Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος (Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στη Ζητούμενη Ποσότητα) () Διαγραμματική Παρουσίαση Α. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κανονικά Αγαθά M x / p (Π) Μείωση της Τιμής του Αγαθού BC x Γ A x x Β 0 A Γ B A M B x x p x Γ IC (U ) IC (U ) M p BC x

- Ο καταναλωτής επιλέγει αρχικά το σημείο - Έστω ότι η τιμή του αγαθού μειώνεται από Η γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται από BC σε BC. Ο καταναλωτής επιλέγει τώρα το σημείο A ( x, x ). A A p σε p. Γ ( x, x ). Γ Γ - ΗμετακίνησηαπότοσημείοΑστοΓ(δηλαδήησυνολικήαύξηση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού από αναλυθεί σε δύο επιμέρους αποτελέσματα: x σε x ) A Γ μπορεί να ( Ι ) Αποτέλεσμα Υποκατάστασης (Μετακίνηση από το Α στο Β) - Ακόμα και αν το άτομο παραμείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας IC (δηλαδή ακόμα και αν η χρησιμότητα παραμείνει ίση με U), η αλλαγή των σχετικών τιμών θα οδηγήσει σε μετακίνηση από το σημείο Α στο Β (κατά μήκος της αρχικής IC ).

-H μείωση της σχετικής τιμής του αγαθού οδηγεί το άτομο να υποκαταστήσει το αγαθό με το σχετικά φθηνότερο αγαθό. A B A B x x x x (αύξηση του σε, μείωση του σε ) => Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Α στο Β κατά μήκος της αρχικής IC (δηλαδή η αύξηση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού λόγω μείωσης της τιμής p, με δεδομένη τη χρησιμότητα U) ονομάζεται αποτέλεσμα υποκατάστασης. ( ΙΙ ) Αποτέλεσμα Εισοδήματος (ΜετακίνησηαπότοΒστοΓ) - Ημείωσητηςτιμήςτουαγαθού αυξάνει το πραγματικό εισόδημα του ατόμου. Το άτομο μπορεί να αποκτήσει ένα μεγαλύτερο επίπεδο χρησιμότητας (U >U ), δηλαδή μπορεί να μετακινηθεί από το σημείο Β (επί της αρχικής καμπύλης αδιαφορίας IC ) στο σημείο Γ (επί της υψηλότερης καμπύλης αδιαφορίας IC ). 3

=> Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Β στο Γ (δηλαδή η αύξηση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού λόγω αύξησης του πραγματικού εισοδήματος του ατόμου) ονομάζεται αποτέλεσμα εισοδήματος. B x x Γ B x x Γ (αύξηση του σε και αύξηση του σε, διότι τα αγαθά, είναι κανονικά.) - Σημείωση: Η παρατηρούμενη καταναλωτική συμπεριφορά είναι μόνο η συνολική μετακίνησηαπότοσημείοαστογ(δηλαδή η συνολική μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας από σε ). x Α x Γ 4

(Π) Αύξηση της Τιμής του Αγαθού x BC M / p x Β x Γ A x Γ B A BC IC (U ) 0 x Γ B x IC (U ) A x M p p M - Ο καταναλωτής επιλέγει αρχικά το σημείο - Έστω ότι η τιμή του αγαθού αυξάνεται από Η γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται από BC σε BC. 5 x A A A ( x, x ). p σε p.

Γ Γ Γ ( x, x ). - Ο καταναλωτής επιλέγει τώρα το σημείο - ΗμετακίνησηαπότοσημείοΑστοΓ(δηλαδήησυνολικήμείωση A Γ της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού από x μπορεί να σε x ) αναλυθεί σε δύο επιμέρους αποτελέσματα: ( Ι ) Αποτέλεσμα Υποκατάστασης (Μετακίνηση από το Α στο Β) - Ακόμα και αν το άτομο παραμείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας IC (δηλαδή ακόμα και αν η χρησιμότητα παραμείνει ίση με U), η αλλαγή των σχετικών τιμών θα οδηγήσει σε μετακίνηση από το σημείο Α στο Β (κατά μήκος της αρχικής IC ). -H αύξηση της σχετικής τιμής του αγαθού οδηγεί το άτομο να υποκαταστήσει το αγαθό με το σχετικά φθηνότερο αγαθό. A B A B (μείωση του σε, αύξηση του σε x ) x x x => Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Α στο Β κατά μήκος της αρχικής IC (δηλαδή η μείωση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού λόγω αύξησης της τιμής p, με δεδομένη τη χρησιμότητα U) 6 ονομάζεται αποτέλεσμα υποκατάστασης.

( ΙΙ ) Αποτέλεσμα Εισοδήματος (ΜετακίνησηαπότοΒστοΓ) - Η αύξηση της τιμής του αγαθού μειώνει το πραγματικό εισόδημα του ατόμου. Το άτομο αναγκάζεται να μετακινηθεί από το σημείο Β (επί της αρχικής καμπύλης αδιαφορίας IC ) στο σημείο Γ (επί της χαμηλότερης καμπύλης αδιαφορίας IC ), δηλαδή η χρησιμότητα μειώνεται από U σε U. => Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Β στο Γ (δηλαδή η μείωση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού λόγω μείωσης του πραγματικού εισοδήματος του ατόμου) ονομάζεται αποτέλεσμα εισοδήματος. B x x Γ B x x Γ (μείωση του σε και μείωση του σε, διότι τα αγαθά, είναι κανονικά.) 7

- Παρατήρηση: Αν το αγαθό είναι κανονικό, τότε το αποτέλεσμα υποκατάστασης και το αποτέλεσμα εισοδήματος λειτουργούν προς την ίδια κατεύθυνση (αλληλοενισχύονται). - Αν η τιμή του αγαθού μειωθεί, τότε: Το αποτέλεσμα υποκατάστασης τείνει να αυξήσει τη ζητούμενη ποσότητα x. Το αποτέλεσμα εισοδήματος (η αύξηση του πραγματικού εισοδήματος) τείνει επίσης να αυξήσει τη ζητούμενη ποσότητα x. - Συμπέρασμα: Αν το αγαθό είναι κανονικό, τότε η μείωση (αύξηση) της τιμής p οδηγεί σίγουρα σε αύξηση (μείωση) της ζητούμενης ποσότητας x, δηλαδή η τιμή και η ζητούμενη ποσότητα κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις: x ( p, M)/ p < 0 8

Β. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κατώτερα Αγαθά - Αν το αγαθό είναι κατώτερο, τότε το αποτέλεσμα υποκατάστασης και το αποτέλεσμα εισοδήματος λειτουργούν προς αντίθετες κατευθύνσεις. - Αν η τιμή του αγαθού μειωθεί, τότε: Το αποτέλεσμα υποκατάστασης τείνει να αυξήσει τη ζητούμενη ποσότητα x. Το αποτέλεσμα εισοδήματος (η αύξηση του πραγματικού εισοδήματος) τείνει να μειώσει τη ζητούμενη ποσότητα x. - Συμπέρασμα: Αν το αγαθό είναι κατώτερο, τότε η επίπτωση από μια μείωση (ήαύξηση) της τιμής p στη ζητούμενη ποσότητα x είναι αμφίβολη (δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα). 9

Αγαθά Gffen - Αν το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρκετά ισχυρό για ένα κατώτερο αγαθό, τότε η τιμή και η ζητούμενη ποσότητα μπορούν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. - Ένα αγαθό ονομάζεται αγαθό Gffen αν η αύξηση (μείωση) της τιμής p οδηγεί σε αύξηση (μείωση) τηςζητούμενηςποσότηταςx : x ( p, M)/ p > 0 - Ημείωση(αύξηση) της ζητούμενης ποσότητας ενός αγαθού λόγω μείωσης (αύξησης) της τιμής του ονομάζεται παράδοξο του Gffen. - Παράδειγμα: Αύξηση κατανάλωσης πατάτας λόγω αύξησης της τιμής της (Ιρλανδία, 9 ος αιώνας). 0

() Μαθηματική Παρουσίαση - Η συνολική επίπτωση από μια μεταβολή της τιμής p στη ζητούμενη ποσότητα x δίνεται από τη μερική παράγωγο: x ( pm, )/ p - Αναλύουμε αυτήν τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που συνδέουν τις Μαρσαλιανές με τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης: x ( pm, ) = h[ pv, ( pm, )] h( p, u) = x[ p, e( p, u)] - Πρόταση (Εξίσωση του Slutsky). Αν u = V(p,M), τότε για κάθε (p,m) ισχύει: x( pm, ) h( pu, ) x( pm, ) = x ( p, M) p p M

- Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: h( p, u) = x[ p, e( p, u)] () - Παραγωγίζουμε την () ως προς p : h x x e () = + () p p e p - Eίναι: epu (, ) = epv [, ( pm, )] = M (3) e - Από το Λήμμα του Shephard, γνωρίζουμε: = h ( p, u) (4) p (3) h x x - Άρα: () = + h ( p, u) (5) (4) p p M - Επίσης: h( p, u) = h[ p, V( p, M)] = x ( p, M) (6) (6) h x x x h x - Άρα: (5) = + x( p, M) = x( p, M) p p M p p M

- Ο όρος h( p, u)/ p παριστάνει το αποτέλεσμα υποκατάστασης, διότι δείχνει τη μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας x (όταν μεταβάλλεται η τιμή p ) υποθέτοντας ότι η χρησιμότητα παραμένει σταθερή (κίνηση κατά μήκος μιας δεδομένης καμπύλης αδιαφορίας). - Ο όρος x( pm, ) [ x( pm, )/ M] παριστάνει το αποτέλεσμα εισοδήματος, διότι δείχνει τη μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας x (όταν μεταβάλλεται η τιμή p ) λόγω μεταβολής του πραγματικού εισοδήματος. Κατεύθυνση Αποτελεσμάτων Υποκατάστασης και Εισοδήματος ( Ι ) Κατεύθυνση Αποτελέσματος Υποκατάστασης - Αντισταθμιστικός Νόμος Ζήτησης (ή ος Νόμος του Hcks). Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη, τότε το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι αρνητικό: h( p, u) / p 0, =,..., n. 3

- Αν η τιμή του αγαθού μειωθεί, τότε ο καταναλωτής υποκαθιστά τα υπόλοιπα αγαθά με το σχετικά φθηνότερο αγαθό, δηλαδή η ζητούμενη ποσότητα h αυξάνεται. (II) Κατεύθυνση Αποτελέσματος Εισοδήματος () Αν το αγαθό είναι κανονικό, τότε το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι επίσης αρνητικό: x ( p, M) [ x ( p, M)/ M] < 0 ( + ) - Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος λειτουργούν προς την ίδια κατεύθυνση (είναι και τα δύο αρνητικά). x( p, M) h( p, u) x( p, M) = x ( p, M) < 0 p p M ( ) ( ) 4

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό είναι κανονικό, τότε η μείωση (αύξηση) της τιμής p οδηγεί σίγουρα σε αύξηση (μείωση) της ζητούμενης ποσότητας x, δηλαδή η τιμή και η ζητούμενη ποσότητα κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις. () Αν το αγαθό είναι κατώτερο, τότε το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι θετικό: x ( p, M) [ x ( p, M)/ M] > 0 ( ) - Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος λειτουργούν προς αντίθετες κατευθύνσεις (το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι αρνητικό, ενώ το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι θετικό). x( p, M) h( p, u) x( p, M) = x ( p, M) > 0 p p M < ( ) ( + ) 5

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό είναι κατώτερο, τότε η επίπτωση από μια μείωση (ήαύξηση) της τιμής p στη ζητούμενη ποσότητα x είναι αμφίβολη (δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια). - Αν το (θετικό) αποτέλεσμα εισοδήματος υπερισχύει του (αρνητικού) αποτελέσματος υποκατάστασης, τότε ισχύει x( p, M)/ p > 0 (δηλαδή το αγαθό είναι ένα αγαθό Gffen). - Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x) xx α β =, αβ, > 0, α+ β= Γνωρίζουμε: x( p, M) = αm / P (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης) x ( p, M) = β M / P (, ) / α β / ( ) ( ) β ( α β) ( ) α ( β α) ( ) V p M = a p p M h( p, u) = / p / p u h ( p, u) = / p / p u β α β (Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας) (Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης) 6

- Η συνολική επίπτωση από μια μεταβολή της τιμής p στη ζητούμενη ποσότητα x είναι: x ( p, M) / p = αm / p < 0 (7) - Αναλύουμε τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος (χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Slutsky). - Αποτέλεσμα Υποκατάστασης: h( p, u) / p = α β p p u (8) (9) β α β β α ( ) ( β ) Θέτουμε: u = V( p, M) = a/ p / p M (9) Άρα: (8) h( p, M) / p = αβ M / p (0) -Αποτέλεσμα Εισοδήματος: x( p, M) [ x( p, M)/ M] = α M / p () - Αθροίζουμε τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος για να πάρουμε τη συνολική επίπτωση από τη μεταβολή της τιμής: x ( p, M ) (, ) (, ) = h p u x ( p, M) x p M = p p M β (0) () 7

M M M αβ α α = = p p p, πράγματι (όπως βρήκαμε και στην (7)). - Αριθμητικό Παράδειγμα: Έστω α=β=/, p =, p =4, M=8. Τότε: x =4, x =, V=, h (p =, p =4, u=)=4= x Ανητιμήτουαγαθού αυξηθεί σε p = 4, τότε: x =, h ( p = 4, p = 4, u = ) = Δ x = x x = 3 : Συνολική επίπτωση στη ζητούμενη ποσότητα. Αναλύουμε τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος: *Αποτέλεσμα Υποκατάστασης: Δ h = h h = * Αποτέλεσμα Εισοδήματος = Συνολική Επίπτωση Αποτέλεσμα Υποκατάστασης = Δx Δ h = ( 3) ( ) =. 8

Σχέσεις Ζήτησης Μεταξύ των Αγαθών (Υποκατάστατα και Συμπληρωματικά Αγαθά) - Εξετάζουμε τις επιπτώσεις από μια μεταβολή της τιμής του αγαθού ( p ) στη ζητούμενη ποσότητα του αγαθού ( x ): x ( pm, )/ p - Αναλύουμε αυτή τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη εξίσωση του Slutsky: x( pm, ) h( pu, ) x( pm, ) = x ( p, M) p p M - Οόρος h( p, u)/ p παριστάνει το (σταυροειδές) αποτέλεσμα υποκατάστασης. - Ο όρος x (, ) [ (, )/ ] παριστάνει το (σταυροειδές) pm x pm M αποτέλεσμα εισοδήματος. 9

Κατεύθυνση (Σταυροειδών) Αποτελεσμάτων Υποκατάστασης και Εισοδήματος ( Ι ) Κατεύθυνση (Σταυροειδούς) Αποτελέσματος Υποκατάστασης - Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη, τότε το (σταυροειδές) αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι θετικό: h( p, u)/ p 0,, =,..., n. - Ανητιμήτουαγαθού αυξηθεί, τότε ο καταναλωτής υποκαθιστά το αγαθό με το σχετικά φθηνότερο αγαθό, δηλαδή η ζητούμενη ποσότητα h αυξάνεται. (II) Κατεύθυνση (Σταυροειδούς) Αποτελέσματος Εισοδήματος () Αν το αγαθό είναι κανονικό, τότε το σταυροειδές αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρνητικό: x ( p, M) [ x ( p, M)/ M] < 0 ( + ) 0

- Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος λειτουργούν προς αντίθετες κατευθύνσεις (το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι θετικό, ενώ το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρνητικό). x( p, M) h( p, u) x( p, M) = x ( p, M) > 0 p p M < ( + ) ( ) - Συμπέρασμα: Αν το αγαθό είναι κανονικό, τότε η επίπτωση από μια μείωση (ήαύξηση) της τιμής p στη ζητούμενη ποσότητα x είναι αμφίβολη. () Αν το αγαθό είναι κατώτερο, τότε το σταυροειδές αποτέλεσμα εισοδήματος είναι θετικό: x ( p, M) [ x ( p, M)/ M] > 0 ( )

- Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος λειτουργούν προς την ίδια κατεύθυνση (είναι και τα δύο θετικά). x( p, M) h( p, u) x( p, M) = x ( p, M) > 0 p p M ( + ) ( + ) - Συμπέρασμα: Αν το αγαθό είναι κατώτερο, τότε η αύξηση (μείωση) της τιμής p οδηγεί σίγουρα σε αύξηση (μείωση) της ζητούμενης ποσότητας x. Υποκατάστατα και Συμπληρωματικά Αγαθά Ορισμός () Δύο αγαθά, ονομάζονται ακαθάριστα υποκατάστατα αν: x ( p, M)/ p > 0 - Ηαύξηση(μείωση) της τιμής του αγαθού αυξάνει (μειώνει) τη ζητούμενη ποσότητα του αγαθού.

() Δύο αγαθά, ονομάζονται ακαθάριστα συμπληρωματικά αν: x ( p, M)/ p < 0 - Ηαύξηση(μείωση) της τιμής του αγαθού μειώνει (αυξάνει) τη ζητούμενη ποσότητα του αγαθού. - Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x) xx α β =, αβ, > 0, α+ β= Γνωρίζουμε: x( p, M) = αm / P (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης) x ( p, M) = β M / P (, ) / α β / ( ) ( ) β ( α β) ( ) α ( β α) ( ) V p M = a p p M h( p, u) = / p / p u h ( p, u) = / p / p u β α β (Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας) (Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης) 3

- Η συνολική επίπτωση από μια μεταβολή της τιμής p στη ζητούμενη ποσότητα x είναι: x ( p, M) / p = 0 () Δηλαδή, τα αγαθά, δεν είναι ακαθάριστα υποκατάστατα ούτε συμπληρωματικά. - Αναλύουμε τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους σταυροειδή αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος (χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη εξίσωση του Slutsky). - Αποτέλεσμα Υποκατάστασης: h( p, u) / p = α β p p u (3) (4) β α β α α ( ) ( β ) Θέτουμε: u = V( p, M) = a/ p / p M (4) Άρα: (3) h( p, u) / p = αβ M / pp (5) -Αποτέλεσμα Εισοδήματος: x ( p, M) [ x ( p, M) / M] = αβ M / p p (6) β 4

- Αθροίζουμε τα σταυροειδή αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος για να πάρουμε τη συνολική επίπτωση από τη μεταβολή της τιμής: x ( p, M) h( p, u) x ( p, M) = x ( p, M) = p p M αβ M αβ M = = pp pp (5) (6) 0, πράγματι (όπως βρήκαμε και στην ()). - Άρα: Για τη συνάρτηση Cobb-Douglas, τα σταυροειδή αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος αλληλοεξουδετερώνονται. => Η συνολική (ακαθάριστη) επίπτωση από μια μεταβολή της p στη ζητούμενη ποσότητα x είναι μηδενική. 5

- Ο ορισμός των ακαθάριστων υποκατάστατων και συμπληρωματικών αγαθών έχει το μειονέκτημα της ασυμμετρίας. - Είναι δυνατό να ισχύει x( p, M)/ p > 0 και, ταυτόχρονα, να ισχύει x ( p, M)/ p < 0 (ή x ( p, M)/ p = 0) Ασαφής σχέση μεταξύ των αγαθών,. - Παράδειγμα. Έστω η οιονεί γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας: ux (, x) = lnx+ x - Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι: M (,0), αν M p p ( x, x ) = p M p (, ), αν M p p p 6

x - Για M p, είναι: > 0 και = 0 p p => Ασαφής σχέση μεταξύ των αγαθών,. Ορισμός () Δύο αγαθά, ονομάζονται καθαρά (ήκατάhcks) υποκατάστατα αν: h( p, u)/ p > 0 - Παρατήρηση: Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη, τότε τα αγαθά, είναι καθαρά υποκατάστατα. () Δύο αγαθά, ονομάζονται καθαρά συμπληρωματικά αν: h( p, u)/ p < 0 - Πρόταση:(Συμμετρία Σταυροειδών Αποτελεσμάτων Υποκατάστασης ή ος Νόμος του Hcks). Για δύο οποιαδήποτε αγαθά, ισχύει: h(, ) h ( p, u) p u = p p x 7

- Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x) xx α β =, αβ, > 0, α+ β=. Έχουμε ήδη βρει: β ( α β) ( ) h( p, u) = / p / p u α ( β α) ( ) h ( p, u) = / p / p u β α (Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης) h h = α β p p u = > p β α β α p 0. Δηλαδή: - Τα αγαθά, είναι καθαρά υποκατάστατα. - Τα σταυροειδή αποτελέσματα υποκατάστασης είναι συμμετρικά. 8

- 3 ος Νόμος του Hcks: Τα περισσότερα αγαθά πρέπει να είναι καθαρά υποκατάστατα. - Απόδειξη: Γνωρίζουμε ότι η αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης είναι ομογενής μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές. => Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Euler στη συνάρτηση h (p,u): h( p, u) h( p, u) h( p, u) p +... + p +... + pn = 0 (7) p p p Από τον ο Νόμο του Hcks, έχουμε: h ( p, u) 0 (8) p h ( p, u) Από (7), (8) p 0 p - Δηλαδή: Το σταθμισμένο άθροισμα των σταυροειδών αποτελεσμάτων υποκατάστασης πρέπει να είναι θετικό για κάθε αγαθό. n 9