ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; (Μονάδες (Μονάδες 5) Α3. Σε ένα δείγµα µεγέθους ν, αν x1, x2,, xκ, είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, µε αντίστοιχες απόλυτες συχνότητες ν1, ν2,, νκ, όπου 𝜅 𝜈, ενώ f1, f2,, fκ, είναι οι αντίστοιχες σχετικές τους συχνότητες, τότε να αποδείξετε i 0 𝑓 1 f1 + f2 + + fκ = 1 Α4. Πώς ορίζεται η διάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (Μονάδες 5) ΖΗΤΗΜ Α 2 Ο Β1. Έστω t1, t2,, tv, οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή 𝑥 και τυπική απόκλιση s. Να υπολογίσετε τον αριθµητικό µέσο των διαφορών t1 𝑥, t2 𝑥,, tv 𝑥
Β2. Οι καθαρές µηνιαίες αποδοχές των εργαζοµένων σε µια επιχείρηση χωρισµένες σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους, είναι από 700 έως 1200 ευρώ. Αν γνωρίζουµε ότι: Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγµατος έχει εµβαδόν 125. i Οι εργαζόµενοι που έχουν καθαρές µηνιαίες αποδοχές τουλάχιστον 900 ευρώ είναι 80. ii Η γωνία του κυκλικού τοµέα στο κυκλικό διάγραµµα που αντιστοιχεί στην κλάση 800, 900 είναι 72ο. iv) Το ύψος του ορθογωνίου της κλάσης [900, 1000) στο ιστόγραµµα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων είναι 0,64. v) Οι εργαζόµενοι µε καθαρές µηνιαίες αποδοχές από 1000 έως 1100 ευρώ είναι διπλάσιοι από αυτούς που έχουν καθαρές µηνιαίες αποδοχές από 1100 έως 1200 ευρώ. α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών) β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. (Μονάδες 15) ΖΗΤΗΜ Α 3 Ο Γ1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται θερµοκρασίες των 20 πρώτων ηµερών του Μαΐου σε βαθµούς κελσίου (oc) Τιµές Θερµοκρασίας xi Πλήθος Ηµερών vi 22 23 2 4 24 25 26 27 2 3
α) Αν γνωρίζουµε οτι η µέση θερµοκρασία των παρακάτω ηµερών είναι 24,4 oc i Να βρείτε πόσες ηµέρες είχαν θερµοκρασία 24 oc και πόσες 25 oc Να υπολογίσετε την διάµεσο β) Αν γνωρίζουµε οτι η διάµεσος είναι 24,5 oc, να βρείτε πόσες ηµέρες είχαν θερµοκρασία 24 oc και πόσες 25 oc Γ2. Οι απουσίες των µαθητών της Γ' τάξης ενός Λυκείου κατά τους πρώτους τέσσερις µήνες του έτους 2014, έχουν οµαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα. Απουσίες µαθητών Κέντρο κλάσης xi Σχετική συχνότητα fi 0,1 [...-7) 0,3 10 Σύνολο 1 Αν επιπλέον δίνεται ότι η σχετική συχνότητα της 4ης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της 2ης κλάσης, τότε: α) να αποδείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων είναι 2, β) να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε γ) να βρείτε την µέση τιµή
δ) να βρείτε την τυπική απόκλιση s (Μονάδες 15) ΖΗΤΗΜ Α 4 Ο Δ1. Οι ηλικίες των εργαζοµένων σε µια εταιρία έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: Ηλικίες (Χρόνια) xi fi % [25-...) Ni Fi % 𝑥 𝑣 x [...- ) 2x x2 6x 50 Σύνολο α) Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες fi %, i = 1,2,3,4 β) Αν η διάµεσος της κατανοµής των ηλικιών είναι δ = 50 χρόνια, να αποδείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c = 10 γ) Αφού µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συµπληρωµένο κατάλληλα, να υπολογίσετε την µέση τιµή των ηλικιών δ) Πόσοι εργαζόµενοι, των οποίων οι ηλικίες ανήκουν στην πρώτη κλάση, πρέπει να προσληφθούν, ώστε η νέα µέση ηλικία να είναι 40 χρόνια; (Μονάδες 12) Δ2. α) Η διακύµανση ορίζεται από την σχέση 𝑠 = 𝑥 𝑣, όπου x1, x2,, xκ είναι οι τιµές της µεταβλητής µε συχνότητες ν1, ν2,, νκ.
Να αποδείξετε ότι 𝑠 = 𝑥 𝑓 𝑥. β) Σε ένα λύκειο υπάρχουν δυο τµήµατα Α, Β ενισχυτικής διδασκαλίας στα µαθηµατικά µε 10 και 5 µαθητές αντίστοιχα. Ο µέσος όρος της βαθµολογίας στο τµήµα Α είναι 9 και ο µέσος όρος και στα δυο τµήµατα είναι 10. i ii Να βρείτε τον µέσο όρο της βαθµολογίας στο τµήµα Β Εάν φύγουν δυο µαθητές από το τµήµα Α µε βαθµό 11 ο καθένας και ο ένας πάει στο τµήµα Β, να βρείτε τους νέους µέσους όρους βαθµολογίας των τµηµάτων. Εάν για τα τµήµατα Α, Β ισχύουν αντιστοίχως " 𝑥 𝑓 = 85 𝜅𝛼𝜄 𝑥 𝑓 = 148, να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις των δυο τµηµάτων. (Μονάδες 13) ΚΑΛΗ ΤΥΧΗ