1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Transcript

1 . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. ii. iii. ln iv. i. Πρέπει : &. Άρα D, ii. Πρέπει : [, ]. Άρα D [, ] iii. Πρέπει : και Έχω Άρα επειδή θέλω [, ] Από & D [,, ]. iv. Πρέπει :. Άρα D,

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συμβ. C ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία, y που ανήκουν στη C ισχύει y. Δηλ.,. Πιο συγκεκριμένα το σημείο, y ανήκει στη C, αν και μόνο αν y Η C βρίσκεται πάνω από τον Η C βρίσκεται κάτω από τον Η C βρίσκεται πάνω από τη C Η C βρίσκεται κάτω από τη C ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής,, οπότε για να τα βρούμε λύνουμε την εξίσωση y Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής, y, οπότε για να τα βρούμε, βάζουμε όπου το δηλ. υπολογίζουμε το Για να βρούμε κοινά σημεία C και C λύνουμε την εξίσωση. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της, όταν : i. και ii. και i.η C βρίσκεται πάνω από τη C Έχω ή αδύνατη Γινόμενο - + Άρα επειδή θέλω, ii.η C βρίσκεται πάνω από τη Έχω, ή, C Γινόμενο Άρα επειδή θέλω, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β. ΟΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να υπολογίσουμε ένα όριο, αρχικά θέτω όπου το Περίπτωση η Αν το αποτέλεσμα είναι αριθμός l τότε το l. Περίπτωση η Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής, τότε παραγοντοποιώ αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της μορφής Περίπτωση η Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης που περιέχει ρίζες και προκύπτει η απροσδιοριστία, τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του όρου ή των όρων που περιέχει ρίζα Περίπτωση 4 η Αν προκύψει τότε κάνω ομώνυμα τα κλάσματα και προκύπτει όριο της μορφής, οπότε και εργάζομαι όπως παραπάνω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ : Κοινός παράγοντας : Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους ή κατά ομάδες. Ταυτότητες : Συνήθως χρησιμοποιούμε τις Ταυτότητες Τριώνυμο : Αν Δ> τότε Αν Δ= τότε Αν Δ< τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. Σχήμα Hornr : Δόκιμη κάνω πρώτα με το Περίπτωση η Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i. 6 ii. 9 4 iii. 7 8 i ii iii Περίπτωση η 4 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : 4 6 i. 8 ii. iii. ` 7 iv. i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ii. iii. iv. 7 ] [ Περίπτωση η Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i. 9 9 ii. iii. iv. 4 4 i ii. iii

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iv Περίπτωση 4 η 6 Να υπολογίσετε το όριο : 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γ. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΤΟ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : ΒΗΜΑ ο : Βρίσκουμε το ΒΗΜΑ ο : Υπολογίζουμε το χρησιμοποιώντας τον τύπο της για τον οποίο και το ανήκει σε μια γειτονιά του. ΒΗΜΑ ο : Τέλος για να είναι η συνεχης στο πρέπει., 7 Δίνεται η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι η είναι 7, συνεχής στο =. 7 7 Δηλαδή 7 άρα η είναι συνεχής στο. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ 8, 8 Δίνεται η συνάρτηση. Να βρείτε την τιμή της, παραμέτρου λ, ώστε η να είναι συνεχής στο. Η είναι συνεχής στο άρα Άρα 6 6, ή, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγισιμη σε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό συμβολίζεται με ' και ονομάζεται παράγωγος της στο. Δηλ. ' = Η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο εκφράζει : Το ρυθμό μεταβολής του y= ως προς, όταν. Το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της, στο σημεία επαφής, δηλαδή. Την ταχύτητα t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t, τη χρονική στιγμή t. Είναι t t Την επιτάχυνση t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα t, τη χρονική στιγμή t. Είναι t t. Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης i. στο ii. στο iii. στο i. Έχω : 9 ii. Έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii. Έχω : Άσκηση σελ. Β ομάδας σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης Αν για μια συνάρτηση ισχύει, για κάθε, να αποδείξετε ότι : i. ii. η είναι παραγωγισιμημη στο και ότι. i. Για να βρω το, στη σχέση έχω :, θα βάλω όπου και ii. Για να είναι η παραγωγισιμη στο αρκεί το όριο να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός. Έχω. Άρα η παρ/μη στο με. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. i. 4 ii. iii. 7 iv. 9 v. ln vi. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ c, c, c,,,,, ln ln ln Επίσης ισχύουν οι εξής κανόνες παραγώγισης : c c, c

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ vii. ln i ii. iii iv. 9 9 v. ln ln ln vi. vii. ln ln ln 4 Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. i. ln ii. 7 iii. 4 iv. v. vi. i. ln 6 ln 6 ln ln ln ii iii. 4 4 ] [ 4 4 ] [ iv. v.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ vi.. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i. ii. ln iii. iv. ln v. vi. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισχύει : ln ln

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ vii. viii. i.. i. ii. ln ln ln ln ln iii. iv. ln v. vi. vii. viii. i..

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΙΣΧΥΟΥΝ ΤΑ ΕΞΗΣ : Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγισιμη στο, τότε η στο σημείο, δέχεται εφαπτομένη στο C δέχεται εφαπτομένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια συνάρτηση,, τότε δεν είναι πάντα παραγωγίσημη στο, αφού μπορεί να δέχεται και κατακόρυφη εφαπτομένη. ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται άρα και το. Αν όμως δέχεται εφαπτομένη όχι κατακόρυφη τότε είναι παραγωγισιμη. Οι έννοιες εφαπτομένη στο, και παράγωγος στο είναι ταυτόσημες. Αν μια παραγωγίσημη συνάρτηση δέχεται εφαπτομένη στο σημείο της η οποία σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω, τότε :, o ω οξεία. o ω αμβλεία. o ω= //. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ή 6 ή 6 4 ή 4 ή 4 6 ή ή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ, ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ C σε γνωστό σημείο, άρα το σημείο επαφής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της βρίσκουμε το,,. Στη συνέχεια βρίσκω την και το. Θεωρούμε ότι η εφαπτομένη που ψάχνω έχει εξίσωση : y άρα είναι δηλ. : y και επειδή η ε διέρχεται από το, άρα οι συντεταγμένες του Μ θα την επαληθεύουν. Δηλ. : και έτσι υπολογίζω το β. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της,. C στο σημείο Έστω η εφαπτομένη της C στο σημείο επαφής,, τότε : y. Το σημείο,,7. Έχω : άρα. Ισχύει : : y y. Όμως η διέρχεται από το,7, άρα οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα έχω : 7 y y Άρα : : y. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ Όταν δε μας δίνεται το σημείο επαφής αλλά ένα στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης, τότε ξεκινάμε θεωρώντας το σημείο επαφής, το οποίο πρέπει και να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας το στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης. Πιο συγκεκριμένα διακρίνουμε τις περιπτώσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της διεύθυνσης ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο έχει συντελεστή, C στο σημείο είναι παράλληλη, στην ευθεία : y, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της είναι κάθετη στην ευθεία : y, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 : Η εφαπτομένη ε της στον άξονα, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο, C στο σημείο, C στο σημείο είναι παράλληλη σχηματίζει γωνία, 9 με τον άξονα, όταν ισχύει ότι Αφού βρούμε το σημείο επαφής,, εργαζομαστε όπως στη μεθοδολογια. 4 Δίνεται η συνάρτηση,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της που i. Έχει συντελεστή διεύθυνσης ii. Είναι παράλληλη στην ευθεία : y iii. Είναι κάθετη στην ευθεία : y iv. Είναι παράλληλη στον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ v. Σχηματίζει γωνία με τον άξονα 4. Έστω : y. Επίσης. η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε i. Η έχει συντελεστή διεύθυνσης άρα. Άρα,, 4 διέρχεται από το, 4. Ισχύει : : y y. Όμως η, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση 4 y της. Άρα έχω : y 4 4. Άρα : : y. ii. Η // : y. Άρα,, από το,. Ισχύει : : y y. Όμως η διέρχεται, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα y έχω : y. Άρα : : y. iii. : y Όταν δυο ευθείες είναι iv. κάθετες οι συντελεστές διεύθυνσης τους είναι αντιθετοαντιστροφοι. 6. Άρα,, διέρχεται από το,. Ισχύει : : y y. Όμως η, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση y της. Άρα έχω : y 9 9. Άρα : : y 9. //. Άρα 9,,. Ισχύει : : y y y. Όμως 4 9 η διέρχεται από το,, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την 4 9 y εξίσωση της. Άρα έχω : y. Άρα : : y. 4 4 Θα μπορούσαμε να πούμε ότι επειδή // άρα θα είναι της μορφής y y και 9 9 αφού βρούμε το σημείο επαφής,, να πούμε κατευθείαν : y 4 4 v. Η σχηματίζει με τον άξονα γωνία 4 άρα 4. Άρα,,. Ισχύει : : y y. Όμως η διέρχεται,, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα από το y έχω : y. Άρα : : y. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΗ C Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από ένα σημείο, y που δεν ανήκει στη C, εργαζόμαστε ως εξής : θεωρούμε Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης που διέρχονται από το σημείο Α,. Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε : y. Επίσης 6. Η διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ. y : y Επίσης η ε διέρχεται από το σημείο,, άρα ομοίως οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ. y : y Για 7 8 Η. Η λόγο της γίνεται Για το σημείο επαφής, γράφουμε τον τύπο της εφαπτομένης : y η ε διέρχεται από το σημείο, y, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ. : y 4 η ε διέρχεται από το σημείο επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ.,, άρα ομοίως οι συντεταγμένες του θα : 4 από τις σχέσεις και βρίσκουμε τις τιμές των, άρα και την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. Προσοχή : σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να μπερδεύουμε το σημείο επαφής με το σημείο διέλευσης. 8, ή, 6, 7 άρα : 7 y y 7, 7 8 άρα : y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΗ C Η ευθεία y=λ+β εφάπτεται στη και. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΜΙΑ C, αν και μόνο αν υπάρχει D, ώστε να ισχύει 6 Αν η ευθεία y 6 εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο,, να βρείτε τα α,β. Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε : y. Επίσης 4. Η ευθεία y 6 εφάπτεται στη C στο 6 8, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥΣ Οι γραφικές παραστάσεις C, C δυο συναρτήσεων, έχουν κοινή εφαπτομένη ή αλλιώς εφάπτονται μεταξύ τους στο κοινό σημείο τους, y, αν ισχύει : και 7 Δίνονται οι συναρτήσεις και. Να βρεθούν τα,, έτσι ώστε οι C, C να έχουν κοινή εφαπτομένη στο. Οι C, C έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους με, άρα ισχύει : και Έχω Και 4 4, άρα από 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δ. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η παράγωγος της στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς όταν. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i. Πρώτα καταγράφουμε όλους τους αγνώστους, καθώς και τις σχέσεις που τους συνδέουν. Αν η σχέση που συνδέει τους αγνώστους δε δίνεται στην εκφώνηση, τότε την φτιάχνουμε μέσα από τα δεδομένα της εκφώνησης είτε με σχήμα, είτε με τη λογική σκέψη. ii. Έπειτα μετατρέπουμε τη σχέση που συνδέει τους αγνώστους σε συνάρτηση ως προς τον ανεξάρτητο άγνωστο. iii. Υπολογίζουμε τις τιμές των αγνώστων όταν που ζητείται ο ρυθμός μεταβολής. iv. Τέλος παραγωγίζουμε τη συνάρτηση που φτιάξαμε και με αντικατάσταση προκύπτει ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής γεωμετρικών μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i. Κάνουμε ένα σχήμα όπου περιγράφουμε το πρόβλημα. ii. Εντοπίζουμε τα μεγέθη που παραμένουν σταθερά και γράφουμε με γράμματα τα μεγέθη που μεταβάλλονται. iii. Σχηματίζουμε, με τη βοήθεια του σχήματος, μια ή περισσότερες σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές του προβλήματος για κάθε χρονική στιγμή. iv. Παραγωγίζουμε τα δυο,μέλη της σχέσης ή των σχέσεων που σχηματίζουμε ως προς την κατάλληλη μεταβλητή και έτσι παρουσιάζεται ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής. v. Επιλύουμε την τελευταία εξίσωση ως προς τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής. vi. Αν ζητείται ο ρυθμός μεταβολής μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τότε θέτουμε στον τελικό τύπο τις τιμές που παίρνουν οι μεταβλητές τη δεδομένη στιγμή και βρίσκουμε το αριθμητικό αποτέλεσμα. vii. Αν δίνεται ότι μια ποσότητα αυξάνεται ως προς τον χρόνο, τότε θέτουμε t=α και αν μειώνεται t=-α, όπου α θετική σταθερά. Υπενθύμιση : Εμβαδόν σφαίρας : 4R, Όγκος σφαίρας : 4 V R Εμβαδόν κώνου : R R, Όγκος κώνου : V R, Όγκος πυραμίδας : V ά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α4, και Β, ως προς, όταν =. Η Απόσταση δυο σημείων, y και, y Δίνεται από τον τύπο : y. Άρα 4 6 y Άρα η συνάρτηση που δίνει την απόσταση ως προς είναι 6 με D. Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής της όταν =, δηλ. το. Βρίσκω πρώτα την Άρα Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις t t 9t και y t 6t 8, όπου t ο χρόνος σε sc. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο. y άρα t t y t t 9t6t 8 8t 4t 4t 6t 8t 8t 6t Τη χρονική στιγμή που το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο θα ισχύει t y t t 9t 6t 8 t t 8 t t 6 t, ή, t απορ. Η συνάρτηση του εμβαδού είναι t 8t 8t 6t. Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο δηλ. το. Βρίσκω πρώτα t 4t 6t 6. Άρα τετραγωνικές μονάδες/sc. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ A. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Εύρεση Μονοτονίας Ακρότατων Για να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i. Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της D. ii. Βρίσκουμε την ' χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης. iii. Λύνουμε την εξίσωση '. iv. Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της στον οποίο πρέπει να περιέχονται το Π.Ο. της καθώς και οι ρίζες της. v. Βρίσκουμε το πρόσημο της ' είτε λύνοντας τις ανισώσεις ' και ' είτε βρίσκοντας το πρόσημο μιας τιμής της ' σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της. vi. Συμπληρώνουμε το είδος της μονοτονίας της ανάλογα με το πρόσημο της '. Ισχύει : Αν ' τότε η γνησίως αύξουσα Αν ' τότε η γνησίως φθίνουσα i. Αν η ' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της ', τότε η παρουσιάζει ακρότατο. ii. Αν η ' δεν αλλάζει πρόσημο, δηλαδή η δεν αλλάζει μονοτονία, τότε η δεν έχει ακρότατα.. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i. 6 ii. 9 7 iii. iv. ln i. 6, D, 6, γν. φθίνουσα Ο.Ε. γν. αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις, δηλ. δεξιά του ομόσημο του α δηλ. του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε,] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii. 9 7, D, 6 9, 6 9, ή, γν. γν. αύξουσα Τ.Μ. φθίνουσα Τ.Ε. γν. αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες ανισώσεις, δηλ. όταν Δ> και η εξίσωση έχει ρίζες, τότε για τα πρόσημα ισχύει ότι εντός των ριζών είναι ετερόσημο του α δηλ. του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το 4 Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, το iii., D,, γν. φθίνουσα Ο.Ε. γν. αύξουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Με τη βοήθεια αυτών Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το iv. ln ln, D,,, ln ln ln ln ln γν. αύξουσα Ο.Μ. γν. φθίνουσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και ά. ln ln ln ln ln ln ά. ln ln ln ln ln ln Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός Παραμέτρων Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε για να βρούμε την παράμετρο Αφού στο η παρουσιάζει ακρότατο τότε ισχύει. Με την επίλυση της συγκεκριμένης ανίσωσης βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου. Επειδή η συνθήκη δεν είναι αρκετή για να παρουσιάζει η ακρότατο στο πρέπει επιπλέον η να αλλάζει πρόσημο εκατέρων του, πρέπει να εξετάσουμε αν οι τιμές των παραμέτρων είναι δεκτές. Γι αυτό αντικαθιστούμε τις τιμές των παραμέτρων στον τύπο της και τη μελετάμε ως προς τα ακρότατα.. Δίνετε η συνάρτηση,,,. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο το. D, 6 Για να παρουσιάζει η ακρότατο στο, πρέπει : 6 Επίσης το ακρότατο στο είναι το άρα 4. Από και έχω :. 4 Άρα : 6 9, 9, 9 4, ή, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ γν. αύξουσα Τ.Μ. γν. φθίνουσα Τ.Ε. Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το Άρα οι λύσεις α= και β= είναι δεκτές. γν. αύξουσα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : με Ακρότατα Απόδειξη Ανισοτήτων με Μονοτονία ή Για τη μονοτονία ισχύει : αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε για οποιαδήποτε,, με ισχύει αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε για οποιαδήποτε,, με ισχύει Για τα ακρότατα ισχύει : Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο όταν για κάθε σε μια περιοχή του. Αντίστοιχα μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο όταν για κάθε. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο όταν για κάθε σε μια περιοχή του. Αντίστοιχα μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο όταν για κάθε. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να αποδείξετε ότι : i. D, 4, 4, ή, γν. αύξουσα Τ.Μ. γν.φθινουσα Τ.Ε. γν. αύξουσα Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii. Πρέπει να αποδείξω ότι ισχύει η σχέση : Τα,, στο οποίο η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα θα ισχύει : 4. Δίνεται η συνάρτηση ln. i. Να βρείτε τα ακρότατα της ii. Να αποδείξετε ότι : ln για κάθε. i. D,,,, ή, απορρίπτεται γν. αύξουσα Ο.Μ. γν. φθίνουσα, * Επειδή όμως πρέπει, άρα,,, * Επειδή όμως πρέπει, άρα, *Για την ανίσωση, έχω Άρα η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ii. Επειδή η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το, τότε ισχύει : ln ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Μονοτονία & Επίλυση Εξισώσεων - Ανισώσεων. Δίνεται η συνάρτηση ln. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να λύσετε την εξίσωση ln. i. D,, για κάθε,, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D,. ii. ln ln Παρατηρώ ότι, άρα η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης και επειδή η η είναι γνησίως αύξουσα είναι μοναδική. 6. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να λύσετε την ανίσωση 6 iii. Να λύσετε την ανίσωση 6 i. D, 4 για κάθε, άρα η είναι γνησίως αύξουσα ii. iii. Για εξισώσεις ισχύει ότι : αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και η εξίσωση έχει μια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Σε αυτή την περίπτωση συχνά ψάχνω να βρω την προφανή ρίζα της εξίσωσης,,, και στη συνέχεια δείχνω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, άρα η προφανής ρίζα είναι μοναδική. Για ανισώσεις ισχύει ότι : αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και,, με αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ και,, με στο D. Παρατηρώ ότι, άρα από έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ , έχω 6, ή, Επειδή θέλω 6,,

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προβλήματα Ακρότατων Για να υπολογίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i. Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρική φύση, Κατασκευάζουμε το σχήμα. ii. βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους που αναφέρεται το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δυο μεταβλητές, βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει από την εκφώνηση του προβλήματος ή από το σχήμα και αντικαθιστούμε τη μια συνάρτηση της άλλης. iii. Από την εκφώνηση του προβλήματος βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή, οι οποίοι καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. iv. Τέλος κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακρότατων της συνάρτησης, απ όπου προκύπτει και το αποτέλεσμα. 7. Θέλουμε να τυπώσουμε σελίδες εμβαδού 84cm έτσι, ώστε τα περιθώρια του κειμένου να είναι cm πάνω και κάτω και cm δεξιά και αριστερά. Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει κάθε σελίδα, ώστε το κείμενο να καταλαμβάνει τον μεγαλύτερο δυνατό χώρο της σελίδας. Έστω ότι οι διαστάσεις της σελίδας είναι,y. Τότε θα είναι 84 ί 84 y 84 y Οι διαστάσεις του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι ή 4και ύ y y 6. Άρα το εμβαδόν του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ έ 4 y 6. Ψάχνουμε τις τιμές των,y ώστε το να γίνεται μέγιστο έ Το πεδίο ορισμού προκύπτει ως εξής : το μικρότερο μήκος είναι min 4. Για να βρω τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το μήκος θα πρέπει να λάβω υπόψη 84 ότι y 84 y. Άρα όσο μεγαλώνει το τόσο μικραίνει το y. Άρα το μέγιστο 84 το βρίσκω θέτοντας το μικρότερο y που είναι y min 6. Άρα 6 ma 64. Άρα D 4,64 έ Θέλω να βρω τις τιμές του για τις οποίες το έ παίρνει τη μέγιστη τιμή του έ , έ , ή, 6 απορ έ + - έ έ γν. αύξουσα Ο.Μ. γν. φθίνουσα έ ,6 *, όμως D 4,64 άρα 4,6 έ έ , 6 6, *, όμως D 4,64 άρα 6,64. έ *Για την ανίσωση 6, έχω Από το πινακάκι βλέπουμε ότι το 6 6 cm cm και y 4cm. 6 παίρνει τη μέγιστη τιμή όταν 6 την έ έ Άρα οι ζητούμενες διαστάσεις είναι ma ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση = συν+ημ. A. Να αποδείξετε ότι. Μονάδες 8 Β.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α,. Μονάδες 8 Γ.Να βρείτε την τιμή λir για την οποία ισχύει η σχέση:. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο.μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της.μονάδες 7 δ. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της καμπύλης της συνάρτησης που είναι παράλληλες στην ευθεία y = +. Μονάδες ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. -, γ. R- {-, } δ., + Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι < για κάθε του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 7 Μονάδες 6 Γ. Να υπολογίσετε το Δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, με τον άξονα.μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 Ο 4 Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο 4 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.μονάδες Β. Να υπολογίσετε το Μονάδες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Ο 4B Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο. α. Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι.μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α,. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 6 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,, +. α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Λ,. Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σημείο Μ, y της γραφικής παράστασης της φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και yy, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Ο, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. Μονάδες ΘΕΜΑ 7 Ο B Δίνεται η συνάρτηση = αln - β με α, β R. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Μονάδες β. Να βρείτε την παράγωγο της για κάθε, το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες γ. Να βρείτε τα α και β, ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Α, της γραφικής παράστασης της να είναι y=-. Μονάδες. Μονάδες 7 δ. Να βρείτε το ΘΕΜΑ 8 Ο 6 B Δίνεται η συνάρτηση = α +β+9 με α,β IR. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της Α, είναι y = +, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α= και β= 6. Μονάδες β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες ΘΕΜΑ 9 Ο 7 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο = +, όπου πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι =+ Μονάδες β. Να βρεθεί το - -.Μονάδες ΘΕΜΑ Ο 8 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο, όπου πραγματικός αριθμός. α. Να υπολογίσετε το όριο.μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι =. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ 4 Ο 8 Β Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους m μια ορθογών ια περιοχή από τις τρεις πλευρές της Σχήμα. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι. α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον τύπο =. β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των m. ΘΕΜΑ Ο 9 Δίνεται η συνάρτηση 6 a 7, a για την οποία ισχύει :,. i. Να δείξετε ότι α=9 ii. Να υπολογίσετε το όριο iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y. ΘΕΜΑ 4 Ο 9 Δίνεται η συνάρτηση ln 6,,. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα. ΘΕΜΑ 4 Ο 9 Β Δίνεται η συνάρτηση a 8, a. i. Αν 7 να βρείτε την τιμή του a. ii. Αν a να υπολογίσετε το όριο iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της με τετμημενη. ΘΕΜΑ 4 Ο 9 Β Δίνεται η συνάρτηση v,,, v N με v. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να δείξετε ότι, 4 v για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ 6 Ο Δίνεται η συνάρτηση,. i. Να υπολογίσετε το όριο ii. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της C στο σημείο της με τετμημενη iii. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα. ΘΕΜΑ 7 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση,. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Δίνεται η συνάρτηση. Να λυθεί η εξίσωση. ΘΕΜΑ 8 Ο Β Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες σε C σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 4ώρου, προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης t t 4 t a, όπου a και t,4] ο χρόνος σε ώρες. i. Να αποδείξετε ότι για t,4] η θερμοκρασία μειώνεται και για t 4,4] η θερμοκρασία αυξάνεται. ii. Να υπολογίσετε την τιμή του α, αν γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 4ώρου είναι - C. iii. Για α= να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της περιοχής είναι C iv. t Να υπολογίσετε το όριο : 4 t. t 6 ΘΕΜΑ 9 4 ο +ln Δίνεται η συνάρτηση =, > Δ. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες Δ. Έστω Μ,, > σημείο της γραφικής παράστασης της. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα O στο σημείο Κ, και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ,. Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ 4 ο Β Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς μέτρων, << και στη συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα επάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του είναι =4, << Δίνεται ότι ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α, β, γ είναι V=αβγ. Μονάδες 4 Δ. Να βρείτε για ποια τιμή του η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο. Μονάδες Δ. Να βρείτε το Μονάδες 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ