ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ"

Διάβολος Δασκαλοπούλου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμπτη, 4 Μαΐου 01 10:30 13:30 ΜΕΡΟΣ Α : ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. Η κυρία Αναστασία έχει 8 παιδιά με ηλικίες 16, 14, 11, 10, 8, 6, 4 και 3 χρονών. Να βρείτε τη μέση τιμή των ηλικιών των 8 παιδιών της x 8 7 x 9 8. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 3 y x 5x 3x 10x 3. Να βρείτε το ολοκλήρωμα x (x ) x 4 3 (x ) (x x ) c x 3 3x 4. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του κύκλου με εξίσωση K g, f K 1, x y x 4y 4 0 R g f c

2 5. Να υπολογίσετε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΠΡΟΣΒΑΣΗ. Να υπολογίσετε πόσοι από αυτούς έχουν τα γράμματα Π και Β συνεχόμενα. 8! ( ) M ! 7! ( ) M 7M! 5040! 5 x 6. Να υπολογίσετε το όριο lim x x 6x 5 x lim x 6x x lim x x Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y x x x x x x x 1 x x x x x x x x

3 8. Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με P(Α), P(Β ) και P(Α Β). 3 6 Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: (α) P(B) ( ) P(A B) (γ) P(Α Β) 1 ( ) P B P(B ) ( ) PA B PA P(B) P(A B) PA B ( ) P A B P(A) P(A B) Αν y3συνx 5ημx, να δείξετε ότι 6ημx 10συνx 1συνx 0ημx 4y 0 4y 1συνx 0ημx 4(3συνx 5ημx) 1συνχ 0ημχ 1συνx 0ημx 0 3

4 10 Το κυκλικό διάγραμμα του διπλανού σχήματος παρουσιάζει την εθνικότητα των 540 επιβατών ενός κρουαζιερόπλοιου, που κατέπλευσε στη Λεμεσό. Να βρείτε: (α) Τον αριθμό των Γερμανών επιβατών. (β) Τον αριθμό των Άγγλων επιβατών. (γ) Τι ποσοστό (%) των επιβατών αποτελούν οι Ρώσσοι επιβάτες. (α) ΓΕΡΜΑΝΟΙ : (β) 360 ( ) 80 ΑΓΓΛΟΙ: (γ) ΡΩΣΣΟΙ (ΠΟΣΟΣΤΟ): x 40%

5 ΜΕΡΟΣ Β : 1. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο y x x 1 x 1 Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα διαστήματα μονοτονίας, τα τοπικά ακρότατα, τις ασύμπτωτες της συνάρτησης και στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά. (α) Πεδίοορισμού : { 1} ' (β)σημεία τομής :άξονας yy : x 0 y 1 ( 0,1) ' άξονας xx : y 0 x 1 (1,0) (γ)μονοτονία Ακρότατα : (x )(x 1) (x x 1) 1 (x 1) x x 3 (x 1) 0 x x 3 0 (x 3)(x 1) 0 x 3 x 1 x y max3, 8 min1,0 ( 3) ( 3) 1 x 3 ymax 8 max ( 3, 8) x 1 ymin 0 min (1,0) 1 1 5

6 (, 3], [1, ) η f είναι αύξουσα [ 3,1] η f είναι φθίνουσα (δ) Ασύμπτωτες lim x x 1 4 x 1 0 x 1 K.A. lim x x 1 4 x 1 0 x1 x1 x x 1 x 1 x x x 3 3x 1 3x 3 4 y x 3 Π.Α. x 0 y 3 (0, 3) y 0 x 3 (3,0) 6

7 . Ο πιο κάτω πίνακας, παρουσιάζει τον αριθμό των ταξιδιών που πραγματοποίησαν στο εξωτερικό, τα 0 μέλη μιας επιτροπής της Βουλής των Αντιπροσώπων της Κύπρου κατά τη διάρκεια του 011. Να βρείτε: Αριθμός ταξιδιών (x i ) Αριθμός βουλευτών (f i ) (α) Την επικρατούσα τιμή (x ε ) των παρατηρήσεων. (β) Τη μέση τιμή ( x ) των παρατηρήσεων. (γ) Την τυπική απόκλιση (σ) των παρατηρήσεων xi fi xi fi (xi x) (x x) i f (x x) i i (α) H επικρατούσα τιμή είναι: x 4 ε (β) H μέση τιμή είναι: Σf x 60 Σf 0 i i x 3 i γ) Η τυπική απόκλιση είναι: f i(xi x) 46 σ,3 1,5 ν 0 7

8 3. Από μια ομάδα 4 ανδρών και 5 γυναικών πρόκειται να σχηματιστεί μια τριμελής επιτροπή, η οποία θα λάβει μέρος σε ένα συνέδριο. (α) Να βρείτε πόσες διαφορετικές επιτροπές μπορούν να σχηματιστούν, αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός (β) Αν επιλεγεί τυχαία μια επιτροπή, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: η επιτροπή να αποτελείται μόνο από γυναίκες. Β: η επιτροπή να αποτελείται από τουλάχιστον άνδρες. 9 (α) 84 3 (β) (i) 9 Ν(Ω) Ν(Α) 10 3 N(A) 10 5 P(A) N(Ω) 84 4 (ii) Ν(B)= N(B) P(B) N(Ω)

9 4. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u x 1 ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα u x 1 x u 1 du x(x 1) (u 1)u du (u u ) u u Δίνεται η συνάρτηση x(x 1 3 ) x 0 u 1 x 1 u 3 y x αx βx 1 με α, β (α) Να βρείτε τις τιμές των α και β, αν η συνάρτηση έχει σημείο καμπής για x = 1 και τοπικό ακρότατο για x = 3. (β) Αν α 3 και β 9, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο της με τετμημένη x = 0. (α) = 3x +αx β 6x α x=1 = α=0 3 x=3 = ( 3) 3 =0 9 3 (β) y = x 3x 9x+1 Για x=0 y=1 A(0,1) = 3x 6x 9 x=0 = 9 Εξ. Εφαπτομένης στο A(0,1) y -1=-9(x-0) y = 1 9x 9

10 10

Σχετικά έγγραφα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και