ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fax ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α) Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5. Α) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 49. Α3) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.. Α4) α Λάθος β Σωστό γ Σωστό δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ Β Β) Έχουμε τη συνάρτηση θερμοκρασίας θ( ) 4 + α, α R, ( 0,4]. Ζητείται η μονοτονία της συνάρτησης θ(). Η συνάρτηση θ είναι παραγωγίσιμη στο ( 0,4 ], με 4 θ () ( 4 + α) () 4( ) + ( α) > 0 > 0 θ () 0 0 4ώρες ( ] Η θ είναι παραγωγίσιμη στο 0,4 θ () είναι γνησ. φθίνουσα στο ( 0,4] θ () < 0 στο ( 0,4) Η θ είναι παραγωγίσιμη στο[ 4,4] θ () είναι γνησ. αύξουσα στο 4,4 θ () > 0 στο ( 4,4) Κάνοντας το πίνακα μεταβολών της συνάρτησης θ() έχουμε: θ () - + θ() [ ] Άρα η θερμοκρασία μειώνεται για ( 0,4], ενώ αυξάνεται για [ 4,4] Β) Από το ερώτημα (Β) διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση θ παρουσιάζει ελάχιστο για 4 το θ(4), δηλαδή η θερμοκρασία γίνεται ελάχιστη για 4 ώρες ο Μας δίνεται ότι η ελάχιστη τιμή είναι C, θ 4. άρα θ( 4) α α 4+ 8 α 3

2 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Β3) Για α 3 έχουμε: θ() 4 3, ( 0,4] Ζητούνται οι ώρες όπου θ () +. Fax Θτω έ x, 0< x 4, οπότε λύνω την εξίσωση: x 4x x ή x 3 Για x ώρες δεκτή Για x ώρες δεκτή B4) θ () lim lim Θτω έ f(), ( 0,4) ( 4, 4] 6 Ισχύ ει lim 0 και lim ( 6) 6 6 0, οπότε έχω απροσδιόριστη μορφή 4 4 f() ( 4)( + 4) ( 4)( + 4) ( )( + )( + 4) ( + 4)( + ) ρα Ά lim f () lim ΘΕΜΑ Γ ( + )( + ) ( + )( + ) Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια) x i v i f% i N i 5, x [ ) [, ) x + 0 [, ) x [, ) x 6x 50 ΣΥΝΟΛΟ Γ) Γνωρίζουμε ότι: 3 4 F% i vx i i f % + f % + f % + f % 00 x + x x + x 6x 00 x x 80 0 x 0,x 8 απορρ. διότι x f % και 0 f % 00 i Οπότε x 0 και έτσι από το πίνακα έχουμε τις ακόλουθες σχετικές συχνότητες: f% 0 f % f % 30 f% 3 0 f% 3 0

3 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fax f 4% f 4% 40 Γ) Δίνεται ότι η διάμεσος είναι 50 χρόνια. Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος χωρίζει το δείγμα σε δύο ίσα μέρη και συγκεκριμένα είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, γνωρίζοντας από το ερώτημα (Γ) τα εξής δεδομένα: ΗΛΙΚΙΕΣ f% i F% i (χρόνια) 5,5 + c 0 0 [ ) [ 5 + c, 5 + c) [ 5 + c,5 + 3c) 0 60 [ 5 + 3c,5 + 4c) ΣΥΝΟΛΟ 00 - F% f % 0, F% F% + f % , F % F % + f % , F % F % + f % F% i Β Α Δ Γ Ε c 5 + c 5 + 3c 5 + 4c ηλικίες Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΔΕ είναι όμοια (ορθογώνια και γωνία Α κοινή), άρα ισχύει: AB ΒΓ c 0 5 c c 50 4c 5c 50 c 0 AΔ ΔΕ c 0 c Γ3) Από το δοσμένο πίνακα έχουμε ότι N4 50 v. Έτσι μπορούμε να βρούμε τις συχνότητες v i, i,,3,4 i i i Ισχύει: f i% ν 00% f ν f% i% 00% f i% νi % νi ν 50 % Οπότε: v 5, v 5, v3 0, v4 0 3

4 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fax Οι κεντρικές τιμές xi είναι: x 30, x x+ c , x3 x + c , x4 x3+ c N ν 5, N N + ν , N N + ν , N Ο δοσμένος πίνακας συμπληρωμένος είναι ο εξής: ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια) x i v i f% i N i F% i vx i i 5, [ ) [ 35,45 ) [ 45,55 ) [ 55,65 ) ΣΥΝΟΛΟ Έτσι για τη μέση τιμή x των ηλικιών έχουμε: 4 x v 450 v 50 i i i x 49 x 49 χρόνια Γ4) Έστω v το πλήθος των εργαζομένων από τη πρώτη κλάση που απαιτούνται ώστε η νέα μέση τιμή να είναι x 40 χρόνια. Τότε έχουμε: x( v+ v ) + xv + x3v3+ x4v4 xv + xv + xv + xv 3 3+ xv 4 4 x v+ v v+ v 4 xv + xv i i i 30 v x v 30 v v+ v 50+ v 0 v 450 v 45εργαζόμενοι ΘΕΜΑ Δ Ν(Ω) 600, Ορίζω τα ενδεχόμενα: Α: κατάλληλος για πρόσληψη στην εταιρεία Α Β: κατάλληλος για πρόσληψη στην εταιρεία Β A B B A : κατάλληλος για πρόσληψη σε μια μόνο από τις εταιρείες Α ή Β ( A B ) : κατάλληλος για πρόσληψη το πολύ σε μια μόνο από τις εταιρείες Α και Β ( A B ) : δεν είναι κατάλληλος για πρόσληψη σε καμμία από τις δύο εταιρείες Έχουμε τα εξής δεδομένα: λ + 3λ ( A B) ( B A), ( A B), 3λ ( A B) 3λ λ με λ 0 και λ 4

5 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fax Πρέπει να ισχύει: 0 ( A B) ( B A), 0 ( A B), 0 ( A B) Δ) Επειδή τα Α-Β, Β-Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ισχύει ( A B) ( B A) ( A B) + ( B A) (A) (A B) + (B) (A B) (A) + (B) (A B) () λ 3 ( A B) ( A B) ( A B) λ λ λ λ λ 3 λ 3 ( A) + ( Β) ( A Β ) ( A) + ( Β) ( A Β ) ( A Β) λ λ () λ A B B A 3 ( A Β) λ 3λ 3λ 3λ ( A B) ( A B) ( A B) ( 3 ) 3λ 3λ 3λ 3λ Οπότε: () (3) λ 3 ( A B) ( B A) λ 3λ λ + Όμως από τα δεδομένα έχουμε ότι ( A B) ( B A). 3λ Εξισώνοντας λοιπόν τα δεύτερα μέλη αυτών των σχέσεων παίρνουμε: λ 3 λ + 3λ( λ 3) ( λ ) ( λ + )( λ ) 3λ 9λ λ+ λ λ λ 3λ 3λ λ 9λ λ 4, λ Για λ, ( A B) < 0, άτοπο 3 Οπότε η λ απορρίπτεται. Για λ ( A B) ( B A) ( A B ) οπότε η λ 4 είναι δεκτή. 34 ( A B) 4 Άρα τελικά: λ 4 Δ) Ν(Α) Ν(Β) 50 (4) (α) A B: κατάλληλος για πρόσληψη και στις δύο εταιρείες Από τη σχέση (3) παραπάνω έχουμε: N( A B) N( A B) ( A B) N( A B) 50 3λ N Ω 600 5

6 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ Fax Άρα 50 κρίθηκαν κατάλληλοι για να προσληφθούν και στις δύο εταιρείες. Από τα δεδομένα επιπλέον έχουμε: () 5 5 ( A B) ( B A) ( A) + ( Β) ( A Β ) 5 7 Ν( A) Ν( Β) 7 ( A) + ( Β) ( A) + ( Β ) + Ν Ω Ν Ω Ν( Β) 6 ( 4 Ν A 7 ) + Ν ( A) +Ν( Β ) 350 Ν( Β) 50 +Ν( Β ) Ν Β 400 Ν Β 00, άρα (4) Ν( Α ) 50 Ν( Α) Οπότε: ( A) Ν( Ω) Έτσι: ( A B) ( A) ( A B) και Ν( A B) Ν Β 00 Β Ν Ω Ν( A B) 00 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Α. Ομοίως, έχουμε: Ν( Β Α) ( Β Α ) ( Β) ( A B) Ν( Β Α ) 50 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Β. (β) Οι απόφοιτοι που κρίθηκαν κατάλληλοι από τις εταιρείες Α ή Β είναι Ν( Α Β ) Όμως Ν( Α Β ) Ν( A B) +Ν( Β Α ) + N ( A B) β τρόπος Από τα δεδομένα έχουμε ότι: ( A B) ( A B) ( A B) λ 4 N( A B) N( A B) N( A B) 300 N Ω 600 Δ3) Έστω το ενδεχόμενο Γ: ο απόφοιτος να παρακολουθήσει το πρόγραμμα και να βρει εργασία Από τα δεδομένα γνωρίζουμε ότι: ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) ( Γ) ( Γ ) 3 Οπότε /3 είναι η πιθανότητα ο απόφοιτος να βρει εργασία ενώ παρακολούθησε το πρόγραμμα. Οι απόφοιτοι που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για εργασία σε καμία από τις δύο N A B 600 Ν A B απόφοιτοι δεν εταιρείες είναι κρίθηκαν κατάλληλοι για εργασία οπότε μπορούν να παρακολουθήσουν το πρόγραμμα επιμόρφωσης. Ν( Γ) Συνεπώς: ( Γ ) Ν( Γ ) 00 απόφοιτοι που παρακολούθησαν το πρόγραμμα θα βρουν εργασία.