7. ιακϱιτή Πιϑανότητα

Transcript

1 7. ιακϱιτή Πιϑανότητα Rosen, Κεϕ. 7 Γιάννης Εµίϱης Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέµϐϱιος 2017

2 Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων εσµευµένη πιϑανότητα Ανεξάϱτητα Γεγονότα υωνυµική κατανοµή Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

3 Εισαγωγικά Η Θεωϱία Πιϑανοτήτων παίϲει τεϱάστιο ϱόλο στη µοντελοποίηση και µελέτη συστηµάτων των οποίων δεν µποϱούµε να πϱοϐλέψουµε ή να παϱατηϱήσουµε την ακϱιϐή συµπεϱιϕοϱά (π.χ. κίνηση σωµατιδίων στη Φυσική, µακϱοοικονοµικά µοντέλα κοκ.). Στην Πληϱοϕοϱική οι πιϑανότητες έχουν πλήϑος εϕαϱµογών. Π.χ. στη µελέτη της δοµής του ιαδικτύου ή στην ανάλυση πιϑανοτικών αλγοϱίϑµων. Οι πιϑανοτικοί αλγόϱιϑµοι είναι αλγόϱιϑµοι που κάνουν κάποιες τυχαίες επιλογές κατά την διάϱκεια του υπολογισµού τους. Παϱακάµπτουν έτσι τη συµπεϱιϕοϱά της χειϱότεϱης πεϱίπτωσης.

4 Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

5 Βασικές έννοιες [Rosen 7.1] Οϱισµός 1 (Πείϱαµα - ειγµατικός χώϱος - Γεγονός). Πείϱαµα: ιαδικασία που δίνει ένα αποτέλεσµα από ένα σύνολο αποτελεσµάτων. ειγµατικός χώϱος S : Σύνολο δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειϱάµατος. Ο δειγµατικός χώϱος είναι διακϱιτός αν είναι πεπεϱασµένος ή αϱιϑµήσιµος. Γεγονός E S: απλό ανν E = 1, σύνϑετο ανν E > 1.

6 Βασικές έννοιες (Παϱαδείγµατα) Παϱάδειγµα 1. Ρίψη νοµίσµατος S = {Κ, Γ}. Παϱάδειγµα 2. Ρίψη 2 (διαϕοϱετικών) νοµισµάτων σε σειϱά S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Παϱάδειγµα 3. Πυϱοϐολώ στόχο µέχϱι την εύστοχη ϐολή, όπου ε" το γεγονός επιτυχίας, α" αστοχίας: S = {ε, αε, ααε, αααε,... }. Το S είναι αϱιϑµήσιµο.

7 Πεπεϱασµένη Πιϑανότητα Οϱισµός 2. Εστω ένας πεπεϱασµένος δειγµατικός χώϱος S, η πιϑανότητα εµϕάνισης ενός γεγονότος E S δίνεται από τον τύπο p(e) = E S εϕόσον όλα τα απλά γεγονότα είναι ισοπίϑανα. Ισχύει ότι 0 P(E) 1. Όταν P(E) = 0 το γεγονός είναι αδύνατο να συµϐεί. Αντιϑέτως, όταν P(E) = 1 το γεγονός συµϐαίνει πάντα.

8 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 4. Ρίψη 2 νοµισµάτων. Υποϑέτουµε ότι σε κάϑε ϱίψη η πιϑανότητα του K ή Γ είναι 50%, δηλ. τα νοµίσµατα είναι τέλεια. ειγµατικός χώϱος: S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Επειδή τα νοµίσµατα είναι τέλεια, όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίϑανα: P(ΚΚ) =

9 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 4. Ρίψη 2 νοµισµάτων. Υποϑέτουµε ότι σε κάϑε ϱίψη η πιϑανότητα του K ή Γ είναι 50%, δηλ. τα νοµίσµατα είναι τέλεια. ειγµατικός χώϱος: S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Επειδή τα νοµίσµατα είναι τέλεια, όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίϑανα: P(ΚΚ) = P(ΚΓ) = P(ΓΓ) = P(ΓΚ) =

10 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 4. Ρίψη 2 νοµισµάτων. Υποϑέτουµε ότι σε κάϑε ϱίψη η πιϑανότητα του K ή Γ είναι 50%, δηλ. τα νοµίσµατα είναι τέλεια. ειγµατικός χώϱος: S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Επειδή τα νοµίσµατα είναι τέλεια, όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίϑανα: P(ΚΚ) = P(ΚΓ) = P(ΓΓ) = P(ΓΚ) = 1 4.

11 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 5. Ποια είναι η πιϑανότητα 2 διαϕοϱετικά Ϲάϱια να ϕέϱουν άϑϱοισµα 7;

12 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 5. Ποια είναι η πιϑανότητα 2 διαϕοϱετικά Ϲάϱια να ϕέϱουν άϑϱοισµα 7; Απάντηση: E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Αϱα P(E) =

13 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 5. Ποια είναι η πιϑανότητα 2 διαϕοϱετικά Ϲάϱια να ϕέϱουν άϑϱοισµα 7; Απάντηση: E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Αϱα P(E) = 6/36 = 1/6.

14 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 6. Ποια η πιϑανότητα να κεϱδίσει κάποιος το τϲόκεϱ παίϲοντας 7 κύϱιους αϱιϑµούς και 2 δευτεϱεύοντες; (ϑυµίϲουµε ότι το τϲόκεϱ αποτελείται από 5 κύϱιους αϱιϑµούς από τους 45 και 1 από 20 δευτεϱεύοντες) Απάντηση: Τα δυνατά τϲόκεϱ είναι S =

15 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 6. Ποια η πιϑανότητα να κεϱδίσει κάποιος το τϲόκεϱ παίϲοντας 7 κύϱιους αϱιϑµούς και 2 δευτεϱεύοντες; (ϑυµίϲουµε ότι το τϲόκεϱ αποτελείται από 5 κύϱιους αϱιϑµούς από τους 45 και 1 από 20 δευτεϱεύοντες) Απάντηση: Τα δυνατά τϲόκεϱ είναι S = C(45, 5) 20. Τα τϲόκεϱ που πεϱιλαµϐάνονται στην επιλογή µου είναι

16 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 6. Ποια η πιϑανότητα να κεϱδίσει κάποιος το τϲόκεϱ παίϲοντας 7 κύϱιους αϱιϑµούς και 2 δευτεϱεύοντες; (ϑυµίϲουµε ότι το τϲόκεϱ αποτελείται από 5 κύϱιους αϱιϑµούς από τους 45 και 1 από 20 δευτεϱεύοντες) Απάντηση: Τα δυνατά τϲόκεϱ είναι S = C(45, 5) 20. Τα τϲόκεϱ που πεϱιλαµϐάνονται στην επιλογή µου είναι E = C(7, 5) 2 p(e) = C(7, 5) 2/C(45, 5)

17 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα άτοµα, γενέϑλια: S = ισοπίϑανα δείγµατα. 23 διαϕοϱετικές µέϱες: P(366, 23) = 366! 343! = γεγονότα: 23 αϱιϑµ. µπάλες, 366 αϱιϑµ. κουτιά: 1 µπάλα/κουτί. P( 2 µε ίδια γενέϑλια) = P(366, 23)/ S = 0, 494. P( 2 µε ίδια γενέϑλια) = 1 0, 494. Αν ϑεωϱήσω 365 µέϱες στον χϱόνο, ποιό είναι το ελάχιστο πλήϑος ατόµων ώστε η αντίστοιχη πιϑανότητα να είναι > 50% ;

18 Πϱάξεις γεγονότων Τα γεγονότα είναι εξ οϱισµού σύνολα. Λέµε πως δύο γεγονότα A, B συµϐαίνουν µαϲί όταν εµϕανίϲεται στοιχείο του δειγµατικού χώϱου που ανήκει στην τοµή A B. Γενικότεϱα: γεγονότα σύνολα A B A B A B A B A B S A B A B A B

19 Ασυµϐίϐαστα γεγονότα Οϱισµός 3. ύο γεγονότα A, B λέγονται αλληλοαποκλειόµενα, ασυµϐίϐαστα ή ξένα όταν A B =.

20 Ασυµϐίϐαστα γεγονότα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 8. Τα γεγονότα A = {το άϑϱοισµα δυο Ϲαϱιών είναι 11} και B = {ένα από τα δύο Ϲάϱια είναι 2} είναι ασυµϐίϐαστα. Παϱάδειγµα 9. Τα γεγονότα A = {το χαϱτί είναι ϱήγας} και B = {το χαϱτί είναι κούπα} δεν είναι ασυµϐίϐαστα γεγονότα.

21 Συµπλήϱωµα και Ένωση Θεώϱηµα 1 (Συµπλήϱωµα). Γεγονός A = S A P(A) = 1 P(A).

22 Θεώϱηµα 2 (Ένωση). Για αλληλοαποκλειόµενα/ασυµϐίϐαστα γεγονότα A, B P(A B) = P(A) + P(B). Για οποιαδήποτε γεγονότα A, B, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

23 Ενωση και συµπλήϱωµα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 10. Ποια είναι η πιϑανότητα σε έναν πενταψήϕιο κωδικό µε γϱάµµατα και αϱιϑµούς να υπάϱχει τουλάχιστον µια ϕοϱά το W; Απάντηση: P(E) = ( )5 P(E) = 1 ( )5 0.13

24 Ενωση και συµπλήϱωµα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 11. Ποια η πιϑανότητα ένας ακέϱαιος από το 1 έως το 100 να διαιϱείται είτε από το 2 είτε από το 5; Απάντηση: A = {ο ακέϱαιος διαιϱείται από το 2}, B = {ο ακέϱαιος διαιϱείται από το 5}, P(B)=20%, A B = {ο ακέϱαιος διαιϱείται από το 10}. P(A B) = P(A) P(A B) + P(B) P(A B) = (50% 10%) + (20% 10%) = 50%. H πιϑανότητα να διαιϱείται από το 2 ή το 5 είναι P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 60%. 100

25 Ενωση και συµπλήϱωµα πιϑανότητας Παϱαδείγµατα 1000 άτοµα = 515 γυναίκες άνδϱες. 90 γυναίκες ϕίλαϑλοι, 302 άνδϱες ϕίλαϑλοι. Πείϱαµα = τυχαία επιλογή ατόµου S = {γϕ, γµ, αϕ, αµ}. P(γϕ) = , P(γµ) =, P(αϕ) =, P(αµ) = Επιλογή ϕιλάϑλου Επιλογή γυναίκας Φ := { γϕ, αϕ } Γ := { γϕ, γµ } P(Φ) = 392/1000 P(Γ) = 515/1000 Φ Γ = ϕίλαϑλη γυναίκα P = 90 0 / 00 P(Φ) P(Γ) = / 00. ΣυνεχίϹεται...

26 Ενωση και συµπλήϱωµα πιϑανότητας Παϱαδείγµατα Συνέχεια... Φ Γ = ϕίλαϑλος ή γυναίκα P = 1 P(αµ) = / 00. {γϕ, αϕ, γµ} = {αϕ} Γ : ξένα P = P(Γ) + P(αϕ) = P(Φ Γ) = P(Φ) + P(Γ) P(Φ Γ) = ( )/1000.

27 Ενωση και συµπλήϱωµα πιϑανότητας Παϱαδείγµατα (συνέχεια) Φ A = {αµ, γϕ}: ασυµϐίϐαστα. δηλ. P(Φ A) = P(αµ) + P(γϕ) = = / 00. Ισοδύναµα: P(Φ Α) = 1 P(γµ ή αϕ) = = = / 00.

28 Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων εσµευµένη πιϑανότητα Ανεξάϱτητα Γεγονότα υωνυµική κατανοµή Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

29 ΟϱίϹοντας την Πιϑανότητα [Rosen 7.2] Σε πολλά πειϱάµατα τα γεγονότα δεν είναι ισοπίϑανα ή δεν είναι πεπεϱασµένα. Εστω ένα Ϲάϱι που ευνοεί την επίτευξη του 6, ή η πιϑανότητα ενός γεγονότος στο δείγµα του Παϱαδείγµατος 3 (πϱώτη επίτευξη στόχου). ΧϱειαϹόµαστε λοιπόν µια γενίκευση των εϱγαλείων που είδαµε.

30 ΟϱίϹοντας την Πιϑανότητα Οϱισµός 4. Η Πιϑανότητα είναι µια συνάϱτηση p : S R [0, 1] : p(x i ) 0, p(x i ) = 1. x i S Oπως και στην πεπεϱασµένη πεϱίπτωση, εκϕϱάϲει την συχνότητα εµϕάνισης αποτελέσµατος: p(x i ) = 0 x i δεν εµϕανίϲεται, p(x i ) = 1 x i εµϕανίϲεται πάντα. δηλ. η πιϑανότητα που δείχνει πόσο συχνά εµϕανίϲεται το γεγονός το x i σε αϱκετά πολλά («άπειϱα») πειϱάµατα.

31 ΟϱίϹοντας την Πιϑανότητα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα Ζάϱι µε πεπλατυσµένη ϐάση στο 1 ευνοεί το 6: Η πιϑανότητα του 6 τετϱαπλάσια από του Λοιπά αποτελέσµατα: 75% του δίκαιου Ϲαϱιού. Απάντηση: (2) P({2}) = P({3}) = = P({4}) = P({5}) = = 1 8. (1) 5P({1}) + 4P({2}) = 1. Άϱα P({1}) = 1 10, P({6}) = 2 5.

32 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 13. Πυϱοϐολισµοί σε στόχο : P(ɛ) = 1 2. P(αɛ) = 1 4. P(ακ ɛ) = 1 2 k+1. Το άϑϱοισµα των πιϑανοτήτων είναι: k=1 1 2 = k lim N N k=1 1 2 = k lim N N k=0 1 2 k 1 = ( ( 1 ) 2 = lim )N = 2 1 = 1

33 Οµοιόµοϱϕη κατανοµή Για κάϑε απλό γεγονός E, ισχύει P(E) = 1 S. P(E) = x E S P(x), όπου x τα απλά γεγονότα που πεϱιέχονται στο E. Τα ϑεωϱήµατα συµπληϱώµατος και ένωσης ισχύουν : P(E) = 1 P(E) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 )

34 Γενίκευση ένωσης για ασυµϐίϐαστα γεγονότα Θεώϱηµα 3. Έστω E i E j =, i j. Τότε ( ) P E i = i i P(E i )

35 Ιδιότητες πιϑανοτήτων Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 14. ΜοιϱάϹοντας µια τϱάπουλα ϑέτουµε τα γεγονότα A = {εµϕανίϲεται ϐαλές}, B = {εµϕανίϲεται ντάµα}, C = {εµϕανίϲεται ϱήγας}. Πϱοϕανώς τα A, B, C είναι ασύµϐατα µεταξύ τους, ενώ για το ενδεχόµενο A B C = {εµϕανίϲεται ϕιγούϱα} έχουµε P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = 12/52

36 Παϱάδειγµα 15. ΓνωϱίϹουµε ότι P(A) = 0.36, P(B) = 0.43, P(C) = Είναι τα γεγονότα A, B, C ασύµϐατα; Απάντηση: Αν ήταν ασύµϐατα τότε ϑα είχαµε πως P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1.01 > 1. Ατοπο, γιατί P(A B C) 1

37 εσµευµένη πιϑανότητα Οϱισµός 5 ( εσµευµένη πιϑανότητα). Έστω E και F γεγονότα µε p(f) > 0. Τότε η δεσµευµένη πιϑανότητα του E µε δεδοµένο το F είναι p(e F) = p(e F) p(f) Σχόλιο: Η δεσµευµένη πιϑανότητα "συµπιέϲει" τον δειγµατικό χώϱο στο F S.

38 εσµευµένη πιϑανότητα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 16. Ρίψη 2 νοµισµάτων, p(kk) = 1 4 Αν ξέϱω ότι το 1 o είναι Κ, τότε p(kk K) = 1 2. Αν ξέϱω ότι το 1 o είναι Γ, τότε p(kk Γ) = 0.

39 εσµευµένη πιϑανότητα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 17. p(ϕ) = p(αϕ, γϕ) = / 00, p(γ) = / 00. Αν µας δίνεται το ϕύλο, µε τι πιϑανότητα είναι ϕίλαϑλος; Αν γυναίκα p(ϕ γ) = p(γϕ γ) = < / 00 = p(ϕ) Αν άντϱας p(ϕ α) = p(αϕ α) = > / 00 Αν δίνεται η ϕίλαϑλος ιδιότητα, µε τι πιϑανότητα γυναίκα; αν και p(γ) > p(α). = p(γϕ ϕ) = p(γ φ) < p(α ϕ) = ,

40 Απλό γεγονός Οϱισµός. x F p(x F) = 0. x F p(x F) = p(x)/p(f). Πόϱισµα 1. p(x F) > p(x), x F S, F S, τέτοιο ώστε p(f) < 1.

41 Από απλό σε σύνϑετο γεγονός Η συνάϱτηση p(x F) p F (x) είναι µια νέα συνάϱτηση πιϑανότητας στο σύνολο F, διότι p(x) 0, x F και x F p(x F) = x F p(x) p(f) = 1. Για σύνϑετο γεγονός E, p(e F) = p F (x) = p(x)/p(f) = x E F x E F p(e F). p(f)

42 p(a B) p(b A) Παϱάδειγµα Ϲάϱια στη σειϱά. Όλες οι δυνατές Ϲαϱιές είναι 6 3. A : άσος, B : 3 διαϕοϱετικά αποτελέσµατα δηλ. 2 ίδιες όψεις 1. p(b) = P(6, 3)/6 3 = 5/9 : P(6, 3) τϱιάδες σε 6 κουτιά 2. p(a B) = 3 P(5, 2)/6 3. 1, 2 p(a B) = 3 5!/3! 6!/3! = 3 6 = p(a) = 1 p(a) = , 3 p(b A) = 3 P(5,2)/63 ( )/6 3 = 3(5 4) = > p(b).

43 Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 19. Θέτουµε το γεγονός A k = {κάποιος/α Ϲει k χϱόνια}. Έστω P(A 35 ) = 0.8, P(A 50 ) = 0.65 και P(A 75 ) = 0.5. Με δεδοµένο ότι για κάϑε l > k ισχύει A l A k A l A k = A l, έχουµε: Ένας 35άϱης ϑα Ϲήσει τουλάχιστον 50 χϱόνια µε P(A 50 A 35 ) = P(A 50 )/P(A 35 ) = Μια 35άϱα ϑα Ϲήσει τουλάχιστον 75 χϱόνια: P(A 75 A 35 ) = P(A 75 )/P(A 35 ) = Ενα άτοµο 50 ετών δεν ϑα Ϲήσει 75 χϱόνια: P(A 75 A 50 ) = 1 P(A 75 )/P(A 50 ) = 1 10/13 = 3/10.

44 Πόϱισµα Πόϱισµα 2. εϕόσον p(a B) p(b A) = p(a B) p(a) p(a) p(b). = p(a B)p(B) p(a)

45 Ανεξάϱτητα Γεγονότα Οϱισµός 6. υο γεγονότα E, F είναι ανεξάϱτητα ανν P(E F) = P(E)P(F). Ισοδύναµα: Αν p(e), p(f) > 0 τότε τα E, F είναι ανεξάϱτητα 1. ανν p(e) = P(E F), 2. ανν p(f) = P(F E).

46 Ανεξάϱτητα Γεγονότα Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 20. ύο νοµίσµατα µε σειϱά. Α: Το πϱώτο Κ, Β: ιαϕοϱετικά αποτελέσµατα. Είναι ανεξάϱτητα; ΝΑΙ, γιατί p(a B) = 1/4. p(a) = 1/2, p(b) = #{ΚΓ, ΓΚ} #{ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} = 1/2. p(a B) = p(a B)/p(B) = 1/2 = p(a). p(b A) = p(a B)/p(A) = 1/2 = p(b).

47 Πεϱισσότεϱα γεγονότα Παϱάδειγµα 21. 7/10 ϕοιτητές πϱοτιµούν τα σουϐλάκια από τα ϱεϐύϑια. Ποια είναι η πιϑανότητα 3 ϕοιτητές που διαλέξαµε στην τύχη να πϱοτιµούν να ϕάνε ϱεϐύϑια; Απάντηση: Τα γεγονότα (έστω A 1, A 2, A 3 ) είναι ανεξάϱτητα οπότε P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) =

48 Ανεξάϱτητα και Ασυµϐίϐαστα Γεγονότα A και B µε p(a), p(b) > 0: ΟΡ. A, B Ασυµϐίϐαστα/Ξένα A B =. ΛΗ. A, B Ανεξάϱτητα και p(a), p(b) > 0 p(a B) = p(a)p(b) p(a B) 0 A B άϱα συµϐατά! ΛΗ. A, B Ξένα p(a B) = 0 p(a)p(b) Εξαϱτηµένα, διότι το ένα αποκλείει το άλλο. ΠΟ. Ανεξάϱτητα & Ασυµϐίϐαστα/Ξένα : Αδύνατο. Ανεξάϱτητα Εξαϱτηµένα Ασυµϐίϐαστα/Ξένα X Συµϐατά: X: αδύνατο : δυνατό, αλλά όχι υποχϱεωτικό

49 Ανεξαϱτησία πολλών γεγονότων Οϱισµός 7. Όταν εξετάϲουµε παϱαπάνω από δύο ενδεχόµενα E 1, E 2,..., E n οϱίϲουµε δύο τύπους ανεξαϱτησίας: Ανεξάϱτητα κατά Ϲεύγη p(e i E j ) = p(e i )p(e j ), 1 i < j n. Πλήϱως ανεξάϱτητα: Για κάϑε I {1, 2,..., n}, µε I = {i 1, i 2,..., i m }, p(e i1 E i2 E im ) = p(e i1 )p(e i2 ) p(e im ).

50 Ανεξαϱτησία πολλών γεγονότων Πϱοσοχή!!! Πεϱίπτωση 1. Ένα σύνολο γεγονότων µποϱεί να είναι ανεξάϱτητο κατά Ϲεύγη αλλά όχι πλήϱως ανεξάϱτητο. Πεϱίπτωση 2. Υπάϱχουν και οι αντίστϱοϕες πεϱιπτώσεις όπου p(e 1 E 2 E 3 ) = p(e 1 )p(e 2 )p(e 3 ), αλλά p(e 1 E 2 ) p(e 1 )p(e 2 ).

51 Πεϱίπτωση 1 Παϱάδειγµα 22. Ρίχνουµε δύο ϕοϱές ένα δίκαιο νόµισµα. 1. A 1 = {η πϱώτη ϱίψη είναι Κ} = {KΓ, KK} 2. A 2 = {η δεύτεϱη ϱίψη είναι Γ} = {KΓ, ΓΓ} 3. A 3 = {ίδιο αποτέλεσµα στις δυο ϱίψεις} = {KK, ΓΓ} Έχουµε P(A 1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) = 1/2. Επιπλέον P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ), P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) και P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ). Όµως P(A 1 A 2 A 3 ) = 0 P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 1/8.

52 Πεϱίπτωση 2 Παϱάδειγµα 23. Έστω P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0 και P(A B) = Άϱα P(A B) P(A)P(B). Πϱοϕανώς P(A B C) = 0, αϕού το C αντιστοιχεί στο κενό σύνολο, άϱα P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = 0.

53 οκιµές Bernoulli Πολλά πειϱάµατα τύχης αποτελούνται από n επαναλαµϐανόµενες διαδικασίες κατά τις οποίες υπάϱχουν µόνο δύο αποτελέσµατα Θεωϱούµε το ένα αποτέλεσµα "επιτυχία", µε πιϑανότητα εµϕάνισης p σε µια διαδικασία και το άλλο "αποτυχία", µε πιϑανότητα εµϕάνισης q = 1 p. Η κάϑε επανάληψη ονοµάϲεται " οκιµή Bernoulli" και το πείϱαµα ακολουϑεί τη ιωνυµική Κατανοµή. Το πείϱαµα δεν σταµατά στην 1η επιτυχία όπως το παϱάδειγµα του στόχου.

54 ιωνυµική κατανοµή Θεώϱηµα 4. Η πιϑανότητα εµϕάνισης ακϱιϐώς k επιτυχιών µετά από n ανεξάϱτητες δοκιµές Bernoulli είναι P (k επιτυχίες) = C(n, k) p k q n k. Είναι πιϑανότητα διότι P(k) 0, 0 k n και n ( ) n p k q n k = (p + q) n = 1 n = 1. k k=0

55 Παϱάδειγµα 24. Πιϑανότητα µετά από 15 ϱίψεις νοµίσµατος να έχουµε 9 κοϱώνες

56 Παϱάδειγµα 24. Πιϑανότητα µετά από 15 ϱίψεις νοµίσµατος να έχουµε 9 κοϱώνες ( ) 15 = (1/2) 9 (1/2)

57 Τυχαία Μεταϐλητή Οϱισµός 8. Μια συνάϱτηση X : S R ονοµάϲεται τυχαία µεταϐλητή, δηλ. αντιστοιχεί σε κάϑε πιϑανό αποτέλεσµα του πειϱάµατος έναν πϱαγµατικό αϱιϑµό που χαϱακτηϱίϲει το αποτέλεσµα. Επιτϱέπει να µοντελοποιήσουµε ενδιαϕέϱοντα πϱοϐλήµατα µε το S (κι όχι απλώς να µετϱάµε πόσες ϕοϱές πϱοκύπτει κάϑε αποτέλεσµα). Οϱισµός 9. Η κατανοµή µιας τυχαίας µεταϐλητής X δίνεται από το Ϲεύγος (s, P(X = k)), s S.

58 Παϱάδειγµα 25. Εστω X η τυχαία µεταϐλητή που δίνει το σύνολο των ϕοϱών που εµϕανίστηκε K κατά τη ϱίψη ενός κέϱµατος. Εχουµε: X(ΚΚΓ) = X(ΚΓK) = X(ΓKK) = 2 X(ΚΓΓΓΓ) = 1 X(ΚΓΚΓΓΚΚΚ) = 5 X(ΓΓΓΓΓΓΓΓ) = 0 Παϱάδειγµα 26. Για την οµοιόµοϱϕη (uniform) κατανοµή, όλα τα γεγονότα έχουν την ίδια πιϑανότητα 1/ S, άϱα η κατανοµή είναι (s, 1/ S ) για όλα τα s S.

59 Παϱάδειγµα 27. Ποια η πιϑανότητα το άϑϱοισµα δύο Ϲαϱιών να είναι < 9 τουλάχιστον 3 ϕοϱές µετά από 7 επαναλήψεις; Απάντηση: Έστω X το πλήϑος αϑϱοισµάτων κάτω του 9. Ζητάµε την πιϑανότητα P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2). οκιµή Bernoulli: Πιϑανότητα αϑϱοίσµατος < 9 είναι p = 26/36, q = 10/36. ( ) ( ) ( ) P(X 3) = 1 p 0 q 7 pq 6 p 2 q 5 97, 94%

60 Παϱάδειγµα 28. Σε µια ϐδοµάδα, κάϑε µέϱα, 30% πιϑανότητα ϐϱοχής. a) P[ ϐϱοχεϱή] = 1 P[ ϐ] = 1 (0, 7) 7. b) P[ 2 ϐϱοχεϱές] = P[ (# ϐϱοχεϱών < 2)] = = 1 P[β = 1] P[β = 0], όπου P[β = 1] = 7 0, 3 0, 7 6. c) P[ 2 ϐϱοχεϱές ηµέϱες β] = 1 P[ ϐ 1 β] = 1 P[ τουλάχιστον 6 µέϱες ανοµϐϱίας β] = 1 P[ ακϱιϐώς 6 µέϱες ανοµϐϱίας β] = 1 7(0, 7) 6 (0, 3)/P[ ϐ ]. H τυχαία µεταϐλητή είναι β = #ϐϱοχεϱών ηµεϱών. Στο (c) εϕαϱµόϲουµε ϑεωϱία πιϑανοτήτων στη δεσµευµένη πιϑανότητα

61 Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

62 Τύπος Bayes [Rosen 7.3] Για οποιαδήποτε δύο γεγονότα E και F ισχύει: E = (E F) (E F) Τα (E F), (E F) είναι ασυµϐίϐαστα p(e) = p(e F) + p(e F) = p(e F)p(F) + p(e F)p(F) = p(e F)p(F) + p(e F) [1 p(f)] Το χϱησιµοποιούµε στον παϱονοµαστή του γνωστού: p(f E) = p(f E) p(e) = p(e F)p(F) p(e)

63 Το Θεώϱηµα του Bayes Θεώϱηµα 5. Εστω E, F S µε p(e), p(f) > 0. Τότε ισχύει p(f E) = p(e F)p(F) p(e F)p(F) + p(e F) [1 p(f)]

64 Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 29. Τίϑεται πολλαπλή επιλογή µε m απαντήσεις. Γ= «ϕοιτητής γνωϱίϲει απάντηση», πιϑανότητα = p. Αλλιώς δίνει τυχαία απάντηση εκ των m. Σ = «σωστή επιλογή». p(σ Γ)p(Γ) p(γ Σ) = p(σ Γ)p(Γ) + p(σ Γ) [1 p(γ)] 1 p = 1 p + 1 m (1 p) = mp 1 + (m 1)p. m = 5, p = 1/2 m = 1 m p = 1 p = 0 p(γ Σ) 5/6 p 1 1 0

65 Γενικευµένος τύπος Bayes Θεώϱηµα 6. Εστω E S και έστω F i, i I αλληλοαποκλειόµενα γεγονότα που διαµεϱίϲουν τον δειγµατικό χώϱο S, άϱα και το E, δηλ. Τότε i I F i = S, και i j I, ισχύει F i F j =. p(f i E) = p(e F i)p(f i ) i I p(e F i)p(f i ). Παϱατήϱηση: Το αϱχικό ϑεώϱηµα Bayes πϱοκύπτει για I = {1, 2}, όπου F 1 = F, F 2 = F, τα οποία διαµεϱίϲουν το S, άϱα και το E.

66 Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 30. Η ένδειξη για πϱόϐληµα στα τακάκια του αµαξιού είναι εσϕαλµένη στα µοντέλα της Lancia κατά 5%, στα µοντέλα της Ford κατά 1% και σε όλα τα υπόλοιπα µοντέλα κατά 3% Αν 5% του πληϑυσµού οδηγεί Lancia και 20% Ford, ποια η πιϑανότητα κάποιος να οδηγεί Lancia δεδοµένου ότι έχει λανϑασµένη ένδειξη για τακάκια; (συνεχίϲεται)

67 Απάντηση ΣυµϐολίϹουµε τα ενδεχόµενα να οδηγεί κάποιος ένα από τα παϱαπάνω µοντέλα A 1, A 2 και A 3 αντίστοιχα. ΣυµϐολίϹουµε µε B το ενδεχόµενο η ένδειξη να είναι λάϑος. Έχουµε Αϱα P(A 1 ) = 0.05, P(A 2 ) = 0.2, P(A 3 ) = 0.75 P(B A 1 ) = 0.05, P(B A 2 ) = 0.01, P(B A 3 ) = 0.03 P(A 1 B) = P(B A 1 )P(A 1 ) P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) + P(B A 3 )P(A 3 ) 0, 0926, που είναι σχεδόν διπλάσιο του P(A 1 ).

68 Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

69 Αναµενόµενη τιµή [Rosen 7.4] Οϱισµός 10. Η αναµενόµενη τιµή (expected value) µιας τυχαίας µεταϐλητής X σε έναν δειγµατικό χώϱο S οϱίϲεται από τον τύπο E(X) = s S p(s)x(s). Η αναµενόµενη τιµή ονοµάϲεται συχνά µέση τιµή. ΟϱίϹουµε ως απόκλιση του X στο s τη διαϕοϱά X(s) E(X)

70 Αναµενόµενη τιµή Παϱάδειγµα 31. Ποια είναι η µέση τιµή µετά τη ϱίψη ενός Ϲαϱιού; Απάντηση: Σε αυτήν την πεϱίπτωση η τυχαία µεταϐλητή X αντιστοιχεί στην έδϱα του Ϲαϱιού. Εχουµε E(X) = = 7 2.

71 Πλήϑος αποτελεσµάτων Θεώϱηµα 7. Εστω µια τυχαία µεταϐλητή X. Η αναµενόµενη τιµή γϱάϕεται ως άϑϱοισµα πάνω στις τιµές της X ως εξής: E(X) = p(x = r) r, r X(S) όπου p(x = r) = p(s). s S:X(s)=r

72 Μέση τιµή διωνυµικής κατανοµής Θεώϱηµα 8. Η µέση τιµή των επιτυχιών πιϑανότητας p µιας διωνυµικής κατανοµής πλήϑους n είναι E(X) = np. Απόδειξη: E(X) = = n k p(x = k) Θεώϱ. 7 k=0 = n k C(n, k)p k (1 p) n k k=0 = n n C(n 1, k 1)p k (1 p) n k k=0 ( ) ( n k k = n n 1 ) k 1 n 1 = np C(n 1, j)p j (1 p) (n 1) j j = k 1 j=0 = np(p + (1 p)) n 1 = np ιωνυµικό Θεώϱ.

73 Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 32. Μια γενετική µετάλλαξη έχει πιϑανότητα εµϕάνισης στον γενικό πληϑυσµό p = 0, 012. Πόσα άτοµα αναµένεται να την εµϕανίϲουν στην Ελευσίνα ( κάτοικοι); Απάντηση: Το πϱόϐληµα µοντελοποιείται ως n = ανεξάϱτητα πειϱάµατα, καϑένα µε πιϑανότητα να πϱαγµατοποιηϑεί p = 0, 012. Αϱα, η πιϑανότητα εµϕάνισης ακολουϑεί διωνυµική κατανοµή, οπότε E(X) = , 012 = 300.

74 Γϱαµµικότητα µέσης τιµής Θεώϱηµα 9. Εστω X 1, X 2,..., X n, X τυχαίες µεταϐλητές στον δειγµατικό χώϱο S και a, b R. Τότε 1. E(aX + b) = ae(x) + b, 2. E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X n ). Απόδειξη. 1. E(aX + b) = s p(s)(ax(s) + b) = a s p(s)x + b s p(s). 2. Για n = 2. E(X 1 + X 2 ) = s p(s)(x 1(s) + X 2 (s)).

75 Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 33. Ποιο το αναµενόµενο άϑϱοισµα ενός δίκαιου εξάεδϱου Ϲαϱιού (τυχ. µεταϐλ. X 1 ) και ενός τετϱάεδϱου Ϲαϱιού που «ευνοεί» το 4 κατά το διπλάσιο σε σχέση µε τις άλλες έδϱες (τυχ. µεταϐλ. X 2 ); E(X 1 ) = 7/2 (γνωστό, παϱάδ. 31). 3P({1}) + P({4}) = 5P({1}) = 1 P({4}) = 2/5, P({1}) = P({2}) = P({3}) = 1/5. E(X 2 ) = 1/5 ( ) + 2/5 4 = 14/5. Άϱα E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) = 7/2 + 14/5 = 63/10.

76 Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

77 Ασκηση 1 (Rosen ) Ν.δ.ό. αν δυο γεγονότα E και F είναι ανεξάϱτητα, τότε και τα συµπληϱώµατά τους είναι ανεξάϱτητα. Λύση: P(E F) = P(E F) = 1 P(E F) = = 1 P(E) P(F) + P(E F) = 1 P(E) P(F) + P(E)P(F) = = (1 P(E))(1 P(F)) = = P(E)P(F)

78 Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά;

79 Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά; P(X = 2) = ( 60 2 ) (0, 05)2 (0, 95) 58 22, 6% Ποια η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν όλα;

80 Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά; P(X = 2) = ( 60 2 ) (0, 05)2 (0, 95) 58 22, 6% Ποια η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν όλα; P(X = 60) = ( ) (0, 05) 60 (0, 95) 0 < Πόσα παιδιά αναµένουµε να νοσήσουν;

81 Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά; P(X = 2) = ( 60 2 ) (0, 05)2 (0, 95) 58 22, 6% Ποια η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν όλα; P(X = 60) = ( ) (0, 05) 60 (0, 95) 0 < Πόσα παιδιά αναµένουµε να νοσήσουν; E(X) = n p = 60 0, 05 = 3.

82 Άσκηση 2 (συνέχεια) Κάϑε παιδί πϱέπει να διαλέξει τουλάχιστον ένα άϑληµα για το µάϑηµα της γυµναστικής. ΓνωϱίϹουµε ότι η εµϕάνιση της ασϑένειας σε όσα παιδιά έχουν διαλέξει κολύµϐηση είναι 0, 01 και ότι την κολύµϐηση τη διαλέγουν 10% των παιδιών. Πιϑανότητα ένα τυχαίο παιδί να νοσεί & να κάνει κολύµϐηση:

83 Άσκηση 2 (συνέχεια) Κάϑε παιδί πϱέπει να διαλέξει τουλάχιστον ένα άϑληµα για το µάϑηµα της γυµναστικής. ΓνωϱίϹουµε ότι η εµϕάνιση της ασϑένειας σε όσα παιδιά έχουν διαλέξει κολύµϐηση είναι 0, 01 και ότι την κολύµϐηση τη διαλέγουν 10% των παιδιών. Πιϑανότητα ένα τυχαίο παιδί να νοσεί & να κάνει κολύµϐηση: P(A K) = P(K)P(A K) = 0, 1 0, 01 = 0, 001. Πόσο πιϑανό ένα παιδί που έχει αϱϱωστήσει να έχει διαλέξει άλλο άϑληµα;

84 Άσκηση 2 (συνέχεια) Κάϑε παιδί πϱέπει να διαλέξει τουλάχιστον ένα άϑληµα για το µάϑηµα της γυµναστικής. ΓνωϱίϹουµε ότι η εµϕάνιση της ασϑένειας σε όσα παιδιά έχουν διαλέξει κολύµϐηση είναι 0, 01 και ότι την κολύµϐηση τη διαλέγουν 10% των παιδιών. Πιϑανότητα ένα τυχαίο παιδί να νοσεί & να κάνει κολύµϐηση: P(A K) = P(K)P(A K) = 0, 1 0, 01 = 0, 001. Πόσο πιϑανό ένα παιδί που έχει αϱϱωστήσει να έχει διαλέξει άλλο άϑληµα; P(A K) + P(A K) = P(A) P(A K) = 0, 049. P(A K) = P(A K)/P(K) 0, 054. P(K A) = P(A K)P(K) P(A K)P(K) + P(A K)P(K) = 98%.