ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ"

Ηιονη Ζάνος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 2=) ευρώ Παράδειγµα 2 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 µήνες. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 8/12=) ευρώ Παράδειγµα 3 Να βρεθεί ο συνηθισµένος και ο ακριβής τόκος κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 60 ηµέρες. Απάντηση: Ο συνηθισµένος τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 60/360=) ευρώ Ο ακριβής τόκος ανέρχεται σε I = ( ,12 60/365=) 1.972,6 ευρώ Παράδειγµα 4 Να βρεθεί ο ακριβής και ο κατά προσέγγιση χρόνος ο οποίος µεσολαβεί µεταξύ της 5ης Ιανουαρίου και της 25ης Φεβρουαρίου. Απάντηση: Ο ακριβής χρόνος είναι 51 ηµέρες. Ο αριθµός αυτός βρίσκεται εάν προσθέσουµε στις 26 ηµέρες που εναποµένουν µέχρι το τέλος του Ιανουαρίου και τις 25 ηµέρες του Φεβρουαρίου. Ο προσεγγιστικός χρόνος είναι 50 ηµέρες. Ο αριθµός αυτός βρίσκεται ως εξής. Υπολογίζουµε πρώτα τους µήνες που µεσολαβούν µεταξύ 5 Ιανουαρίου και 5 Φεβρουαρίου. Στη περίπτωση αυτή µεσολαβεί ένας µήνας που αντιστοιχεί σε 30 ηµέρες. Στη συνέχεια προσθέτουµε στις 30 ηµέρες που βρήκαµε, τις 20 ηµέρες που µεσολαβούν µεταξύ 5 Φεβρουαρίου και 25 Φεβρουαρίου. Το σύνολο µας κάνει 50 ηµέρες. 1

000 ευρώ Παράδειγµα 3 Να βρεθεί ο συνηθισµένος και ο ακριβής τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 60 ηµέρες.

2 Παράδειγµα 5 ανείζεται κάποιος ευρώ για 6 µήνες µε ετήσιο επιτόκιο 15%. Ποιά είναι η τελική αξία την οποία θα πρέπει να καταβάλει σε 6 µήνες; Απάντηση: Το συνολικό ποσό που θα πρέπει να πληρώσει σε 6 µήνες είναι S = { [1+(0,15 6/12)]=} ευρώ Παράδειγµα 6 Ποιά είναι η παρούσα αξία ενός κεφαλαίου ύψους ευρώ το οποίο θα σας δοθεί σε 1 χρόνο από σήµερα, εάν είναι γνωστό ότι το κόστος του χρήµατος είναι 8%; Απάντηση: Η παρούσα αξία είναι P = { /[1+(0,08 1)]=} ευρώ Κατά συνέπεια, ευρώ επενδυµένες σήµερα µε ετήσιο επιτόκιο 8% θα παράγουν τελική αξία ευρώ σε 1 χρόνο. Παράδειγµα 7 λογαριασµό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται κάθε χρόνο µε ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συσσωρευθεί στο λογαριασµό στο τέλος του 3ου χρόνου; Απάντηση: Στο τέλος του τρίτου χρόνου θα έχει συσσωρευθεί κεφάλαιο κατά προσέγγιση ίσο µε ευρώ Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας το σχετικό τύπο. TV 3 = (1+0,08) 3 = ,2597 = , Παράδειγµα 8 λογαριασµό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται 2 φορές το χρόνο (δηλαδή κάθε 6 µήνες) µε ετήσιο επιτόκιο 10%. Τι ποσό θα έχει συσσωρευθεί στο λογαριασµό στο τέλος του 5ου χρόνου; Απάντηση: Ο συντελεστής ανατοκισµού ο οποίος αντιστοιχεί σε επιτόκιο (0,10/2=) 0,05 και χρονική περίοδο (5 2=) 10 είναι 1,6289. Άρα, η ζητούµενη τελική αξία είναι TV 3 = ( ,6289=) ευρώ 2

500 ευρώ Παράδειγµα 6 Ποιά είναι η παρούσα αξία ενός κεφαλαίου ύψους 108.

3 Παράδειγµα 9 λογαριασµό. Το κεφάλαιο αυτό ανατοκίζεται συνεχώς µε ετήσιο επιτόκιο 8%. Τι ποσό θα έχει συσσωρευθεί στο λογαριασµό στο τέλος του 3ου χρόνου; Απάντηση: Στο τέλος του τρίτου χρόνου θα έχει συσσωρευθεί κεφάλαιο κατά προσέγγιση ίσο µε ευρώ TV 3 = e 0,08 3 TV 3 = e 0,24 TV 3 = ,2712 = ,91 Παράδειγµα 10 Ποιά είναι η παρούσα αξία ευρώ που θα ληφθούν σε 5 χρόνια από σήµερα, εάν το κόστος του χρήµατος είναι 8% και ο ανατοκισµός γίνεται µία φορά το χρόνο; Απάντηση: Η σηµερινή αξία των ευρώ που θα ληφθούν σε 5 χρόνια είναι κατά προσέγγιση ευρώ Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας το σχετικό τύπο. PV = [1/(1+0,08) 5 ] = (0,6806) = , Παράδειγµα 11 Ποιό είναι το ποσό που θα πρέπει να επενδύσει κανείς σήµερα σ ένα τραπεζικό λογαριασµό ο οποίος παρέχει τόκο µε ετήσιο επιτόκιο 10% ανατοκιζόµενο 2 φορές το χρόνο, έτσι ώστε να συσσωρεύσει σε 5 χρόνια ευρώ; Απάντηση: Ο συντελεστής προεξόφλησης ο οποίος αντιστοιχεί σε επιτόκιο (0,10/2=) 0,05 και χρονική περίοδο (5 2=) 10 είναι 0,6139. Άρα, η ζητούµενη παρούσα αξία είναι PV = ( ,6139=) ευρώ 3

000 e 0,08 3 TV 3 = 100.000 e 0,24 TV 3 = 100.000 1,2712 = 127.124,91 Παράδειγµα 10 Ποιά είναι η παρούσα αξία 100.

4 Παράδειγµα 12 Ποιά είναι η παρούσα αξία ευρώ που θα ληφθούν σε 5 χρόνια από σήµερα, εάν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 8% και υπάρχει συνεχής ανατοκισµός; Απάντηση: Η αξία που έχουν σήµερα οι ευρώ που θα ληφθούν σε 5 χρόνια είναι ευρώ PV = (1/e 0,08 5 ) = (1/1,4918) PV = (0,6703) = ,00 Παράδειγµα 13 Ένας επενδυτής δανείζεται σήµερα από µία τράπεζα ευρώ και συµφωνεί να αποπληρώσει ολόκληρο το δάνειο πληρώνοντας ευρώ στο τέλος του 8ου χρόνου. Ποιό είναι το ετήσιο επιτόκιο µε το οποίο δανείζει η τράπεζα τον επενδυτή; Απάντηση: Το επιτόκιο αυτό βρίσκεται µε πολύ απλό τρόπο είτε αν χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα παρούσας αξίας είτε τον πίνακα τελικής αξίας, καθώς τα στοιχεία του ενός πίνακα είναι αντίστροφα των στοιχείων του άλλου. (α) περίπτωση: πίνακας παρούσας αξίας. ίνεται ότι η παρούσα αξία είναι PV= , και ότι στον 8ο χρόνο θα πληρωθεί X 8 = Από το τύπο που µας δίνει την παρούσα αξία µιας µελλοντικής πληρωµής έχουµε ότι: PV = X 8 (Συντελεστής Παρούσης Αξίας) = (ΣΠΑ) ΣΠΑ = ( / ) ΣΠΑ = 0,6274. Πηγαίνοντας στο πίνακα παρούσας αξίας µιας µελλοντικής πληρωµής και κοιτάζοντας κατά µήκος της γραµµής που αντιστοιχεί στη 8η περίοδο (εδώ 8ο χρόνο), βρίσκουµε την τιµή 0,6274. Η τιµή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 6%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή µε ετήσιο επιτόκιο 6%. (β) περίπτωση: πίνακας τελικής αξίας. ίνεται ότι η τελική αξία είναι TV 8 = , και ότι το αρχικό κεφάλαιο είναι X 0 = Από το τύπο που µας δίνει την τελική αξία ενός αρχικού κεφαλαίου έχουµε ότι: TV 8 = X 0 (Συντελεστής Τελικής Αξίας) = (ΣΤΑ) ΣΤΑ = ( / ) ΣΤΑ = 1,5940. Πηγαίνοντας στο πίνακα τελικής αξίας ενός αρχικού κεφαλαίου και κοιτάζοντας κατά µήκος της γραµµής που αντιστοιχεί στη 8η περίοδο (εδώ 8ο χρόνο), βρίσκουµε την 4

000 ευρώ που θα ληφθούν σε 5 χρόνια είναι 67.032 ευρώ PV = 100.000 (1/e 0,08 5 ) = 100.000 (1/1,4918) PV = 100.000 (0,6703) = 67.

5 τιµή 1,5940. Η τιµή αυτή βρίσκεται στη στήλη που αντιστοιχεί σε επιτόκιο 6%. Άρα, η τράπεζα δανείζει τον επενδυτή µε ετήσιο επιτόκιο 6%. Στο ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε να καταλήξουµε και εάν επιλύσουµε ως προς το επιτόκιο, τους τύπους που µας δίνουν την παρούσα αξία µιας µελλοντικής πληρωµής ή την τελική αξία ενός αρχικού κεφαλαίου. Παράδειγµα 14 Ένας επενδυτής καταθέτει ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου σ ένα τραπεζικό λογαριασµό ο οποίος παρέχει τόκο µε ετήσιο επιτόκιο 6% και ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα έχει συσσωρευθεί στο λογαριασµό στο τέλος του 5ου χρόνου. Απάντηση: Η τελική αξία της σειράς πληρωµών είναι κατά προσέγγιση ευρώ Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας το σχετικό τύπο. TV 5 = {[(1+0,06) 5-1]/0,06} = (0,3382/0,06) TV 5 = (5,6371) = , Παράδειγµα 15 Να βρεθεί το ποσό χρηµάτων που πρέπει να καταθέσει σήµερα ένας επενδυτής σ ένα τραπεζικό λογαριασµό ο οποίος παρέχει τόκο µε ετήσιο επιτόκιο 6% ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως, για να έχει το δικαίωµα να αποσύρει ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου και επί 5 χρόνια. Απάντηση: Η παρούσα αξία της σειράς πληρωµών είναι κατά προσέγγιση ευρώ Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας το σχετικό τύπο. PV = {[1-(1/(1+0,06) 5 )]/0,06} = {[1-0,7473]/0,06} PV = (0,2527/0,06) = (4,2124) = , Παράδειγµα 16 Ένα φιλανθρωπικό ίδρυµα θέλει να χορηγεί επ άπειρο µία υποτροφία ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου. Εάν τα χρήµατα µπορούν να επενδυθούν µε ετήσιο επιτόκιο 5% ποιο ποσό πρέπει να καταθέσει σήµερα το ίδρυµα για να χορηγείται στο διηνεκές η υποτροφία; Απάντηση: Η παρούσα αξία της διηνεκούς σειράς πληρωµών είναι ευρώ PV = /0,05 =

Παράδειγµα 14 Ένας επενδυτής καταθέτει 100.000 ευρώ στο τέλος κάθε χρόνου σ ένα τραπεζικό λογαριασµό ο οποίος παρέχει τόκο µε ετήσιο επιτόκιο 6% και ο οποίος ανατοκίζεται ετησίως.

Σχετικά έγγραφα

ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ. κεφάλαιο 2

κεφάλαιο 2 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΕΦΆΛΑΙΑ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΎΝ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΎΜΕ με την αξιολόγηση διάφορων επενδυτικών προτάσεων. Πριν από την ανάλυση των προτάσεων αυτών, είναι απαραίτητο να έχετε