Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Έστω ότι έχουμε μια πραγματική πηγή ονομαστικής τιμής 12 V. Έστω επίσης ότι όταν η πηγή δίνει ρεύμα ίσο με 10 Α τότε η τάση στα άκρα της μειώνεται στα 11 V. Ένα κύκλωμα που προσομοιώνει αυτή τη συμπεριφορά αποτελείται από μία ιδανική πηγή τάσης τιμής 12 V με μία αντίσταση τιμής 0,1 Ω σε σειρά συνδεδεμένη με αυτή. Τότε, εάν το ρεύμα είναι 10 Α στην αντίσταση αναπτύσσεται πτώση τάσης ίση με 1 V, ώστε η τάση στα άκρα του κυκλώματος είναι 11 V. V s =12V ± r sv =0,1Ω + V r =1V - Πραγματική πηγή τάσης I=10A + V R =11V - R L
Η πραγματική πηγή τάσης προσομοιώνεται από μία ιδανική πηγή τάσης εν σειρά με μία αντίσταση, την οποία ονομάζουμε εσωτερική αντίσταση της πηγής. Όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι ίση με μηδέν τότε η πηγή είναι ιδανική. Η τάση στα άκρα της πραγματικής πηγής δεν είναι σταθερή αλλά μειώνεται όταν αυξάνεται το ρεύμα που τη διαρρέει, λόγω της πτώσης τάσης στην εσωτερική της αντίσταση. V s =12V ± r sv =0,1Ω + V r =1V - Πραγματική πηγή τάσης I=10A + V R =11V - R L
Η τάση στα άκρα της πραγματικής πηγής τάσης δεν είναι πλέον ανεξάρτητη του ρεύματος, αλλά μειώνεται όταν αυξάνεται το ρεύμα: V s =12V ± r sv =0,1Ω + V r =1V - I=10A + V R =11V R L Η τάση στα άκρα της πραγματικής πηγής τάσης συναρτήσει της αντίστασης φορτίου δίνεται από τη σχέση του διαιρέτη τάσης: Πραγματική πηγή τάσης - Η πραγματική πηγή τάσης προσεγγίζει την ιδανική για μεγάλες τιμές της αντίστασης φορτίου.
Έστω ότι έχουμε μια πραγματική πηγή ονομαστικής τιμής 1 Α. Έστω επίσης ότι όταν η πηγή έχει τάση στα άκρα της 100 V τότε το ρεύμα που δίνει μειώνεται στα 0,9 Α. Ένα κύκλωμα που προσομοιώνει αυτή τη συμπεριφορά αποτελείται από μία ιδανική πηγή ρεύματος τιμής 1 Α με μία αντίσταση τιμής 1000 Ω παράλληλα συνδεδεμένη με αυτή. Τότε, εάν η τάση είναι 100 V η αντίσταση διαρρέεται από ρεύμα 0,1 Α, ώστε το ρεύμα που δίνει η πηγή στην αντίσταση φορτίου είναι 0,9 Α. I R =0,9 A I r =0,1 A + I s =1A V R =100V r si =1000 Ω - Πραγματική πηγή ρεύματος R L
Η πραγματική πηγή ρεύματος προσομοιώνεται από μία ιδανική πηγή ρεύματος παράλληλα με μία αντίσταση, την οποία ονομάζουμε εσωτερική αντίσταση της πηγής. Όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι άπειρη τότε η πηγή είναι ιδανική. Το ρεύμα που δίνει η πραγματική πηγή δεν είναι σταθερό αλλά μειώνεται όταν αυξάνεται η τάση που έχει στα άκρα της, λόγω του ρεύματος που διαρρέει την εσωτερική της αντίσταση. I R =0,9 A I r =0,1 A + I s =1A V R =100V r si =1000 Ω - Πραγματική πηγή ρεύματος R L
Το ρεύμα που δίνει η πραγματική πηγής ρεύματος δεν είναι πλέον ανεξάρτητο της τάσης, αλλά μειώνεται όταν αυξάνεται η τάση: I s =1A I R =0,9 A I r =0,1 A + V R =100V r si =1000 Ω R L - Το ρεύμα φορτίου συναρτήσει της αντίστασης φορτίου δίνεται από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος: Πραγματική πηγή ρεύματος Η πραγματική πηγή ρεύματος προσεγγίζει την ιδανική για μικρές τιμές της αντίστασης φορτίου.
Μια πραγματική πηγή τάσης είναι ισοδύναμη με μία πραγματική πηγή ρεύματος. Για να βρούμε υπό ποιες συνθήκες ισχύει η ισοδυναμία αυτή δεν έχουμε παρά να εξισώσουμε τις εκφράσεις που δίνουν την τάση ή το ρεύμα στην αντίσταση φορτίου. r s + V r - V s ± Πραγματική πηγή τάσης I + V R - R L I R Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε τιμή της αντίστασης φορτίου όταν: I s I r r s + V R R L - Πραγματική πηγή ρεύματος
Τα παραπάνω συμπεράσματα μας δίνουν ένα επιπλέον εργαλείο για την ανάλυση κυκλωμάτων. Συνοψίζοντας: α) Η πραγματική πηγή τάσης και ρεύματος είναι δύο ισοδύναμα στοιχεία. Μία πραγματική πηγή μπορεί να θεωρηθεί είτε ως πηγή τάσης είτε ως πηγή ρεύματος. β) Εάν έχουμε σε ένα κύκλωμα μια ιδανική πηγή τάσης συνδεδεμένη σε σειρά με μία αντίσταση μπορούμε να την αντικαταστήσουμε με μία ιδανική πηγή ρεύματος συνδεδεμένη παράλληλα με μία αντίσταση ίδιας τιμής, και το αντίστροφο. γ) Η πραγματική πηγή τάσης ή η πραγματική πηγή ρεύματος δεν μπορούν να δώσουν απεριόριστη ισχύ σε μια αντίσταση φορτίου.
Έχουμε μια πραγματική πηγή (τάσης ή ρεύματος) που τροφοδοτεί μια αντίσταση φορτίου. Ποια πρέπει να είναι η τιμή της αντίστασης φορτίου ώστε αυτή να καταναλώνει τη μέγιστη δυνατή ισχύ; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό θα βρούμε την παράγωγο της ισχύος που καταναλώνει η αντίσταση φορτίου συναρτήσει της τιμής της και θα διερευνήσουμε πότε μηδενίζεται. Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση φορτίου είναι: Η παράγωγός της είναι:
Η παράγωγος της ισχύος μηδενίζεται όταν η αντίσταση φορτίου είναι ίση με την εσωτερική αντίσταση της πηγής, και στην τιμή αυτή η ισχύς που καταναλώνει μεγιστοποιείται. Στις περιπτώσεις που η αντίσταση φορτίου παίρνει τις οριακές τιμές μηδέν (βραχυκύκλωμα) και άπειρο (ανοικτοκύκλωμα) η καταναλισκόμενη σε αυτήν ισχύς μηδενίζεται. Η μέγιστη ισχύς που μπορεί να καταναλώνει η αντίσταση φορτίου είναι: Η συνολική ισχύς που δίνει η πηγή τάσης στην περίπτωση αυτή (όταν η αντίσταση φορτίου ισούται με την εσωτερική της αντίσταση) είναι:
Παράδειγμα 3-8: Να υπολογιστεί το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση 5 Ω στο κύκλωμα του σχήματος. Και οι δύο πηγές έχουν παράλληλα συνδεδεμένες με αυτές από μία αντίσταση, άρα μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με πηγή τάσης σε σειρά με αντίσταση. Το κύκλωμα που προκύπτει είναι ισοδύναμο όσον αφορά την αντίσταση της οποίας το ρεύμα θέλουμε να υπολογίσουμε. Οι τιμές των πηγών τάσης είναι: 1A 10V I 2 I 1 R 2 =5 Ω 2A R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω I 2 R 2 =5 Ω R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω ± ± I 3 20V
Το ζητούμενο ρεύμα προκύπτει άμεσα από το νόμο τάσεων του Kirchhoff στο μοναδικό βρόχο του ισοδύναμου κυκλώματος: 1A I 1 I 2 R 2 =5 Ω R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω I 3 2A I 2 R 2 =5 Ω R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω 10V ± ± 20V
Αν θέλουμε τώρα να υπολογίσουμε τα ρεύματα που διαρρέουν τις δύο άλλες αντιστάσεις πρέπει να επανέλθουμε στο αρχικό κύκλωμα: 1A I 1 I 2 R 2 =5 Ω R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω I 3 2A Προσέξτε ότι στο ισοδύναμο κύκλωμα οι αντιστάσεις R 1 και R 2 διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα που διαρρέει και την αντίσταση R 2. Τα κυκλώματα είναι ισοδύναμα μόνο ως προς την αντίσταση R 2.
Παράδειγμα 3-9: Ποια είναι η τιμή της αντίστασης R 2 στο κύκλωμα του προηγούμενου παραδείγματος ώστε η ισχύς που καταναλώνει να είναι η μέγιστη δυνατή; 1A I 1 I 2 R 2 =; R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω I 3 2A Είχαμε καταλήξει σε ένα ισοδύναμο κύκλωμα όπου οι πηγές τάσης συνδέονται σε σειρά, όπως και οι αντιστάσεις, οπότε μπορούμε να το απλοποιήσουμε αντικαθιστώντας τις πηγές τάσης με μία ισοδύναμη και τις αντιστάσεις που συνδέονται σε σειρά με αυτές (εκτός από την R 2 που μας ενδιαφέρει) με μία ισοδύναμη. 10V I 2 R 2 =; R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω ± ± 20V
Το ισοδύναμο κύκλωμα τώρα αποτελείται από μία πηγή τάσης σε σειρά με μία αντίσταση, η οποία είναι 20 Ω. Άρα η ισχύς που καταναλώνει μεγιστοποιείται όταν η R 2 γίνει ίση με 20 Ω. Τότε το ρεύμα που διαρρέει την R 2 γίνεται: -10V ± R ΙΣ =20 Ω I 2 R 2 =; Η ισχύς που καταναλώνει γίνεται:
R 1 =15 Ω R 2 =10 Ω 3 Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Παράδειγμα 3-10: Να υπολογιστούν τα ρεύματα I 1 και Ι 2 στο κύκλωμα του σχήματος. Μπορούμε να απλοποιήσουμε το κύκλωμα αντικαθιστώντας την πηγή ρεύματος με την παράλληλη σε αυτήν αντίσταση με πηγή τάσης σε σειρά με αντίσταση. Στο ισοδύναμο κύκλωμα οι δύο πηγές ρεύματος συνδέονται παράλληλα και προστίθενται και το ρεύμα Ι 1 προκύπτει από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος: 1A 1A I 1 I 1 I 2 R 1 =15 Ω R 2 =10 Ω ± 10V 1A
Επανερχόμενοι στο αρχικό κύκλωμα υπολογίζουμε το ρεύμα Ι 2 εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: 1A I 1 I 2 R 1 =15 Ω R 2 =10 Ω ± 10V Εναλλακτικά, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την πηγή ρεύματος που είναι συνδεδεμένη παράλληλα με την αντίσταση R 1 με την ισοδύναμη πηγή τάσης των 15 V σε σειρά με αντίσταση 15 Ω. Θα προκύψει ένα απλούστερο κύκλωμα με ένα βρόχο και θα υπολογίσουμε το μοναδικό ρεύμα του κυκλώματος, που συμπίπτει με το ζητούμενο ρεύμα Ι 2.