ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
|
|
- Μαριάμ Κασιδιάρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο λευκές από την Α και τοποθετούνται στην Β Ε : εξάγονται δύο µαύρες από την Α και τοποθετούνται στην Β Ε 3 : εξάγονται µία λευκή και µία µαύρη και τοποθετούνται στην Β P(Ε ) 3 3 6, P(Ε ) 3 3, P(Ε 3 ) Έστω Λ: το ενδεχόµενο να εξάγεται λευκή από την Β. Τότε (τύπος ολικής πιθανότητας) P(Λ) P(Λ/E )P(E ) + P(Λ/E ) P(E ) + P(Λ/E 3 ) P(E 3 ) () Όταν πραγµατοποιείται το Ε το περιεχόµενο της Β κάλπης θα είναι λευκές και 8 µαύρες άρα P(Λ/E ) 8 6 Όταν πραγµατοποιείται το Ε το περιεχόµενο της Β κάλπης θα είναι 6 λευκές και 8 + µαύρες άρα P(Λ/E ) 6 6 Όµοια P(Λ/E 3 ) 7 6
2 Αντικαθιστούµε στην () τις τιµές αυτές και τις P(E ), P(E ), P(E 3 ) που βρήκαµε παραπάνω και έχουµε το τελικό αποτέλεσµα. Άσκηση.34 σελ. 45 α) P( A B ) P(A) + P(B) P(A B) Όµως P(A B) P(B/A)P(A) άρα P( A B ) P(A) + P(B) - P(B/A)P(A),4 +,55,8,4 Τελικά P( A B ),63 β) P(A B ) P((A B) ) - P( A B ),63,37 Άσκηση.35 σελ. 45 Έστω Λ το ενδεχόµενο λειτουργίας της µηχανής Α το ενδεχόµενο η µηχανή να βρίσκεται στην κατάσταση Α Β το ενδεχόµενο η µηχανή να βρίσκεται στην κατάσταση Β Από την εκφώνηση P(Λ/A) 4 5, P(Λ/Β) 5, P(A) 3 4, P(B) 4 α) P(Λ) P(Λ/Α)P(Α) + P(Λ/Β) P(Β),7 β) Έστω Υ ο αριθµός ανταλλακτικών στα 4 που καθιστούν δυνατή τη λειτουργία της µηχανής. Υ είναι τ.µ. µε τιµές,,,3,4 και κατανοµή b( N4, p,7). Ζητείται η : 4 P( ) P(<) - P( ) - p (- p) 4 Άσκηση.36 σελ 46 α) Λ : λευκή κατά την πρώτη λήψη, P(Λ ) 4 9 Μ : µαύρη κατά την πρώτη λήψη, P(M ) 5 9 Λ : λευκή κατά την δεύτερη λήψη Μ : µαύρη κατά την δεύτερη λήψη Ζητείται η P(Λ ). Έχουµε :
3 P(Λ ) P(Λ /Λ )P(Λ ) + P(Λ /Μ ) P(Μ ) () Όµως P(Λ /Λ ) 7 διότι όταν πραγµατοποιείται το Λ προστίθενται 3 λευκές στην κάλπη και το περιεχόµενό της είναι 7 λευκές και 5 µαύρες. Όµοια P(Λ /Μ ) 4. Αντικαθιστούµε στην () και βρίσκουµε P(Λ ),46 β) Έστω Λ 3 : λευκή κατά την τρίτη λήψη. Κατά τις δύο πρώτες λήψεις πραγµατοποιείται ένα από τα ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα : Ε Λ Λ, Ε Λ Μ, Ε 3 Μ Λ, Ε 4 Μ Μ Σύµφωνα µε τον τύπο ολικής πιθανότητας : P(Λ 3 ) P(Λ 3 /Ε )P(Ε ) + P(Λ 3 /Ε ) P(Ε ) + P(Λ 3 /Ε 3 )P(Ε 3 ) + P(Λ 3 /Ε 4 ) P(Ε 4 ) () Όµως P(E ) P(Λ Λ ) P(Λ /Λ )P(Λ ) P(E ) P(Λ Μ ) P(Μ /Λ )P(Λ ) P(E 3 ) P(Μ Λ ) P(Λ /Μ )P(Μ ) P(E 4 ) P(Μ Μ ) P(Μ /Μ )P(Μ ) Επίσης P(Λ 3 /Ε ) 5, P(Λ 3/Ε ) 7 4, P(Λ 3/Ε 3 ) 7 4, P(Λ 3/Ε 4 ) 4 3 Αντικαθιστούµε στην () και βρίσκουµε P(Λ 3 ),473 γ) P(Λ Λ 3 ) P(Λ Λ ) P(Λ 3) P( Λ Λ ) P(( Λ Λ ) Ω ) P(( Λ Λ ) ( Λ Μ ) Όµως P(( Λ Λ Λ ) ( Λ Λ Μ )) P( Λ Λ Λ ) + P( Λ Λ Μ ) P( Λ / Λ Λ )P( Λ Λ ) + P( Λ / Λ M )P( Λ M ) 3 3 P( Λ / E )P(E ) + P( Λ / E )P(E ),65 3 3,65 Άρα P( Λ/ Λ 3),56, 473 3
4 Άσκηση. σελ. 9 Αν Χ ο αριθµός λευκών σφαιρών στην Α τότε Χ 4, 5, 6 Η σ.µ.π. είναι οι πιθανότητες P(4), P(5), P(6) Λ Α Λ Β : το ενδεχόµενο λευκή από την Α στη Β και λευκή από τη Β στην Α Λ Α Μ Β : το ενδεχόµενο λευκή από την Α στη Β και µαύρη από τη Β στην Α Μ Α Λ Β : το ενδεχόµενο µαύρη από την Α στη Β και λευκή από τη Β στην Α Μ Α Μ Β : το ενδεχόµενο µαύρη από την Α στη Β και µαύρη από τη Β στην Α Τότε : P(Λ Α Λ Β ) P(Λ B /Λ A )P(Λ Α ) P(Λ Α Μ Β ) P(Μ B /Λ A )P(Λ Α ) P(Μ Α Λ Β ) P(Λ B /Μ A )P(Μ Α ) P(Μ Α Μ Β ) P(Μ B /Μ A )P(Μ Α ) Τώρα P(4) P(Λ Α Μ Β ) 3 9 P(5) P(Λ Α Λ Β Μ Α Μ Β ) P(Λ Α Λ Β ) + P(Μ Α Μ Β ) P(6) P(Μ Α Λ Β ) 9 Άσκηση.7 σελ. 9 Η υπόθεση P( t < T < t + dt T>t ) β(t)dt νοείται µε την έννοια ότι P( t < T < t + h T>t ) β(t)h για µικρά h >. Άρα P({t < T < t+h} { T>t }) β(t)h P( T>t ) και συνεπώς P( t < T < t+h) ( P( T t ))β(t)h άρα F( t+h ) - F( t ) h ( F( t ) )β(t) όπου F η σ.κ. της Τ. Για h έχω F ( t ) ( F( t ) )β(t) (*) 4
5 α) Αν β(t) αt µε α> τότε F ( t ) ( F( t ) ) αt F (t) -( - F(t)) αt αt - F(t) - F(t) + [l(- F(t)] αt l(- F(t)) αt c Επειδή είναι λογικό να υποθέσουµε ότι F() βρίσκουµε c και άρα (t) F (t) αte αt, t > (Raleigh) β) Αν β(t) α µε α > τότε όµοια όπως στο α) βρίσκουµε F(t) e -at, t και συνεπώς (t) αt -at, t> (Εκθετική) γ) Από την (*) έχω F ( t ) ( F ( t ) )β (t), F ( t ) ( F ( t ) )β (t) άρα F ( t ) ( - F ( t ) )²β (t) ( - F ( t ) )²β (t) F ( t ) ( - F ( t ) )²β (t) ( - F ( t ) )²κβ (t) F (t) F (t) κ -F (t) -F (t) κ[l(-f (t))] [l(-f (t))] άρα κ [l(-f (t)) ] [l(-f (t))] και αφού F()F () έχω - F (t) [ - F (t) ] κ δηλαδή P(T >t) [P(T >t)] κ. άρα Άσκηση.8 σελ. 9 P(A) P(B) Αν Τ ο χρόνος ζωής του ανταλλακτικού τότε από εκφώνηση P( T t A) e -αt, P( T t B) e -βt για t> και µηδέν για t. H σ.κ. της Τ είναι: α) F(t) P(T t) P( T t A)P(A) + P( T t B)P(B) { -αt -βt, t e e, t> P( t < T t B)P(B) β) P(B t <T<t ) P( t < T < t ) (Baes) 5
6 -αt -βt e e Όµως P(t <T<t ) F(t ) F(t ) -αt -αt -βt -βt e e + e e -αt -βt e e Εξάλλου P( t < T t B) P ( { (T t ) (T t )} B) P(T t B) P(T t B) -βt -βt -βt -βt e ( e ) e e Αντικαθιστούµε στον τύπο του Baes παραπάνω έχουµε : P(B t <T<t ) -βt -βt (e e ),5 -βt -βt -αt -αt (e e + e e ),5 Άσκηση. σελ. 9 Έστω Τ η διάρκεια ζωής του ανταλλακτικού Τότε P(T> A) ενώ P(T> B) P(>) - x 3 3 (x)dx [ e ] e Τώρα P(T>) P(T> A)P(A) + P(T> B)P(B) Όµως P(T>).9, P(B) P(A) και συνεπώς.9 P(A) + 3 e ( P(A) ) άρα P(A) e P(A) + e.9 e P(A) e 3 3 Άσκηση.3 σελ. 9 (x,) για <x<<, και παντού αλλού 6
7 α) (x) + (x,)d για x (,) (x,) T άρα (x) για x (,) έχω (x) (x, )d + d (x, )d d + [l ] l x Συνολικά: (x) { x c x (,). x -lx, x (,), x (,) β) (x,) ( x) (x) l l όταν <x<< και παντού αλλού. γ) P(+> ) (x,)d όπου Α{(x,): x+> } A Επειδή όµως εκτός του τριγώνου Τ και θέτοντας Γ Τ (Β Β ), (δες σχήµα) έχουµε: P(+> ) dxd dxd B Γ dxd dxd B B B 4 dxd dxd 4 d 4 d 4 4 d + d d 4 4 7
8 [l ] l, Άσκηση.5 σελ. 9 (x,) c(x + ) όταν (x,) (,) (,) και παντού αλλού α) + + T (x, )dxd c(x + )dxd c (x + )dxd 3 c ( + )d c ( + ) c β) P({< } ( < }) (x )dxd + 4 γ) Έστω T (,) (,) και A {(x,):x+ > } Επειδή εκτός του Τ τελικά αποµένει : 3 P( + > ) (x + )dxd 3 3 ( (x ))dxd + 4 B δ) + P( < ) P({ < } { < <+ }) (x, )dxd (x + )dxd ( )d ( )d ( ) Άσκηση. σελ. 9 (διορθωµένη) (x,) x ρx e όταν x>, > και παντού αλλού. Με ρ (,). ρ Θα βρούµε πρώτα τις περιθώριες κατανοµές (x) και (). Για x έχω + (x) d 8
9 Για x> έχω + + (x) e d e e d e [ e ρ ρ ρ ρ x+ x ρx x ( ρ x+ ) x ( ρ x+ ) + Συνολικά x e ρ +ρ x e x (x), x> x ρ +ρ x, x Όµοια e (), > ρ +ρ x, Όταν p τότε x x (x,) e, (x)e, ()e για όλα τα x,>. Προφανώς (x,) (x) () x,> άρα Χ,Υ ανεξάρτητες. Αντίστροφα: Όταν Χ,Υ ανεξάρτητες τότε (x,) (x) () για όλα τα x, άρα ] x x ρx e e e x,> άρα ρ +ρ x +ρ άρα ρx lim e lim ( + ρ x)( +ρ )( ρ ) x x άρα e x,> (+ρ x)(+ρ)( ρ) ρx e άρα ρ ρ Άσκηση.3 σελ. 93 c(x ), x (x,) { +, παντού αλλου Πρέπει + + (x, )dxd c(x )dxd c (x )dxd T + + 9
10 + c ( )d c + (x) (x,)d (x,)d αφού όταν (,) Όταν x (,) τότε (x,) T και (x,) άρα (x) d Όταν x x (,) τότε (x) d + (x + )d 3x x x + + 3x x, x άρα (x) { + + < <, x (,) () (x, )dx (x, )dx άφου όταν x (,) + Όταν (,) τότε (x,) T και (x,) άρα () dx Όταν (,) τότε () dx + (x + )dx 3 άρα () { 3, < <, (,) Επειδή (x) () ( 3x + x + ) 3 (x + ) (x, ) για (x,) T συµπεραίνω ότι Χ,Υ εξαρτηµένες. Άσκηση.5 σελ. 93 Έστω,,..., τ.µ. ανεξάρτητες και ισόνοµες µε σ.κ. F. Θέτουµε Υ max{ } και Ζ mi{ }. Να ευρεθεί η κατανοµή των Υ και Ζ. Από υπόθεση F(x) P(,,...,,,..., i x), x για κάθε i,,,. Από τον ορισµό της σ.κ. έχουµε για την F της τ.µ. Υ F () P( ) P(max{,,..., } ) Όµως max{,,..., } ισοδυναµεί µε { } { }... { } Άρα F () P({ } { }... { }) και λόγω ανεξαρτησίας F () P(i ) F() (F()), i i Άρα F() (F()),
11 Αν υπάρχει σ.π.π. της τ.µ. Υ τότε (F())' άρα () (F()) () F (z) P(Z z) P(mi{,,..., } z) P(mi{,,..., } > z) Z P({ > z} { > z}... { > z} P( > z) ( P( z)) ( F(z)) άρα i i i i i F Z(z) ( F(z)), z Όσο για την σ.π.π. της τ.µ. Ζ είναι: Z(z) ( F(z)) (z), z Άσκηση.6 σελ. 93 Εύκολα βρίσκουµε τις επιµέρους κατανοµές των Χ, Υ (x) x { > e, x, x< () Υ e, > {, < Αφού (x) () (x,) συµπεραίνουµε ότι οι τ.µ. Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. α) Όταν τα εξαρτήµατα είναι «εν σειρά» τότε η διάρκεια ζωής του συστήµατος είναι η µικρότερη των διαρκειών ζωής των δύο εξαρτηµάτων (δεν ξέρουµε όµως ποια από τις δύο είναι). Έτσι η διάρκεια ζωής Τ του συστήµατος είναι Τmi{,}οπότε έχει σ.π.π. σύµφωνα µε το προηγούµενο(ασκ..5) : t T (t) ( F(t))e, t > όπου F η σ.κ. των Χ,Υ δηλ. Άρα t T (t) e, t > Συνεπώς η ζητούµενη πιθανότητα είναι : P( < T < ) e dt [ e ] e e F(t) t t (ω)dω e, t - > t t 4 * β) Αν T η διάρκεια ζωής του συστήµατος των δύο εξαρτηµάτων τότε είναι η µεγαλύτερη από τις δύο αφού είναι «εν παραλλήλω» άρα t Συνεπώς * (t) F(t) e, t > T t t t t Άρα * (t) ( e )e e e, t > T * T max{,}.
12 Άρα P( < T < ) (t)dt... * T Άσκηση 3. σελ. 7 Έστω Χ η διάρκεια ζωής (σε έτη). Από την εκφώνηση ~ N(µ,σ ). Έστω t ο ζητούµενος χρόνος εγγύησης. Όταν <t αντικαθίσταται ο λέβητας, αλλιώς όχι. Συνεπώς το ποσοστό των αντικαθιστώµενων λεβήτων θα είναι επιθυµητό να είναι : Όµως P( < t), µ t t P( < t) P( ) Φ( ) άρα σ P( < t) t Φ( ), () Στους πίνακες της Κανονικής κατανοµής αναζητώ αριθµό α τέτοιο ώστε Φ(α), δηλ. Φ(α),98 δηλ. Φ (-α),98 και βρίσκω ότι -α,5 άρα α,5. Συνεπώς από την () έχω και είναι t Φ( ) Φ(α) Φ(,5) και επειδή η Φ αύξουσα συµπεραίνω ότι t,5 άρα t 7,(έτη). Άσκηση 3.3 σελ. 7 κ λ λ ~ P( λ) δηλ. P( κ) e, κ,,,... κ! α) Έστω Υ ο αριθµός των καταγραφοµένων ατελειών. Τότε Υ,,, και προφανώς Υ Χ. Ζητούµε την P( m) P( m κ)p( κ) (τύπος ολικής πιθανότητας). Όµως όταν κ < m τότε P( m κ ) διότι είναι αδύνατο να καταγραφούν m ατέλειες όταν οι πραγµατικές είναι κ < m και συνεπώς P( m) P( m κ)p( κ ). Όµως οι καταγραφόµενες ατέλειες στις κ κ m πραγµατικές µε πιθανότητα καταγραφής p της κάθε µιας ακολουθούν διωνυµική κ m κ m κατανοµή b(n κ,p) δηλαδή: P( m κ) p ( p) και άρα m κ κ λ P( m) p ( p) e p e ( p) κ m m κ! m! κ m( κ m)! κ m κ m λ m λ κ m κ m λ λ m
13 κ m m λ m [ λ( p)] m λ λ( p) [ λ( p)] p e λ ( λp) e ( ) m! ( κ m)! m!!! κ m m m λ λ( p) λp ( λp) ( λp) e e e, m,,, m! m! δηλαδή η τ.µ. Υ ακολουθεί κατανοµή Poisso µε παράµερο λ p. β) P( > 3 ) P( 3 ) P( 3 ) P({ } { 3} ) P(x ) P( 3 ) P( και ) P( 3 και ) P() P() Όµως P( και Υ ) P( )P( ), P( 3 και Υ ) P( 3)P( 3) όπου: P( ) p ( p) Άσκηση 3.4 σελ. 7 και 3 P( 3) p ( p) 3 l x l t x e P( ) (x)dx e dt ( (l ). σ π Φ σ µ Όµως σ, µ άρα P( ) Φ( (l )) Φ (),9775 Άσκηση 3.5 σελ. 7 α) Το ποσοστό των κατάλληλων είναι η πιθανότητα : 5 5 µ 5+ 5 µ P(5 < < 5+ ) P( < < ) P( < < ),5 σ,5 Φ() Φ( )Φ() ( Φ())Φ(),9775,955 β) Έστω Υ,,,3,4 ο αριθµός των κατάλληλων στα 4. Τότε Υ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή δηλ.: 4 k k 4 k P( k) p ( p) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: όπου p, P( 3) P({ 3} { 4}) P( 3) + P( 4) p ( p) + p ( p) όπου p,995. Άσκηση 3.7 σελ. 7 α) Από τον τύπο ολικής πιθανότητας: σ 3
14 P( < 4) P( < 4/ A)P(A) + P( < 4/ B)P(B) Όµως αν είναι τύπου Α τότε Άρα ~N( µ 44, σ 3 ) µ 4 44 P( < 4/ A) P( < ) Φ ( ) Φ ( ),84,6 σ 3 Και όµοια Άρα Συνεπώς µ 4 36 P( < 4/ B) P( < ) Φ ( 5 ),95 σ 3 3 P( < 4),6 +,95,4 3 3,6 P( < 4/ A)P(A) P(A / < 4) 3,5 P( < 4),4 β) Έστω,,,..., ο αριθµός ανταλλακτικών στα µε διάρκεια ζωής µικρότερη του 4. Τότε η τ.µ. Υ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή b(n,p,4) και άρα P( 5) P( > 5) P({ 6} { 7}... { }) P( 6) P( 7)... P( ) p ( p)... p ( p) 6 όπου p,4 Ασκηση 4. σελ.5 (c+x) (c-x), για καθε x () () + x w+ c I x(x)dx ( w+ c) ( w+ c) dw w( w+ c) dw+ c( w+ c) dw c w z + w ( c w) dw + c ( w + c) dw w ( c w) dw + c ( c z) ( z) dz + c + + c ( z) dz z ( z) dz + c c I + c c I I c I c () Ασκηση 4.5 σελ.5 N( µ, σ ) συνεπώς (x) e σ π ( x µ ) Χρησιµοποιώντας τον τύπο + E[g(x)] g(x)(x)dx έχουµε 4
15 E() x µ (x µ ) ω ω x σ + σω µ + σ + σ π π e e dx e e dω ω ωσ ω σω+ σ σ + ( ) + ( ) ω µ µ e e d e e dω π π ( ω σ) σ σ ( ω σ) + µ + + ω µ e e e d e e dω π π σ z σ σ µ µ µ e e dz e e π διότι e π z είναι η σ.π.π. της Ν(,) Για την διασπορά υπολογίζουµε πρώτα την και κατόπιν χρησιµοποιούµε τον τύπο Ασκηση 4.4 σελ.5 x E( ) E(e ) V() E( ) [E()] µε ανάλογο τρόπο Το ενδεχόµενο αποδοχής της κατασκευής είναι A B και αφού Χ,Υ ανεξάρτητες τα ενδεχόµενα Α,Β είναι ανεξάρτητα δηλαδή, P(A B) P(A)P(B).6 S 5.6 P(A) P(5.6 < < 5 +.6) P( < < ) Τώρα Φ(,) Φ(,) Φ(,) P(B) P(37.8 < < ) P( < < ) και Φ(.33) Φ(.33) Φ(.33) άρα P(A B).687* Το ενδεχόµενο να πραγµατοποιείται µία ακριβώς από τις προδιαγραφές Α, Β c είναι (A B) (A B c c ) και επειδή τα A,Bείναι ανεξάρτητα όπως επίσης και τα c A,B θα έχω : c c c c c c P((A B) (A B )) P(A B) P(A B ) P(A )P(B) P(A)P(B ) + + [ P(A)]P(B) + P(A)[ P(B)] (.67) (.86) c c Το ενδεχόµενο να µην ικανοποιούνται οι προδιαγραφές Α,Β είναι A B όπου c c c c c c A,B ανεξάρτητα συνεπώς P(A B ) P(A )P(B ) [ P(A)][ P(B)].57 Έστω τώρα η τυχαία µεταβλητή Υ κόστος κατασκευής ανα κοµµάτι. Τότε 5
16 5A B c c) 6(A B) (A B 7A c B Αρα Ε(Υ)5*.56+6*.38+7* Σηµείωση : Ασκηση 4.4 σελ.53 c c c c P(A B ) P(A B) P((A B) (A B )) Έστω P( ) p, P( ) p και P( ) p, P( ) p Όταν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες είναι γνωστό από την θεωρία ότι είναι και ασυσχέτιστες. Θα δείξουµε τώρα το αντίστροφο. Υποθέτουµε ότι είναι ασυσχέτιστες και θα δείξουµε ότι είναι ανεξάρτητες Αρκεί να δείξω ότι : P(, ) P()p(), P(, ) P()P() P(, ) P()p(), P(, ) P()P() Έχουµε ότι Cov(,) δηλαδή E()-E()E() E()E()E(), () Όµως Ε(ΧΥ) P() + P() P() και E() P(), E() P() και άρα από την () έχουµε P() P()P() όµως P() P(, ) Συνεπώς P(, ) P()P(), () c Επίσης P(, ) P({ } { } ) P() - P({ } { }) () P() P()P() P()[-P()] P()P() Άρα P(,) P()P(), (3) Όµοια δείχνουµε ότι P(, ) P()P(), (4) Μένει να δείξουµε ότι P(o, ) P()P(). Πράγµατι P(, ) (4) c P({ } { } ) P( ) P({ } { }) P( ) P( )P( ) P( )[ P( )] P( )P( ) Άσκηση 4.5 σελ.53 c µ σ σ ( Χ, Χ) Ν( µ, Σ) όπου µ µ και Σ σ σ είναι γνωστό ότι µ i Ε( i) και σi V( i), σ σ Cov(, ) 6
17 Η από κοινού σ.π.π. των (, ) είναι (x,x ) e π (det Σ) Q(x,x ) x µ Q(x, x ) (x µ, x µ ) Σ x µ σ Αφού γνωρίζω ότι Cov(, ) θα είναι Σ σ σ Άρα Σ και συνεπώς σ x µ x µ x µ (x µ ) (x µ ) Q(x, x ) (, ) ( ) + σ σ x µ σ σ όπου (x µ ) (x µ ) σ σ Άρα (x,x ) e e,δηλαδή (x,x) h(x)g(x) π (det Σ) και συνεπώς οι τ.µ. Χ, Χ είναι ανεξάρτητες Ασκηση 4.8 σελ.54 (x,) k(x+- x Εύρεση σταθεράς κ ) όταν <x< ή << και αλλού (x, )dxd k (x x )dxd + k ( (x+ x )dx)d k k 3 Εύρεση των σ.π.π. για για και + (x) (x,)d x (,) (x,) T άρα (x) d x (,) είναι (x) (x, )d d + 3(x + x )d + d 3 3 (x+ x )d 3(x + [ ] x [ ] ) 3 3(x + x ) 3( x + x + ) 3x + 3x δηλαδή 3x + 3x +, x (,) (x), x (,) 7
18 οµοίως , (,) (), (,) είναι προφανές ότι είναι εξαρτηµένες. (x,) (x) () για (x,) (,) και συνεπώς οι τ.µ. Χ,Υ Εύρεση Ε(), Ε(), E() + E() x (x)dx x( 3x 3x )dx E() ()d ( 3 3 )d E() x (x, )dxd x3(x + x )dxd 4 Άρα Cov(,) E() E()E() 4 Συνεπώς οι Χ,Υ είναι ασυσχέτιστες Άσκηση 4.33 σελ.55 Cov(U, T) ρ (U,T), Χ,Υ,Ζ E( a) V(U) V(T) Cov(U,T) Cov( +, + Z) Cov(,) + Cov(, Z) + Cov(,) + Cov(, Z) Cov(,) V() a διότι Χ,Υ,Ζ ανεξάρτητες. Επίσης για τον ίδιο λόγο V(U) V( + ) V() + V() + a a a V(T) V( + Z) V() + V(Z) + a a a Άρα ρ ( UV, ) a a a a a Παρατηρήσεις: Από την θεωρία χρησιµοποιήθηκαν τα Αν Χ,Υ ανεξάρτητες τότε Χ,Υ ασυσχέτιστες και Cov(,)V() Επίσης ότι η διασπορά της εκθετικής Ε(α) είναι a από τους πίνακες κατανοµών. 8
19 Άσκηση 4.36 σελ.55 Cov(Z, W) ρ (Z,W) V(Z) V(W) Cov(Z, W) Cov(a b, a b) a Cov(, ) abcov(, ) abcov(, ) b Cov(, ) + + a V() b V() (a b )V() διότι Χ,Υ ανεξάρτητες άρα Cov(,) και ισόνοµες άρα V()V() Επίσης V(Z) a V() + b V() (a + b )V() και V(W) a V() + b V() (a + b )V() (a b )V() a b ρ(z,w) (a + b )V() a + b συνεπώς Άσκηση 5. σελ.76 U(,) lx δηλαδή x (,) (x) x x (,) S (,) g(x) lx x g () e T g(s) (, + ) και Άρα () dg () () x(g ()) e e για T (, + ) d αλλού. e > Τελικά () δηλαδή Υ E() Άσκηση 5.5 σελ.76 π π x (, ) π (x) x π π x (, ) εφx x τοξεφ άρα αν g(x) εφ x τότε g () τοξεφ π π S (, ) και T g(s) συνεπώς dg () () x(g ()), d π + π( + ) 9
20 Άσκηση 5.5 σελ.76 π π x (, ) π (x) x π π x (, ) εφx x τοξεφ άρα αν g(x) εφ x τότε g () τοξεφ π π S (, ) και T g(s) συνεπώς dg () () x(g ()), d π + π( + ) Άσκηση 5. σελ.77 α) Αφού a,x> και Γ( p) p p ax (x) x e a,> Γ( p) q q a () e p+ q a p q a(x+ ) και Χ,Υ ανεξάρτητες θα είναι (x,) x e, x,> Γ (p) Γ (q) και παντού άλλού β) Θα βρούµε την από κοινού σ.π.π. του ζεύγους (R,S). x Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό r, s x x+ + ο οποίος αντιστρέφεται στον xrs, s-rs µε <r <, s> και έχει Ιακωβιανή ορίζουσα άρα s r s( r) sr s sr sr s s r + +, s> a για < r <, s> Γ (p) Γ (q) p+ q p p q q as RS(r,s) r s s ( r) e s p+ q a p q p+ q as ή RS(r,s) r ( r) s e µε <r<, s> Γ(p) Γ(q) αφού η RS(r,s) γράφεται σαν γινόµενο µιας συνάρτησης του r επί µια συνάρτηση του s οι τ.µ. R, S είναι ανεξάρτητες γ) p+ q + a p q p+ q as R(r) RS(r,s)ds r ( r) s e ds Γ(p) Γ(q) p+ q as t p+ q a p q p q as a p q + p+ q t p+ q r ( r) s e ds r ( r) t e dt Γ(p) Γ(q) Γ(p) Γ(q) a p q r p ( r) q, ό <r<. Γ( + ) ταν Γ(p) Γ(q) Η τελευταία είναι η σ.π.π. της κατανοµής Βήτα
21 Άσκηση 5.7 σελ.78 Οι τ.µ. Χ,Υ έχουν εκθετική κατανοµή (α) και αφού είναι ανεξάρτητες το ζεύγος (Χ,Υ) έχει από κοινού κατανοµή: ax a (x+ ) (x,) (x) () ae ae a e για x, >. Θα βρούµε τώρα την κατανοµή U,W (u,w) του ζεύγους (U,W) όπου: U+, W. x Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό T:u x+ και w u w+ uw T :x w+ και x x w u w (w ) u Η Ιακωβιανή ορίζουσα του T u w + + είναι u (w + ) u w w+ (w+ ) Άρα η σ.π.π. του ζεύγους (U,W) είναι uw (u,w) uw u u x(x, ) για u,w> w+ w+ (w+ ) uw u a( + ) u w+ w+ au u άρα uw (u,w) ae ae για u,w> (w + ) (w + ) Συνεπώς η περιθώρια κατανοµή της τ.µ. είναι: + au u w(w) uw(u,w)du a e du (w + ) a a (w + ) (w + ) a (w + ) Τελικά για w>, W (w). (w + ) Άσκηση 6.6 σελ.94 άρα δηλαδή, au ue du R N( µ 6,4 ) R N( µ 7,5 ) και R,R,R 3 ανεξάρτητες R 3 N( µ 3 8,6 ) R R+ R + R3 N( , ) R µ R N(,77* ) Z N(,) σ Άρα P(95<R<)
22 95 P( < Z < ) P(.7 < Z <.) Φ(.) Φ(.7) Φ(.) [ Φ(.7)] Φ(.) + Φ(.7) Άσκηση 6.7 σελ.94 Είναι γνωστό ότι : Αν N( µ, σ ) και N( µ, σ ) και Χ,Υ ανεξάρτητες τότε a + b N( µ αµ + b µ, σ a σ + b σ ) συνεπώς στην παρούσα περίπτωση 6 R - (-)+ ακολουθεί κατανοµή N( µ σ 5. 5, 4* ) δηλαδή Συνεπώς 6 R N(., 4* ) P(.5* * ) P(.5* R * ) < < < < µ P( < < ) P( < Z < ) * σ * * * P(.5 < Z < 5) Φ(5) Φ(.5) Φ(5) + Φ(.5) Παρατήρηση:Φ(5).5*. R *..5*. * Άσκηση 7.9 σελ8 Κάθε µια από τις τ.µ. έχει σ.π.π. x (,) (x) x (,) και α.σ.κ t F(t) (x)dx δηλαδή, x < F(t) t, x <, x Τώρα η α.σ.κ. της τ.µ. είναι : F() P( ) P( mi{x,..., x } ) P(mi{x,..., x } ) P(mi{x,..., x } ) > (λόγω ανεξαρτησίας) P({ > }... { > }) P({ > }) ( P({ })) ( F( )) i i i i i, < <, ( F( )) ( ),
23 Για τυχόν < έχω < και άρα F() συνεπώς lim F () για <. Για τυχόν > υπάρχει : > < δηλαδή F() ( ), > και συνεπώς lim F () e. Τελικά F() lim F () < o e > Η α.σ.κ. είναι η εκθετική () ' < διότι F() e > Οµοίως για την ακολουθία τ.µ. Z ( max{ j} ). Άσκηση 7.9 σελ.9 Στη διάρκεια της i-µονάδας του χρόνου η συµπεριφορά του σωµατιδίου µπορεί να αποδοθεί από την τ.µ. µε πιθανοτητα p.45 i µε πιθανοτητα q. µε πιθανοτητα r.45 Με το τέλος της χρονικής µονάδας η θέση του σωµατιδίου είναι: , όπου οι τ.µ. i είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε µέση τιµή: E( i) *.45 + *. + ( )*.45 και διασπορά: V( ) E( ) [E( )] E( ) *.45 + *. + ( ) *.45.9 i i i i α )P( ) P( ) κ. o. θ. Φ(.4) Φ(.4) Φ(.4) β ) P P( ) P( )... 6 Φ( ).9* κοθ.9*.9*.9* Άρα 6 lim P lim Φ( ) Φ()..9 3
24 Άσκηση 7. σελ. Έστω,,..., οι διάρκειες ζωής των ανταλλακτικών. Τότε οι τ.µ. (x 5) είναι ανεξάρτητες ισόνοµες µε σ.π.π. (x) e όταν x>5 και όταν x<5 x 5 + (x 5) Άρα E( i) x (x)dx x e dx ( 5) e d + 5 e d + 5 e d i αφού 346). e, > είναι η σ.π.π. της εκθετικής (βλέπε πίνακες κατανοµών σελ. Επίσης x 5 + (x 5) V( i) (x 5) (x)dx (x 5) e dx ( ) e d 5 διασπορά της εκθετικής V( ) i e, > (βλέπε πίνακες) και συνεπώς Ζητείται η * 5 45 * 5 i i P( i > 45) P( > ) i 45 *5 5 Φ(+ ) Φ( ) Φ( ) Φ(.55) Φ(.55).7 Άσκηση 7. σελ. Οι τιµές των 5 αντιστάσεων είναι τ.µ.,..., 5. Η συνολική αντίσταση είναι R όπου E( i ) 6 και V( i ) σ. Αναζητείται η τιµή του σ έτσι ώστε *6 3 P( R 5 3).95 P( ).95 σ 5 σ *6 Σύµφωνα µε το κ.ο.θ. Z N(,) σ 5 4
25 *6 3 3 Συνεπώς προσεγγιστικά P( ) P( Z ) σ 5 σ 5 σ P( Z ).95 P( Z ).95 σ *5 5* σ 5* σ Άρα Φ( ) Φ( ).95 Φ( ).95 Φ( ).975 Φ(.96) 5σ 5σ 5σ 5σ 3 3 Και αφού η Φ είναι γνησίως αύξουσα.96 σ.96 5σ 5 5
Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ
Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές περιλαμβάνουν λύσεις ασκήσεων Πιθανοτήτων και συγκροτήθηκαν εν όψει των αναγκών των σπουδαστών ΣΕΜΦΕ στo μαθήματα Πιθανότητες του ου εξαμήνου από τον διδάσκοντα Δ Φουσκάκη
Διαβάστε περισσότεραc(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότεραεξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
Διαβάστε περισσότεραP(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
Διαβάστε περισσότερα0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότερα10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό
ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
Διαβάστε περισσότεραÏÑÏÓÇÌÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ( )( ) ( )( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. w w + 1= + 1. α= α.
Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο σελ Β σελ Β σελ Γ α Λ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ + w z = w z w = + w z zw = + w w w + zw = z w( + z) = z z z
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.
Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
Διαβάστε περισσότεραΓ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β )
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ /0/0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:ΕΝΝΕΑ (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότεραΕΥΤΕΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη βιβλίου σελ -5 Α. Ορισµός βιβλίου σελ 6 Α. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. (z
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:
ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )
Διαβάστε περισσότερα3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)
3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 18 Νοεµβρίου 2009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16. Εστω ότι το ετήσιο εισόδηµα X ενός µισθωτού µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνεχής τυχαία µεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 5 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. Απόδειξη, σελ.94 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.88 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.59 σχολικού βιβλίου Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραP( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότερα35 = (7+ 109) =
Άλγεβρα Α Λυείου Στεφανής Παναγιώτης Συνδυαστιές Ασήσεις Ασήσεις δηµοσιευµένες στο περιοδιό τεύχος 8 Άσηση α) Να δείξετε ότι: 7 + + + +... + 9 = β) Να λυθεί η ανίσωση: 7 7x + x + x +... +
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε
Διαβάστε περισσότεραÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία (θεώρηµα Fermat) σχολικό βιβλίο, σελ Α2. Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ Α3.
ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρηµα Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i z 3i () Όµως z 3i z 3i z 3 i ()
Διαβάστε περισσότερα(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής
Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότερακαι δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x
ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]
ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ΔΕΥΤΕΡΑ, 21 ΜΑΪΟΥ 2018 8:00 11:00 ΜΕΡΟΣ Α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1o. ΘΕΜΑ 2o
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α. Θεωρία: Θεώρηµα σελ. 7 σχολικού βιβλίου β. Θεωρία: Η απάντηση βρίσκεται στη σελ. 7 του σχολικού βιβλίου γ. α-σ β-σ γ-σ δ-λ ε-λ ΘΕΜΑ o α. Είναι: w z iz + ( α + βi i( α βi + α + βi αi
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν
Διαβάστε περισσότερα, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 11ο Φροντιστήριο - Θέµατα Εξετάσεων από προηγούµενα έτη Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010
Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α (25 Μονάδες) Α1). Αν p(x) μία πολυωνυμική συνάρτηση, τότε να δείξετε ότι lim
ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ 3 ΩΡΩΝ ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ Ονοματεπώνυμο: ΒΑΘΜΟΣ:. /00 ή. /0 ΘΕΜΑ Α 5 Μονάδες) Α). Αν px) μία πολυωνυμική συνάρτηση, τότε να δείξετε ότι px) pxo). Μονάδες 4) Α). Έστω f μία συνάρτηση. Να αναφέρετε
Διαβάστε περισσότεραΑπλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες
Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότερα0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 1 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα 1 Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Θέμα 5 Θέμα 5* Βαθμός ΝΠΣ ΠΠΣ / / / / / /1 / / / / / / /1 ΘΕΜΑ 1: Στο ράφι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότερα( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α
. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική
Διαβάστε περισσότεραΜέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότεραΩ ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 24 ΜΑΡΤΙΟΥ 207 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα1 + t + s t. 1 + t + s
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα