.4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε την σωστή απάντηση από τις στήλες,,, Ε για τη γωνία. ηµω = ω = 60 ο σωστό το συνω = ω = 0 ο σωστό το εφω = ω = 45 ο σωστό το ηµω = συνω ω = 45 ο σωστό το Ε ηµω = 0 ο (60 ο ) 45 ο 90 ο συνω = 60 ο 45 ο (0 ο ) 90 ο εφω = 0 ο (45 ο ) 60 ο 90 ο ηµω = συνω (45 ο ) 60 ο 0 ο 90 ο
. Να χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες ηµ60 ο = ηµ45 ο Λ ηµ0 ο = 0 Σ εφ60 ο = εφ0 ο Λ δ) ηµ45 ο = ηµ0 ο Σ ε) συν45 ο = Λ στ) συν0 ο = 0 Σ ηµ60 ο = ηµ45 ο ηµ0 ο = 0 εφ60 ο = εφ0 ο = δ) ηµ45 ο = ηµ0 ο ε) συν45 ο = στ) συν0 ο = 0 = = η πρόταση είναι λάθος = 0 = 0 η πρόταση είναι σωστή = 9 = η πρόταση είναι λάθος η πρόταση είναι σωστή = η πρόταση είναι λάθος = 0 η πρόταση είναι σωστή
. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων ηµ 0 ο + 4 ηµ 45 ο ηµ 60 ο εφ 0 ο + εφ45 ο εφ 60 ο συν 0 ο + συν45 ο συν 60 ο ηµ 0 ο + 4 ηµ 45 ο ηµ 60 ο = + 4 = = 4 + 4 4 4 = εφ 0 ο + εφ45 ο εφ 60 ο = + ( ) = = 9 + 9 = συν 0 ο + συν45 ο συν 60 ο = + = 4 + = 4 = 4. ν x είναι οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, να βρείτε τη γωνία x στις παρακάτω περιπτώσεις 4συν x = 0 εφx = 0 ηµx = 0 4συν x = 0 συν x = 4 εφx = 0 εφx = ηµx = 0 ηµx = συνx = ή συν x = x = 60 ο ή αδύνατη για οξείες γωνίες οπότε x = 0 ο οπότε x = 45 ο
4 5. ν x είναι οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, να βρείτε πότε έχουν νόηµα αριθµού οι παραστάσεις = συνx, = ηµx, = εφx ) Πρέπει συνx 0 συνx συνx συνx συν60 o ) Πρέπει ηµx 0 ηµx ηµx ηµx ηµ60 ο 90 > x 60 o 0 < x 60 o ) εφx 0 εφx εφx εφ45 o 0 > x 45 o 6. Να αποδείξετε ότι συν 60 ο = συν 0 ο ηµ 0 ο ηµ60 ο = ηµ0 ο συν0 ο ηµ0 ο εφ45 ο = συν60 ο δ) συν60 ο + ηµ 0 ο = ε) συν 45 ο + ηµ 60 ο = στ) ηµ 45 ο + συν60 ο = συν60 ο = συν 0 ο ηµ 0 ο αρκεί ηµ60 ο = ηµ0 ο συν0 ο αρκεί = = 4 4 = η οποία ισχύει = ή = η οποία ισχύει
5 ηµ0 ο εφ45 ο = συν60 ο αρκεί = = η οποία ισχύει δ) συν60 ο + ηµ 0 ο = αρκεί ε) συν 45 ο + ηµ 60 ο = αρκεί στ) ηµ 45 ο + συν60 ο = αρκεί + = + = 4 = η οποία ισχύει + = 4 + 4 = = η οποία ισχύει + = 4 + = = η οποία ισχύει 7. Χωρίς την χρήση πινάκων ή υπολογιστή τσέπης και χωρίς την χρήση του Πυθαγορείου θεωρήµατος να υπολογίσετε τα µήκη x και y στα διπλανά σχήµατα 4 60o y x 45 o x y Στο πρώτο σχήµα έχουµε συν60 ο = = 4 ηµ60 ο = = x Στο δεύτερο σχήµα έχουµε οπότε = οπότε x = 4 συν45 ο = x = οπότε x = x y = επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές
6. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε την περίµετρο του τριγώνου και το εµβαδόν του. Είναι = 60 ο ως παραπληρωµατική της ηµ60 ο = = οπότε = 4 συν60 ο = = οπότε = 4 = + = + 4 = A 0 o B = + = + (4 ) = = 44 + 4 = 9 οπότε = 9 Η περίµετρος του τριγώνου είναι Π = + + = + + 9 = = 6 + 9 4 Και το εµβαδόν Ε = = = 6 τετραγωνικές µονάδες 9. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε τα x και y. ηµ0 ο = = οπότε = 6 Επειδή το ορθογώνιο τρίγωνο έχει = 45 ο, είναι ισοσκελές. Εποµένως y = A = 6 συν45 ο = y x = 6 x οπότε x = 6 x 45 o 0 o y
7 0. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του διπλανού τραπεζίου. ηµ60 ο = BZ AB = BZ οπότε Ζ = 4 συν60 ο = AZ AB = AZ οπότε Ζ = 4 ηµ0 ο = Ε = BZ οπότε = = Ε οπότε Ε = 6 4 συν0 ο = Ε = Ζ + ΖΕ + Ε = + + 6 = Ε = ( + )Ζ = ( + ) 4 60 ο Ζ συνεπώς = 4 = 4 τετραγωνικές µονάδες Ε 0 ο. Ένα πλοίο ξεκινάει από το λιµάνι Λ και ακολουθεί την πορεία ΛΜΝ. Να βρείτε πόσο βόρεια από το λιµάνι Λ είναι το πλοίο όταν αυτό βρίσκεται στη θέση Μ και πόσο ανατολικά όταν αυτό βρίσκεται στη θέση Ν. συν45 ο = ΚΛ ΛΜ = ΚΛ,6 οπότε ΚΛ = 6, ηλαδή το καράβι βρίσκεται 6, km βόρεια από το λιµάνι Λ. ηµ0 ο = ΡΝ ΜΝ = ΡΝ οπότε ΡΝ = 6 Κ Λ 45 ο Ρ 0 ο M,6km Το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές αφού Λ = 45 ο. Εποµένως ΚΜ = ΚΛ = 6, Το πόσο ανατολικά βρίσκεται το καράβι όταν αυτό είναι στην θέση Ν, προκύπτει από το άθροισµα ΚΜ + ΡΝ. Όµως ΚΜ + ΡΝ = 6, + ηλαδή το καράβι βρίσκεται + 6, km ανατολικά από το λιµάνι Λ όταν αυτό είναι στην θέση Ν. N 6km
. ν x οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, να λυθούν οι εξισώσεις 4ηµ x = 0 4συν x = 0 εφ x = 0 4ηµ x = 0 4ηµ x = ηµ x = 4 ηµx = ή ηµx = x = 60 o ή αδύνατη για οξείες γωνίες 4συν x = 0 4συν x = συν x = 4 συνx = ή συνx = x = 60 o ή αδύνατη για οξείες γωνίες εφ x = 0.εφx = x = 45 o. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα B και Η το ύψος στη υποτείνουσα. ν γ = 5 και α = 50, να υπολογίσετε την πλευρά β, τις γωνίες B και ɵ και το ύψος Η. ηµ ɵ = = 5 50 = εφ ɵ = εφ60ο = 5 = 5 = 5 = β ηµ ɵ = Η ɵ = 60 ο οπότε B = 0 ο = Η οπότε Η =,5 5 Η
9 4. Σε ένα ρόµβο είναι = 60 ο και η διαγώνιος = 0 m. Να υπολογίσετε την πλευρά του ρόµβου και την άλλη διαγώνιο. Στο ρόµβο οι διαγώνιες τέµνονται κάθετα, διχοτοµούνται και διχοτοµούν τις γωνίες του ρόµβου. ω Άρα Ο = 5m και ω = 0 ο Ο ηµ ω = Ο = 5 οπότε = 0m συνω = Ο = Ο οπότε Ο = 5 m 0 Εποµένως = Ο = 0 m 5. Σε παραλληλόγραµµο είναι = cm, AB = 0 cm και = 0 ο. Να υπολογίσετε το ύψος Κ και το εµβαδόν. φού = 0 ο θα είναι ω= 0 ο συνω = Κ = Κ οπότε Κ = 4 Και Ε = Κ = 0 4 = 0 cm cm ω Κ