Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1) onde v e v - velocidade da partícula no referencial K e K, V - velocidade do referencial K em relação a K....:: Solução ::... d 3 p p 0 d 4 pδ(p m )Θ(p 0 ) onde p p µ p µ p 0 p e p 0 E ± p + m () função de Heaviside: Θ(α) { 1, se α > 0 0, se α < 0 (3) d 4 pδ(p m )Θ(p 0 ) d 4 pδ(p 0 p m )Θ(p 0 ) [ d 4 pδ p 0 (p + m ) Θ(p 0 ) d 4 pδ(p 0 E )Θ(p 0 ) (4) propriedade da função delta: δ(x a ) 1 [ δ(x + a) + δ(x a) a (5) das eqs.(3), (4) e (5) d 4 pδ(p 0 E )Θ(p 0 ) [ δ(p 0 + E) + δ(p 0 E) Θ(p 0 ) d 4 p E d 4 p E δ(p 0 + E)Θ(p 0 ) }{{} Θ(p 0 )0 d 4 p + E δ(p 0 E)Θ(p 0 ) pois p 0 E (E > 0 é positivo definido, partícula livre) d 3 p d 3 E dp p 0 δ(p 0 E)Θ(p 0 ) (6) }{{} p 0 Θ(p 0 )1 pois p 0 E johny@johnycarvalho.com 1
. - Demonstrar a relação v (v + V) 1 c (v V) 1 + (v V) c...:: Solução ::... Suponha um sistema K que se move em relação ao sistema K com velocidade V ao longo do eixo x. Transformções de Lorentz, x γ(x + V t ) dx γ(dx + V dt ), (8) y y dy dy, (9) z z dz dz, (10) t γ(t + V/c x ) dt γ(dt + V/c dx ). (11) onde V (V x, 0, 0) é velocidade do sistema K em relação ao sistema K Dividindo as eqs, (8),(9) e (10) pela eq. (11) temos, v dr, velocidade da partícula no sistema K (1) dt v dr dt, velocidade da partícula no sistema K (13) (7) (14) cuja as componentes são, v x v x + V x 1 + v xv x c v y v y 1 V x c 1 + v xv x c v z v z 1 V x c 1 + v xv x c (15) fazendo: γ 1 1 V x c e a 1 1 + v xv x c 1 1 + v V c (16)
calculando o módulo de v, v v vx + vy + vz a (v x + V x ) + a (γ 1 v y) + a (γ 1 v z) a v x + Vx + v xv x + γ (v y + v z ) a v x + Vx + v xv x + (1 V x c )(v y + v z ) a v x + v y + v z + Vx + v xv x V x c (v y + v a v + V + v V 1 c (v V) (v + V) 1 c (v V) 1 + v V c z ) (17).3 - Sejam os tensores simétricos S µν e antisimétrico F µν. Obtenha as regras de transformação para as componentes destes tensores com as transformações de Lorentz no plano (t, x)....:: Solução ::... t γ βγ 0 0 t x y βγ γ 0 0 x 0 0 1 0 y z 0 0 0 1 z Para o tensor simétrico S µν, e t γ βγ 0 0 t x y βγ γ 0 0 x 0 0 1 0 y (18) z 0 0 0 1 z S µν Λ α µλ β ν S αβ (19) Λ 0 µλ 0 νs 00 + Λ 0 µλ 1 νs 01 + Λ 0 µλ νs 0 + Λ 0 µλ 3 νs 03 + Λ 1 µλ 0 νs 10 + Λ 1 µλ 1 νs 11 + Λ 1 µλ νs 1 + Λ 1 µλ 3 νs 13 + Λ µλ 0 νs 0 + Λ µλ 1 νs 1 + Λ µλ νs + Λ µλ 3 νs 3 + Λ 3 µλ 0 νs 30 + Λ 3 µλ 1 νs 31 + Λ 3 µλ νs 3 + Λ 3 µλ 3 νs 33 fixando µ 0 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 S 00 Λ 0 0Λ 0 0S 00 + Λ 0 0Λ 1 0S 01 + Λ 0 0Λ 0S 0 + Λ 0 0Λ 3 0S 03 + Λ 1 0Λ 0 0S 10 + Λ 1 0Λ 1 0S 11 + Λ 1 0Λ 0S 1 + Λ 1 0Λ 3 0S 13 + Λ 0Λ 0 0S 0 + Λ 0Λ 1 0S 1 + Λ 0Λ 0S + Λ 0Λ 3 0S 3 + Λ 3 0Λ 0 0S 30 + Λ 3 0Λ 1 0S 31 + Λ 3 0Λ 0S 3 + Λ 3 0Λ 3 0S 33 Λ 0 0Λ 0 0S 00 + Λ 0 0Λ 1 0S 01 + Λ 1 0Λ 0 0S 10 + Λ 1 0Λ 1 0S 11 [ 1 S 00 γ β β S 00 + S 01 + βs 11 (0) 3
S 01 Λ 0 0Λ 0 1S 00 + Λ 0 0Λ 1 1S 01 + Λ 0 0Λ 1S 0 + Λ 0 0Λ 3 1S 03 + Λ 1 0Λ 0 1S 10 + Λ 1 0Λ 1 1S 11 + Λ 1 0Λ 1S 1 + Λ 1 0Λ 3 1S 13 + Λ 0Λ 0 1S 0 + Λ 0Λ 1 1S 1 + Λ 0Λ 1S + Λ 0Λ 3 1S 3 + Λ 3 0Λ 0 1S 30 + Λ 3 0Λ 1 1S 31 + Λ 3 0Λ 1S 3 + Λ 3 0Λ 3 1S 33 Λ 0 0Λ 0 1S 00 + Λ 0 0Λ 1 1S 01 + Λ 1 0Λ 0 1S 10 + Λ 1 0Λ 1 1S 11 S 01 γ β [S 00 + (1 + β)s 01 + S 11 (1) para ν S 0 Λ 0 0Λ 0 S 00 + Λ 0 0Λ 1 S 01 + Λ 0 0Λ S 0 + Λ 0 0Λ 3 S 03 + Λ 1 0Λ 0 S 10 + Λ 1 0Λ 1 S 11 + Λ 1 0Λ S 1 + Λ 1 0Λ 3 S 13 + Λ 0Λ 0 S 0 + Λ 0Λ 1 S 1 + Λ 0Λ S + Λ 0Λ 3 S 3 + Λ 3 0Λ 0 S 30 + Λ 3 0Λ 1 S 31 + Λ 3 0Λ S 3 + Λ 3 0Λ 3 S 33 Λ 0 0Λ S 0 + Λ 1 0Λ S 1 S 0 γ [S 0 + βs 1 () para ν 3 S 03 Λ 0 0Λ 0 3S 00 + Λ 0 0Λ 1 3S 01 + Λ 0 0Λ 3S 0 + Λ 0 0Λ 3 3S 03 + Λ 1 0Λ 0 3S 10 + Λ 1 0Λ 1 3S 11 + Λ 1 0Λ 3S 1 + Λ 1 0Λ 3 3S 13 + Λ 0Λ 0 3S 0 + Λ 0Λ 1 3S 1 + Λ 0Λ 3S + Λ 0Λ 3 3S 3 + Λ 3 0Λ 0 3S 30 + Λ 3 0Λ 1 3S 31 + Λ 3 0Λ 3S 3 + Λ 3 0Λ 3 3S 33 Λ 0 0Λ 3 3S 03 + Λ 1 0Λ 3 3S 13 S 03 γ [S 03 + βs 13 (3) fixando µ 1 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 S 10 S 01 γ β [S 00 + (1 + β)s 01 + S 11 S 11 Λ 0 1Λ 0 1S 00 + Λ 0 1Λ 1 1S 01 + Λ 0 1Λ 1S 0 + Λ 0 1Λ 3 1S 03 + Λ 1 1Λ 0 1S 10 + Λ 1 1Λ 1 1S 11 + Λ 1 1Λ 1S 1 + Λ 1 1Λ 3 1S 13 + Λ 1Λ 0 1S 0 + Λ 1Λ 1 1S 1 + Λ 1Λ 1S + Λ 1Λ 3 1S 3 + Λ 3 1Λ 0 1S 30 + Λ 3 1Λ 1 1S 31 + Λ 3 1Λ 1S 3 + Λ 3 1Λ 3 1S 33 Λ 0 1Λ 0 1S 00 + Λ 0 1Λ 1 1S 01 + Λ 1 1Λ 0 1S 10 + Λ 1 1Λ 1 1S 11 S 11 γ β [S 00 βs 01 + 1 β S 11 (4) para ν S 1 Λ 0 1Λ 0 S 00 + Λ 0 1Λ 1 S 01 + Λ 0 1Λ S 0 + Λ 0 1Λ 3 S 03 + Λ 1 1Λ 0 S 10 + Λ 1 1Λ 1 S 11 + Λ 1 1Λ S 1 + Λ 1 1Λ 3 S 13 + Λ 1Λ 0 S 0 + Λ 1Λ 1 S 1 + Λ 1Λ S + Λ 1Λ 3 S 3 + Λ 3 1Λ 0 S 30 + Λ 3 1Λ 1 S 31 + Λ 3 1Λ S 3 + Λ 3 1Λ 3 S 33 Λ 0 1Λ S 0 + Λ 1 1Λ S 1 S 1 γ S 1 γs 0 4
para ν 3 S 13 Λ 0 1Λ 0 3S 00 + Λ 0 1Λ 1 3S 01 + Λ 0 1Λ 3S 0 + Λ 0 1Λ 3 3S 03 + Λ 1 1Λ 0 3S 10 + Λ 1 1Λ 1 3S 11 + Λ 1 1Λ 3S 1 + Λ 1 1Λ 3 3S 13 + Λ 1Λ 0 3S 0 + Λ 1Λ 1 3S 1 + Λ 1Λ 3S + Λ 1Λ 3 3S 3 + Λ 3 1Λ 0 3S 30 + Λ 3 1Λ 1 3S 31 + Λ 3 1Λ 3S 3 + Λ 3 1Λ 3 3S 33 Λ 0 1Λ 3 3S 03 + Λ 1 1Λ 3 3S 13 S 13 γs 13 γ βs 03 fixando µ e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 S 0 S 0 γ [S 0 + βs 1 (5) S 1 S 1 γ S 1 γs 0 para ν S Λ 0 Λ 0 S 00 + Λ 0 Λ 1 S 01 + Λ 0 Λ S 0 + Λ 0 Λ 3 S 03 + Λ 1 Λ 0 S 10 + Λ 1 Λ 1 S 11 + Λ 1 Λ S 1 + Λ 1 Λ 3 S 13 + Λ Λ 0 S 0 + Λ Λ 1 S 1 + Λ Λ S + Λ Λ 3 S 3 + Λ 3 Λ 0 S 30 + Λ 3 Λ 1 S 31 + Λ 3 Λ S 3 + Λ 3 Λ 3 S 33 Λ Λ S S S para ν 3 S 3 Λ 0 Λ 0 3S 00 + Λ 0 Λ 1 3S 01 + Λ 0 Λ 3S 0 + Λ 0 Λ 3 3S 03 + Λ 1 Λ 0 3S 10 + Λ 1 Λ 1 3S 11 + Λ 1 Λ 3S 1 + Λ 1 Λ 3 3S 13 + Λ Λ 0 3S 0 + Λ Λ 1 3S 1 + Λ Λ 3S + Λ Λ 3 3S 3 + Λ 3 Λ 0 3S 30 + Λ 3 Λ 1 3S 31 + Λ 3 Λ 3S 3 + Λ 3 Λ 3 3S 33 Λ Λ 3 3S 3 S 3 S 3 fixando µ 3 e fazendo variar ν 0,..., 3 S 30 S 03 γ [S 03 + βs 13 (6) S 31 S 13 γs 13 γ βs 03 para ν S 3 S 3 S 3 5
para ν 3 S 33 Λ 0 3Λ 0 3S 00 + Λ 0 3Λ 1 3S 01 + Λ 0 3Λ 3S 0 + Λ 0 3Λ 3 3S 03 + Λ 1 3Λ 0 3S 10 + Λ 1 3Λ 1 3S 11 + Λ 1 3Λ 3S 1 + Λ 1 3Λ 3 3S 13 + Λ 3Λ 0 3S 0 + Λ 3Λ 1 3S 1 + Λ 3Λ 3S + Λ 3Λ 3 3S 3 + Λ 3 3Λ 0 3S 30 + Λ 3 3Λ 1 3S 31 + Λ 3 3Λ 3S 3 + Λ 3 3Λ 3 3S 33 Λ 3 3Λ 3 3S 33 S 33 S 33 Para o tensor antisimétrico F µν, F µν Λ α µλ β ν F αβ (7) fixando µ 0 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 para ν F 00 Λ 0 0Λ 0 0F 00 + Λ 0 0Λ 1 0F 01 + Λ 0 0Λ 0F 0 + Λ 0 0Λ 3 0F 03 + Λ 1 0Λ 0 0F 10 + Λ 1 0Λ 1 0F 11 + Λ 1 0Λ 0F 1 + Λ 1 0Λ 3 0F 13 + Λ 0Λ 0 0F 0 + Λ 0Λ 1 0F 1 + Λ 0Λ 0F + Λ 0Λ 3 0F 3 + Λ 3 0Λ 0 0F 30 + Λ 3 0Λ 1 0F 31 + Λ 3 0Λ 0F 3 + Λ 3 0Λ 3 0F 33 Λ 0 0Λ 0 0F 00 + Λ 0 0Λ 1 0F 01 + Λ 1 0Λ 0 0F 10 + Λ 1 0Λ 1 0F 11 F 00 0 (8) F 01 Λ 0 0Λ 0 1F 00 + Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 0 0Λ 1F 0 + Λ 0 0Λ 3 1F 03 + Λ 1 0Λ 0 1F 10 + Λ 1 0Λ 1 1F 11 + Λ 1 0Λ 1F 1 + Λ 1 0Λ 3 1F 13 + Λ 0Λ 0 1F 0 + Λ 0Λ 1 1F 1 + Λ 0Λ 1F + Λ 0Λ 3 1F 3 + Λ 3 0Λ 0 1F 30 + Λ 3 0Λ 1 1F 31 + Λ 3 0Λ 1F 3 + Λ 3 0Λ 3 1F 33 Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 1 0Λ 0 1F 10 F 01 γ [ 1 β F 01 (9) F 0 Λ 0 0Λ 0 F 00 + Λ 0 0Λ 1 F 01 + Λ 0 0Λ F 0 + Λ 0 0Λ 3 F 03 + Λ 1 0Λ 0 F 10 + Λ 1 0Λ 1 F 11 + Λ 1 0Λ F 1 + Λ 1 0Λ 3 F 13 + Λ 0Λ 0 F 0 + Λ 0Λ 1 F 1 + Λ 0Λ F + Λ 0Λ 3 F 3 + Λ 3 0Λ 0 F 30 + Λ 3 0Λ 1 F 31 + Λ 3 0Λ F 3 + Λ 3 0Λ 3 F 33 Λ 0 0Λ F 0 + Λ 1 0Λ F 1 F 0 γ [F 0 βf 1 (30) para ν 3 F 03 Λ 0 0Λ 0 3F 00 + Λ 0 0Λ 1 3F 01 + Λ 0 0Λ 3F 0 + Λ 0 0Λ 3 3F 03 + Λ 1 0Λ 0 3F 10 + Λ 1 0Λ 1 3F 11 + Λ 1 0Λ 3F 1 + Λ 1 0Λ 3 3F 13 + Λ 0Λ 0 3F 0 + Λ 0Λ 1 3F 1 + Λ 0Λ 3F + Λ 0Λ 3 3F 3 + Λ 3 0Λ 0 3F 30 + Λ 3 0Λ 1 3F 31 + Λ 3 0Λ 3F 3 + Λ 3 0Λ 3 3F 33 Λ 0 0Λ 3 3F 03 + Λ 1 0Λ 3 3F 13 F 03 γ [F 03 γβf 13 (31) 6
fixando µ 1 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 F 10 F 01 γ [β 1 F 01 F 11 Λ 0 1Λ 0 1F 00 + Λ 0 1Λ 1 1F 01 + Λ 0 1Λ 1F 0 + Λ 0 1Λ 3 1F 03 + Λ 1 1Λ 0 1F 10 + Λ 1 1Λ 1 1F 11 + Λ 1 1Λ 1F 1 + Λ 1 1Λ 3 1F 13 + Λ 1Λ 0 1F 0 + Λ 1Λ 1 1F 1 + Λ 1Λ 1F + Λ 1Λ 3 1F 3 + Λ 3 1Λ 0 1F 30 + Λ 3 1Λ 1 1F 31 + Λ 3 1Λ 1F 3 + Λ 3 1Λ 3 1F 33 Λ 0 1Λ 0 1F 00 + Λ 0 1Λ 1 1F 01 + Λ 1 1Λ 0 1F 10 + Λ 1 1Λ 1 1F 11 F 11 0 (3) para ν F 1 Λ 0 1Λ 0 F 00 + Λ 0 1Λ 1 F 01 + Λ 0 1Λ F 0 + Λ 0 1Λ 3 F 03 + Λ 1 1Λ 0 F 10 + Λ 1 1Λ 1 F 11 + Λ 1 1Λ F 1 + Λ 1 1Λ 3 F 13 + Λ 1Λ 0 F 0 + Λ 1Λ 1 F 1 + Λ 1Λ F + Λ 1Λ 3 F 3 + Λ 3 1Λ 0 F 30 + Λ 3 1Λ 1 F 31 + Λ 3 1Λ F 3 + Λ 3 1Λ 3 F 33 Λ 1 1Λ F 1 F 1 γf 1 (33) para ν 3 F 13 Λ 0 1Λ 0 3F 00 + Λ 0 1Λ 1 3F 01 + Λ 0 1Λ 3F 0 + Λ 0 1Λ 3 3F 03 + Λ 1 1Λ 0 3F 10 + Λ 1 1Λ 1 3F 11 + Λ 1 1Λ 3F 1 + Λ 1 1Λ 3 3F 13 + Λ 1Λ 0 3F 0 + Λ 1Λ 1 3F 1 + Λ 1Λ 3F + Λ 1Λ 3 3F 3 + Λ 3 1Λ 0 3F 30 + Λ 3 1Λ 1 3F 31 + Λ 3 1Λ 3F 3 + Λ 3 1Λ 3 3F 33 Λ 0 1Λ 3 3F 03 + Λ 1 1Λ 3 3F 13 F 13 γβf 03 + F 13 fixando µ e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 F 0 F 0 γ [βf 1 F 0 F 1 F 1 γf 1 para ν F Λ 0 Λ 0 1F 00 + Λ 0 Λ 1 1F 01 + Λ 0 Λ 1F 0 + Λ 0 Λ 3 1F 03 + Λ 1 Λ 0 1F 10 + Λ 1 Λ 1 1F 11 + Λ 1 Λ 1F 1 + Λ 1 Λ 3 1F 13 + Λ Λ 0 1F 0 + Λ Λ 1 1F 1 + Λ Λ 1F + Λ Λ 3 1F 3 + Λ 3 Λ 0 1F 30 + Λ 3 Λ 1 1F 31 + Λ 3 Λ 1F 3 + Λ 3 Λ 3 1F 33 F 0 (34) 7
para ν 3 F 3 Λ 0 Λ 0 3F 00 + Λ 0 Λ 1 3F 01 + Λ 0 Λ 3F 0 + Λ 0 Λ 3 3F 03 + Λ 1 Λ 0 3F 10 + Λ 1 Λ 1 3F 11 + Λ 1 Λ 3F 1 + Λ 1 Λ 3 3F 13 + Λ Λ 0 3F 0 + Λ Λ 1 3F 1 + Λ Λ 3F + Λ Λ 3 3F 3 + Λ 3 Λ 0 3F 30 + Λ 3 Λ 1 3F 31 + Λ 3 Λ 3F 3 + Λ 3 Λ 3 3F 33 Λ Λ 3 3F 3 F 3 F 3 (35) fixando µ 3 e fazendo variar ν 0,..., 3 para ν 0 F 30 F 03 γ [γβf 13 F 03 para ν F 31 F 13 γβf 03 F 13 para ν 3 F 3 F 3 F 3 F 3 Λ 0 3Λ 0 3F 00 + Λ 0 3Λ 1 3F 01 + Λ 0 3Λ 3F 0 + Λ 0 3Λ 3 3F 03 + Λ 1 3Λ 0 3F 10 + Λ 1 3Λ 1 3F 11 + Λ 1 3Λ 3F 1 + Λ 1 3Λ 3 3F 13 + Λ 3Λ 0 3F 0 + Λ 3Λ 1 3F 1 + Λ 3Λ 3F + Λ 3Λ 3 3F 3 + Λ 3 3Λ 0 3F 30 + Λ 3 3Λ 1 3F 31 + Λ 3 3Λ 3F 3 + Λ 3 3Λ 3 3F 33 F 33 0 (36).4 - Os campos elétrico E e magnético B, num sistema inércial K formam um ângulo < π/. Determinar os módulos dos campos E e B num outro referecial K onde o ângulo formado por ele é π/4....:: Solução ::... B E B E B E cos π 4 1 B E (B E) ( 1 B E ) B (B E) E (37) sabendo que, B E invariante E B invariante (38) (39) a invariância da eq. (38) significa que se as intensidades do campo elétrico E e do campo magnético B são iguais num sistema de referência, eles continuam iguais em outro. Se num referencial em repouso B > E ou vice-versa, eles continuam obedecendo a mesma relação em um referencial em movimento. A eq. (39) significa que se os campos E e B são mutuamente 8
perpendiculares em um referencial, isto é, E B 0, então eles também são perpendiculares em outro referencial. das eqs. (37) e (38) B E (B E) E E (B E) E 4 E 4 + (B E )E (B E) B E (40) B E (B E )E 0 usando a fórmula de Bhaskara: x b ± b 4ac a E e fazendo x E (B E ) ± (B E ) 4(1)( (B E) ) (1) E B ± (B E ) + 8(B E) E 1 [E B + (B E ) + 8(B E) 1/ (41) para obtermos B, basta proceder de modo análogo ao feito com E na eq. (37), B 1 [B E + (B E ) + 8(B E) 1/ (4).5 - Demonstrar as identidades abaixo C grad(a B) A (C )B + B (C )A (43) (C )(A B) A (C )B B (C )A (44) ( A) B A( B) (A )B A ( B) B ( A) (45)...:: Solução (43) ::... operação diferencial, C grad(a B) C [ (A ˇB) + C [ (Ǎ B) (46) 9
operação vetorial, A ( ˇB ) (A ˇB) + ˇB( A) (A ˇB) A ( B) + (A )B C [ (A ˇB) C [A ( B) + (A )B) C [A ( B) + C (A )B (C A) ( B) + C (A )B (C )(A B) (C B)(A ) + C (A )B A (C )B C (A )B + C (A )B A (C )B (47) B ( Ǎ) Ǎ(B ) + (Ǎ B) (Ǎ B) B ( A) + (B )A C [ (Ǎ B) C [B ( A) + (B )A das eqs. (46), (47) e (48), C [B ( A) + C (B )A (C B) ( A) + C (B )A (C )(B A) (C A)(B ) + C (B )A B (C )A C (B )A + C (B )A B (C )A (48) C grad(a B) A (C )B + B (C )A (49)...:: Solução (44) ::... operação diferencial, (C )(A B) (C )(A ˇB) + (C )(Ǎ B) (50) operação vetorial, (C )(A ˇB) A (C )B (51) (C )(Ǎ B) B (C )A (5) das eqs. (50), (51) e (5), (C )(A B) A (C )B B (C )A (53)...:: Solução (45) ::... operação diferencial, ( A) B ( A) ˇB + ( Ǎ) B (54) operação vetorial, ( A) ˇB ˇB ( A) +A( ˇB ) ( ˇB A) A( B) ( ˇB A) (55) A ( B) B(A ) + ( ˇB A) ( ˇB A) A ( B) + (A )B (56) 10
( Ǎ) B B ( Ǎ) +Ǎ(B ) (B Ǎ) (B )A (Ǎ B) (57) B ( A) A(B ) + (Ǎ B) (Ǎ B) B ( A) + (B )A (58) das eqs. (54), (55), (56), (57) e (58), ( A) B A( B) (A )B A ( B) B ( A) (59) 11