροφη πρόταση., Ο συμβολισμός σημαίνει ότι οι δύο ευθείες ταυτίζονται. Παρατήρηση: Έστω το σύστημα που δημιουργείται από τις εξισώσεις των ευθειών ε : ε : i) Αν, τότε οι ευθείες δενν τέμνονται, άρα το σύστημα των ν εξισώσεων δεν έχει λύση και ονομάζεται αδύνατο. 16 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

ii) Αν, τότε οιι ευθείες συμπίπτουν. Το σύστημαα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες με εξισώσεις και με είναι παράλληλες διότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία (τονν άξονα των τετμημένων). Απόδειξη Έστω οι ευθείες και, με εξισώσεις: : : Εξετάζουμε το ενδεχόμενο να υπάρχει κατάλληλη τιμή του τέτοια ώστε οι αντίστοιχες τιμές του των σημείων που ανήκουν στις δύο ευθείες να είναι ίσες. Άρα πρέπει, ή (1) Η τελευταία εξίσωση μπορεί να λυθεί ως προς και να έχει μόνον μια λύσηη αν 0. Άρα οι ευθείες και τέμνονται αν και μόνο αν. Οι ευθείες είναι παράλληλες αν καιι μόνο αν ισχύει και, διότι η εξίσωση 1 γίνεται 0 που είναι αδύνατη. Οι ευθείες ταυτίζονται αν και μόνον αν ισχύει και, διότι ι η εξίσωση 1 γίνεται 0 0που είναι αόριστη. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 17

1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και με εξισώσεις : 2 4 και :6 3 2 είναι παράλληλες. Λύση: H έχει κλίση 2. Παραδείγματα H έχει κλίση 2. Παρατηρούμε ότι. Άρα οι ευθείες δεν είναι παράλληλες ς. 2. Δίνονται οι ευθείες :3 3 και : 2 1. Να υπολογίσετε την τ τιμή του ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. Λύση: H έχει κλίση 3. H έχει κλίση 2. Αν 32 5 3. Να βρείτε την εξίσωση της τ ευθείας που περνά από το τ σημείο παράλληλη με την ευθεία : 2 350. 1,1 και είναι Λύση: H ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση με κλίση. Η ευθεία : 2 350 έχει κλίση. Οι ευθείες και είναι παράλληλες ς άρα, επομένως ς :. Το σημείο 1,1 ανήκει στην ευθεία, επομένως οιι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: σημείου Αντικαθιστούμε: 1, 1 στην 1 1 Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωσηη 3 2 5 2 3 50. 18 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι παράλληλες στιςς πιο κάτω περιπτώσεις: (α) : 2 4 4 (β) : 2 (γ) : 4 :242 (δ) : 3 5 :62 10 : 3 (ε) : 6 : 2 : 2 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο και είναι παράλληλη με την ευθεία σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 1,2 : 3 2 50 (β) 1,3 : 2 3 (γ) 2,2 : 5 (δ) 2, 2 : 0 (ε) 2, 5 : 2 3. Να βρείτε την τιμή του, ώστε η ευθεία 2 35 να είναι παράλληληη με την ευθεία 7. 4. Δίνονται οι ευθείες : 0 και : 0. Αν να αποδείξετε ότι. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 19

Συνθήκη Καθετότητας Δύο Ευθειών Διερεύνηση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το «CEn6_kathetotita_dierevnisi.ggb». Να μετακινήσετε τον τ δρομέαα στα αριστερά και ναα παρατηρήσετε τις κλίσεις και των καθέτων ευθειών και για να βρείτεε τη συνθήκη σύμφωνα με την οποία οι δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. Μαθαίνω Αν δύο ευθείες : και ι : είναι κάθετες τότε οι κλίσεις τους έχουν γινόμενο ίσο με 1, δηλαδή. Απόδειξη: Στο σχήμα δίνονται οι κάθετες ευθείες και, με εξισώσεις : και : με 0, 0. y A(1,λ 1) Για την απόδειξη μπορείτε να ανοίξετε το αρχείο : CEn6_kathetotita_apodeiksh.ggb Ο Γ( (1,0) Β(1,λ 2) x Θεωρούμε τα σημεία 1,, 1, και 1,0. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) Από το τρίγωνο 1 2 Από το τρίγωνο 1 λ 3 1 4 (επειδή 0). 20 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

Από τις (2), (3) και (4) η (1) γίνεται 1 1 2 1 1 2 2 Σημείωση Στην απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν ευθείες που διέρχονται από τηνν αρχή των αξόνων ( ). Αυτό δεν επηρεάζει τη γενικότητα της συνθήκηςς καθετότητας, γιατί ευθείες της μορφής, 0 είναι παράλληλες με αυτές της μορφής μ. Παράδειγμα Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο 2, 3 και είναι κάθετη στην ευθεία :23. Λύση: H ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση με κλίση. Η ευθεία : 23 έχει κλίση 2. Οι ευθείες και είναι κάθετες άρα 1 2 1 η ζητούμενη ευθεία παίρνει την μορφή., επ πομένως Το σημείο 2,3 ανήκει στην ευθεία, επομένως οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: 3 1 2 2 22 Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 2. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 21

Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους σεε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) :4 3 2 :4 3 7 (β) :243 : 7 (γ) :4 2 3 : 7 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τοο σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 3, 1 : 3 1 (β)) 3, 1 :3 (γ) 3, 1 : 3 3. Να υπολογίσετε την τιμή του, ώστε η ευθεία 1 9 να είναι κάθετη στην ευθεία 3 1. 22 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι παράλληλες στιςς ακόλουθες περιπτώσεις: (α) : 3 4 ( β) : 3 (γ) : 5 :3 2 : 3 : 3 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο καιι είναι κάθετη στην ευθεία σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 3,2 : 3 1 (β) 1,3 :8 3. Για ποιες τιμές του οι ευθείες 3 1 και 1 είναι παράλληλες; 4. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές 3,4, 1,0 και 3,2. (α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου. (β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (γ) Να βρείτε την εξίσωση τουυ ύψους. 5. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: α 3 2 9 2 13 β 518 3241 6. Σε ένα βιβλιοπωλείο 2 τετράδια και 1 μολύβι κοστίζουν 10, ενώ 3 τετράδια και 5 μολύβια κοστίζουν 22. Να βρείτε πόσο κοστίζει κάθε τετράδιο και ι κάθε μολύβι. 7. Μια παρέα 26 ατόμων θα πάνε εκδρομή και θα μεταφερθούν με 8 οχήματα αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες. Με κάθε αυτοκίνητο μεταφέρονται 4 άτομα, ενώ με κάθε μοτοσικλέτα 2 άτομα. Να βρείτεε πόσα αυτοκίνητα και πόσες μοτοσικλέτες θα χρησιμοποιηθούν. 7 8. Αν το σύστημα 2 8 έχει ως λύση 1 και 2, να βρείτε τις τιμές των αριθμών και. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 23

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Δίνονται οι ευθείες και με εξισώσεις 1 και κ. 1 αντίστοιχα, (α) (β) (γ) Να βρείτεε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών για τις διάφορες τιμές του. Να υπολογίσετε την τιμή τ του για την οποία οι ευθείες τέμνονται κάθετα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν τουυ τριγώνου που σχηματίζεται απόό τις ευθείες και τον άξονα των τετμημένων, ότανν οι ευθείες τέμνονταιι κάθετα. 2. Δίνεται το σύστημα: 2 3 4 5 3 3 2, Αν το σύστημα έχει μοναδική λύσηη την 10,, και 0, να υπολογίσετε την τιμή του. 3. Αν 2,1, 3, 2 και 6,0 είναι κορυφές του παραλληλογράμμου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής. 24 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΣ Εξισώσεις Δευτέρου και Ανωτέρου Βαθμού Διερεύνηση Ο καθηγητής των Μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να α λύσουν ορισμένες ασκήσεις από το βιβλίο τους, για α να εμπεδώσουν την ενότητα ε πουυ διδάχτηκαν. Όταν αυτοί τον ρώτησαν σε ποια σελίδα είναι οι ασκήσεις,, τους απάντησε: Το γινόμε ενο των αριθμών των δύο διαδο οχικών σελίδων στις οποίες βρίσκονται οιι ασκήσεις είναι ίσο μεε 90. Μπορείτε να βρείτε σε ποιες σελίδες είναι γραμμένες οι ασκήσεις; Μαθαίνω Όταν το γινόμενο δύο αλγεβρικών παραστάσεων ισούται με μηδέν, τότε τουλάχιστον μια από αυτές τις παραστάσεις ισούται μεε μηδέν και αντίστροφα. Δηλαδή 0 0 ή 0 Όταν το πηλίκο δύο αλγεβρικών παραστάσεων ισούται με μηδέν, τότε ο αριθμητής του πηλίκου ισούται με μηδέν και ο παρονομαστής είναι διάφορος από το μηδέν και αντίστροφα. 0 0 0. Σημείωση Κάθε εξίσωση της μορφής 0, 0 (εξίσωση α βαθμού) έχει λύση τον αριθμό. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 27

Παραδείγματα 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 2 3 0 (β) 2 111 2 0 (γ) 0 (δ) 2 2 0 Λύση: (α) 2 3 0 20 ή 30 2 ή 3 (β) 2 11 200 2 10 ή 1 0 ή 2 0 2 1 ή 1 ή 2 ή 1 ή 2 (γ) 0 0 ή 0 ή (δ) 2 2 0 2 0 ή 2 0 2 ή 2 δηλαδή 2 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 3 50 (β) 40 (γ) 3 60 (δ) ε 64 0 28 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

Λύση: (α) 3 5 0 3 5 0 0 ή 3 50 0 ή 3 5 0 ή 5 3 (β) 40 2 2 0 20 ή 20 2 ή 2 (γ) 3 60 3 6 0 3 3 20 2 0 2 2 0 2 0 ή 2 0 2 ή 2 (δ) 0 1 0 0 ή 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 29

(ε) 64 0 64 0 8 8 0 0 ή 80 ή 800 0 ή 8 ή 8 3. Να λύσετε την εξίσωσ η Λύση: y 2 3y 1, y 2 0 y 2 4 y 2 22 43 1 4 12 4 4 12 4 0 12 0 12 0 0 ή 12 0 0 ή 12 Οι λύσεις είναι δεκτές. Θέτουμε περιορισμοπ ούς Εφαρμόζουμε ιδιότητες των αναλογιών. Λύνουμε την εξίσωσηη που προκύπτει Ελέγχουμεε κατά πόσοο οι λύσεις που βρήκαμε τηρούν τουςς περιορισμούς. 30 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις ωςς Σωστή ή Λάθος. (α) (β) (γ) (δ) (ε) Η εξίσωση 3 2 5 έχει λύσηη 1. Αν 10 τότε 1 ή 1. Αν 3 0 τότε 3. H εξίσωση 0 0 είναι αδύνατηη εξίσωση. Η εξίσωση 0 3 έχει λύση 0. 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σεε καθεμιά από τις πιο κάτω κ προτάσεις: (α) Η εξίσωση 2 0 έχει τη λύση: Α) 2 Β) Γ) 0 Δ) 2 (β) Η εξίσωση 3 6 0 έχει τη λύση: Α) 2 Β) 2 Γ) 1 Δ) 1 (γ) Η εξίσωση 3 2 21 Α) είναι αδύνατη Β) ) είναι αόριστη Γ) έχει λύση 1 Δ) έχει λύση 0 (δ) Η εξίσωση 4 έχει λύσεις Α 2 ή 2 Β) 2 Γ) 22 0 ή 2 (ε) Η εξίσωση 2 x 1 0 έχει λύσειςς τις x 1 Α 1 Β) 1 ή 0 Γ) 1 Δ) 11 ή 1 (στ) Αν η εξίσωση 3 2 1 έχει λύση 1, τότε το είναιι ίσο με Α) 1 Β) 1 Γ) 2 Δ) 0 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 31

3. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) 7 52 3 0 5 10 0 4 0 2 5 65 0 25 (στ) 25 10100 4. Να λύσετε την εξίσωση: 5. Να λύσετε την εξίσωση: 32 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού Διερεύνηση (α) (β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 4 12 9 Να λύσετε την εξίσωση 4 12 50χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμαα που βρήκατε στο (α) ερώτημα. Μαθαίνω Κάθε εξίσωση της μορφής 0 με 0 ονομάζεται εξίσωση 2 ου βαθμού. Αν 4 0, τότε οι λύσεις ή ρίζες της εξίσωσης 0,0 είναι:, 4 2 Η παράσταση 4 συμβολίζεται με Δ και ονομάζεται Διακρίνουσα της εξίσωσης δηλαδή : 4 Aν 0 έχει δύο πραγματικές άνισες ρίζες τις, Aν 0 έχει μια πραγματική διπλή ρίζα τη Αν 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 33

Απόδειξη 0, 0 4 4 4 0 4 4 4 0 4 4 4 0 2 4 0 Πολλαπλασιάζουμε και τα εξίσωσης επί 4. δύο μέλη της Προσθέτουμε και αφαιρούμε το, για να προκύψει τέλειοο τετράγωνο. 2 4 Αν θέσουμε Δ 4, τότε η εξίσωση γίνεται: 2 Δ Διακρίνουμε τώρα τρεις περιπτώσεις: (i) 4 0. Στην περίπτωση αυτή η Δ είναι πραγματικός αριθμός και έχουμε: 2 Δ 2 Δ 0 2 Δ2 Δ 0 2 Δ 0 ή 22 ΔΔ 0 2 Δ 0 ή 22 ΔΔ 0 και Επομένως, η εξίσωση 0, 0 έχει δύοο ρίζες πραγματικές και άνισες που για συντομία γράφονται,. (ii) (iii) 4 0, Επειδή τώρα βρήκαμε δύο ίσες λύσεις λέμε ότι η εξίσωση μας έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την. 4 0. Η εξίσωση 2 Δ είναι αδύνατη αφού 0 και κ 2 0. Επομένως, η εξίσωση 0, 0 δεν έχει πραγματικέςς ρίζες. 34 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

Παραδείγματα 1. Να λύσετε οι πιο κάτω εξισώσεις: (α) 2 6 0 (γ) 1 0 (ε) 2 30 (β) 16 811 0 (δ) 54 (στ) 3 600 (ζ) 4 80 (η) 2 4 0 Λύση: (α) 2 60, 2, 1, 6 Έχουμε Δ 2 4 1 4 2 6 490, επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες:, 2 1 49 2 2 17 4 17 7 2 4 17 3 4 2 (β) 16 8 10, 16, 8, 1 Έχουμε ότι Δ 2 4 8 4 16 10, επομένως ε η εξίσωση μας έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την (γ) 10, 1, 1, 1 Έχουμε Δ 2 4 1 4 1 150, επομένως η εξίσωση έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες., 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 1 5 1 5 2 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 35

(δ) 5 4, 5 4 450 1, 4, 5 Έχουμε Δ 2 4 4 4 1 5 360, επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες:, 2 4 36 2 1 46 2 46 6 5 2 46 6 1 2 (ε) 2 30 2 3. (στ) 3 6 0 3 2 0 0 ή 2. (ζ) 4 80 2, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (διότι 0). (η) 2 40, 1, 2, 4 Έχουμε 2 4 2 4 1 412 0, επομένως ε η εξίσωση μας δεν έχει πραγματικές ρίζες. 36 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

2. Να λύσετε την εξίσωση Λύση: 2 3 2 4 2 5 6 Αναλύουμε τους παρονομαστές 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 22 3 0 2, 3 3 2 2 2 2 2 3 Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Θέτουμε περιορισμούς Κάνουμε απαλειφήή των παρονομαστών, μετατρέποντας τα κλάσματα σε ομώνυμα 4 8 3 4 Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. 8400 120 Δ 2 4 1 4 1 12 148 49, 1 49 2 2 17 6 3 1 2 2 7 8 4 2 2 Η λύση 4 είναι δεκτή και η λύση 3 απορρίπτεται. Ελέγχουμε κατά πόσο οι λύσεις που βρήκαμε τηρούν τους περιορισμούς ή όχι και ανάλογα δεχόμαστε ή απορρίπτουμε συγκεκριμένες λύσεις. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 37

Δραστηριότητες 1. Να αντιστοιχίσετε την κάθε εξίσωση της στήλης Α με μια πρόταση απόό τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β I. 560 (α) Έχει δύο πραγματικέπ ές και II. 420 άνισες ρίζες. III. 40 (β) Έχει δύο πραγματικέπ ές και IV. 210 ίσες ρίζες. V. 2 0 (γ) Δεν έχει πραγματικέπ ς ρίζες. VI. 40 2. Να λύσετε τις εξισώσεις (α) 6 0 (β) 690 (γ) 2 5 10 0 (δ) 5 4 0 (ε) 2 20 (στ) 2 430 (ζ) 3 2 20 3. Nα λύσετε τις εξισώσεις (α) 2 40 (β) 1 1 22 3 (γ) ) 7 (δ) 7 122 52 0 4. Nα υπολογίσετεε το στα πιο κάτω σχήματα. x 2 cm x 2 cm E=16 cm² 38 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

5. Tα πιο κάτω σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν. Να υπολογίσετε την τιμήή του. x cmm 3 cm (x+ 1) cm (x+ 2) 2 cm 6. Σε έναν αριθμό προσθέτουμε τον αντίστροφο του και βρίσκουμε. Να α βρείτε ποιος είναι ο αριθμός αυτός. 7. Στο σχήμα το εξωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά και τοο εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά. (α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι:. (β) Να υπολογίσετε την τιμή του εάν γνωρίζετεε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι. 8. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: (α) 4 1 9 2 2 (β) 3 1 2 7 3 3 (γ) 2 8 4 2 2 4 (δ) 2 2 5 22 2 36 3 (ε) 2 6 4 2 3 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 39

Δραστηριότητες Ενότητας 1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μεε διαστάσεις 5 και 5, έχει εμβαδόν 24. Να βρείτε τις διαστάσεις του. 2. Να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που ταα τετράγωνά τους να έχουν άθροισμα 145. 3. Δίνεται το πολυώνυμο 1 1 7: (α) Να αποδείξετε ότι 2 5 7 (β) Να λύσετε την εξίσωση 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 9 (β) 16 81 0 (γ) 3 15 0 (δ) 6 (ε) 3 2 6 (ζ) 2 5 70 (θ) α22αα 8 0 (στ) (η) (ι) 4 40 90 α 5α 6α (ια) 2 1 4 1 0 (ιγ) 2 3 41 (ιβ) 2 5 1 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (γ) (β) (δ) 6. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακέραιουςς αριθμούς που το γινόμενό τουςς είναι 132. 40 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Συναρτήσεις Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Συναρτήσεις Εξερεύνηση Να μελετήσετε τα πιο κάτω σενάρια: 1 ο Σενάριο: Εισάγουμε τα αρχικά ενός ατόμου, σε μια βάση δεδομένων δ ν και εμφανίζεται η ημερομηνία γέννησής του. Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο CEn8_BashDedomenon.xls 2 ο Σενάριο: Σχεδιάζουμε ένα ταξίδι και εισάγουμε στον υπολογιστή μας ένα ποσό χρημάτων, που διαθέτουμε για αεροπορικά εισιτήρια. Ο υπολογιστής μάς δίνει τους διαφορετικούς προορισμούς, στους οποίους μπορούμε να ταξιδέψουμε με το συγκεκριμένο ποσό χρημάτων. ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Συναρτήσεις 43

3 ο Σενάριο: Λέμε σε ένα φίλο μας έναν οποιοδήποτε αριθμό, τονν υψώνει στο τετράγωνο, στη συνέχεια προσθέτει 2 και μας λέει τοο αποτέλεσμα. Τεχνολογία: Μπορείτεε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο CEn8_ArithmosApotelesma.xls 4 ο Σενάριο: Στο τέλος του τετραμήνου, η βαθμολογία των μαθητών στα σ Μαθηματικά τοποθετείται σε έναν πίνακα που παρουσιάζει τον αριθμό μητρώου του μαθητή στην αριστερή στήλη και το βαθμό του μαθητή στη δεξιά στήλη. Να περιγράψετε τις ομοιότητες και τις διαφορές των πιο πάνω σεναρίων. Σε ποιες περιπτώσεις νομίζετε ότι το είναι συνάρτηση του ; Γιατί; Διερεύνηση Ένα ορθογώνιο έχει αρχικές διαστάσεις 4 και 3,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η μια διάσταση του ορθογωνίου παραμένει σταθερή και η άλλη αυξάνεται κατά. (α) Αν συμβολίσουμε το εμβαδόν τουυ ορθογωνίου με, ναα βρείτε τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού. (β) Για πέντε διαφορετικές τιμές του, να υπολογίσετε το εμβαδόν και να κατασκευάσετε τον αντίστοιχο πίνακα τιμών. x cm 3 cm y = 3 4 cm 2 4 cm (γ) Να υπολογίσετε την τιμή του, όταν το εμβαδόν γίνει 484. 44 ΕΝΟΤΗΤΑ 8: Συναρτήσεις