ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Παρασκευή, 27/05/2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΡΟΣ A : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Οι εβδομαδιαίοι μισθοί σε ευρώ των πέντε υπαλλήλων μιας εταιρείας είναι: 150, 180, 200, 140, 210. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των εβδομαδιαίων μισθών των υπαλλήλων. : Έστω x η μέση τιμή των εβδομαδιαίων μισθών των υπαλλήλων. Τότε, έχουμε: x = 150 + 180 + 200 + 140 + 210 5 = 880 5 = 176 2. Ορθό πρίσμα με βάση ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν βάσης Ε β = 20 cm 2 και : ύψος υ = 5 cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του πρίσματος. Έστω V ο όγκος του πρίσματος. Τότε, έχουμε: V = Ε β υ = 20 5 = cm. Κεφάλαιο 6000 τοκίζεται με απλό τόκο προς 1,25% για χρόνια. Να υπολογίσετε τον τόκο που θα αποδώσει. Έστω Κ το τοκιζόμενο κεφάλαιο, Ε το προσφερόμενο επιτόκιο και Χ ο χρόνος τοκισμού του κεφαλαίου. Τότε, έχουμε: T = KEX T = 6000 1,25 = 225 1
4. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός κύβου είναι Ε ολ = 96 cm 2. Να υπολογίσετε: (α) Την ακμή του κύβου. Τον όγκο του κύβου. (α) Έστω a η ακμή του κύβου. Τότε, έχουμε: Ε ολ = 96 6a 2 = 96 a 2 = 16 a = 4 cm, (a > 0) Έστω V ο όγκος του κύβου. Τότε, έχουμε: V = a V = 4 V = 64 cm 5. Δίνεται η λέξη ΚΑΡΑΒΟΣΤΑΣΙ. Να βρείτε: (α) Πόσοι είναι όλοι οι αναγραμματισμοί της λέξης. Πόσοι από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς αρχίζουν και τελειώνουν με Σ. (α) Μ ε 11 = 11!! 2! = 26400 Τοποθετούμε τα δύο Σ στα άκρα του κάθε αναγραμματισμού. Τότε, έχουμε: Μ 9 ε = 9!! = 4020 = 60480 6 6. Το διπλανό κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζει τις αθλητικές δραστηριότητες 1440 ατόμων στον ελεύθερό τους χρόνο. Ο αριθμός των ατόμων που ασχολούνται με την ποδηλασία είναι ίσος με τον αριθμό των ατόμων που ασχολούνται με το κολύμπι. Να βρείτε: (α) Το ποσοστό των ατόμων που ασχολούνται με το ποδόσφαιρο. Τον αριθμό των ατόμων που ασχολούνται με την ποδηλασία. (α) Η κεντρική γωνία του τομέα των ατόμων που ασχολούνται με το ποδόσφαιρο έχει μέτρο 120. Άρα, με το ποδόσφαιρο ασχολείται το 1/ του συνόλου των ατόμων αυτών το οποίο σε ποσοστό εκφράζεται ως,% (σε ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου). Έστω x το μέτρο (σε μοίρες) της κεντρικής γωνίας τομέα των ατόμων που ασχολούνται με την ποδηλασία. Τότε, έχουμε: x + x + 90 + 120 = 60 2x = 60 210 = 150 x = 75 Συνεπώς, ο αριθμός των ατόμων που ασχολούνται με την ποδηλασία είναι: 75 1440 = 00 60 2
7. Ο κύριος Γεωργίου είχε μηνιαίο μισθό 1800 και αποταμίευε το 15% του μισθού του. Λόγω της οικονομικής κρίσης ο μισθός του μειώθηκε κατά 20%. Ο κύριος Γεωργίου αποφάσισε αντί να αποταμιεύει το 15% του νέου (μειωμένου) μισθού του, να το δίνει στην επιτροπή πρόνοιας του σχολείου της περιφέρειάς του. Να βρείτε: (α) Πόσα χρήματα αποταμίευε μηνιαίως πριν από την μείωση του μισθού του. Πόσα χρήματα του απομένουν κάθε μήνα μετά τη μηνιαία εισφορά στην επιτροπή πρόνοιας του σχολείου της περιφέρειάς του. (α) Ο κύριος Γεωργίου αποταμίευε το 15% των 1800, που είναι: 15 Ο νέος (μειωμένος) μισθός του κυρίου Γεωργίου είναι: 80 1800 = 270 1800 = 1440 Δίνει το 15% αυτών των χρημάτων στην επιτροπή πρόνοιας του σχολείου της περιφέρειάς του. Συνεπώς, του απομένουν: 85 1440 = 1224 8. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα ποτήρι σχήματος κόλουρου κώνου ύψους υ = 10 cm γεμάτο πλήρως με γάλα όγκου V = 1120π cm. Αν η ακτίνα της μιας βάσης του είναι διπλάσια από την ακτίνα της άλλης βάσης, να βρείτε το εμβαδόν της εξωτερικής επιφάνειας του ποτηριού (Το πάχος του ποτηριού θεωρείται αμελητέο). Έστω R η ακτίνα της μεγάλης βάσης του κόλουρου κώνου και ρ η ακτίνα της μικρής βάσης του κόλουρου κώνου. Ισχύει ότι R = 2ρ. Χρησιμοποιώντας τον τύπο υπολογισμού του όγκου ενός κόλουρου κώνου, έχουμε: V = πυ (R2 + Rρ + ρ 2 ) 1120π = π10 (4ρ2 + 2ρ 2 + ρ 2 ) 7ρ 2 = 112 ρ 2 = 16 ρ = 4 cm και R = 8 cm Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: λ 2 = υ 2 + (R ρ) 2 = 10 2 + 4 2 = 116 λ = 2 29 cm Τελικά, E ποτ = Ε β + Ε κ = πρ 2 + π(r + ρ)λ = π4 2 + π(8 + 4)2 29 = 8π(2 + 29) cm 2
9. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται: P(B) = 1 4, P(A) = 4P(A ) 2 και P(A B) = 11 20. (α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: i. P(A) ii. iii. P(A B) P(A B) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. (α) i. P(A) = 4P(A ) 2 P(A) = 4(1 P(A)) 2 P(A) = 4 4P(A) 2 5P(A) = 2 P(A) = 2 5 ii. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 11 = 2 + 1 P(A B) 20 5 4 P(A B) = 2 5 + 1 4 11 20 = 1 10 iii. P(A B) = P(A) P(A B) P(A B) = 2 5 1 10 = 10 Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα όταν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου. Δηλαδή, τα δύο αυτά ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία (Α B =, άρα P(A B) = 0). Έτσι, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τα ενδεχόμενα Α και Β του ερωτήματος (9α) δεν είναι ασυμβίβαστα, αφού P(A B) 0. 4
10. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει ακμή βάσης a = 18 cm και εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας Ε π = 540 cm 2. Να υπολογίσετε: (α) (γ) Το παράπλευρο ύψος (h) της πυραμίδας. Τον όγκο (V) της πυραμίδας. Το μήκος της παράπλευρης ακμής της πυραμίδας. (α) Από το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας, έχουμε: E π = Π β h 2 540 = 4ah 2 6h = 540 h = 15 cm Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΚΟΜ, έχουμε: h 2 = ( a 2 ) 2 + υ 2 15 2 = 9 2 + υ 2 υ 2 = 225 81 = 144 υ = 12 cm Χρησιμοποιώντας τον τύπο υπολογισμού του όγκου μιας πυραμίδας, παίρνουμε: (γ) V = E β υ = a2 υ = 182 12 = 24 4 = 1296 cm Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο BΓΔ, έχουμε: (ΒΔ) 2 = a 2 + a 2 δ 2 = 2 18 2 = 648 δ = 18 2 cm δ = 9 2 cm 2 Τέλος, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΚΟΔ, έχουμε: (ΚΔ) 2 = ( δ 2 ) 2 + υ 2 x 2 = (9 2) 2 + 12 2 = 162 + 144 = 06 x = 4 cm ΜΕΡΟΣ B : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. O πιο κάτω πίνακας δείχνει τον αριθμό των ωρών που μελέτησε μια ομάδα τελειόφοιτων μαθητών ενός Λυκείου το Σαββατοκύριακο. Να υπολογίσετε: Ώρες (x i ) 0 1 2 4 5 6 Αριθμός μαθητών (f i ) 12 7 2 1 2 α) Την επικρατούσα τιμή (x ε ) των παρατηρήσεων. β) Τη διάμεσο τιμή (x δ ) των παρατηρήσεων. γ) Τη μέση τιμή (x ) των παρατηρήσεων. δ) Την τυπική απόκλιση (σ) των παρατηρήσεων. 5
α) Επικρατούσα τιμή x ε = 1 (η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα). β) Το μέγεθος του δείγματος είναι 0 (άρτιος). Άρα στην (αύξουσα ή φθίνουσα) διάταξη των παρατηρήσεων υπάρχουν δυο μεσαίες, που είναι οι 15η και 16η, με τιμές αντίστοιχα 1 και 2, όπως προκύπτει από τη στήλη των συχνοτήτων (f i ). Άρα η διάμεσος των παρατηρήσεων είναι x δ = 1+2 2 = 1,5. Ώρες (x i ) Αριθμός μαθητών (f i ) x i f i (x i x ) 2 f i (x i x ) 2 0 0 (0 2) 2 = 4 12 1 12 12 (1 2) 2 = 1 12 2 7 14 (2 2) 2 = 0 0 9 ( 2) 2 = 1 4 2 8 (4 2) 2 = 4 8 5 1 5 (5 2) 2 = 9 9 6 2 12 (6 2) 2 = 16 2 Σf i = 0 Σx i f i = 60 Σf i (x i x ) 2 = 76 γ) Η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x = Σx if i Σf i = 60 0 = 2. δ) Η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων είναι σ = Σf i (x i x ) 2 Σf i = 76 0 1,59 2. Μια εργοληπτική εταιρεία μείωσε τις τιμές πώλησης των διαμερισμάτων της κατά 25%. Κάποιος πελάτης της εταιρείας αγόρασε ένα διαμέρισμα και είχε όφελος από τη μείωση της τιμής του, 44800. Να βρείτε: α) Την τιμή πώλησης του διαμερίσματος πριν τη μείωση. β) Την τιμή αγοράς του διαμερίσματος από τον πελάτη. γ) Το κόστος του διαμερίσματος, αν στην τιμή αγοράς του διαμερίσματος από τον πελάτη περιλαμβάνεται και ποσοστό κέρδους 40% για την εταιρεία. α) Αν Π η τιμή πώλησης του διαμερίσματος, έχουμε 25 Π = 44800 Π = 44800 25 β) Αν Α η τιμή αγοράς του διαμερίσματος από τον πελάτη, είναι Α = Π 44800 = 179200 44800 = 14400 γ) Αν Κ το κόστος του διαμερίσματος, σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε 140 14 14400 10 Κ = Α Κ = 14400 Κ = = 96000 10 14 = 179200 6
. Σε ένα ευρωπαϊκό πρόγραμμα συμμετέχουν 4 μαθητές από τη Κύπρο, μαθητές από το Βέλγιο και 2 μαθητές από την Ελλάδα. α) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν οι πιο πάνω μαθητές να καθίσουν σε 9 αριθμημένα καθίσματα σε ευθεία γραμμή ώστε: i. Να μην υπάρχει κανένας περιορισμός. ii. iii. Οι μαθητές από την Κύπρο να κάθονται όλοι μαζί στην αρχή. Οι μαθητές από την Ελλάδα να μην κάθονται ο ένας δίπλα στον άλλο. β) Να βρείτε με πόσους τρόπους οι μαθητές μπορούν να καθίσουν σε κυκλικό τραπέζι έτσι ώστε οι μαθητές από το Βέλγιο να κάθονται σε συνεχόμενες θέσεις. α) i) M 9 = 9! = 62880 τρόποι. ii) Θεωρούμε τους 4 μαθητές από την Κύπρο ως ένα «μαθητή» στην πρώτη θέση και έχουμε M 4 M 5 = 4! 5! = 24 120 = 2880 τρόπους iii) Οι 2 μαθητές από την Ελλάδα κάθονται ο ένας δίπλα στον άλλο κατά M 8 M 2 = 8! 2! = 80640 τρόπους. Έτσι, οι μαθητές από την Ελλάδα δεν κάθονται ο ένας δίπλα στον άλλο κατά M 9 M 8 M 2 = 62880 80640 = 282240 τρόπους. β) Οι Βέλγοι κάθονται σε συνεχόμενες θέσεις κατά M =! = 6 τρόπους Θεωρώντας τους μαθητές από το Βέλγιο ως ένα «μαθητή», έχουμε 7 «μαθητές» σε κυκλική διάταξη. Άρα έχουμε K 7 = 6! = 720 τρόπους. Τελικά οι μαθητές μπορούν να καθίσουν γύρω από κυκλικό τραπέζι, ώστε οι Βέλγοι να κάθονται σε συνεχόμενες θέσεις κατά K 7 M = 6!! = 420 τρόπους. 4. Μέσα σε ένα ψυγείο παγωτών υπάρχουν 6 παγωτά με γεύση βανίλια, 4 παγωτά με γεύση σοκολάτα και 5 παγωτά με γεύση φράουλα. (α) Αν πάρουμε στην τύχη ένα παγωτό να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Κ:«To παγωτό έχει γεύση σοκολάτα». Αν πάρουμε στην τύχη δύο παγωτά, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Λ: «Το ένα παγωτό έχει γεύση φράουλα και το άλλο έχει γεύση βανίλια» Μ: «Τα παγωτά έχουν την ίδια γεύση» (γ) Αν πάρουμε στην τύχη τέσσερα παγωτά, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Ν: «Τα παγωτά έχουν όλες τις γεύσεις». 7
α) P(K) = N(K) N(Ω) = 4 15 β) Ρ(Λ) = (5 1 ) (6 1 ) = 0 = 2 Ρ(Μ) = ( ( 15 2 ) 105 7 6 2 )+(4 2 )+(5 2 ) γ) Ρ(Ν) = (6 2 ) (4 1 ) (5 1 )+(6 1 ) (4 2 ) (5 1 )+(6 1 ) (4 1 ) (5 2 ) = 48 ( 15 4 ) 91 = 1 ( 15 2 ) 105 5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύλινδρος από τον οποίο έχει αφαιρεθεί ένας κώνος. Η διάμετρος της βάσης του κυλίνδρου είναι 14cm και το ύψος του κυλίνδρου είναι 9cm. Τα σημεία Ε και Ζ είναι σημεία της διαμέτρου ΓΔ τέτοια ώστε ΔΕ=ΓΖ=1cm. Το τρίγωνο ΕΚΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Το ΚΜ είναι το ύψος του τριγώνου ΕΚΖ. α) Να υπολογίσετε : i.τον όγκο του στερεού. ii.το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού. β) Αν γεμίσουμε με νερό το 25% του κώνου, να υπολογίσετε την απόσταση της στάθμης του νερού (σε ηρεμία) από το σημείο Κ. Στοιχεία του κυλίνδρου, Ακτίνα βάσης R = ΜΔ = 7cm, Ύψος υ = 9cm. Στοιχεία του κώνου, Ακτίνα βάσης: ρ = ΜΕ = ΜΔ ΔΕ = 7cm 1cm = 6cm Ύψος: υ = ΚΜ = ΜΕ = 6cm, αφού το τρίγωνο ΕΜΚ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, επειδή από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΕΚΖ είναι ΜΕΚ = ΜΖΚ = 45 0. Γενέτειρα: λ = ΚΕ = ΕΜ 2 + ΚΜ 2 = 6 2 + 6 2 = 6 2cm. α) i) V = V κυλ V κων = πr 2 υ πρ2 υ = (441π 72π)cm = 69π cm ii) Ε ολ = Ε κ,κυλ + Ε β,κυλ + Ε κ,κων + Ε δακτ = 2πRυ + πr 2 + πρλ + π(r 2 ρ 2 ) = (126π + 49π + 6π 2 + 1π)cm 2 = (188 + 6 2)π cm 2 8
β) Ο όγκος του νερού είναι V νερ = 25 V κων = 1 πρ 2 υ = 18π cm. 4 Αν ΚΣ = x είναι η απόσταση της στάθμης του νερού από το Κ, τότε ο όγκος του νερού είναι ίσος με τον όγκο κώνου ύψους ΚΣ = x και ακτίνας ΣΤ = r. Από τα όμοια τρίγωνα ΚΜΕ, ΚΣΤ έχουμε Άρα V νερ = πr2 x ΚΣ ΚΜ = ΣΤ ΜΕ x υ = r r = x. ρ 18π = πx x = 54 x = 2 cm 9