ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ημ,, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ημ ) = συν A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f( ); Μονάδες Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f() = α, α >, τότε ισχύει ( ) β) Αν ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε πάντοτε ισχύει fog = gof γ) Αν lim f () = + ή α = α, τότε lim = f () ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ M. Aλεξάνδρου 9 (Κατερίνη) & Βασ. Κων/νου 58 (Κορινός) τηλ: 5-77
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και ισχύει f() για κάθε [α,β], τότε β α f ()d ε) Για κάθε z C ισχύει z = z z Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z, z είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν z +z = και z z = 5 B. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z, z B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w z + w z = z z να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (+) + y = 4 B. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) = ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ M. Aλεξάνδρου 9 (Κατερίνη) & Βασ. Κων/νου 58 (Κορινός) τηλ: 5-77
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ B4. Αν w, w είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β με την ιδιότητα w w 4, να αποδείξετε ότι w + w = = ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = ( )ln +, > Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες. Γ4. Αν, είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ με <, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ (, ) τέτοιος, ώστε ξ f (ξ) f(ξ) = και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μ (, f ( ξ) ) ξ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ M. Aλεξάνδρου 9 (Κατερίνη) & Βασ. Κων/νου 58 (Κορινός) τηλ: 5-77
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση f: η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο με f() = και f () =. Να αποδείξετε ότι f() για κάθε f (t)dt +. Να αποδείξετε ότι lim = + ημ Μονάδες 4 Αν επιπλέον δίνεται ότι f () + = ( () ) f +,, τότε:. Να αποδείξετε ότι f() = e, 4. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση + h() = f (t)dt, και να λύσετε στο την ανίσωση + + f (t)dt + f (t)dt < + + 4 6 Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ M. Aλεξάνδρου 9 (Κατερίνη) & Βασ. Κων/νου 58 (Κορινός) τηλ: 5-77
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 9. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ M. Aλεξάνδρου 9 (Κατερίνη) & Βασ. Κων/νου 58 (Κορινός) τηλ: 5-77