Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος όρος,, ο α λέγεται -ιοστός όρος της ακολουθίας. Μία ακολουθία περιγράφεται συήθως Με το τύπο της, π.χ α = +1 ή Με το ααδροµικό της τύπο, δηλ. µία σχέση που συδέει κάποιο όρο µε προηγούµεους όρους, αρκεί α δίοται κάποιοι αρχικοί όροι ώστε α µπορού α προκύπτου όλοι οι όροι της ακολουθίας π.χ. α + =α +1 -α µε α 1 =-1, α =3, N *. Σχόλιο : Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας δε είαι «συεχόµεη» γραµµή, αλλά σύολο µεµοωµέω σηµείω που βρίσκοται στο 1 0 ή 4 0 τεταρτηµόριο ( λόγω του πεδίου ορισµού της ). ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ Ορισµός : Αριθµητική Πρόοδος λέγεται µία ακολουθία µε ααδροµικό τύπο α +1 =α +ω, N *, όπου ω σταθερός αριθµός ( :λέγεται διαφορά της Α.Π ) δηλ. η Α.Π είαι µια ακολουθία όπου κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πρόσθεση του ίδιου πάτοτε σταθερού αριθµού ω. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ Ορισµός : Γεωµετρική Πρόοδος λέγεται µία ακολουθία µε ααδροµικό τύπο α +1 =α. λ, N *, όπου λ 0 σταθερός αριθµός ( :λέγεται λόγος της Γ.Π ) και α 1 0 δηλ. η Γ.Π είαι µια ακολουθία όπου κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό του ίδιου πάτοτε σταθερού αριθµού λ 0. α =α 1 +(-1). ω για κάθε N * α =α 1. λ -1 για κάθε N * Τρεις αριθµοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι Α. Π α και µόο α β α + γ = ( ο β λέγεται αριθµητικός µέσος τω α και γ ) Το άθροισµα S τω πρώτω όρω Α. Π είαι : S a + = 1 a = α 1 + ( 1) ω Τρεις µη µηδεικοί αριθµοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι Γ. Π α και µόο α β =α. γ ( ο β = α γ λέγεται γεωµετρικός µέσος τω α και γ ) Το άθροισµα S τω πρώτω όρω Γ. Π µε λ 1 είαι : λ 1 = α1 λ 1 S και
S =. α 1, α λ=1 Παρατηρήσεις : 1. Το άθροισµα τω συµµετρικώ όρω µιας Α.Π παραµέει ίδιο δηλ. α 1 +α =α +α -1 =α 3 +α - =.. Ότα δίεται µια ακολουθία και θέλουµε α δείξουµε ότι είαι Α.Π αρκεί α δείξουµε ότι η διαφορά δύο οποιοδήποτε διαδοχικώ όρω της παραµέει σταθερή δηλ. α +1 -α = =σταθ. Παρατηρήσεις : 1. Το γιόµεο τω συµµετρικώ όρω µιας Γ.Π παραµέει ίδιο δηλ. α. 1 α =α. α -1 =α. 3 α - =.. Ότα δίεται µια ακολουθία και θέλουµε α δείξουµε ότι είαι Γ.Π αρκεί α δείξουµε ότι ο λόγος δύο οποιοδήποτε διαδοχικώ όρω της παραµέει σταθερός δηλ. α +1 /α = =σταθ. Μία ακολουθία λέγεται Αρµοική Πρόοδος α και µόο α οι ατίστροφοι τω όρω της αποτελού αριθµητική πρόοδο, δηλ. η ακολουθία α 1, α,, α είαι αρµοική πρόοδος α και µόο α η ακολουθία 1/α 1, 1/α,, 1/α είαι αριθµητική πρόοδος. Ασκήσεις: 1. ίεται η ακολουθία (α ) µε α =60-5, N *. i) Να αποδείξετε ότι είαι αριθµητική πρόοδος. Ποια είαι η διαφορά της και ποιος ο πρώτος όρος της ; ii) Να υπολογίσετε το άθροισµα τω θετικώ όρω της. iii) Ποιος είαι ο πρώτος αρητικός όρος της ;. Το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας ακολουθίας είαι S =4-3, Ν *. ι) είξτε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθµητική πρόοδος. ιι) Υπολογίστε το άθροισµα τω επόµεω όρω της ακολουθίας. 3. Σε µια αριθµητική πρόοδο είαι α 10 =4 και α 19 =87. Να βρείτε το άθροισµα τω 11 πρώτω τριψήφιω όρω της. 4. Σε µια αριθµητική πρόοδο είαι α =77 και α 1 =0. Ποιος όρος της αριθµητικής προόδου ισούται µε 97 ; 5. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα:
ι) 1++3+ + ιι) +4+6+ +(+3) ιιι) 1+3+5+ +(+5) ιv) 10+13+16+ +(3+1) v) τω πρώτω 00 περιττώ αριθµώ 6. Να συµπληρώσετε το πίακα: α 1 ω α S 10-10 1 5 7 109 3 1 10 16-8 7. ίοται οι αριθµοί α, β. Μεταξύ αυτώ α παρεµβάλετε αριθµούς, ώστε όλοι µαζί α αποτελού διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. 8. Α α, β, γ είαι θετικοί αριθµοί και οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, α αποδείξετε ότι και οι αριθµοί αριθµητικής προόδου. 1 1 1,, είαι διαδοχικοί όροι β + γ α + γ α + β 9. Α α 1, β 1, γ 1 είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου καθώς και οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, α αποδείξετε ότι το σύστηµα a a 1 x + β1y = γ 1 x + β y = γ έχει µοαδική λύση, τη ( χ=-1, y= ). 10. Τρεις αριθµοί είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και έχου άθροισµα 15, εώ το γιόµεό τους είαι 80. Να βρείτε τους αριθµούς αυτούς. 11. Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθµούς, ώστε α είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε άθροισµα 3 και γιόµεο 1680.
1. Ορθογωίου τριγώου οι πλευρές του είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και η περίµετρός του είαι 30. Να βρείτε τα µήκη τω πλευρώ του. 13. ίεται η ακολουθία ( α ) µε α 1 =56 και α +1 =α /. ι) είξτε ότι είαι γεωµετρική πρόοδος. Ποιος είαι ο λόγος της; ιι) Να υπολογίσετε το άθροισµα τω όρω της που είαι µεγαλύτεροι του 1. ιιι) Να υπολογίσετε το άθροισµα τω όρω της που είαι µικρότεροι του 1. 14. Α το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας ακολουθίας (α ) είαι S =3( -1) α δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι γεωµετρική πρόοδος. Ποιος είαι ο πρώτος όρος της και ποιος ο λόγος της; 15. Σε µια γεωµετρική πρόοδο είαι α 3 =1 και α 6 =96. Να βρείτε το άθροισµα τω πόσοι όροι της δε είαι µεγαλύτεροι του 768. Υπολογίστε το άθροισµα τω όρω αυτώ. 16. Ποιος όρος της γεωµετρικής προόδου µε α 4 =4 και α 6 =96, ισούται µε 768 ; 17. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσµατα: ι) +8+3+ +819 ιι) 4-+1-1/+ ιιι) 1+α+α + +α -1 ιv) 1+α +α 4 +α 6 + α (-1) ιv) 1+α +α 4 +α 6 + α + v) 4 + + + + vι) x x x + + +... ( µε χ >1 ) 3 x x x 18. Το άθροισµα τω πρώτω τριώ όρω γεωµετρικής προόδου είαι 13 και το γιόµεό τους 7. Να βρείτε τους όρους αυτούς. 19. Να γράψετε το περιοδικό αριθµό 0, 514 στη µορφή µ/ ( µ, φυσικοί αριθµοί )
0. Α ισχύει x x y = x + y x ω, δείξτε ότι οι αριθµοί x,y,ω είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 1. Α x, y,ω είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου δείξτε ότι: ( x + y) x =. ( y + ω) ω. ι) είξτε ότι οι αριθµοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αρµοικής προόδου α και µόο α ισχύει: αγ β = ( ο β λέγεται αρµοικός µέσος ) α + γ ιι) Α είαι Α, Β, Γ ο αριθµητικός, ο γεωµετρικός και ο αρµοικός µέσος ατίστοιχα, τότε δείξτε ότι: 1) οι Α, Β, Γ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. ) Α > Β > Γ 3.