ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1

ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε στοιχείο του δειγματικού χώρου. Έτσι τα στοιχεία του δειγματικού χώρου ( τα απλά ενδεχόμενα) μεταφέρονται μέσω της τυχαίας μεταβλητής σε πραγματικούς αριθμούς. Οι τυχαίες μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. Μια τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακριτή όταν μπορεί να πάρει μόνο διακεκριμένες τιμές σε κάποιο διάστημα. Ισχύει ότι: PXx0 για κάθε x PX x 1 Η μέση τιμή είναι E X xp X x x x 2 Η διακύμανση είναι VX x PXx Διωνυμική Κατανομή Η διωνυμική κατανομή συμβολίζεται B(n,p) και χαρακτηρίζεται από δύο παραμέτρους: τον αριθμό των επαναλήψεων του πειράματος (n) και την πιθανότητα, (p) το αποτέλεσμα του πειράματος να είναι επιτυχία. Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την B(n,p) [X~B(n,p)] έχουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: n n! PX k pq pq k k! n k! k nk k nk όπου 0kn, 0p1, q1p Η μέση τιμή είναι : EX Η διακύμανση είναι : VX np npq 2

Κατανομή Poisson Η κατανομή Poisson συμβολίζεται με P(λ) και χαρακτηρίζεται από μία παράμετρο, το μέσο αριθμό επιτυχιών σε ένα διάστημα χώρου ή χρόνου λ. Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την P(λ) [X~P(λ)] έχουμε τη συνάρτηση πιθανότητας: k e Pk PX k, k=0,1,2, k! Η μέση τιμή είναι : EX Η διακύμανση είναι : VX Kανονική Κατανομή Έστω Χ συνεχής τυχαία μεταβλητή που μπορεί να πάρει τιμές σε ολόκληρη την ευθεία των πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι η Χ ακολουθεί την κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2 ( και το συμβολίζουμε X~Ν(μ, σ 2 )) αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τον τύπο: f x 1 e 2 1x 2 όπου π = 3,1416 και e = 2,7183 2 Η μέση τιμή είναι : E X Η διακύμανση είναι : V X 2 Για ευκολία στους υπολογισμούς κάνουμε τον εξής μετασχηματισμό: X Z. Οπότε μετατρέπουμε την κανονική κατανομή σε Τυπική Κανονική Κατανομή Ν(0, 1), όπου υπάρχουν πίνακες που δίνουν τις τιμές των πιθανοτήτων για τις διάφορες τιμές της Ζ. Η μέση τιμή είναι : EX Η διακύμανση είναι : 0 VX1 ΑΣΚΗΣΗ 1 ΘΕΜΑ 2 (2011 τ ) Η βαθμολογία των διαγωνιζομένων για τις τελευταίες εξετάσεις στο δημόσιο τομέα (ΑΣΕΠ) ακολουθεί τη Κανονική κατανομή με μέσο 53 και τυπική απόκλιση 8 (η βαθμολογική κλίμακα είναι από 0 έως 100 μονάδες). Αν ένας υποψήφιος έχει βαθμολογηθεί με τουλάχιστον 65, τότε θεωρείται επιτυχών. Αν ένας υποψήφιος 3

έχει βαθμολογία μεταξύ 60 και 65 εντάσσεται σε μία επετηρίδα, η οποία χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις που οι θέσεις δεν καλυφθούν από τους επιτυχόντες του διαγωνισμού. Στον τελευταίο διαγωνισμό προσήλθαν 5121 διαγωνιζόμενοι. (2.Α) Πόσοι διαγωνιζόμενοι αναμένεται να είναι επιτυχόντες; (5%) (2.Β) Πόσοι διαγωνιζόμενοι αναμένεται ότι θα ενταχθούν στην επετηρίδα; (10%) (2.Γ) Αν επιλεγούν τυχαία 10 διαγωνιζόμενοι, ποια η πιθανότητα ακριβώς 9 να έχουν αποτύχει; (10%) ΛΥΣΗ Έστω Χ η τ.μ. που αντιπροσωπεύει την βαθμολογία ενός διαγωνιζόμενου. Ισχύει. X~N(μ,σ 2 ) δηλ. X~N (53,8 2 ) Ερωτημα (2.Α) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: X53 6563 PX 65P PZ 1,51PZ1,510,9332 0,0668 8 8 άρα περίπου 6,68%. Οπότε αναμένουμε περίπου 51210,0668 342 από τους διαγωνιζόμενους να πετύχουν βαθμολογία πάνω από 65. Ερωτημα (2.Β) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 60 53 X 53 65 53 P60 X 65P P0,875 Z 1,5 8 8 8 P Z 1,5 P Z 0,875 0,9332 0,8078 0,1254 Δηλαδή περίπου 12,54%. Οπότε αναμένουμε περίπου 5121 0,1254 642 άτομα να ενταχθούν στην επετηρίδα (να επιτύχουν βαθμό από 50% μέχρι 65%) 5121 0,1254 Ερωτημα (2.Γ) Η πιθανότητα αποτυχίας δίνεται από την X53 6563 PX 65P PZ 1,5 0,9332 ή 93,32% 8 8 Άρα η πιθανότητα να βρούμε ακριβώς 9 που έχουν αποτύχει έστω Υ το ενδεχόμενο «αριθμός αποτυχιών σε n τυχαία επιλεγμένα άτομα» - είναι: 10 9 109 10! 9 PY 9 0,9332 1 0,9332 0,9332 0,0668 0,3585 9 9! 10 9! ή περίπου 35,85%. ΑΣΚΗΣΗ 2 Θέμα 4Α (2011 ε) Υποθέτουμε ότι ο χρόνος μετάβασης ενός εργαζομένου κατοίκου της Αθήνας στην εργασία του ακολουθεί Κανονική κατανομή με μέση τιμή 40 λεπτά και τυπική απόκλιση 20 λεπτά. 4

(α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος να χρειαστεί τουλάχιστον 35 λεπτά για να μεταβελι στην εργασία του; [5%] (β) Ποια είναι η ελάχιστη χρονική διάρκεια μετάβασης στην εργασία για το 20% των εργαζομένων; [10%] ΛΥΣΗ Έστω Χ η τ.μ. που μετρά το χρόνο μετάβασης στην εργασία (σε λεπτά) ενός 2 κατοίκου Αθηνών.. Δίνεται ότι. X~N(40, 20 ). (α) 35 40 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0, 4 20 35 40 P X P 20 P P 01 0,599 (β) Έστω xmin (σε λεπτά) η ελάχιστη χρονική διάρκεια μετάβασης στην εργασία για το 20% των εργαζομένων. Τότε: Χ -40 xmin -40 PX > x min = 0,20 P > = 0,20 20 20 xmin -40 xmin -40 PΖ > = 0,20 1-PΖ < = 0,20 20 20 xmin -40 xmin -40 1- Φ =0,20Φ =0,8 20 20 xmin -40 xmin -40 Φ = Φ0,8416 = 0,8416 20 20 x = 56,83 min Άρα 20% των κατοίκων της Αθήνας χρειάζονται 56,83 λεπτά της ώρας να μεταβούν στην εργασία τους. ΑΣΚΗΣΗ 3 Θέμα 2 (2010 τ ) (α) Αν είναι γνωστό ότι η εβδομαδιαία κατανάλωση γάλακτος (σε lt ) ανά νοικοκυριό σε μια περιοχή ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση κατανάλωση 14 lt και τυπική απόκλιση 2 lt, τότε: (α) ποια η πιθανότητα κατανάλωσης ενός νοικοκυριού να κυμανθεί μεταξύ 15 και 18 lt ; (5%) (β) να υπολογιστεί η ποσότητα γάλακτος πάνω από την οποία θα έχουν κατανάλωση το 20% των νοικοκυριών της περιοχής. (10%) ΛΥΣΗ Έστω Χ η τ.μ. που μετρά την εβδομαδιαία κατανάλωση γάλακτος (σε lt ) ανά νοικοκυριού. Δίνεται ότι. X~N(14, 4 2 ). 5

(α) 15 14 14 18 14 P X P P 2 2 2 2 0,5 0,97725 0, 69146 15 18 0,5 2 0, 2858 x c (β) Έστω το ποσό κατανάλωσης για το οποίο ισχύει Χ -14 xc -14 PX>x c =0,20P > =0,20 2 2 xc -14 xc -14 PΖ > = 0,20 1-PΖ < =0,20 2 2 xc -14 xc -14 1-Φ =0,20Φ =0,8 2 2 xc -14 xc -14 Φ = Φ0,841 = 0,841 2 2 x =15,682lt min Άρα το 20% των νοικοκυριών της περιοχής καταναλώνουν εβδομαδιαία πάνω απο 15,682 lt γάλακτος. ΑΣΚΗΣΗ 4 Θέμα 2 (2009 τ) Ο ελληνικός στρατός διαθέτει για τις M: 165cm - 190cm L: ανάστημα > 190cm στολές των φαντάρων σε τρία μεγέθη, βάσει του παρακάτω πίνακα: S: ανάστημα < 165cm (A) Στρατιωτική μονάδα θα δεχτεί 300 νέους στρατεύσιμους και θέλει να παραγγείλει τις αναγκαίες στολές. Αν είναι γνωστό ότι το ανάστημα των στρατεύσιμων ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο ύψος 180cm και τυπική απόκλιση 12cm, πόσες στολές θα πρέπει να παραγγελθούν από κάθε μέγεθος; (50%) (B) Από τους 12 φαντάρους ενός θαλάμου, ποια η πιθανότητα τουλάχιστον 4 απ αυτούς να φορούν L; (50%) ΛΥΣΗ (A) Έστω Χ η τ.μ. που μετρά το ύψος ενός νέου σε ηλικία στράτευσης (σε cm). Δίνεται ότι. X~N(180, 12 2 ). Τότε η πιθανότητα ένας φαντάρος να έχει ύψος κάτω του 165cm είναι P X 165180 165 P 1, 251 1, 2510,8944 0,1065 12 P P όπ ου.ζ Ν(0,1). Όμοια, 6

P X 190 180 190 P 0,831 0,8310, 7967 0, 2033 12 P P P 165 X 190 1P X 165 P X 190 10,1056 0,2033 0,6911 Άρα Με βάση τις παραπάνω πιθανότητες, οι 300 στολές που θα παραγγελθούν πρέπει να κατανεμηθούν ανά μέγεθος ως S: 300*P(X<165)=300*0,1056=31,68 δηλ.32 300* P 165 X 190 300*0,6911 207,33 δηλ.207 M: L: 300*P(X>190)=300*0,2033=60,99 δηλ.61 (B) Έστω Υ η τ.μ. που μετρά το πλήθος των φαντάρων ενός θαλάμου 12 ατόμων που φορούν L. Τότε η Υ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή 12,, 0,1,...,12 p P X 190 0, 2033 0, 20. Y B p Y με Έτσι το ζητούμενο είναι PY 4 1PY 0 PY 1 PY 2 PY 3 Όπου 12 0 12 12! 0 P Y 0 p 1 p 0,2 10,2 12 0,0687 0 0!12! 12 1 11 12! 1 11 PY 1 p1 p 0,2 10,2 0,2062 1 1!11! 12 2 10 12! 2 10 PY 2 p1 p 0,2 10,2 0,2835 2 2!10! 12 3 9 12! 3 9 PY 3 p1 p 0,2 10,2 0,2362 3 3!9! Τελικά PY 41PY 0PY 1PY 2 PY 3 0, 2054 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 20.54%. ΑΣΚΗΣΗ 5 Θέμα 3 (2009 ε ) Μια εταιρεία ταχυμεταφορών γνωρίζει πως ο αριθμός των λανθασμένων αποστολών δεμάτων σε περίοδο ενός μήνα ακολουθεί την κατανομή Poisson χωρίς όμως να ξέρει την παράμετρο της. Γνωρίζει όμως ότι η πιθανότητα να αποσταλούν λανθασμένα 2 δέματα είναι ίδια με την πιθανότητα να αποσταλεί λανθασμένα ένα δέμα. α) Ποία είναι η πιθανότητα να αποσταλούν λανθασμένα ακριβώς 4 δέματα σε μια χρονική περίοδο 2 μηνών; (30%) β) Ποία είναι η πιθανότητα να αποσταλούν λανθασμένα 4 δέματα, σε έναν μήνα, ξέροντας πως έχει αποσταλεί τουλάχιστον ένα δέμα λάθος; (30%) γ) Θεωρήστε ότι ο αριθμός των λανθασμένων αποστολών είναι ανεξάρτητος από μήνα σε μήνα Πιστεύετε ότι η πιθανότητα σε περίοδο 2 μηνών να υπάρξουν 4 λανθασμένες αποστολές δεμάτων είναι ίδια με την πιθανότητα να υπάρξουν 2 λανθασμένες αποστολές τον πρώτο μήνα και 2 τον δεύτερο; Εξηγήστε. (40%) 7

Λ ΥΣΗ Έστω τ.μ. X : αριθμός δεμάτων σε περίοδο 1 μήνα. X ~ Poisson (λ). Γνωρίζουμε ότι 2 1 e e 2 PX2PX1 22 ή λ=0 απορρίπτεται 2! 1! Άρα Χ : αριθμός δεμάτων σε περίοδο ένα α) θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή Y: αριθμός δεμάτων σε περίοδο 2 μηνών. Θα ισχύει ότι Y ~ Poisson (λ =2λ=4). Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 4 4 4 e e 4 P4 0,1953 4! 4! (β) επανερχόμαστε στην περίπτωση όπου μας ενδιαφέρει ο αροθμός των δεμάτων σε περίοδο ένα μήνα, δηλ. Χ Poisson (λ=2). Η ζητούμενη πιθανότητα είναι PX 4X1 PX 4 PX 4 PX 4\X1 PX1 PX1 1PX0 4 2 4 e e 2 4! 4! 0,1043 0 2 e 1e 1 0! (γ) Έστω Χ 1, Χ 2 οι λανθασμένες αποστολές κάθε μήνα και χρησιμοποιώντας την ανεξαρτησία τους, τότε το ενδεχόμενο δύο λανθασμένων αποστολών κάθε μήνα έχει πιθανότητα Χ 1, Χ 2 Poisson (λ=2). 2 2 2 2 e 2 e 2 PX1 2PX2 2 0,0732 2! 2! Όμως η πιθανότητα 4 λανθασμένων αποστολών σε δύο μήνες είναι P4 0,1953 και άρα διαφορετική. Είναι λογικό διότ ι μπορεί ν α έχω π.χ. 3 λανθασμένες αποστολές τον πρώτο μήνα και 1 τον δεύτερο. ΑΣΚΗΣΗ 6 Θέμα Β.4 (2008) α) Από έρευνα που έγινε για τα εβδομαδιαία έξοδα διατροφής των νοικοκυριών ενός νομού, προέκυψε ότι αυτά ακολουθούν κανονική κατανομή με μέση τιμή 150 ευρώ και τυπική απόκλιση 40 ευρώ. Αν ένα τυχαία επιλεγμένο νοικοκυριό του συγκεκριμένου νομού έχει εβδομαδιαία έσοδα ύψους 300 ευρώ, να υπολογισθεί η πιθανότητα, μετά την αφαίρεση των εξόδων διατροφής, να του απομένουν μεταξύ 120 και 170 ευρώ. (40%) Να υπολογισθεί μέχρι ποιο ποσό φτάνουν τα έξοδα διατροφής για το 10% των νοικοκυριών που ξοδεύουν για το σκοπό αυτό τα λιγότερα χρήματα ανά εβδομάδα.(30%) β) Ένας καθηγητής του ΕΑΠ επικοινωνεί κάθε εβδομάδα με τους φοιτητές του μέσω τηλεφώνου σε προκαθορισμένα χρονικά διαστήματα συνολικής διάρκειας 3 ωρών (ώρες γραφείου). Σε αυτές τις ώρες, ο καθηγητής λαμβάνει κατά μέσο όρο 8

μία κλήση ανά 45 λεπτά. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογιστεί η πιθανότητα ο καθηγητής να λάβει τουλάχιστον δύο κλήσεις στις ώρες γραφείου μιας εβδομάδας. (30%) Λ ύση B.4 α) Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τα έξοδα ενός τυχαία επιλεγμένου νοικοκυριού. Σύμφωνα με τα δεδομένα η τ.μ. Χ ακολουθεί Κανονική Κατανομή με μέσο μ=150 και τυπική απόκλιση σ=40. Δηλαδή X~N(μ=150, σ=40). (i) Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P(130<X<180)=. 130 180 130 150 180 150 P P 40 40 20 30 1 3 P P P0.5 0.75 P0.75P0.5 40 40 2 4 =0.7734-0.3085=0.4649 0,465 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 46.5%. (ii) Έστω Π το ζητούμενο ποσό. Θα πρέπει να ισχύει : PX ( ) 0,10 X 150 150 P 0,10 40 40 150 PZ 0,10 40 150 0,10 40 150 1, 28 40 150 1.28*40 150 1.28*40 98.8 Άρα το ποσό θα πρέπει να είναι μέχρι 98,8 ευρώ. β) 1 κλήση ανά 45 λεπτά σημαίνει 3*60/45=4 κλήσεις στις 3 ώρες γραφείου ανά εβδομάδα. Έστω Χ οι κλήσεις για τις 3 ώρες γραφείου (ανά εβδομάδα) τότε Χ~Poisson(4) Ζητείται η πιθανότητα PX ( 2) 1 PX ( 0) PX ( 1) Αλλά, 4 0 e 4 4 PX ( 0) e 0, 0183 0! 4 1 e 4 4 PX ( 1) e *4 0,0733 1! Άρα PX ( 2) 10,0183 0,0733 0,9084 9

ΑΣΚΗΣΗ 7 Θέμα Α.4 (2008 τ) α) Η βαθμολογία (σε μόρια) των επιτυχόντων σε μία σχολή ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν (565, 72 2 ). Να προσδιοριστεί το ποσοστό των επιτυχόντων με βαθμολογία μεταξύ 475 και 640 (20%) Να προσδιορισθεί η ελάχιστη βαθμολογία που πρέπει να συγκεντρώσει ένας επιτυχών ώστε να ανήκει στο 10% εκείνων με τη μεγαλύτερη βαθμολογία(30%) β). Ο μέσος αριθμός λαθών που γίνονται από μία δακτυλογράφο είναι 2 λάθη ανά λεπτό δακτυλογράφησης. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: Να μην γίνει κανένα λάθος σε μία δακτυλογράφηση διάρκειας δύο λεπτών(20%) Να γίνουν τουλάχιστον 2 λάθη σε μία δακτυλογράφηση διάρκειας μισού λεπτού(30% ) Λ ύση A.4 α) 475 565 640 565 i. P(475 X 640) P Z 72 72 P( 1,25 Z 1,04) (1,04) ( 1,25). 0,8508 0,1056 0,7452 ii P X x 0,101P X x 0,90P X x 0,90. 0 0 0 X 565 x 565 x 565 P P 72 72 72 x0 565 x0 565 0.90 1,28 72 72 0 0 0.90 Z 0.90 x0 1, 28*72 565 92,16 565 657,16 Αρα, ο επιτυχών πρέπει να συγκεντρώσει τουλάχιστον 658 μόρια. β) i. Ο μέσος αριθμός λαθών, που πληκτρολογούνται σε ένα λεπτό, είναι 2. Άρα στα 2 λεπτά πληκτρολογούνται 2*2 λάθη = 4 λάθη κατά μέσο όρο. Δηλαδή λ =4 λάθη / 2λεπτο. Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των λαθών ένα τυχαία επιλεγμένο δίλεπτο. Προφανώς η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο 4. Δηλαδή, X P (4) Η ζητούμενη πιθ ανότητα είναι: 0 4 4 PX ( 0 4) e e 0! 4 0, 0183 ii. Στη διάρκεια μισού λεπτού ο αναμενόμενος αριθμός λαθών είναι 2/2=1 10

Ά ρα εδώ έχουμε Y P( 1) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Ρ( Υ 2 λ=1) = 1 Ρ(Υ < 2) = 1 Ρ(Υ=0) P(Υ=1) 0 1 1 1 1 = 1 e e = 1 2* e 1 = 0,264 0! 1! ΑΣΚΗΣΗ 8 Θέμα Β.4 (2006 τ ) Α. Από ιστορικά στοιχεία που τηρεί η εταιρεία παρασκευής του φαρμάκου ΑΒ που χρησιμοποιείται για μια συγκεκριμένη ασθένεια, προκύπτει ότι αυτό ήταν αποτελεσματικό στο 30% των περιπτώσεων για τις οποίες χορηγήθηκε. Αν ένας γιατρός συνταγογραφήσει σήμερα το συγκεκριμένο φάρμακο σε τέσσερις ασθενείς ποια είναι η πιθανότητα ότι θα είναι αποτελεσματικό σε τουλάχιστον τρεις από αυτούς;(50%) Β.Ο μέσος αριθμός τηλεφωνημάτων που δέχεται το τηλέφωνο της γραμματείας ενός πανεπιστημιακού τμήματος σε μία ώρα είναι 12. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: Να μη δεχτεί κανένα τηλεφώνημα κατά τη διάρκεια ενός εξαλέπτου. (20%) Να δεχτεί περισσότερα από 3 τηλεφωνήματα στη διάρκεια μισής ώρας. (30%) Λ ύση Α. Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των ασθενών στους οποίους το φάρμακο ΑΒ ήταν αποτελεσματικό. Από την υπόθεση έχουμε 4 ανεξάρτητες δοκιμές, τη χορήγηση του φαρμάκου στους 4 ασθενείς. Η σταθερή πιθανότητα της «επιτυχίας» είναι, από την υπόθεση, 0,30. Είναι φανερό ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n = 4 και p = 0,30. Δηλαδή Χ~Β(n, p) με n=4, p=0,30. Ζητάμε την πιθανότητα P(X = 3 ή X = 4 ). Τα ενδεχόμενα X = 3 & X = 4 είναι ασυμβίβαστα. Από το τρίτο αξίωμα των πιθανοτήτων προκύπτει ότι P(X = 3 ή X = n x n 4 ) = P(X = 3) + P(X = 4). Είναι επίσης γνωστό ότι ( ) (1 ) x PX x p p. x Κατά συνέπεια, 4 3 1 PX ( 3) (0,30) (1 0.30) 3 3 1 4* 0,30 *0,70. Και 4*0,027*0,70 0, 0756 11

4 P( X 4) 0,30 (10,03) 4 1*0,0081*1 4 0 = 0,0081 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(X = 3 ή X = 4 ) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837. Αυτό σημαίνει, πως στο 8,37% των φορών που χορηγείται το ΑΒ θα είναι αποτελεσματικό σε τουλάχιστον 3 ασθενείς. B. (i) Ο μέσος αριθμός τηλεφωνημάτων, που δέχεται το τηλέφωνο της γραμματείας μέσα σε μία ώρα, είναι 12. Άρα στα 6 λεπτά η γραμματεία δέχεται 12*6/60 τηλεφωνήματα = 1,2 τηλεφωνήματα Δηλαδή λ = 1,2 τηλεφωνήματα / 6λεπτο. Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των τηλεφωνημάτων που δέχεται η γραμματεία ένα τυχαία επιλεγμένο εξάλεπτο. Προφανώς το Χ ~ P(λ) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 0 1.2 1.2 Ρ(Χ=0/λ=1,2) = e =0.3012 0! (ii) Στη διάρκεια μισής ώρας ο αναμενόμενος αριθμός τηλεφωνημάτων που δέχεται η γραμματεία είναι λ=5*1,2=6 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 3 6 x e 6 Ρ(Υ>3/λ=6) =1- = x0 x! 2 3 6 6 6 6 1e 1 0.8488. 1! 2! 3! ΑΣΚΗΣΗ 9 Θέμα Β.3 (2006 τ ) Μια εταιρεία έρευνας αγοράς ανέλαβε να διεξάγει έρευνα για λογαριασμό ενός super market με σκοπό την ανάλυση των αγορών που κάνουν οι πελάτες του συγκεκριμένου super market τις Παρασκευές. Από την ανάλυση των στοιχείων που συνέλεξαν οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι το ύψος των αγορών των πελατών του super market την Παρασκευή μπορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 60 ευρώ και τυπική απόκλιση 25 ευρώ. Να υπολογιστεί η πιθανότητα το ύψος των αγορών ενός τυχαία επιλεγμένου πελάτη που έρχεται να κάνει τις αγορές του στο συγκεκριμένο super market την Παρασκευή να ξεπεράσει τα 100 ευρώ..(50%) Το super market προγραμματίζει να δώσει κάποια προσφορά στους πελάτες που έρχονται για αγορές την Παρασκευή και των οποίων οι αγορές ξεπερνούν κάποιο ποσό Π. Αν το μέτρο αυτό δεν πρέπει να επεκταθεί σε περισσότερους από το 5% των πελατών του να υπολογιστεί ποιο θα πρέπει να είναι το ποσό...(50%) 12

Λύση Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το ύψος των αγορών ενός τυχαία επιλεγμένου πελάτη την Παρασκευή στο συγκεκριμένο super market. Σύμφωνα με τα δεδομένα η τ.μ. Χ ακολουθεί Κανονική Κατανομή με μέσο μ=60 και τυπική απόκλιση σ=25. Δηλαδή X~N(μ=60, σ=25). (i) Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X>100). X-μ 100-μ 100-60 P(X>100)=P > =P Z> σ σ 25 P Z>1.6 = 1-P Z<1.6 = 1-0,9452 = 0,0548 0,055 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 5.5%. (ii) Έστω Π το ζητούμενο ποσό. Θα πρέπει να ισχύει : P (X ) 0, 05 X 60 60 P 0,05 25 25 60 P Z 0,05 25 60 1 0,05 25 60 60 60 1 0,05 0,95 1,645 25 25 25 60 1,645* 25 60 1,645* 25 101,25 Άρα το ποσό θα πρέπει να είναι τουλάχιστον 101,25 ευρώ. ΑΣΚΗΣΗ 10 Θέμα Β.4 (2006 ε ) α. Στο ταμείο ενός super market, κατά την τελευταία ώρα λειτουργίας του, ο μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά για να πληρώσουν είναι 4 πελάτες το πεντάλεπτο. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: Να υπάρχουν τουλάχιστον 3 πελάτες στην ουρά, 10 λεπτά πριν το κλείσιμο (25%) Ένας πελάτης που φθάνει στο ταμείο δύο λεπτά πριν το κλείσιμο, να βρει το πολύ έναν πελάτη που περιμένει στην ουρά για να πληρώσει...(25%) β. Από 4 αντρόγυνα που συμμετέχουν σε έναν πολιτιστικό σύλλογο θα πρέπει να επιλεγεί μία τριμελής επιτροπή. Αν τα μέλη της επιτροπής επιλεγούν τυχαία να υπολογιστούν οι πιθανότητες: Η επιτροπή να περιέχει τουλάχιστον δύο γυναίκες...(25%) Η επιτροπή να περιέχει μόνο ένα άτομο από κάθε αντρόγυνο...(25%) 13

Λ ύση Β4 α (i) Το πλήθος Χ των πελατών που περιμένουν στην ουρά ακολουθεί κατανομή Poisson και έχει μέσο λ = 4 πελάτες ανά 5 λεπτά δηλαδή με λ = 4 = 0,8 πελάτες 5 ανά λεπτό. Ρ(να υπάρχουν τουλάχιστον 3 πελάτες στην ουρά, 10 λεπτά πριν το κλείσιμο) = Ρ(Χ 3 λ=10*0,8) =1-Ρ(Χ<3 λ=8) = 1-Ρ(Χ=0 λ=8)-ρ(χ=1 λ=8) -Ρ(Χ=2 λ=8) = 0 1 2 0 1 2 8 8 8 8 8 8 1e e e 1e e e 0! 1! 2! 0! 1! 2! 1e 8e 32e 8 8 8 8 141e 10.0137 0.9863 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0,9863. α (ii) Ρ(να υπάρχει το πολύ 1 πελάτης στην ουρά, 2 λεπτά πριν το κλείσιμο) = = Ρ(Χ=0 ή 1 λ=2*0,8) 0 1 =Ρ(Χ=0 λ=2*0,8) + Ρ(Χ=1 λ=2*0,8) = e e = 1,6 1,6 e e 1, 6 0,5249 0! 1! Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0,5249 β (i) P(2 τουλάχιστον γυναίκες στην επιτροπή) = P(2 γυναίκες & 1 άντρας) + P(3 γυναίκες) 44 44 2 1 3 0 8 8 3 3 4! 4! 4! 4! * * 2!2! 1!3! 3!1! 0!4! 28 0.5 8! 56 3!5! β (ii) 4 *2*2*2 3 P(ένα άτομο από κάθε αντρόγυνο στην επιτροπή) 8 3 4! *2*2*2 3!1! 32 0.5714 0.57 8! 56 3!5! 14

ΑΣΚΗΣΗ 11 Θέμα Α.4 (2005 τ ) Οι 520 υπάλληλοι μιας εταιρείας πέραν των κανονικών ωρών εργασίας τους απασχολούνται και υπερωριακά. Από ιστορικά στοιχεία που τηρεί η Διεύθυνση Προσωπικού της εταιρείας προκύπτει ότι ο χρόνος της εβδομαδιαίας υπερωριακής απασχόλησής τους ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 135 λεπτά και τυπική απόκλιση 30 λεπτά. α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος υπάλληλος της εταιρείας να έχει απασχοληθεί υπερωριακά περισσότερο από 165 λεπτά σε τουλάχιστον 4 από τις προηγούμενες 5 εβδομάδες. (50%) β) Ο Διευθυντής Προσωπικού στα πλαίσια των προσπαθειών του για μείωση του κόστους υπερωριακής απασχόλησης καθόρισε ένα ανώτατο όριο εβδομαδιαίας υπερωριακής απασχόλησης Π το οποίο δεν θα πρέπει να υπερβαίνουν περισσότεροι από 130 υπάλληλοι κάθ ε εβδομάδα. Ν α προσδιοριστεί το όριο αυτό. (50%) Λ ύση Α.4 Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το χρόνο της εβδομαδιαίας υπερωριακής απασχόλησης ενός υπαλλήλου. Σύμφωνα με τα δεδομένα η τ.μ. Χ ακολουθεί Κανονική Κατανομή με μέσο μ=135 και τυπική απόκλιση σ=30. Δηλαδή X~N(μ=135, σ=30). α) Θα υπολογίσουμε καταρχήν την πιθανότητα P(X>165). X-μ 165-μ 165-135 P(X>165)=P > =P Z> σ σ 30 1-P Z<1 =1-0,8413 = 0,1587 0,16 PZ>1 = Άρα η ζητούμε νη πιθανότητα είναι 16%. Έστω Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των εβδομάδων (στις 5 συνολικά) που ένας υπάλληλος εργάστηκε υπερωριακά περισσότερο από 165 λεπτά. Σύμφωνα με τα παραπάνω η Υ ακολουθεί Διωνυμική Κατανομή με n=5 και p=0,16. Δηλαδή Υ ~ Β (n=5, p=0,16). Ζητάμε την πιθανότητα P(Y 4 n 5, p 0,16 ) P(Y 4 n 5, p 0,16 ) P(Y 4 n 5, p 0,16 ) P(Y 5 n 5, p 0,16 ) 5! 5! 0,16 *0,84 0,16 *0,84 4! 54! 5! 55! 5 0,000655*0,84 1*0,000105*1 1 5*0, 0005510, 000105 0, 00286 0, 0029 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0,29% 4 1 5 0 15

β) Έστω Π το όριο της εβδομαδιαίας υπερωριακής απασχόλησης που θέτει ο Διευθυντής Προσωπικού. Οι 130 υπάλληλοι οι οποίοι μπορούν να υπερβούν το όριο αυτό αποτελούν το 25% του συνόλου των 520 υπαλλήλων. Σύμφωνα με την απόφαση του Διευθυντή: P( X Π ) 025, X 135 Π135 Π 135 P 025, P Z 025, 30 30 30 Π135 Π 135 1Φ 0, 25 Φ 10, 25 30 30 Π135 Π135 Φ 075, 067, 30 30 Π 135 0, 67* 30 Π 135 0, 67* 30 Π 155, 1 Άρα το ανώτατο όριο εβδομαδιαίας υπερωριακής απασχόλησης είναι Π 155, 1 λεπτά. ΑΣΚΗΣΗ 12 Θέμα Β.4 (2005 τ ) α i) Ένα Γραφείο συντήρησης μηχανών γραφείου διαπραγματεύεται τη σύναψη μιας σύμβασης για την επισκευή των φωτοτυπικών μηχανημάτων μιας εταιρείας. Οι βλάβες στα μηχανήματα της εταιρείας εμφανίζονται με μέσο ρυθμό μία βλάβη ανά δύο ημέρες. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθεί η πιθανότητα εμφάνισης μίας τουλάχιστον βλάβης στα μηχανήματα της εταιρείας σε ένα τυχαία επιλεγμένο διήμερο. (30%) α ii) Η εταιρεία έχει θέσει ως όρο την αυθημερόν επισκευή των μηχανημάτων της σε τουλάχιστον 19 από τις 20 περιπτώσεις βλαβών. Το Γραφείο θα αναθέσει την υλοποίηση της σύμβασης σε έναν υπάλληλό του που έχει τη δυνατότητα επισκευής το πολύ 2 βλαβών ημερησίως και μελετά την αναγκαιότητα πρόσληψης και ενός δεύτερου υπαλλήλου της ίδιας δυναμικότητας, ώστε να ικανοποιείται ο όρος της αυθημερόν επισκευής που έχει θέσει η εταιρεία. Να εξεταστεί εάν είναι απαραίτητη η πρόσληψη του δεύτερου υπαλλήλου. (40%) β) Σε μια τάξη που αποτελείται από 8 μαθητές και 5 μαθήτριες πρόκειται να συγκροτηθεί μια επιτροπή 6 ατόμων για να διοργανώσει μια πολιτιστική εκδήλωση. Αν τα 6 άτομα επιλεγούν τυχαία να υπολογισθεί η πιθανότητα στην επιτροπή να περιλαμβάνονται τουλάχιστον 4 μαθήτριες. (30%) Λύση Β.4 α) Σύμφωνα με τα δεδομένα η εμφάνιση των βλαβών ακολουθεί κατανομή Poisson με μέσο λ=1 βλάβη ανά 2 μέρες, δηλαδή λ 0,5 βλάβη ανά ημέρα. Έστω Υ ο αριθμός των βλαβών που θα εμφανιστούν σε ένα τυχαία επιλεγμένο διήμερο. Σύμφωνα με τα παραπάνω η τ.μ. Υ ακολουθεί κατανομή Poisson με λ1 2*0,5 1. Δηλαδή Υ P( λ1 1). 16

Ζητάμε την πιθανότητα P(Y 1) P(Y 1) 1P(Y 1) 1P(Y 0 ) =1-e =1-{0,3679}=0,6321 1 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 63,21% Ο όρος που θέτει η εταιρεία είναι αυθημερόν επισκευή των μηχανημάτων σε τουλάχιστον 19 από τις 20 περιπτώσεις, δηλαδή αυθημερόν επισκευή με πιθανότητα 95%. Κατά συνέπεια το γραφείο θα χρειαστεί να προσλάβει και δεύτερο υπάλληλο μόνο αν η πιθανότητα εμφάνισης περισσότερων από 2 βλάβες σε μια τυχαία επιλεγμένη ημέρα (τις οποίες μπορεί να επισκευάσει ο υπάρχων υπάλληλος) είναι μεγαλύτερη από 5%. Έστω Χ ο αριθμός των βλαβών σε μια τυχαία επιλεγμένη ημέρα. Σύμφωνα με τα δεδομένα η τ.μ. Χ ακολουθεί κατανομή Poisson με λ 0,5. Δηλαδή Χ P( λ 0,5) Ζητάμε την πιθανότητα P( X 2 ) P( X 2 ) 1P( X 2 ) 1 P( X 0 ) P( X 1) P( X 2 ) 2 0,5 0,5 0,5 =1- e e * 0,5 e * 2! =1-{0,60636+0,3032+0,0758} =0,0146 Ζητάμε την πιθανότητα P( τουλάχιστον 4 μαθήτριες στην επιτροπή ) P( τουλάχιστον 4 μαθήτριες στην επιτροπή ) P( 4 μαθήτριες στην επιτροπή ) P(5μαθήτριες στην επιτροπή ) 0,5 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1,46%. Επειδή 1,46%<5% ο υπάρχων υπάλληλος μπορεί να ικανοποιήσει τον όρο της εταιρείας και κατά συνέπεια δεν χρειάζεται να προσληφθεί δεύτερος. β) Κατά τη δημιουργία της επιτροπής δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής των ατόμων που θα την απαρτίζουν και κατά συνέπεια θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους των Συνδυασμών. Εξάδες με 4 μαθήτριες και 2 μαθητές Εξάδες με 5 μαθήτριες και1 μαθητή Συνολικός αριθμός εξάδων Συνολικός αριθμός εξάδων 5! 8! 5! 8! * * 5C*C 4 8 2 5C*C 5 8 1 5C*C 4 8 2 5C*C 4! 5 4! 2! 8 2! 5! 5 5! 1! 8 1 5 8 1! 13C6 13C 13! 6 13C6 6! 13 6! 17

5! 8! 5! 8! 5 7*8 8 * * * 1* 4!1! 2!6! 5!0! 1!7! 5* 28 8 148 1 2 1 13! 8* 9* 10* 11* 12* 13 1235520 1716 6!7! 1* 2* 3* 4* 5* 6 720 0,086 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 8,6%. ΑΣΚΗΣΗ 13 Θέμα Β.3 (2005 ε) α) Στις προσεχείς εξετάσεις των Μαθηματικών του πρώτου έτους ενός Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων θα υπάρχουν 20 ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών με 5 δυνατές επιλογές η κάθε μια. Οι 15 πρώτες ερωτήσεις καλύπτουν το θεωρητικό μέρος του μαθήματος και οι υπόλοιπες 5 πρακτικές εφαρμογές. Υποθέτουμε ότι ένας φοιτητής έχει μελετήσει άριστα το θεωρητικό μέρος και θα απαντήσει σωστά στις ερωτήσεις που αναφέρονται σε αυτό, ενώ δεν έχει μελετήσει τις πρακτικές εφαρμογές και θα απαντήσει στην τύχη στις ερωτήσεις που αναφέρονται σε αυτό. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι κάθε σωστή απάντηση δίνει ένα βαθμό, ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται ένας βαθμός. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθεί για το συγκεκριμένο φοιτητή: Η πιθανότητα να απαντήσει σωστά μόνο στις 15 ερωτήσεις του θεωρητικού μέρους. (25%) Η αναμενόμενη βαθμολογία του στην παραπάνω περίπτωση.(25%) β) Σε 300 φορολογικές δηλώσεις που υποβλήθηκαν σε μια συγκεκριμένη ΔΟΥ διαπιστώθηκε ότι 180 περιείχαν λάθη και για 54 από αυτές ζητήθηκε από τα άτομα που τις υπέβαλαν να προσέλθουν για συμπληρωματικό έλεγχο και διευκρινήσεις. Αντίστοιχα, για τις φορολογικές δηλώσεις που δεν περιείχαν λάθη ζητήθηκε να προσέλθουν για συμπληρωματικό έλεγχο και διευκρινήσεις μόνο το 4% των ατόμων που τις υπέβαλαν. Αν επιλέξουμε τυχαία μια φορολογική δήλωση, να υπολογισθεί η πιθανότητα το άτομο που την υπέβαλε να έχει κληθεί για συμπληρωματικό έλεγχο. (25%) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα από τα άτομα που υπέβαλαν φορολογική δήλωση και δεν έχουν κληθεί για έλεγχο, να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι η δήλωσή του περιέχει λάθη. (25%) Λύση Β.3 α) Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης ο φοιτητής θα απαντήσει στις 15 πρώτες ερωτήσεις σωστά με βεβαιότητα. Για τις επόμενες 5 ερωτήσεις ο αριθμός των σωστών απαντήσεων που θα δώσει αποτελεί τυχαία μεταβλητή Χ η οποία ακολουθεί την Διωνυμική κατανομή με n 5 και p 0, 2 (μια σωστή απάντηση μεταξύ 5 δυνατών επιλογών). Δηλαδή X B( n 5, p 0,2). i. Ζητάμε ουσιαστικά την πιθανότητα να μην απαντήσει σωστά σε καμία από P X 0 n 5,p 0, 2 τις τελευταίες πέντε ερωτήσεις. Δηλαδή 18

5 0 5 P( X 0) 0, 2 ( 10, 2) 0 5! *, *, * *,,, 0! 5 0! 0 5 5 0 2 0 8 1 1 0 8 0 32768 0 3277 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 32,77%. ii Οι πρώτες 15 ερωτήσεις που θα απαντηθούν σωστά με βεβαιότητα θα του δώσουν 15 μονάδες. Ο αναμενόμενος αριθμός σωστών απαντήσεων στις τελευταίες 5 ερωτήσεις είναι: E( X ) n* p 5* 0, 21 Αντίστοιχα, ο αναμενόμενος αριθμός λανθασμένων απαντήσεων στις τελευταίες 5 ερωτήσεις είναι: E( X ) n* q 5* 10, 2 5* 0, 84. Άρα η αναμενόμενη βαθμολογία του φοιτητή από τις 5 τελευταίες ερωτήσεις είναι: 1*1+4*(-1) = 1-4= -3 μονάδες Κατά συνέπεια η αναμενόμενη συνολική βαθμολογία του και στις 20 ερωτήσεις είναι: 15 + (- 3) = 15 3 = 12 μονάδες. β) Οι 180 φορολογικές δηλώσεις που περιέχουν λάθη αποτελούν το 60% του συνόλου των 300 φορολογικών δηλώσεων που υποβλήθηκαν. Οι 54 φορολογικές δηλώσεις που περιέχουν λάθη και κλήθηκαν για συμπληρωματικό έλεγχο αποτελούν το 30% του συνόλου των 180 φορολογικών δηλώσεων που περιέχουν λάθη. Έστω τα ακόλουθα ενδεχόμενα: Ε: μία φορολογική δήλωση υποβάλλεται σε συμπληρωματικό έλεγχο Λ: μία φορολογική δήλωση περιέχει λάθη Γνωρίζουμε ότι: PE ( ) 0,30 και P( ) 0,60 PE ( ) 0,04 και P( ) 0,40 i. Ζητάμε την πιθανότητα Ρ(Ε). Από το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε: PE ( ) PE ( )* P( ) PE ( )* P( ) (0,30*0, 60) (0, 04*0, 40) 0,196 Άρα η πιθανότητα μία τυχαία επιλεγμένη φορολογική δήλωση να έχει κληθεί για συμπληρωματικό έλεγχο είναι 19,6% ii. Ζητάμε την πιθανότητα P( E) Από το Θεώρημα Bayes έχουμε PE ( )* P( ) (1 0,30)*0,60 P( E) 0,5223 PE ( ) 1 0,196 Άρα η πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη φορολογική δήλωση που δεν έχει κληθεί για έλεγχο να περιέχει λάθη είναι 52,23% 19

ΑΣΚΗΣΗ 14 Θέμα Β.4 (2005 ε ) α) Μία μηχανή συσκευάζει ένα προϊόν σε πακέτα. Σύμφωνα με τις τεχνικές προδιαγραφές της το βάρος των πακέτων που συσκευάζονται ακολουθεί κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση 0,02 κιλά. Επιπλέον, η πιθανότητα ένα πακέτο να ζυγίζει λιγότερο από 2 κιλά είναι 0,0228. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθεί: Η μέση τιμή του βάρους των πακέτων που συσκευάζονται. (25%) Το ποσοστό των πακέτων που έχουν βάρος 2κιλά 20 γραμμάρια. (25%) β) Ο υπεύθυνος διαχείρισης ενός κεντρικού υπολογιστικού συστήματος (mainframe) μίας εταιρίας πρέπει να επιλύει άμεσα τα διάφορα τεχνικά προβλήματα που παρουσιάζονται κατά τη διάρκεια κάθε εργάσιμης ημέρας (ωράριο 9.00-17.00). Με βάση ιστορικά στοιχεία που τηρούνται εμφανίζονται κατά μέσο όρο τρία τέτοια προβλήματα ανά δύο ώρες. Πόσα προβλήματα αναμένει ο υπεύθυνος να εμφανισθούν κατά τη διάρκεια μίας εργάσιμης εβδομάδας 5 ημερών; (20%) Ο υπεύθυνος έχει ζητήσει να πάρει άδεια 2 ωρών για κάποιο προσωπικό ζήτημα. Η πολιτική της εταιρίας καθορίζει ότι άδεια στον υπεύθυνο δίνεται μόνο όταν η πιθανότητα να υπάρχει παραπάνω από ένα εκκρεμές πρόβλημα κατά το διάστημα της απουσίας του δεν ξεπερνά το x %. Να προσδιοριστεί η τιμή του x κάτω από την οποία δεν θα επιτραπεί στον υπεύθυνο διαχείρισης να λάβει την άδεια που ζήτησε. (30%) Λύση Β.4 α) Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το βάρος των πακέτων που συσκευάζονται. Σύμφωνα με τα δεδομένα η Χ ακολουθεί Κανονική Κατανομή με μέσο μ άγνωστο και τυπική απόκλιση σ=0,02. Δηλαδή X N(,0,02). Ζητάμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή μ και για το σκοπό αυτό θα κάνουμε χρήση της πληροφορίας ότι PX ( 2) 0, 0228. PX ( 2) 0,0228 X 2 P 0,0228 2 PZ 0,0228 0,02 2 0,0228 0,02 2 2 0,02 2 2 0,02 2,04 Άρα η ζητούμενη μέση τιμή είναι 2,04 κιλά ii. Ζητάμε την πιθανότητα P2 0, 020 Χ 2 0, 020 P1,98 Χ 2, 02 20

1,98 -μ 2,02-μ P1,98 2, 02 P σ σ 1,98 2,04-2,04 2,02-2,04 P 0,02 0,02 0,02-2,04 P3 1 0,02 ( 1) ( 3) 0,1587 0,0013 0,1574 Άρα το ποσοστό των πακέτων που έχουν βάρος 2κιλά 20 γραμμάρια είναι 15,74%. β) Σύμφωνα με τα δεδομένα η εμφάνιση των προβλημάτων ακολουθεί κατανομή 3 Poisson με μέσο λ=3 προβλήματα ανά 2 ώρες, δηλαδή λ 15, πρόβλημα ανά 2 ώρα. i. Έστω Y 1 ο αριθμός των προβλημάτων που εμφανίζονται στη διάρκεια μιας εβδομάδας 5 ημερών, δηλαδή 40 ωρών. Τότε η τ.μ. Y 1 ακολουθεί κατανομή Poisson με λ 1 1, 5* 40 60. Δηλαδή Y1 P( λ1 60). Ζητάμε τον αναμενόμενο αριθμό προβλημάτων σε μια εργάσιμη εβδομάδα. Ο ζητούμενος αριθμός προβλημάτων είναι EY ( 1) λ 1, δηλαδή EY ( 1) 60. ii. Έστω Y 3 ο αριθμός των προβλημάτων που θα εμφανισθούν σε διάστημα 2 ωρών. Τότε η τ.μ. Y 3 ακολουθεί κατανομή Poisson με λ 3 15, * 23. Δηλαδή Y3 P( λ3 3) Ο υπεύθυνος διαχείρισης του συστήματος θα λάβει την άδεια που ζήτησε εφόσον η πιθανότητα να εμφανιστεί παραπάνω από ένα πρόβλημα κατά το δίωρο της απουσίας του δεν ξεπερνά το ποσοστό x%. Άρα το ζητούμενο ποσοστό ισούται με την πιθανότητα PY 3 1 PY11PY1 3 3 1PY 3 0PY 3 1 3 3 1- e e * 3 1-0, 0498 0, 1494 080,. Άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι 80% 21

ΑΣΚΗΣΗ 15 Θέμα Α.4 (2004 τ ) Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει φούρνους μικροκυμάτων για τους οποίους ο χρόνος που μεσολαβεί μέχρι την εμφάνιση της πρώτης βλάβης ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 4 έτη και τυπική απόκλιση 1,2 έτη. Με βάση τα στοιχεία αυτά: (α)να υπολογισθεί η πιθανότητα ένας φούρνος μικροκυμάτων του συγκεκριμένου εργοστασίου να μην χρειαστεί επισκευή πριν από 5,5 έτη λειτουργίας του. [40%] (β)στα πλαίσια της πολιτικής προσέλκυσης πελατών το εργοστάσιο θέλει να καθορίσει μια περίοδο εγγύησης για τους φούρνους μικροκυμάτων έτσι ώστε αν κάποιος από αυτούς παρουσιάσει βλάβη πριν τη συμπλήρωση της περιόδου αυτής να αντικαθίστανται. Να προσδιοριστεί η περίοδος εγγύησης ώστε το εργοστάσιο να μην αντικαθιστά περισσότερους από το 5% των φούρνων που έχει πουλήσει. [40%] (γ) Σε ένα εστιατόριο πουλήθηκαν 2 φούρνοι μικροκυμάτων του συγκεκριμένου εργοστασίου. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ο ένας από αυτούς να παρουσιάσει βλάβη πριν τη συμπλήρωση του χρόνου της εγγύησης.[20%] Λύση Α.4 Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το χρόνο που μεσολαβεί μέχρι την εμφάνιση της πρώτης βλάβης ενός φούρνου μικροκυμάτων που κατασκευάζεται από το παραπάνω εργοστάσιο. Δίνεται ότι Χ ~ Ν (4, 1,2) (α) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: X 4 5,54 1,5 PX ( 5,5) P P Z PZ ( 1,25) 1 PZ ( 1,25) 1, 2 1, 2 1, 2 1 F (1,25) 1 0,8944 0,1056 (β) Έστω Π η ζητούμενη περίοδος εγγύησης. Για να ικανοποιείται η απαίτηση του κατασκευαστή θα πρέπει η πιθανότητα ένας φούρνος μικροκυμάτων να παρουσιάσει βλάβη μέσα στο χρόνο εγγύησης να είναι 0,05. Άρα X 4 4 4 P ( X ) 0,05 P 0,05 P Z 0, 05 1,2 1,2 1,2 4 4 4 1 P Z 0,95 P Z 0,95 1,645 2,026 2 1,2 1,2 1,2 Συνεπώς η περίοδος εγγύησης πρέπει να είναι 2 χρόνια. (γ) Έστω Φ 1 και Φ 2 οι δύο φούρνοι του εργοστασίου που πωλήθηκαν στο εστιατόριο. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: P(o ένας ακριβώς φούρνος να παρουσιάσει βλάβη πριν την εγγύηση) = P(να παρουσιάσει βλάβη ο Φ 1 ) P(να μην παρουσιάσει βλάβη ο Φ 2 ) + P(να μην παρουσιάσει βλάβη ο Φ 1 ) P(να παρουσιάσει βλάβη ο Φ 2 ) = = 0,05*0,95 + 0,95*,005 = 0,0475 + 0,0475 = 0,095 22

ΑΣΚΗΣΗ 16 Θέμα Β.4 (2004 τ ) (α) Δεκαπέντε άτομα, τα οποία αποφασίζουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, πρέπει να επιλέξουν μεταξύ δύο επενδυτικών σχεδίων Ε 1 και Ε 2 για να τοποθετήσουν το κεφάλαιό τους. Αν από ιστορικά στοιχεία γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα επένδυσης στο σχέδιο Ε 1 είναι κατά 50% μεγαλύτερη από την πιθανότητα επένδυσης στο σχέδιο Ε 2, να υπολογισθεί η πιθανότητα 10 από τα 15 άτομα να επιλέξουν το ίδιο επενδυτικό σχέδιο. [33%] (β) Μια μηχανή η οποία λειτουργεί 5 μέρες την εβδομάδα (Δευτέρα έως Παρασκευή) παρουσιάζει κατά μέσο όρο μία βλάβη κάθε δύο μέρες. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι σε 3 τυχαία επιλεγμένες διαδοχικές εβδομάδες λειτουργίας της μηχανής δεν θα παρουσιασθεί κανένα πρόβλημα τις δύο πρώτες εβδομάδες αλλά τουλάχιστον μία βλάβη την τρίτη εβδομάδα. [33%] (γ) Δεκαπέντε παίκτες τένις, από τους οποίους 10 είναι άνδρες και 5 γυναίκες, στο πλαίσιο της προετοιμασίας τους αποφασίζουν να οργανώσουν μια σειρά αγώνων σε ζευγάρια (2 εναντίον 2). Αν κάθε ζευγάρι που περιέχει έναν άνδρα και μία γυναίκα παίξει μία φορά με όλα τα άλλα ζευγάρια της ίδιας σύνθεσης, να υπολογισθεί πόσοι αγώνες θα γίνουν συνολικά. [34%] Λύση Β.4 (α) Έστω τα ενδεχόμενα: Ε1: επιλογή επενδυτικού σχεδίου Ε1 Ε2: επιλογή επενδυτικού σχεδίου Ε2 Δίνεται ότι: P(Ε 1)=1,5 P (Ε 2) Επιπλέον γνωρίζουμε ότι: P(Ε 1)+ P(Ε 2)=11,5 P(Ε 2)+ P(Ε 2)=12,5 P(Ε 2)=1 P(Ε 2)=1/2,5 P(Ε 2)=0,4Άρ P(Ε )=0,6 α 1 Έστω οι τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2 όπου: Χ 1 ο αριθμός των ατόμων που επιλέγουν το επενδυτικό σχέδιο Ε 1 Χ 2 ο αριθμός των ατόμων που επιλέγουν το επενδυτικό σχέδιο Ε 2 Προφανώς Χ 1 ~ Β (n=15, p 1 =0,6) και Χ 2 ~ Β (n=15, p 2 =0,4) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: P(10 άτομα επενδύουν στο ίδιο σχέδιο) = = P(10 άτομα επενδύουν στο Ε 1 ή στο Ε 2 ) = = P(10 άτομα επενδύουν στο Ε 1 )+P(10 άτομα επενδύουν στο Ε 2 ) = = Ρ(Χ=10 n=15, p 1 =0,6) + Ρ(Χ=10 n=15, p 2 =0,4) 15 = 0,6 10 0,4 5 + 0,4 10 0,6 5 = 10 15 10 15! 10 5 15! 10 5 *0, 6 *0, 4 *0, 4 *0, 6 3003*0, 006*0, 01 3003*0, 0001*0, 07 5!*10! 5!*10! = 0,1859 + 0,0245 = 0,2104 23

(β) Η μηχανή παρουσιάζει κατά μέσο όρο 1 βλάβη ανά 2 ημέρες. Άρα σε 1 ημέρα παρουσιάζει λ 1 = 1/2 βλάβες λ 1 = 0,5 βλάβες Δηλαδή λ 1 = 0,5 βλάβες / ημέρα Έστω X η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των βλαβών ανά εβδομάδα. Προφανώς X ~ P (λ) όπου λ =5*λ 1 = 5*0,5 = 2,5 / εβδομάδα (5 ημέρες) ΑΣΚΗΣΗ 17 Θέμα Β.3 (2004 τ ) Ένα εργοστάσιο αγοράζει την πρώτη ύλη (ράβδους αλουμινίου) για την κατασκευή κάποιου προϊόντος, από δύο διαφορετικούς προμηθευτές Α και Β με αναλογία 40% και 60% αντίστοιχα. Το Τμήμα Ποιοτικού Ελέγχου του εργοστασίου επιλέγει δειγματοληπτικά έναν αριθμό ράβδων από κάθε φορτίο που φτάνει στις αποθήκες του και ελέγχει την πυκνότητα του μετάλλου. Από ιστορικά στοιχεία που τηρούνται προκύπτει ότι η πυκνότητα των ράβδων αλουμινίου που προμηθεύεται από τον Α ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 1,23 και διακύμανση 0,0025, ενώ η πυκνότητα των ράβδων αλουμινίου που προμηθεύεται από τον Β ακολουθεί επίσης κανονική κατανομή με μέση τιμή 1,27 και διακύμανση 0,0121. Με βάση τα στοιχεία αυτά και δεδομένου ότι το εργοστάσιο μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο εκείνες τις ράβδους αλουμινίου των οποίων η πυκνότητα εμπίπτει στο διάστημα 1,240,15: Να υπολογιστούν, για τον καθένα προμηθευτή χωριστά, τα ποσοστά των ράβδων από εκείνες που παραδίδει στο εργοστάσιο, οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν τελικά από αυτό. [50%] Αν ο έλεγχος μιας τυχαία επιλεγμένης ράβδου δείξει ότι η ράβδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, να υπολογισθεί η πιθανότητα η ράβδος αυτή να προέρχεται από τον προμηθευτή Β. [50%] Λύση Β.3 Έστω οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ όπου: X: η πυκνότητα των ράβδων αλουμινίου που προέρχεται από τον προμηθευτή Α Υ: η πυκνότητα των ράβδων αλουμινίου που προέρχεται από τον προμηθευτή Β. Δίνονται ότι: Χ ~ Ν(1,23, 0,0025) και Υ ~ Ν(1,27, 0,0121). a. Για τον προμηθευτή Α η ζητούμενη πιθανότητα είναι: P(1,240,15 X 1,240,15) P(1,09 X 1,39) 1, 09 1, 23 X -1, 23 1,39 1, 23 P 0,05 0,05 0,05 P(-2,8 Z 3, 2) F(3, 2) - F (-2,8) 0,9993-0,0026 0,9967. Άρα το ποσοστό των ράβδων που προέρχονται από τον προμηθευτή Α και χρησιμοποιούνται από το εργοστάσιο είναι 99,67%. Για τον προμηθευτή Β η ζητούμενη πιθανότητα είναι: P(1,240,15Y 1,240,15) P(1,09 Y 1,39) 24

1, 09 1, 27 Y -1, 27 1,39 1, 27 P 0, 0121 0, 0121 0, 0121 P(-1, 6364 Z 1, 0909) F(1,0909) - F (-1,6364) 0,86210, 0505 0,8116 Άρα το ποσοστό που προέρχεται από τον προμηθευτή Β και χρησιμοποιούνται από το εργοστάσιο είναι 81,16%. b. Έστω τα ενδεχόμενα: Α: η ράβδος προέρχεται από τον προμηθευτή Α, Β: η ράβδος προέρχεται από τον προμηθευτή Β Π: η ράβδος πληροί τις προδιαγραφές του εργοστασίου Π : η ράβδος δεν πληροί τις προδιαγραφές του εργοστασίου Δίνεται ότι: PA ( )= 0,40, PB ( )= 0,60 Επιπλέον από το ερώτημα β έχει υπολογιστεί ότι: Ρ(Π/Α) = 0,9967, Ρ(Π/Β) = 0,8116 Σύμφωνα με το Θεώρημα του Bayes έχουμε: P( ) P( ) (1 0,8114)*0,60 PB ( ) P( ) P( ) (1) Για τον υπολογισμό του P(Π ) εφαρμόζουμε το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και έχουμε: P( ) P( ) PA ( ) P( BPB ) ( ) (1 0,9967)*0, 40 (1 0,8116)*0,60 Ρ(Π ) = 0,11436 Αντικαθιστώντας το P(Π ) στην (1) έχουμε: (1 0,8116)*0, 60 0,11304 PB ( ) 0,9885. P( ) 0,11436 ΑΣΚΗΣΗ 18 Θέμα Β.4 (2004 ε) Οι κινητήρες που χρησιμοποιούν τα αεροσκάφη ενός συγκεκριμένου τύπου έχουν πιθανότητα q=0,25 να παρουσιάσουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο κάποια βλάβη κατά τη διάρκεια μιας πτήσης. Το αεροσκάφος μπορεί να συνεχίσει απρόσκοπτα την πτήση του αν λειτουργούν τουλάχιστον οι μισοί κινητήρες του. Σε διαφορετική περίπτωση θα πρέπει να προσγειωθεί στο πλησιέστερο αεροδρόμιο. Αν για την πραγματοποίηση μιας πτήσης σας έχετε τη δυνατότητα επιλογής μεταξύ ενός τετρακινητήριου και ενός δικινητήριου αεροσκάφους του συγκεκριμένου τύπου ποιο από τα δύο θα επιλέγατε ώστε να μεγιστοποιήσετε την πιθανότητα απρόσκοπτης πτήσης; [50%] Σε έρευνα που πραγματοποιήθηκε σε συγκεκριμένο υποκατάστημα μιας Τράπεζας διαπιστώθηκε ότι ο μέσος χρόνος συναλλαγής στα ταμεία του καταστήματος είναι 25

2,5 λεπτά. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σ ένα τυχαία επιλεγμένο πεντάλεπτο θα εξυπηρετηθούν τουλάχιστον 3 άτομα. [50%] Λύση Β.4 Ερώτημα (a) Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τον αριθμό των κινητήρων ενός αεροσκάφους που λειτουργούν κανονικά. Προφανώς X ~ B (Ν, p) όπου: Ν ο αριθμός των κινητήρων του αεροσκάφους 3 p=1- q =1-0,25=0,75= 4 Στην περίπτωση δικινητήριου αεροσκάφους, (Ν=2), η πιθανότητα απρόσκοπτης πτήσης είναι: PX ( 1) 1 PX ( 1) 1 PX ( 0) (1) όμως 0 20 2 2! 3 3 1 1 PX ( 0) 1 0,0625 0!(2 2)! 4 4 4 16 Άρα η σχέση (1) γίνεται: 1 15 PX ( 1) 1 PX ( 0) 1 0,9375 16 16 Στην περίπτωση τετρακινητήριου αεροσκάφους, (Ν=4), η πιθανότητα απρόσκοπτης πτήσης είναι: PX ( 2) 1 PX ( 2) 1 PX ( 0) PX ( 1) (2) όμως 0 40 4 4! 3 3 1 1 PX ( 0) 1 0,0039 0!(4 0)! 4 4 4 256 1 41 3 4! 3 3 4*3! 3 1 3 PX ( 1) 1 * * 0,0469 1!(4 1)! 4 4 1*3! 4 4 64 άρα η σχέση (2) γίνεται: 1 3 1 12 243 PX ( 2) 1 PX ( 0) PX ( 1) 1 1 0,9492 256 64 256 256 256 Αφού 0,9492>0,9375 η επιλογή που μεγιστοποιεί την πιθανότητα απρόσκοπτης πτήσης είναι το τετρακινητήριο αεροσκάφος. Ερώτημα (b) Δίνεται ότι ένα άτομο εξυπηρετείται κατά μέσο όρο σε 2,5 λεπτά. Άρα σε 1 λεπτό εξυπηρετούνται 1/2,5 άτομα = 0,4 άτομα Δηλαδή λ 1 = 0,4 άτομα / λεπτό Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των ατόμων που εξυπηρετούνται σε ένα τυχαία επιλεγμένο πεντάλεπτο. Προφανώς το Χ ~ P(λ) όπου λ = 5 λ 1 λ = 5 0,4 λ = 2,0 άτομα / πεντάλεπτο. 26

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Ρ(Χ3/λ=2,0) = 1 [Ρ(Χ=0/λ=2,0) + Ρ(Χ=1/λ=2,0) + Ρ(Χ=2/λ=2,0)] = 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 e e e 0! 1! 2! = 1 e *1 e *2 e *2 = 1 1 2 2 2 2 2 e e e = 1 [0,1353 + 0,2707 + 0,2707] = 1 0,6767 PX ( 3) 0,32 ΑΣΚΗΣΗ 19 ΘΕΜΑ A.3 (2003 τ ) Σε έρευνα που έγινε από τη Διεύθυνση Μελετών της Τράπεζας Τ διαπιστώθηκε ότι το ύψος των λογαριασμών όψεως που τηρούνται σ αυτήν ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 500 και τυπική απόκλιση 150. α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος λογαριασμός έχει ύψος μεταξύ 317 και 770. β. Η Τράπεζα στο πλαίσιο της πολιτικής προσέλκυσης νέων πελατών προγραμματίζει να προσφέρει υψηλότερο επιτόκιο σε πελάτες που το μέσο ύψος του λογαριασμού τους υπερβαίνει κάποιο ποσό Π. Αν το μέτρο αυτό δεν πρέπει να επεκταθεί σε περισσότερους από το 1% των πελατών της να υπολογισθεί ποιο θα πρέπει να είναι το ποσό Π. ΛΥΣΗ Έστω Χ το ύψος ενός λογαριασμού. Γνωρίζουμε ότι το Χ ακολουθεί κανονική κατανομή Χ ~ Ν (μ = 500, σ 2 = 150 2 ). α. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(317 < X < 770) 317 X 770 317 X 770 = 317 500 770 500 183 270 150 150 150 150 1,22 1,80 1,8 1, 22 1,8 1 1,22 1,8 1,221 0,9641 0,8888-1 1,8529-1 0,8529 Συνεπώς: 317 770 0,8529 0, 85 ή 85% β. Έστω Π το ζητούμενο ποσό, το οποίο θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: Ρ(Χ>Π) = 0,01 ( X ) 0,01 (X ) 0,99 X 0,99 0,99 2,33 2,33* 2,33* 27

Π = 500 + 2,33*150 Π = 500 + 349,5 Συνεπώς το ζητούμενο ποσό είναι Π = 850 Π = 849,5 850 ΑΣΚΗΣΗ 20 ΘΕΜΑ A.3 (2003 ε) Η κυκλοφορία ενός εβδομαδιαίου περιοδικού ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 52340 φύλλα και τυπική απόκλιση 2850 φύλλα. α. Αν κάθε εβδομάδα το περιοδικό αυτό τυπώνεται σε 55000 φύλλα να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σε μία τυχαία επιλεγμένη εβδομάδα θα μείνουν απούλητα περισσότερα από 8% των φύλλων που τυπώθηκαν. β. Να υπολογιστεί ο αριθμός των φύλλων που θα πρέπει να τυπώνονται κάθε εβδομάδα έτσι ώστε η πιθανότητα ότι σε μία τυχαία επιλεγμένη εβδομάδα η ζήτηση θα είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό των φύλλων που τυπώθηκαν να μην ξεπερνά το 5%. ΛΥΣΗ Έστω x η εβδομαδιαία κυκλοφορία του περιοδικού. Δίνεται ότι: x ~ Ν (μ=52340, σ=2850) α. Το 8% των φύλλων που τυπώθηκαν είναι 550000,08 = 4400 Αφού θα μείνουν απούλητα περισσότερα από 4400 φύλλα αυτό σημαίνει ότι η ζήτηση (x) είναι μικρότερη ή ίση με 50600 φύλλα. Ζητάμε λοιπόν να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(x 50600): x - μ 50600-52340 1740 Ρ (x 50600) Ρ( ) Ρ(z ) σ 2850 2850 ( z 0,61) 1 (z 0,61) 1 0,7291 0,2709 Συνεπώς: Ρ(x 50600) = 0,2709 ή 27,1% β. Έστω Χ η εβδομαδιαία ζήτηση και C ο αριθμός των φύλλων που πρέπει να τυπώνονται κάθε εβδομάδα. Θέλουμε να καθορίσουμε το C έτσι ώστε Ρ(x>C) = 0,05. x - μ C 52340 ( C) 0,05 1 ( C) 0,05 ( C) 0,95 ( ) 0,95 σ 2850 C 52340 1,64 C 52340 1,64 2850 C 57014 2850 Άρα θα πρέπει να τυπώνονται 57014 φύλλα. ΑΣΚΗΣΗ 21 ΘΕΜΑ Β.4 92003 ε) α. Στον τελικό αγώνα κυπέλλου μπάσκετ μεταξύ των δύο ομάδων Α και Β, η ομάδα Β προηγείται της Α με ένα πόντο. Με το σφύριγμα της λήξης η ομάδα Α κερδίζει φάουλ σε προσπάθεια παίκτη της για τρίποντο, γεγονός που δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα εκτέλεσης 3 ελεύθερων βολών σε νεκρό χρόνο. Αν ο παίκτης που θα εκτελέσει τις βολές έχει αστοχήσει στις 51 από τις 85 βολές που εκτέλεσε 28

μέχρι τώρα σε αγώνες, να υπολογιστεί η πιθανότητα η ομάδα Α να κατακτήσει το κύπελλο. β. Να υπολογιστεί πόσοι αριθμοί μικρότεροι από το 500 μπορούν να σχηματισθούν χρησιμοποιώντας όλα ή ορισμένα από τα ψηφία 3, 4, 5, 6 και. 7. Επανάληψη του ίδιου ψηφίου σ' έναν αριθμό δεν επιτρέπεται. ΛΥΣΗ α. Πρόκειται για Διωνυμική Κατανομή. Ο παίκτης που θα εκτελέσει τις βολές έχει πιθανότητα επιτυχίας σε μια βολή: 85 51 34 p p 0,4 ή 40% 85 85 Έστω x ο αριθμός των εύστοχων βολών από τις 3 που θα εκτελέσει. Η ομάδα του θα κατακτήσει το κύπελλο αν x 2. Άρα θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(x 2) ( x 2/ n 3, p 0,4) 1 ( 2/ n 3, p 0,4) 1 ( x 0/ n 3, p 0,4) ( x 1/ n 3, p 0,4) 3 3 0 3 1 1 *0,4 *0,6 *0,4 *0,6 0 1 1 ρα P(x 2) = 0,352 ή 35,2% 0,216 3*0,4*0,36 1 0,648 0, 352 2 1 3! 0!*3! *1* 0,216 3! Ά *0,4*0,36 1!*2! β. Οι μικρότεροι από το 500 αριθμοί (Α) που μπορούν να σχηματισθούν είναι: A Όλοι οι μονοψήφιοι ( ) Όλοι οι διψήφιοι ( ) Όλοι οι τριψήφιοι που αρχίζουν από 3 ή 4 ( ) Οι μονοψήφιοι είναι 5 (όσα και τα ψηφία: 3, 4, 5, 6, 7) Μ = 5 (Εναλλακτικά: Μ = Ρ (5,1) = 5! / 4! = 5) Οι διψήφιοι είναι: Δ = Ρ(5,2) = 5! / 3! = 5 * 4 Δ = 20 (Εναλλακτικά Δ = Ρ(5,1) * Ρ(4,1) = (5! / 4!) * (4! / 3!) = 5 * 4 = 20) Οι τριψήφιοι είναι: Τ = 2 * Ρ(4,2) = 2 * (4! / 2!) = 2 * 4 * 3 Τ = 24 (Εναλλακτικά Τ = 2*Ρ(4,1)* Ρ(3,1) = 2 * (4! / 3!) * (3! / 2!) = 2 * 4 * 3 = 24) Άρα το σύνολο των αριθμών είναι Α = Μ + Δ + Τ = 5 + 20 + 24 Α = 49 29

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός χώρος είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος. Ο δειγματικός χώρος συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα S. Ενδεχόμενο καλείται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι ο λόγος του πλήθους των ευνοϊκών για το ενδεχόμενο περιπτώσεων δια του συνολικού αριθμού των περιπτώσεων : NA PA NS Όπου: Ν(Ε) ο αριθμός των ευνοϊκών για το ενδεχόμενο περιπτώσεων Ν(S) ο αριθμός των δυνατών περιπτώσεων. Για τις πιθανότητες ισχύουν: 0P A 1 (i) (ii) PS 1 (iii) P A P A' 1 (iv) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα και ισχύει ότι: P A A P A P A P A A 1 2 1 2 1 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα Η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α 1 δοθέντος ότι έχει συμβεί ένα ενδεχόμενο Α 2 ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α 1 δοθέντος του Α 2, συμβολίζεται με PA 1\A2 και ορίζεται ως εξής: PA1 A2 PA 1 \A2, PA2 0 P A Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας. 2 Έστω ότι Α 1, Α 2,...,Α n είναι μ ία διαμέριση του δειγματικού χώρου S τέτοια ώστε P A 0, i=1, 2,..., n. Τότε για κάθε ενδεχόμενο Β έχουμε ότι: i n P B P A P B\A i1 I i 30

Θεώρημα του Bayes Έστω ότι Α 1, Α 2,...,Α n είναι μία διαμέριση του δειγματικού χώρου S τέτοια ώστε i P A 0 PA \B k, i=1, 2,..., n. Τότε για κάθε ενδεχόμενο Β με i1 PE\A PE PA n PB\A PA PB\A PA k k k k i i P B 0 έχουμε ότι: Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α 1, Α 2 είναι ανεξάρτητα αν ισχύει: PA APA PA 1 2 1 2 ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Μεταθέσεις : Οι τρόποι που μπορούμε να βάλουμε τα n στοιχεία ενός συνόλου σε μία σειρά. P n! n Διατάξεις : Οι τρόποι που μπορούμε να βάλουμε τα x από τα n στοιχεία ενός συνόλου σε μία σειρά. n! Pn,x Pn,x n x! n x Επαναληπτικές Διατάξεις : Οι τρόποι που μπορούμε να βάλουμε τα x από τα n στοιχεία ενός συνόλου σε μία σειρά, αν κάθε στοιχείο μπορεί να επαναληφθεί μέχρι x φορές. Συνδυασμοί : Οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να επιλέξει κάποιος x από τα n στοιχεία ενός συνόλου όταν η σειρά επιλογής δεν τον ενδιαφέρει. n n! Cn,x Cn,x x x! n x! ΑΣΚΗΣΗ 22 Θέμα 4(2010 τ) (α) Ένας επενδυτής αποφάσισε να επενδύσει τα χρήματα του σε 3 διαφορετικές μετοχές. Είχε να επιλέξει μεταξύ 3 προνομιούχων και 4 μη προνομιούχων. Επιλέγει στην τύχη τις μετοχές που αγοράζει. (i) Να υπολογιστεί η πιθανότητα, όπως αγοράσει 2 προνομιούχες. (2%) 31

(ii) Αν Χ μετρά το πλήθος των προνομιούχων μετοχών που αγοράζει ο επενδυτής, να εξεταστεί ποια κατανομή πιθανότητας ακολουθεί η μεταβλητή Χ. (8%). (iii) Να υπολογιστεί η μέση τιμή της μεταβλητής Χ. (5%) (iv) Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση της μεταβλητής Χ. (5%) ΛΥΣΗ (i) Με δεδομένο ότι αγοράζει ακριβώς 2 προνομιούχες μετοχές τότε η τρίτη μετοχή θα είναι από τις μη προνομιούχες. Έστω Β : το ενδεχόμενο να επιλεγούν 2 προνομιούχες από αυτές που αγοράζει. Επειδή δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής των μετοχών, το πλήθος 7 7! 7! των δυνατών επιλογών είναι 35 3 3! 7 3! 3! 4! Οι τρόποι επιλογής των προνομιούχων μετοχών είναι 3 3! 3! 3 2 2! 3 1! 2!1! Οι τρόποι επιλογής των μη προνομιούχων μετοχών είναι 4 4! 4! 4 1 1! 4 1! 1!3! Με βάση την πολλαπλασιαστική αρχή το πλήθος των ευνοϊκών δεδομένων είναι 43 12 Με βάση τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε ότι: 12 PB 0,343 35 (ii) Εφόσον το Χ μετρά το πλήθος των μετοχών παίρνει τιμές 0, 1, 2 και 3. Ζητείται ο υπολογισμός της PX k για k=0,1,2,3. 4 3 4 3 3 0 4 PX 0 2 1 PX 1 18 7 35 7 35 3 3 4 3 1 2 12 PX 2 7 35 3 4 3 0 3 1 PX3 7 35 3 32

(iii)γνωρίζουμε ότι EX xpx x (iv). Άρα: 1 2PX 23P E X 0 P X 0 1 P X X 3 4 18 12 1 0 1 2 3 15 15 15 15 1, 285 Η τυπική απόκλιση ισούται με την ρίζα της διακύμανσης. Γνωρίζουμε ότι 2 VX x PX x. Άρα : x 2 4 2 18 2 12 2 1 VX 01,285 11,285 21,285 31,285 35 35 35 35 0,489 οπότε V X 0,489 0,699 x ΑΣΚΗΣΗ 23 Θέμα 5(2010 ε) Δυο τύποι ηλεκτρικών συσκευών Α και Β πωλούνται κατά αποκλειστικότητα από τα καταστήματα I και ΙI. Η πιθανότητα κάποιος να αγοράσει από το κατάστημα I είναι ¾. Επίσης, η πιθανότητα κάποιος να αγοράσει την συσκευή Α είναι 1/3 όταν έχει επιλέξει το κατάστημα I, και ¼ όταν έχει επιλέξει το κατάστημα II. Κάποιος αγοράζει μια συσκευή. Δεδομένου ότι αγοράσθηκε η συσκευή Α, ποια η πιθανότητα να αγοράσθηκε από το κατάστημα I; (5%) ΛΥΣΗ Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: O καταναλωτής αγοράζει την συσκευή Α. I: O καταναλωτής αγοράζει από το κατάστημα I. II : Ο καταναλωτής αγοράζει από το κατάστημα II. Οι επόμενες πιθανότητες δίνονται από την εκφώνηση του προβλήματος: 3 1 1 1 P A/ I P A/ II PI P 4 4 3 Ζητείται η P(Ι/A). Από το θεώρημα του Bayes προκύπτει ότι: P I / A 3 1 PIPA/ I PIPA/ I 4 3 4 PA PIPA/ IPIIPA/ II 5 5 16 4 ΑΣΚΗΣΗ 24 Θέμα Α.4 (2008) α) Ένα εργοστάσιο έχει δύο γραμμές παραγωγής λαμπτήρων. Η πρώτη γραμμή καλύπτει τα 34 της συνολικής παραγωγής του εργοστασίου, ενώ η δεύτερη το 33

υπόλοιπο 14. Το 96% των λαμπτήρων της πρώτης γραμμής παραγωγής και το 95% των λαμπτήρων της δεύτερης γραμμής παραγωγής είναι μη ελαττωματικοί. Με βάση τα στοιχεία αυτά Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος λαμπτήρας από την παραγωγή του εργοστασίου να είναι ελαττωματικός...(35%) Αν ένας τυχαία επιλεγμένος λαμπτήρας από την παραγωγή του εργοστασίου είναι ελαττωματικός, να υπολογισθεί η πιθανότητα να προέρχεται από την πρώτη γραμμή παραγωγής....(35%) β) Δύο καλαθοσφαιριστές παίζουν ένα παιχνίδι κατά το οποίο εκτελούν 10 βολές ο καθένας και κερδίζει αυτός που θα βάλει τα περισσότερα καλάθια. Μετά την ολοκλήρωση των βολών του πρώτου παίκτη, ο οποίος πέτυχε 8 καλάθια, πρέπει να παίξει ο δεύτερος παίκτης ο οποίος, έχει ποσοστό ευστοχίας 75% στις βολές. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθούν οι πιθανότητες να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης. Σημειώνεται ότι οι βολές κάθε παίκτη είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους...(30%) Λύση A.4 α) : 1 η Γραμμή Παραγωγής 1 2 : 2 η Γραμμή Παραγωγής Ε: Ελαττωματικός Λαμπτήρας. 3 P 1 0,75 4 1 P 2 0, 25 4 P E P E 110,960,04 2 10,950,05 (i) Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε PE ( ) PE1P1 PE2P2 0,04*0,75 0,05*0,25 0,0425 (ii) Από το θεώρημα Bayes έχουμε P1PE 1 0,04*0,75 P1 E 0,706 PE ( ) 0,0425 β) Αν Χ είναι ο αριθμός των καλαθιών που θα επιτύχει ο 2 ος παίχτης τότε Χ~Διωνυμική( n=10, p=0.75 ) Άρα η πιθανότητα νίκης του 2 ου παίκτη είναι ίση PX ( 8) PX ( 9) PX ( 10) 34