Μεγιστοποίηση του Κέρδους

Transcript

1 Μεγιστοποίηση του Κέρδους - Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q = f ( x,..., x ). - Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος είναι και οι τιμές των εισροών είναι w= ( w,..., w ). - Υπόθεση: Η επιχείρηση είναι αποδέκτης τιμών (rce-taker) σε όλες τις αγορές, δηλαδή δεν μπορεί να επηρεάσει τις τιμές (,w ). Η αγορά του προϊόντος και οι αγορές των εισροών είναι ανταγωνιστικές => Η επιχείρηση λαμβάνει τις αποφάσεις της θεωρώντας δεδομένες όλες τις τιμές. - Ορισμός: Τα (οικονομικά) κέρδη (Π) της επιχείρησης είναι η διαφοράανάμεσαστασυνολικάέσοδα(r) και το συνολικό (οικονομικό) κόστος (C) της επιχείρησης: Π= R C = q wx... wx όπου: q= f( x,..., x )

2 - Ορισμός: Το οικονομικό κόστος (w ) ή κόστος ευκαιρίας της εισροής είναι η αμοιβή που θα εισέπραττε αυτή η εισροή στην καλύτερη εναλλακτική χρήση της (δηλαδή η πληρωμή που απαιτείται για να παραμείνει η εισροή στην παρούσα απασχόλησή της). Το οικονομικό κόστος της εργασίας για την επιχείρηση είναι το ωρομίσθιο που επικρατεί στην αγορά (δηλαδή η αμοιβή που θα εισέπραττε ο εργάτης στην καλύτερη εναλλακτική απασχόλησή του). Το οικονομικό κόστος του κεφαλαίου για την επιχείρηση είναι το κόστος ενοικίασης του κεφαλαιουχικού εξοπλισμού στην καλύτερη εναλλακτική χρήση του (δηλαδή η αμοιβή που θα εισέπραττε η επιχείρηση αν ενοικίαζε τον εξοπλισμό σε κάποιον άλλον αντί να τον χρησιμοποιεί η ίδια στην παραγωγή). Το οικονομικό κόστος των επιχειρηματικών υπηρεσιών είναι το κόστος ευκαιρίας του επιχειρηματία/ιδιοκτήτη που προσφέρει χρόνο εργασίας ή επενδύει κεφάλαιο στην επιχείρηση.

3 -Υπόθεση: Η επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα εισροών (x,,x ) που απασχολεί και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (q) με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους της. Θεωρητική θεμελίωση της υπόθεσης μεγιστοποίησης των κερδών - Οι στόχοι της επιχείρησης πρέπει να απορρέουν από τους σκοπούς των ατόμων που κατέχουν και ελέγχουν την επιχείρηση (δηλαδή από τους σκοπούς των ιδιοκτητών της). - Τα άτομα-ιδιοκτήτες της επιχείρησης είναι, επίσης, καταναλωτές αγαθών και υπηρεσιών. - Αν ο καταναλωτής j κατέχει ποσοστό θ j της επιχείρησης, τότε δικαιούται ένα ποσοστό θ j των συνολικών κερδών (Π). => Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τον καταναλωτή j γράφεται: max uj( x,..., x) { x,..., x } (όπου m j : το εισόδημα από άλλες st.. x x M = m + θ Π πηγές εκτός των κερδών) j j j

4 -H αύξηση των κερδών αυξάνει το συνολικό εισόδημα του καταναλωτή j και, επομένως, διευρύνει το σύνολο των εφικτών καταναλωτικών συνδυασμών. Το άτομο μπορεί να επιλέξει έναν καταναλωτικό συνδυασμό που αποφέρει υψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας. - Άρα: Οι καταναλωτές-ιδιοκτήτες της επιχείρησης προτιμούν ομόφωνα εκείνο το σχέδιο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη. => Οι διευθυντές της επιχείρησης λαμβάνουν τις αποφάσεις τους με στόχο τη μεγιστοποίηση των κερδών (υπό την πρόσθετη υπόθεση ότι οι ιδιοκτήτες της επιχείρησης μπορούν να ελέγχουν τους διευθυντές). 4

5 Μαθηματική Διατύπωση του Προβλήματος Μεγιστοποίησης των Κερδών (PMP) - Η επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα των εισροών (x,,x ) και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (q) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον περιορισμό της τεχνολογίας, θεωρώντας δεδομένες τις τιμές (,w): max Π = q wx... w x { x,..., x, q} st.. q= f( x,..., x ) x,..., x, q 0 Τεχνολογικός Περιορισμός (Συνάρτηση Παραγωγής) - Γράφουμε το πρόβλημα ως εξής: Πρόβλημα Μεγιστοποίησης του Κέρδους max Π = f( x,..., x ) wx... w x { x,..., x } st. x,..., x 0 (PMP) 5

6 FOCs : Π f Π = w 0, x = 0 x x x Π f Π = w 0, x = 0 x x x - Υπόθεση: x,..., x 0 >. Τότε: Π f f x > 0 = w = 0 = w x x x Π f f x > 0 = w = 0 = w x x x f = w, =,.... () x 6

7 - Δηλαδή: Γιαναμεγιστοποιήσειτακέρδητης, η επιχείρηση συνεχίζει να προσλαμβάνει μονάδες της εισροής μέχρι το σημείο όπου το οριακό έσοδο από την πρόσληψη μιας πρόσθετης μονάδας x ( MP Margal Reveue Product ή έσοδο του οριακού = MRP : προϊόντος) γίνεται ίσομετοοριακόκόστος(δηλαδή με την τιμή w της εισροής ). - Επίσης, για να μεγιστοποιούνται τα κέρδη θα πρέπει να ισχύει για δύο οποιεσδήποτε εισροές, j: f = w x w f / x = = MRTS ( x για x j),, j =,..., () f wj f / xj = wj x j - Δηλαδή: Για να μεγιστοποιούνται τα κέρδη, ο τεχνικός λόγος υποκατάστασης (MRTS) μεταξύ δύο οποιωνδήποτε εισροών πρέπει να είναι ίσος με το λόγο των τιμών (w /w j ) αυτών των δύο εισροών στην αγορά.

8 Διαγραμματική Λύση του Προβλήματος Μεγιστοποίησης των Κερδών ( με = εισροή) q q* Π / Π / Π 0 / Γ Β Α Π Π = + : w q x Y = {( x, q) : q f( x)} x* : Π w Π q= + x : Π0 w Π 0 q= + x q = f(x) x - Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον περιορισμό της τεχνολογίας. - Κάθε γραμμή ίσου κέρδους Π 0, Π, Π παριστάνει όλους τους διαφορετικούς συνδυασμούς x και q που αποφέρουν το ίδιο επίπεδο 8 κερδών στην επιχείρηση.

9 -To σημείο Α είναι εφικτό αλλά δε μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης (δηλαδή το επίπεδο κερδών Π 0 δεν είναι το μέγιστο που μπορεί να πετύχει η επιχείρηση). - Το σημείο Γ δεν είναι εφικτό, διότιβρίσκεταιεκτόςτουεφικτού συνόλου παραγωγής (δηλαδή το επίπεδο κερδών Π δεν μπορεί να επιτευχθεί). - Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη επιλέγοντας το σημείο Β(x*,q*), όπου το επίπεδο των κερδών είναι Π. -To σημείο μεγιστοποίησης των κερδών (σημείο Β) είναι το σημείο επαφής μεταξύ της συνάρτησης παραγωγής και της γραμμής ίσου κέρδους Π. => ΣτοσημείοΒ, ισχύει: Κλίση συνάρτησης παραγωγής (= f (x)=mp) = κλίση γραμμής ίσου κέρδους ( = w/) MP = w (ίδιο συμπέρασμα με τη μαθηματική παρουσίαση) 9

10 Συνθήκες ης τάξης (Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης) - Αν η συνάρτηση παραγωγής f(x,,x ) είναι κοίλη, τότε η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος PMP είναι επίσης κοίλη και, επομένως, κάθε λύση των FOCs αποτελεί ολικό μέγιστο. Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών, Συνάρτηση Προσφοράς και Συνάρτηση Κερδών - Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών (PMP) και βρίσκουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες εισροών x *,..., * : x x = x (, w,..., w ) * x = x (, w,..., w ) * x = x (, w,..., w ) * Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών 0

11 - Κάθε συνάρτηση ζήτησης εισροών x( w,,..., w) δείχνει τη ζητούμενη ποσότητα της εισροής ως συνάρτηση των τιμών του προϊόντος και των παραγωγικών συντελεστών. - Οι συναρτήσεις ζήτησης εισροών είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές του προϊόντος και των εισροών: x ( t, tw,..., tw ) = x (, w,..., w ), t > 0, =,...,. - Αν αντικαταστήσουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες εισροών * * x,..., x στη συνάρτηση παραγωγής f(x,,x ), παίρνουμε τη συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης: * * q = f( x,..., x ) = f[ x,..., x ] - Η συνάρτηση προσφοράς δείχνει την άριστη παραγόμενη ποσότητα προϊόντος ως συνάρτηση των τιμών του προϊόντος και των παραγωγικών συντελεστών. - Η συνάρτηση προσφοράς είναι ομογενής μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές του προϊόντος και των εισροών: qttw (,,..., tw) = q( w,,..., w), t> 0

12 - Αν αντικαταστήσουμε τις συναρτήσεις ζήτησης εισροών x (,w),,x (,w) και τη συνάρτηση προσφοράς q(,w) στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος, παίρνουμε τη συνάρτηση κερδών της επιχείρησης: π = q wx... w x - Η συνάρτηση κερδών δείχνει τα μέγιστα κέρδη της επιχείρησης ως συνάρτηση των τιμών του προϊόντος και των παραγωγικών συντελεστών. Ιδιότητες Συνάρτησης Κερδών () Η συνάρτησηδαπανώνπ(,w) είναι αύξουσα (μη φθίνουσα) ως προς την τιμή του προϊόντος: π ( w, )/ 0 () Η συνάρτηση κερδών π(, w) είναι φθίνουσα (μη αύξουσα) ως προς τις τιμές των εισροών: π ( w, )/ w 0

13 (3) Η συνάρτηση κερδών π(,w) είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς τις τιμές του προϊόντος και των εισροών: π ( t, tw,..., tw ) = t π (, w,..., w ), t > 0 (4) Η συνάρτηση κερδών π(,w) είναι κυρτή ως προς τις τιμές του προϊόντος και των εισροών. Παρατήρηση: Αφού η συνάρτηση κερδών είναι κυρτή, η Εσσιανή μήτρα: H π π π... w w π π π... w w w w = π π π... w w w w είναι θετικά ημιορισμένη. Επομένως, τα διαγώνια στοιχεία της είναι θετικά: π π π 0, 0,..., 0 w w 3

14 Εφαρμογές του Θεωρήματος Περιβάλλουσας Καμπύλης στη Θεωρία της Προσφοράς Το Λήμμα του Hotellg (Άμεση Εξαγωγή της Συνάρτησης Προσφοράς και των Συναρτήσεων Ζήτησης Εισροών από τη Συνάρτηση Κερδών) - Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών γράφεται ως εξής: max Π = f( x,..., x ) wx... w x { x,..., x } st.. x,..., x 0 - Η λύση του προβλήματος είναι: * x = x * x (, ) = x w 4

15 - Η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι: π = Π[ x,..., x ] π ( w, ) Π () = / x = x = f[ x,..., x ] = q q = π ( w, ) - Εφαρμόζουμε το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Καμπύλης: (Εξαγωγή της Συνάρτησης Προσφοράς από τη Συνάρτηση Κερδών) π ( w, ) Π () = / x = x = x ( w, ) w w π ( w, ) x =, =,..., w (Εξαγωγή των Συναρτήσεων Ζήτησης Εισροών από τη Συνάρτηση Κερδών) 5

16 Επιπτώσεις από Μεταβολές των Τιμών στην Παραγόμενη Ποσότητα Προϊόντος και στη Ζητούμενη Ποσότητα Εισροών () Ο Νόμος της Προσφοράς () Η αύξηση της τιμής του προϊόντος οδηγεί σε αύξηση της παραγόμενης ποσότητας εκ μέρους της επιχείρησης: q 0 - Απόδειξη: Από το Λήμμα του Hotellg, γνωρίζουμε: π( w, ) qw (, ) π( w, ) q = = 0 () Η αύξηση της τιμής της εισροής οδηγεί σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας αυτής της εισροής: x w 0 6

17 - Απόδειξη: Από το Λήμμα του Hotellg, γνωρίζουμε: π x x = = 0 ( w, ) π( w, ) w w w () Συμμετρία Σταυροειδών Επιπτώσεων από Μεταβολές των Τιμών () () q x =, =,..., w x (, ) (, ) w xj w =,, j =,..., w w j - Απόδειξη: () Από το Λήμμα του Hotellg, γνωρίζουμε: q π = = w w ( w, ) qw (, ) π( w, ) π w x π w x = = w w (, ) (, ) q x ( w, ) = w 7

18 () ΑπότοΛήμματουHotellg, γνωρίζουμε: π w x π w x = = w w w w x j (, ) (, ) j j π w x π w = = w w w w (, ) j (, ) j j x (, ) x j ( w, ) w = w w j - Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q= f( x, x ) = x x / /4 (Cobb-Douglas με α=/, β=/4 => α+β=3/4< : DRS) -Toπρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών της επιχείρησης είναι: max { x, x, q} Π = q wx w x st.. q= f( x, x ) = x x x, x, q 0 / /4 8

19 - Γράφουμε το πρόβλημα ως εξής: max Π= f( x, x ) wx w x = x x wx w x { x, x } st.. x, x 0 - Η λύση του προβλήματος είναι: x x = 3 3ww = 64ww 4 4 / /4 (Συναρτήσεις Ζήτησης Εισροών) - Επαληθεύουμε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης εισροών είναι ομογενείς μηδενικούβαθμούωςπροςόλεςτιςτιμές: 4 4 ( t) x( t, tw) = = = x 3 3 3( tw ) ( tw ) 3w w 4 4 ( t) x ( t, tw) = = = x 64( tw) ( tw) 64ww (PMP) 9

20 - Αντικαθιστούμε τις x (,w) και x (,w) στη συνάρτηση παραγωγής και παίρνουμε τη συνάρτηση προσφοράς: 3 q = (Συνάρτηση Προσφοράς) 6ww - Επαληθεύουμε ότι η συνάρτηση προσφοράς είναι ομογενής μηδενικούβαθμούωςπροςόλεςτιςτιμές: 3 3 ( t) qttw (, ) = = = q( w, ) 6( tw ) ( tw ) 6w w - Αντικαθιστούμε τις x (,w), x (,w), q(w,) στην αντικειμενική συνάρτηση του PMP και παίρνουμε τη συνάρτηση κερδών: π = q wx w x 4 π ( w, ) = (Συνάρτηση Κερδών) 64ww - Επαληθεύουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης κερδών: 0

21 π ( w, ) () > 0 : π ( w, ) αύξουσα ως προς. π( w, ) π( w, ) () < 0, < 0 : π ( w, ) φθίνουσα ως προς w, w. w w 4 ( t) (3) π( t, tw) = = t π : π ομογενής ου βαθμού 64( tw ) ( tw ) ως προς όλες τις τιμές. (4) H π ( w, ) είναι κυρτή ως προς όλες τις τιμές (όπως μπορεί να δειχτεί χρησιμοποιώντας το κριτήριο της Εσσιανής μήτρας). - Επαληθεύουμε ότι ισχύει το Λήμμα του Hotellg: 3 π ( w, ) () q = =, πράγματι. 6w w 4 π ( w, ) () x = =, πράγματι. 3 w 3ww

22 x 4 π ( w, ) = =, πράγματι. w 64ww - Επαληθεύουμε ότι ισχύει o νόμος της προσφοράς: q () > 0 x x () < 0, < 0 w w - Επαληθεύουμε τη συμμετρία των σταυροειδών επιπτώσεων από μεταβολές των τιμών: () () q x w w w 3 = = 3 8 q x w w w 3 = = 6 x x 4 = = 3 w w 3ww