Κεφάλαιο 4 Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ 4. Εισαγωγή Όπως έχει αναλυθεί µέχρι τώρα, το χρήµα έχει διττή αξία, ήτοι την αριθµητική τιµή του καθώς και την χρονική στιγµή κατά την οποία αναφερόµαστε. Γύρω από αυτό το οπτικό πρίσµα θα γίνει η ανάλυση µέσω µαθηµατικών τύπων των εννοιών επιτοκίου και της διαχρονικής αξίας του χρήµατος. Οι µέθοδοι που θα χρησιµοποιηθούν θα είναι οι κάτωθι τέσσερις:. Παρούσα αξία (present worth). Σηµερινό κόστος ή σηµερινό κέρδος (present cost or present beneft) 3. Λόγος κέρδους-κόστους (beneft/cost rato) 4. Εσωτερικός βαθµός απόδοσης (nternal rate of return) Σύµβαση: Θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος αναγωγής στο τέλος του έτους κάθε γεγονότος (end-of-year conventon). ηλαδή όλες οι συνέπειες κατά τη διάρκεια του έτους θα ανάγονται στο τέλος της περιόδου. 4.. Παράδειγµα Μία µικρή αεροναυπηγική εταιρεία ανακάλυψε τα συντρίµµια ενός µικρού αεροπλάνου okker D7 του α παγκοσµίου πολέµου σε µία τοπική φάρµα. Η εταιρεία πλήρωσε 60.000 δρχ. για την απόκτησή του και κατά τη διάρκεια όλου του έτους πλήρωσε 546.000 δρχ. για την επισκευή του. Οι δαπάνες για τη φύλαξη του αεροσκάφους σε υπόστεγο ήταν 75.000 δρχ. για ένα χρόνο. Τελικά η εταιρεία πούλησε το αεροσκάφος σε λέσχη συλλεκτών για 3.000.000 δρχ. Τι εσωτερικό (Ε) βαθµό (Β) απόδοσης (Α) είχε η επένδυση για την εταιρεία; Λύση: Ολικό κόστος: Αρχικό κόστος 60.000 (στην αρχή του έτους) Επισκευές 546.000 Αποθήκευση 75.000 3.000.000 68.000 00 = 3865% 60.000 68.000 (στο τέλος του έτους) Άρα ο εσωτερικός βαθµός απόδοσης για την εταιρεία ήταν 3865%. Εάν η εταιρεία είχε κάνει την αγορά νωρίτερα ή αργότερα από το έτος στο οποίο αναφερόµαστε το νούµερο
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ αυτό θα διέφερε, ενώ οποιαδήποτε αγοροπωλησία κατά τη διάρκεια του δεδοµένου έτους ανάγεται στο τέλος αυτού του έτους. χρόνο. Το παράδειγµα αυτό δείχνει τον υπολογισµό του Ε.Β.Α. επένδυσης που διαρκεί ένα Η ανάλυση που θα ακολουθήσει βασίζεται σε τρεις υποθέσεις:. Ο πληθωρισµός δε θα ληφθεί υπ όψη στον παρόν κεφάλαιο όχι διότι δεν είναι σηµαντικός, αλλά προκειµένου να κατανοηθεί σταδιακά η διαχρονική αξία του χρήµατος.. Όλες µας οι προβλέψεις είναι βέβαιο ότι θα συµβούν. 3. Ο φόρος εισοδήµατος (ncome taxes) θα αµεληθεί προς το παρόν. 4. ιττή Αξία του Χρήµατος (oney has a Double Value) Εδώ θα αναλυθεί ο χειρισµός πράξεων που συµβαίνουν σε διαφορετικά χρονικά διαστήµατα και πως µετριούνται τελικά µε τις ίδιες µονάδες. Απλό επιτόκιο (smple nterest): Στο τέλος της κάθε περιόδου το ποσό που θα πληρωθεί ισούτε µε το αρχικό ποσό στο οποίο αναφερόµαστε συν το ποσοστό του επιτοκίου πολλαπλασιασµένο επί το αρχικό ποσό επί τον συνολικό αριθµό των περιόδων Ν που ενδιαφερόµαστε. Το ποσοστό του επιτοκίου θεωρούµε ότι δε διαφοροποιείται. Για αρχικό κεφάλαιο 0.000 (δρχ) και απλό επιτόκιο 0% προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: Χρόνος Ν Τόκος (δρχ.) Πληρωτέο ποσό Ν 0 0.000.000.000.000 4.000 3.000 6.000 4.000 8.000 ιάγραµµα : 4- Πίνακας ποσών µε βάση απλό επιτόκιο Ο ανατοκισµός διαφέρει από τον απλό τόκο διότι το επιτόκιο πληρώνεται στο αρχικό ποσό επαυξηµένο µε τον τόκο της προηγούµενης περιόδου. Για το ίδιο αρχικό κεφάλαιο (0.000 δρχ.) και επιτόκιο ανατοκισµού 0% προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας:
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Χρόνος Ν Τόκος (δρχ.) Πληρωτέο ποσό Ν 0-0.000.000.000.400 4.400 3.880 7.80 4 3.456 0.736 Πίνακας 4- Ποσά µε βάση επιτόκιο ανατοκισµού Για παράδειγµα.400 δρχ (για το δεύτερο χρόνο)=.000*0/00,άρα το πληρωτέο ποσό στο τέλος του δεύτερου χρόνου είναι:.000+.400=4.4000 4.. Γενίκευση για απλό επιτόκιο = P +I*Ρ*Ν Όπου: = πληρωτέο ποσό Ν περιόδου µετά το δανεισµό Ρ= σηµερινό πληρωτέο ποσό Ν=αριθµός περιόδων I=ποσοστό επιτοκίου 4.. Για ανατοκισµό Σύµφωνα µε τον προηγούµενο τύπο: = P + P = P( + ) 3 4 = P( + P( = P( ( = P( = P( = P( + ) 3 + P( + P( 3 3 = P( ( = P( 3 = P( ( = P( 4 Γενικεύοντας = P( + ), ο τύπος αυτός συµβολίζεται ως ( / P,, ) στον πίνακα Γ (appendx C) 4.3 Γραφικές Παραστάσεις Γενικά βέλος µε φορά προς τα άνω δείχνει εισροή χρήµατος ενώ προς τα κάτω δείχνει εκροή. Η οριζόντια γραµµή δηλώνει χρόνο. Υπενθύµιση: εισροές και εκροές ανάγονται πάντα στο τέλος του χρόνου. 3
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ Να βρεθεί το, δοθέντος του Ρ =? 0 P ιάγραµµα 4-3 Να βρεθεί το Ρ, δοθέντος του 0 P=? ιάγραµµα 4-4 Να βρεθεί το, δοθέντος του Α =? 0 3 A A A ιάγραµµα 4-5 Να βρεθεί το A, δοθέντος του 0 3 A A A =? ιάγραµµα 4-6 A A A P=? ιάγραµµα 4-7 4
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας A A A =? 0 P 3 ιάγραµµα 4-8 Να βρεθεί το Α, δοθέντος του Ρ ( -)G ( -)G 0 G G 3G 3 P - ιάγραµµα 4-9 (-)G (-)G G 3G 0 G 3 - P A A A ιάγραµµα 4-0 4.3. Παράδειγµα Κάποιος πατέρας επενδύει.000.000 δρχ. τώρα σε επένδυση που αποδίδει % ετησίως. Σκοπεύει επίσης να επενδύσει και τους τόκους ενώ θα αποσύρει τα χρήµατα σε 0 χρόνια για να τα διαθέσει για τις πανεπιστηµιακές σπουδές της κόρης του. Τι ποσό θα έχει σε 0 χρόνια; Λύση α: Έχουµε Ρ=.000.000, =% και Ν=0 χρόνια 0 άρα 0 =.000.000( + 0,) = 3.05.800 δρχ 5
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ Λύση β: Από τον πίνακα Γ βρίσκουµε τη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο % ανατοκισµού (Sngle Payment Compound Amount actor /P) για Ν=0 και βρίσκουµε 3.058 άρα, = P ( / P,, ) 4.3. Τύποι 0 =.000.000(/P,,0)=.000.000(3,058)=3.05.800 δρχ. σχετικό γράφηµα 4..α Τύπος απλής πληρωµής παρούσας αξίας (sngle payment present worth factor) από τον τύπο = P( + ) διαιρώ κατά µέλη δια ( + ) και έχω P = ( ) και + συµβολίζεται µε (P/,ι,Ν) και βρίσκεται στον πίνακα Γ για 50 τοις εκατό και κυµαίνονται για. s 4.3.3 Παράδειγµα Αν θέλατε να συγκεντρώνεται 00.000 δρχ µετά την πάροδο 5 χρόνων σε λογαριασµό που αποδίδει τόκο % ετησίως πόσα χρήµατα πρέπει να καταθέσετε σήµερα; δρχ Λύση α: =00.000δρχ, ι=0,,ν=5 από τον πίνακα Γ έχουµε P=(P/,ι,Ν)=00.000(0,5674) Άρα το ποσό που πρέπει σήµερα να καταθέσει είναι 56.740 δρχ Λύση β: Μέσω του τύπου P = ( ) + Τύπος σειράς ανατοκιζόµενου ποσού (seres compound amount factor). Ο τύπος αυτός µετράει τον αριθµό ισόποσων δόσεων πληρωµών που θα συγκεντρωθούν αν κάθε υπόλειµµα συγκεντρωθεί σε ι επιτόκιο χωρίς να αποσυρθεί καθόλου κεφάλαιο. Η έκαστη δόση πληρωµής καθώς και το περιοδικό της επιτόκιο εξακολουθούν να επενδύονται µε επιτόκιο ι. = P ( P ( + P ( + P ( Αφού έχω ισόποσες δόσεις +... + P +... + P ( ( ( ) + P ( P = P =... = P A άρα + P ( 0 = = A( + ) + A( +... + A( ( ) + A ( ) = A[ + ( +... + ( + ( () πολλαπλασιάζοντας µε (+ι) και τα δύο µέλη 6
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας ( + ) = A[( + ( +... + ( + ( Αφαιρούµε κατά µέλη την () από τη (): ( ( = A + A( = A[ ] (3) η παράσταση µέσα στην αγκύλη καλείται συντελεστής σειράς ανατοκιζόµενου ποσού (seres compound amount factor) και συµβολίζεται ως (/A,ι,Ν). 4.3.4 Παράδειγµα Καταθέτοντας 00.000 δρχ. κάθε η Ιουλίου για τα επόµενα 5 χρόνια σε λογαριασµό που αποδίδει % ετησίως, πόσα χρήµατα θα έχουν συγκεντρωθεί µέχρι την η Ιουλίου σε 5 χρόνια; Λύση α: Α=00.000δρχ., Ν=5 και ι=0,. Αντικαθιστώντας στον τύπο (3) θα βρούµε 7.456.000 δρχ. Λύση β: Από τον πίνακα Γ ψάχνω να βρω το (/A,,5)= 37.80=7.456.000 δρχ. Σχετικό γράφηµα 4.γ 4.4 Τύπος Βυθιζόµενου Κεφαλαίου (Snkng und actor) Αντιστρέφοντας τον τύπο σειράς ανατοκιζόµενου ποσού βρίσκουµε τον τύπο του βυθιζόµενου κεφαλαίου. Ο τύπος αυτός απαντά στην ερώτηση: Πόσο πρέπει να καταθέσω σε επιτόκιο ι, για Ν περιόδους προκειµένου να επιτύχω ποσό των δρχ. = A [ ] (4) ( Η παράσταση εντός της αγκύλης καλείται συντελεστής βυθιζόµενου κεφαλαίου και συµβολίζεται µε (Α/,ι,Ν). 4.4. Παράδειγµα Επιθυµείτε να καταθέσετε σε τραπεζικό λογαριασµό που αποδίδει ετησίως τόκο % ένα ποσό χρηµάτων που θα σας επιτρέπει να αποσύρετε.000.000 δρχ. µετά από 4 χρόνια. Πόσο πρέπει να καταθέσετε ετησίως για να επιτευχθεί αυτό; Λύση α: =.000.000δρχ, Ν=4 και ι=0,, αντικαθιστώντας στον τύπο (4) έχουµε Α=48.460 δρχ. ετησίως Λύση β: Χρησιµοποιώντας τον πίνακα Γ µε (Α/,,4) βρίσκουµε ότι (Α/,,4)=0,093 και Α=(Α/,4)=.000.000*0,093=48.460 δρχ. () 7
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ Προσοχή: όπως φαίνεται στο σχετικό γράφηµα 4..δ πρέπει να κατατεθεί η τελευταία από τις δόσεις Α την ίδια ακριβώς στιγµή που καθίσταται έκδηλο στο γράφηµα 4..δ Φανταστείτε τώρα ότι είναι απαιτούµενο να βρεθεί η παρούσα αξία (present worth) σειράς πληρωµών ποσού Α (βλέπε διάγραµµα 4..ε) Από την εξίσωση = P( + ) + ( + A[ ] P ) ( P = A[ ] (5) ( αντικαθιστούµε στην (3) και έχουµε: ( ) = και διαιρώντας κατά µέλη µε ( : Η παράσταση εκτός της αγκύλης είναι ο συντελεστής σειράς ισόποσων πληρωµών παρούσας αξίας (unform seres present worth factor) και συµβολίζεται µε (P/A,ι,Ν). 4.4. Παράδειγµα Βρείτε την παρούσα αξία καταθέσεων 50.000 δρχ ετησίως για τα προσεχή 0 χρόνια αν το επιτόκιο είναι %. Λύση: Α=50.000δρχ., Ν=0, ι=0, από τον πίνακα Γ και από τη στήλη οµοιόµορφη σειρά παρούσας αξίας συντελεστή P/A Unform seres Present Worth actor P/A) βρίσκουµε 5,560 άρα Ρ=Α(Ρ/Α,ι,Ν)=50.000*5,560 =.390.000. Η µετατροπή της παρούσας πληρωµής σε σειρά οµοιόµορφων πληρωµών περιλαµβάνει τη χρήση του συντελεστή ανάκτησης κεφαλαίου (captal recovery factor). Από ( τη σχέση (5) έχουµε: A = P[ ]. Η παράσταση εντός της αγκύλης συµβολίζεται µε ( (Α/Ρ,ι,Ν) και είναι η ζητούµενη. 4.4.3 Παράδειγµα Η τράπεζά σας προθυµοποιείται να σας δανείσει το ποσό που χρειάζεστε για να αγοράσετε ένα διαµέρισµα. Στην τράπεζά σας πρέπει να πληρώνεται την ετήσια δόση αποπληρωµής συν τους τόκους µε ετήσιο επιτόκιο % για 30 χρόνια. Αν το ποσό δανεισµού είναι 0.000.000 δρχ. ποιο είναι το ετήσιο ποσό προς πληρωµή; Λύση: Ρ=0.000.000, Ν=30, ι=0,. Από τον πίνακα Γ βρίσκουµε τις οµοιόµορφες σειρές ανάκτησης κεφαλαίου συντελεστή Α/Ρ, για Ν=30 έχουµε 0,44, άρα Α=Ρ(Α/Ρ,ι,Ν)=0.000.000(0,44)=.4.400 δρχ. 8
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Με τις περιγραφείσες είναι εύκολη η επαλήθευση των δόσεων δανείων. Οι αντιστροφές των τύπων που περιγράφηκαν είναι πολύ εύκολες: ( / P,, ) = ( P /,, ) ( A / P,, ) = ( P / A,, ) ( / A,, ) = ( A/,, ) όπου /P σηµαίνει δοθέντος του P 4.4.4 Κλίσεις (Gradents) Επιπρόσθετα µε τους τύπους που παρουσιάστηκαν, υπάρχει περίπτωση η πληρωµή ενός ποσού να αυξάνεται σταθερά κατά ένα ποσό ετησίως π.χ. η συντήρηση µίας µηχανής που παλαιώνει κάθε χρόνο. Όλες οι σταθερές αυτές αυξήσεις συµβολίζονται µε G. Προσοχή: δεν εξετάζεται ποσοστιαία µεταβολή ετησίως αλλά προσθετική αύξηση. Το G αρχίζει στο τέλος της δεύτερης περιόδου. θα έχουµε 3 =G(/A,ι,Ν-) (στη θέση του Α χρησιµοποιήθηκε τώρα το G). Το επόµενο έτος =G(/A,ι,Ν-). Έτσι: ( = G[ G [( G = [( + ( ( ] + G[ + ( +... + ( +... + ( ( ] +... + G[ + ] + ( + ] ( ] + G [ ] = Η παράσταση εντός της αγκύλης είναι η οµοιόµορφη σειρά ανατοκιστικού συντελεστή διότι χρειάζεται µονάχα να πολλαπλασιάσουµε τις οµοιόµορφες σειρές Α µε καθένα από τους όρους µεταξύ της αγκύλης για να καταλήξουµε στο άθροισµα καθενός Α ανατοκιζόµενο στην περίοδο Ν Αντικαθιστώντας ( = G[ ] Πολλαπλασιάζοντας την έκφραση αυτή µε της απλής πληρωµής παρούσας αξίας παράγοντα δίνει Ρ, την παρούσα αξία της κάθε σειράς µε κλίση G. G G (6α) ( P = ( ) = G[ [ ] ] (6) ( ( ( όλη η παράσταση εντός της αγκύλης συµβολίζεται (P/G,ι,Ν) 9
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ 4.4.5 Παράδειγµα Μία πρέσα σε συνεργείο αυτοκινήτων υπολογίζεται ότι θα έχει τα ακόλουθα κόστη επισκευής για τα ακόλουθα πέντε έτη: Έτος Κόστη 0.000.500 3 35.000 4 47.500 5 60.000 Πίνακας 4-Κόστη επισκευής Ποια είναι η παρούσα αξία των τιµών αυτών εάν γίνει έκπτωση %; Λύση: Όπως φαίνεται στο διάγραµµα 4.α η κλίση G είναι.500 δρχ ετησίως όπως. Όµως η εξίσωση (6) δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί απευθείας διότι το Α πρέπει να συµπεριλαµβάνεται. Στο διάγραµµα 4.β διασπάµε το υπάρχον πρόβληµα σε δύο υποπροβλήµατα, το άνω δείχνει οµοιόµορφη ετήσια πληρωµή 0.000 δρχ. και το κάτω µία πληρωµή µε αυξανόµενη κλίση G εµφανιζόµενη για πρώτη φορά στο δεύτερο χρόνο, ακριβώς δηλαδή όπως θα έπρεπε να συµβαίνει για να εµφανιστεί ο τύπος 6α. Άρα Ρ=Α(Ρ/Α,ι,Ν)+G(P/G,ι,Ν)=0.000(Ρ/Α,,5)+.500(Ρ/G,,5) από τον πίνακα Γ έχουµε: Ρ=0.000(3,605)+.500(6,3970)=396600+80.000=476.600 δρχ. αυτή είναι η παρούσα αξία των πληρωµών. Συχνά είναι χρήσιµη η µετατροπή µίας σειράς πληρωµών µε κλίση στην ισοδύναµη σειρά οµοιόµορφων πληρωµών (βλέπε διάγραµµα 4.h). 0 3 4 5,00,5,350,475 ιάγραµµα 4- Αρχικά,600 ισούται µε: 30
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 0 3 4 5,00 0 3 4 5 + 5 50 375 500 ιάγραµµα 4-3 Ισοδύναµα διαγράµµατα Αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας την αξία του παράγοντα του βυθιζόµενου κεφαλαίου. = G ( G A [ ] = ( ( ( G G = = G ( ( Το σύµβολο του παράγοντα εκτός της αγκύλης είναι (A/G,ι,Ν) 4.4.6 Παράδειγµα (7) από τον τύπο 6α µε τον Υποθέστε ότι στο προηγούµενο παράδειγµα ήταν απαραίτητο να βρείτε την ισοδύναµη σειρά οµοιόµορφου κόστους της πρέσας αντί την παρούσα αξία.. Ο τύπος (7) µπορεί να χρησιµοποιηθεί. ιαχωρίζοντας το κεφάλαιο όπως φαίνεται στο κεφάλαιο 4. πληρούνται οι προϋποθέσεις ότι το G ξεκινά στο τέλος του δεύτερου χρόνου. Η ισοδύναµη οµοιόµορφη σειρά ετήσιου κόστους είναι: Α=0.000 +.500(Α/G,,5)=0.000 +.500(,7746)= 3.300 δρχ. Οι συντελεστές κλίσεων (P/G, ι,ν) του τύπου 6 και (A/G,ι,Ν) του τύπου 7 παρατίθενται στον πίνακα Γ. Το (P/G,ι,Ν) χρησιµοποιείται για να µετατρέψει τη σειρά κλίσης σε παρούσα αξία και το (Α/G,ι,Ν) για αν µετατρέψει τη σειρά κλίσης σε ετήσια αξία. Ποσοστά επιτοκίου: ονοµαστικό και αποτελεσµατικό (rates of nterest: nomnal and effectve) Έστω σαν οι κάτωθι συµβολισµοί: = αποτελεσµατικό ποσοστό επιτοκίου ανά περίοδο Y = αποτελεσµατικό ποσοστό επιτοκίου ανά χρόνο Μ = αριθµός περιόδων ανά χρόνο R = ονοµαστικό ποσοστό επιτοκίου-πάντα ετήσιο ποσοστό. 3
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ Το αποτελεσµατικό ποσοστό επιτοκίου ανά περίοδο περιγράφθηκε ως ι στο παρόν κεφάλαιο. Το σύµβολο Μ χρησιµοποιείται τώρα για αν δειχθεί η συσχέτιση του ι µε τον αριθµό των περιόδων καλύτερα. Εξ ορισµού η συσχέτιση µεταξύ του αποτελεσµατικού επιτοκίου ανά περίοδο και το ονοµαστικό ποσοστό είναι =r/μ Για παράδειγµα αν % ονοµαστικό ποσοστό καθορισµένο µε ανατοκιζόµενο µηνιαίο επιτόκιο και r=%, Μ= και =%. Όµως αν το % έχει καθοριστεί ως αποτελεσµατικό ετήσιο ποσοστό ένα σύνηθες σφάλµα θα ήταν να διαιρέσουµε δια Μ,, έτσι ώστε να βρεθεί αποτελεσµατικό µηνιαίο ποσοστό. Ποιος τελικά είναι ο σωστός τρόπος για να χειριστεί κάποιος το αποτελεσµατικό µηνιαίο ποσοστό; Φανταστείτε ότι το ποσό της δρχ. δανείζεται στην αρχή του χρόνου και ανατοκίζεται Μ φορές κατά τη διάρκεια του έτους µε ποσοστό επιτοκίου. Στο τέλος του έτους η δρχ. θα έχει γίνει ( + ). Όµως το πρέπει επίσης να ισούται µε (+ ) σύµφωνα µε το ετήσιο ποσοστό. Η ισότητα αυτή συνεπάγεται (+ )=(+ ) =(+ ) (8) Y =(+ γ ) (9) = Y Y Αυτή η εξίσωση λύνει το περιγραφέν πρόβληµα. 4.4.7 Παράδειγµα Εάν το αποτελεσµατικό ετήσιο ποσοστό υπολογίζεται ως % µε µηνιαίο ανατοκισµό, ποιό είναι το αποτελεσµατικό µηνιαίο ποσοστό; Λύση: Από τη σχέση (9) έχουµε: =(+ γ ) =(+0,) -=0.00948=0.95% Ένα απλό νούµερο ως ποσοστό επιτοκίου µπορεί να χρησιµοποιηθεί τουλάχιστον µε τρεις διαφορετικούς τρόπους: όπως συνδέεται µε την ετήσια πληρωµή, µε την µηνιαία πληρωµή µε ποσοστό επιτοκίου αποτελεσµατικό και µηνιαία ανατοκιζόµενο ποσό. Το ακόλουθο παράδειγµα είναι διαφωτιστικό. 4.4.8 Παράδειγµα Ένα αγρόκτηµα πωλείται µε περίοδο αποπληρωµής 5 έτη µε 40% ανατοκισµό ετησίως και 0% προκαταβολή. Οι πληρωµές είναι ετήσιες. Το αρχικό κόστος του αγροκτήµατος είναι 50.000.000 δρχ. Ποια θα είναι η ετήσια πληρωµή; Λύση: 50.000.000-0.000.000 (προκαταβολή) 40.000.000 3
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Α=Ρ(Α/Ρ,ι,Ν)=40.000.000(Α/Ρ,40,5)=40.000.000(0,4059)=6.04.000 ετησίως Σηµείωση: όταν υπάρχει ετήσιος ανατοκισµός, το ονοµαστικό και το αποτελεσµατικό επιτόκιο ταυτίζονται. Φανταστείτε τώρα ότι το ποσοστό επιτοκίου είναι το αποτελεσµατικό και η πληρωµή και ο ανατοκισµός µηνιαία. Τότε το αποτελεσµατικό µηνιαίο ποσοστό θα υπολογιστεί από την εξίσωση (9): =(+ γ ) =(+0,40) -=0.08436=,8% ( 4,35586 A = P[ ] =40.000.000 ( =.7.50.30.000δρχ/µήνα. 55,5665 4.5 ιαχωρισµός επιτοκίου και αρχικού κεφαλαίου (nterest and prncpal separaton) Συχνά η περιοδική αποπληρωµή ενός δανείου πρέπει να διαχωριστεί σε δύο µερίδια, στο επιτόκιο και στο αρχικό δανεισθέν κεφάλαιο. Αυτό είναι συχνά απαραίτητο λόγω ειδικών νοµοθετικών διατάξεων και έχουµε: µερίδιο επιτοκίου=0,*.000.000=.00.000 δρχ. άρα,.774.00-.00.000=.574.00 µερίδιο αποπληρωµής αρχικού ποσού. Αφαιρώντας αυτό το ποσό από το υπολειπόµενο προς αποπληρωµή (αρχικά 0.000.000) βρίσκουµε 8.45.900 που είναι το νέο υπόλοιπο µετά την πληρωµή του πρώτου έτους. Για το δεύτερο έτος έχουµε: 0,*8.45.900=.0.00 δρχ δόση επιτοκίου κ.ο.κ. Αξιοπρόσεκτο στον πίνακα 4.3 είναι ότι το ποσό που αντιστοιχεί στο επιτόκιο µειώνεται κάθε χρόνο ενώ το ποσό αποπληρωµής του αρχικού κεφαλαίου αυξάνεται. Έτσι, η φορολογική απαλλαγή ελαττώνεται. Αυτό φαίνεται γραφικά στο σχήµα 4.3. Το παράδειγµα αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να δώσει µαθηµατική έκφραση στο ποσό πληρωτέο για τόκους κατά το Υ έτος για ένα ποσό Ρ µε επιτόκιο ι για Ν περιόδους: Το υπολειπόµενο ποσό R για κάθε χρόνο Υ είναι η παρούσα αξία µε ποσοστό έκπτωσης ι των υπολειπόµενων πληρωµών κατά Α η κάθε µία: = A( P / A,, Y ). Έτσι αναφερόµενοι στον πίνακα 4.3 το υπολειπόµενο ποσό που ισούται στο Υ µε 0 είναι: R y () επ ιτό κιο () αρχικό κεφάλαιο 3 4 5 () ε () ιάγραµµα 4-4Χρηµατοροές 33
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ σύµφωνα µε τις οποίες το επιτόκιο εκπίπτει από το φορολογήσιµο εισόδηµα µιας επιχείρησης σε αντίθεση µε το αρχικό ποσό που δανείσθηκε η εταιρεία. Αυτό ίσως φαίνεται καλύτερα στο επόµενο παράδειγµα. 4.5. Παράδειγµα ανεισθήκατε 0.000.000 δρχ. για πέντε 5 χρόνια µε επιτόκιο % ετησίως. Επειδή το επιτόκιο που πληρώνεται κατά την αποπληρωµή του ποσού αυτού είναι αφορολόγητο σύµφωνα µε τη νοµοθεσία, θέλετε να ξέρετε πόσο επιτόκιο θα πληρώνετε κάθε χρόνο. Έτος Λύση: Για την επίλυση βοηθά ο πίνακας 4.3. Πληρωµή Α Μερίδιο επιτοκίου Μερίδιο αρχικού κεφαλαίου (δρχ) (δρχ) (δρχ) Υπολειπόµενο ποσό (δρχ).774.00.00.000.574.00 8.45.900.774.00.0.00.763.000 6.66.900 3.774.00 799.600.974.500 4.688.400 4.774.00 56.600..500.776.900 5.774.00 97.00.476.900 0 4-5Πίνακας Πληρωµών Οι ποσότητες αυτές υπολογίζονται ως εξής: Α=Ρ(Α/Ρ,ι,Ν)=0.000.000(Α/Ρ,,5)=0.000.000(0,774)=.774.00 δρχ. Το ποσό αυτό είναι η ολική πληρωµή, το άθροισµα δηλαδή του µεριδίου του αρχικού ποσού και του επιτοκίου. Για να βρούµε το µερίδιο του επιτοκίου θα πράξουµε ως εξής: Ro=.774.00(Ρ/Α,,5)=.774.00(3,6048)=0.000.00 0.000.000 Οι παραπάνω 00 δρχ. εµφανίζονται λόγω αποκοπής ψηφίων στον πίνακα Γ. Γιά y=3 έχουµε: R 3 =.774.00(P/A,,)=.774.00(,690)4.688.500 4.688.400 Η αποπληρωµή του αρχικού ποσού Ρ για κάθε έτος Y είναι η διαφορά µεταξύ του υπολειπόµενου προς αποπληρωµή ποσού R στο τέλος του Υ έτους µετά την πληρωµή του ποσού αυτού Ρ για την ίδια ποσότητα στο τέλος του Υ- έτους: Ρ =Α(Ρ/Α,ι,Ν-(Υ-))-Α(Ρ/Α,ι,Ν-Υ)=Α[(Ρ/Α,ι,Ν-Υ+)-(Ρ/Α,ι,Ν-Υ)] (0) y Όµως, η διαφορά µεταξύ οποιονδήποτε δύο καταχωρήσεων στις στήλες παρούσας αξίας του πίνακα Γ είναι η απλή πληρωµή της παρούσας αξίας για την τελευταία περίοδο j διότι (Ρ/Α,ι,Ν)= ( P /,, j) που αποτελεί την περιγραφή του πως οι σειρές του j = = συντελεστή παρούσας αξίας µπορούν να εξαχθούν από το συντελεστή απλής πληρωµής παρούσας αξίας. 34
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Έτσι: (Ρ/Α,ι,Ν-)+(Ρ/Α,ι,Ν)=(Ρ/Α,ι,Ν) ή (Ρ/,ι,)=(Ρ/Α,ι,n)-(P/A,I,-) Σύµφωνα µε τα δεδοµένα που αναφέρονται στην εξίσωση (0), προηγούµενη σχέση γίνεται: (P/,ι,Ν-Υ+). Αντικαθιστώντας στη (0) έχουµε: Ρ y =(Α(Ρ/,ι,Ν-Υ+). Άρα, το πληρωτέο επιτόκιο για κάθε χρόνο είναι: Ι =Α-Ρ =Α-Α(Ρ/,ι,Ν-Υ+)=Α[- (Ρ/,ι,Ν-Υ+)] () Εφαρµόζοντας την εξίσωση (8) στο παράδειγµα 4.0 για το τρίτος έτος ώστε να απαντήσουµε στην ερώτηση: Ποιος τόκος πληρώθηκε στο τρίτο έτος; έχουµε: Ι =Α[-(Ρ/,ι,5-3+)]=.774.00[-(Ρ/,,3)]=.774.00[-0,778)]=799.600 3 4.6 Παράρτηµα: Συνεχής Ανατοκισµός Επεκτείνουµε την έννοια του ανατοκισµού ανά µήνα, εβδοµάδα ή ηµέρα. Όταν το Μ γίνεται άπειρο ο ανατοκισµός καλείται συνεχής. Θυµηθείτε ότι ο συντελεστής απλής ανατοκιζόµενης πληρωµής είναι = P( + ). Εάν θέσουµε όπου ι το r/ και τον αριθµό ανατοκιζόµενων περιόδων σε Ν χρόνια ως Μ*Ν έχουµε: = P[( = P[ lm ( + r / ) ] έστω K = / r = K r αντικαθιστώντας K r + / K) ]. Όµως από γνωστό θεώρηµα του λογισµού γνωρίζουµε ότι: lm ( + / K) K = e =,788 K Άρα = P e r = P e r Στον πίνακα που ακολουθεί όλες οι χρηµατικές συναλλαγές είναι διακριτές. Ο ανατοκισµός συµβαίνει µε ονοµαστικό ποσοστό r ανά περίοδο, συνήθως ανά χρόνο. Άγνωστο Γνωστό Όνοµα συντελεστή Αλγεβρικός τύπος P P A A P A P A Συνεχής ανατοκισµός ανατοκιζόµενο ποσό. (απλή πληρωµή) Συνεχής ανατοκισµός παρούσα αξία (απλή πληρωµή) Συνεχής ανατοκισµός παρούσα αξία (οµοιόµορφη σειρά) y y e r e r e -r r e r r e ( e ) Συνεχής ανατοκισµός Βυθιζόµενο κεφάλαιο r e (οµοιόµορφη σειρά) r e r r Συνεχής ανατοκισµός ανάκτηση κεφαλαίου e ( e ) (οµοιόµορφη σειρά) r e r Συνεχής ανατοκισµός ανατοκιζόµενο ποσό e (οµοιόµορφο ποσό) r e ιάγραµµα 4-6 : Πίνακας υνατών χρηµατικών συναλλαγών 35
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ 4.7 Προβλήµατα 4. Ενδιαφέρεστε να αγοράσετε ένα σπίτι αξίας 0.000.000. Θα απαιτηθεί 0% προκαταβολή, το δε υπόλοιπο µπορεί να πληρωθεί σε 0 χρόνια µε 8% τον χρόνο. a) Υπολογίσατε το ποσό της ετήσιας δόσης. b) Σε ποιό σηµείο η καταβολή του τόκου θα είναι διπλάσια από την αποπληρωµή του κεφαλαίου καθαυτού: c) Αν υποθέσουµε ότι το 8% αποτελεί ονοµαστική αξία ετήσιου επιτοκίου και ότι η εµπλεκόµενη Τράπεζα απαιτεί µηνιαίες δόσεις για την εξόφληση του δανείου (λαµβάνοντας υπόψη µηνιαίο ανατοκισµό) τότε υπολογίσατε το ύψος της µηνιαίας δόσης. 4. Ποιό πρέπει να είναι το ύψος της οµοιόµορφα κατανεµηµένης αποταµίευσης χρηµάτων µε 4% για µια περίοδο 30 χρόνων ώστε να έχουµε την δυνατότητα να ξοδέψουµε 500χιλ. ρχ. αµέσως,,500χιλ. ρχ. σε 6 χρόνια (δηλ. στο τέλος του έκτου χρόνου),500 χιλ. ρχ. στο τέλος του ου χρόνου, 3,000χιλ. ρχ. στο τέλος του ου χρόνου και,000 δρχ. στο τέλος του 30ου χρόνου. 4.3 Ενας φίλος σας αρχιτέκτονας προσπαθεί να σας πείσει να επενδύσετε τα χρήµατά σας αγοράζοντας ένα σχεδόν κατεστραµµένο σπίτι το οποίο όµως είναι δυνατόν να επιδιορθωθεί (σε βαθµό που να µπορεί να πουληθεί σαν σπίτι πια) ξοδεύοντας.500.000δρχ. Το σπίτι µπορεί να αγορασθεί αντί 6.000.000δρχ. και να πουληθεί ένα χρόνο αργότερα (αφού έχει επιδιορθωθεί) πςο 0.500.000δρχ. Εχετε διαθέσιµα 5.000.000 δρχ. από τις οποίες οι.500.000δρχ. δρχ. πρέπει να χρησιµοποιηθούν για τις επισκευές οι δε υπόλοιπες.500.000 για προκαταβολή για την αγορά του σπιτιού. Το υπόλοιπο (για την αγορά του σπιτιού) θα χρηµατοδοτηθεί µέσω ενός Τραπεζιτικού δανείου µε επιτόκιο δανεισµού ίσο µε 6% και περίοδο αποπληρωµής 0 χρόνων. Οµως, αν το σπίτι πουληθεί νωρίτερα το δάνειο (ή καλύτερα το υπόλοιπο του) πρέπει να εξοφληθεί αµέσως. Η αµοιβή του αρχιτέκτονα ισούται µε το 0% του κόστους της επιδιόρθωσης. Επίσης θα επιβαρυνθείτε κατά 30.000 δρχ. κατά την διάρκεια ενός χρόνου που θα έχετε στην κατοχή σας το σπίτι για ασφάλειες, και δηµοτικούς φόρους. Προσδιορίζετε ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου σας (opportunty cost of captal) µη λαµβανοµένων υπόψη φόρων είναι 0%. Α. Ποιός είναι ο ετήσιος ρυθµός απόδοσης της εξεταζοµένης επένδυσης; (υπολογισµός στο πλησιέστερο ακέραιο αριθµό). Β. Πρέπει να δεχτείτε την πρόταση και να επενδύσετε αγοράζοντας το συγκεκριµένο σπίτι; 4.4. Eνας φοιτητής της φιλολογικής Σχολής θέλει να πραγµατοποιήσει ένα ταξίδι στην Ιαπωνία σε δύο χρόνια από σήµερα. Εκτιµά ότι θα χρειασθεί για το ταξίδι αυτό.000.000 δρχ. Πόσα χρήµατα πρέπει να καταθέσει σ ένα Τραπεζικό λογαριασµό κάθε µήνα* δεδοµένου ότι ο λογαριασµός αυτός αποδίδει 8% (*:Συνολικά 4=(*) καταθέσεις). Για τον λόγο αυτό θα κατατεθούν σε λογαριασµό όψεως και δεν θα κερδίζουν καθόλου επιτόκιο. Υπόδειξη: Καταστρώστε την εξίσωση υπολογισµού της Καθαρής Παρούσης Αξίας (et Present alue) (PV) και επιλύστε ως προς I, µε PV=0. 36
Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 4.5 Aν καταθέσετε 500.000 δρχ. σ ένα λογαριασµό που αποδίδει επιτόκιο 4% τον χρόνο, ανατοκιζόµενο κάθε εξάµηνο, ποιό θα είναι το ύψος του λογαριασµού έπειτα από 8 χρόνια αν δεν κάνετε στο µεταξύ στο µεταξύ καµµία ανάληψη. 4.6. Ποιά είναι η παρούσα αξία 6.000.000 δρχ. που περιµένετε να λάβετε στο τέλος χρόνων από σήµερα αν ο προσωπικός σας ελάχιστος βαθµός ετήσιας απόδοσης (personal mnmum attractve rate of return) είναι %. 4.7. Μπορείτε να αγοράσετε το µεταχειρισµένο αυτοκίνητο του πατέρα σας έναντι 400.000 δρχ. Επίσης ο πατέρας είνα πρόθυµος να σας βοηθήσει να ξεπληρώσετε το αυτοκίνητο σε τέσσερεις ισόποσες δόσεις καταβλητέες τα τέσσερα επόµενα χρόνια µε την προϋπόθεση ότι του καταβάλλετε τόκο 5% στο υπόλοιπο της αξίας του αυτοκινήτου. Υπολογίστε το ύψος της κάθε δόσης. 4.8 Η κατασκευή ενός πολυτελούς συγκροτήµατος διαµερισµάτων αναµένεται ότι θα έχει τελειώσει µετά από τέσσερα χρόνια. Σε κάθε χρόνο θα τελειώνει ένα µέρος (ή τµήµα) του συγκροτήµατος που συµπεριλαµβάνει 50 διαµερίσµατα. Για κάθε διαµέρισµα απαιτείται ένα πλυντήριο πιάτων. Εκτιµάται ότι κατά την συµπλήρωση της κατασκευής του πρώτου τµήµατος (50 διαµερίσµατα) η τιµή µιας µονάδας πλυντηρίου πιάτων θα κόστιζε 0.000 δρχ. Ακόµη εκτιµάται ότι λόγω πληθωρισµού η τιµή αυτή θα αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 5.000.000 δρχ. Η εταιρεία που έχει αναλάβει την κατασκευή του πολυτελούς συγκροτήµατος θέλει να υπολογίσει την παρούσα αξία των 00 πλυντηρίων πιάτων που θα απαιτηθούν µε δεδοµένο ότι το κόστος ευκαιρίας της είναι 0% (χωρίς να λαµβάνονται υπόψη φόροι). 4.9. Η Αεροπορική Εταιρεία LY προτίθεται να αγοράσει ένα µεγάλου µεγέθους αεροσκάφος (400 θέσεων) έναντι 4 δις δρχ. Σκοπεύει να κρατήσει το αεροσκάφος για 0 χρόνια και υπολογίζει ότι θα είναι δυνατόν τότε να πουληθεί το αεροσκάφος για 8 δις δρχ. Εκτιµάται ότι η κατά µέσο όρο πληρότητα (σε επιβάτες) του Α/Φ (αεροσκάφους) σε κάθε χρόνο λειτουργίας του θα είνα 85%. Επίσης εκτιµάται ότι τα οφέλη από µεταφορά εµπορευµάτων θα είναι ίσα µε το 5% των µικτών εισπράξεων από µεταφορά επιβατών. Υπολογίζεται ότι κάθε χρόνο το Α/Φ θα διανύει 4.000,000 km και ότι από κάθε επιβάτη εισπράττεται 8.5 δρχ. ανά χιλιόµετρο πτήσης. Επίσης υπολογίζεται ότι το λειτουργικό κόστος του Α/Φ (περιλαµβάνει προσωπικό, συντήρηση, τέλη προσγείωσης, τροφοδοσία, κ.λ.π.) είναι 4 δρχ. ανά θέση και ανά χιλιόµετρο πτήσης.υπολογίσατε την παρούσα αξία της επένδύσης λαµβάνοντας υπόψη ότι το κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου της LY είναι %. 4.0. Μελετάται η επένδυση ενός νέου µηχανήµατος. Το µηχάνηµα αυτό, έστω Μ, θα στοιχίσει 3.800.000 δρχ. Εκτιµάται ότι έχει διάρκεια οικονοµικής ζωής ίση µε 0 χρόνια. Επίσης εκτιµάται ότι τα ακόλουθα καθαρά κέρδη θα προκύψουν από την αγορά του µηχανήµατος: 37
Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ Xρόνος Καθαρά κέρδη 00.000 50.000 3 300.000 4 350.000 5 400.000 6 450.000 7 400.000 8 350.000 9 300.000 0 50.000 Στο τέλος των 0 χρόνων το Μ θα πωληθεί αντί 400.000 δρχ. Αν το κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου της εµπλεκόµενης εταιρείας είναι 8% υπολογίστε την καθαρή παρούσα αξία. Συµφέρει η αγορά του Μ; 4. ια µικρή φωτογραφική εταιρεία δανείσθηκε 50.000.0000 δρχ. προκειµένου να χρηµατοδοτήσει την αγορά νέων µηχανηµάτων. Η περίοδος αποπληρωµής του δανείου είναι 0 χρόνια µε επιτόκιο %. a) Πόση ήταν η καταβολή τόκου κατά τα 3 πρώτα χρόνια (τρείς ισόποσες δόσεις); b) Αν η εταιρεία θέλει να ξεπληρώσει το δάνειο στο τέλος των τριών χρόνων, προκειµένου να επιτύχει εναλλακτική και ευνοϊκώτερη χρηµατοδότηση πόσα πρέπει να πληρώσει ευθύς αµέσως µετά την καταβολή της τρίτης δόσης; 38