Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1

Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex tableαu) για τη διαδικασία επίλυσης Πραγματοποιούνται «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών που οδηγούν στη διαμόρφωση των διαδοχικών πινάκων simplex Κάθε πίνακας simplex αντιστοιχεί σε μία κορυφή της εφικτής περιοχής Πρακτικά, ελέγχονται οι βασικές εφικτές λύσεις και αποκαλύπτεται η άριστη, πραγματοποιώντας «άλματα» μεταξύ γειτονικών κορυφών (ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων) Ενσωματώνει τη διαδικασία Gauss - Jordan στη φάση βελτίωσης της τρέχουσας λύσης http://users.uom.gr/~acg 2

Γενική μορφή του μοντέλου Maximize/Minimize με περιορισμούς a a z = c x + c x + L+ 11 x1 + a12 x2 + L + a1 n xn = / 21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = / 1 1 2 2 / b / b. a x + a x + + a x / = / m1 1 m2 2 L mn και x 1 0, x 2 0, L, xn 0. n b 1 2 m c x n n http://users.uom.gr/~acg 3

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης Maximize με περιορισμούς a x + a x + L + a z = c x + c x + L + 11 1 12 2 a1 n xn b1 21x1 + a22x2 + L + a2n xn b2 a x + a x + L + a m1 και 1 m2 2 1 1 mn x 1 0, x 2 0, L, xn 0. 2 x n 2 b m c n x n http://users.uom.gr/~acg 4

Κανονική μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maximize Z = 150X1 + 200X2 Με περιορισμούς: 1) Χ1 + Χ2 < 550 (διαθέσιμο γάλα) 2) Χ1 + 3Χ2 < 1000 (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ2 < 2000 (δυναμικότητα συστήματος ψύξης) 4) Χ1 < 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) και Χ1, Χ2 > 0 (μη αρνητικότητα) http://users.uom.gr/~acg 5

Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Maximize με περιορισμούς x + a x + L + a11 1 12 2 a1 n xn + s1 = b1 a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn + s2 = b2 a m1 x 1 + a x + L+ m2 z = c x + c x + L + 2 a mn και x 1 0, x 2 0, L, xn 0, 1 1 x n 2 + 2 s m = b m c n x n s 1 0, s 2 0, L, sm 0 http://users.uom.gr/~acg 6

Τυποποιημένη μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maximize Με περιορισμούς: z = 150 x + s x 1 + x2 + 1s1 0 0 0 = x + 3x 2 0 + 1s 0 0 x + 5x 0 0 + 1s 0 1 2 = 2 1 2 3 = x 1 0 0 0 + 1s 4 = x1, x2, s1, s2, s3, s4 1 + 200 x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 0 0 550 1000 2000 400 4 http://users.uom.gr/~acg 7

http://users.uom.gr/~acg 8

Σύστημα m εξισώσεων και n+m αγνώστων (n μεταβλητές απόφασης και m χαλαρές μεταβλητές) Στόχος: επίλυση του συστήματος, εντοπίζοντας τη βασική εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Το σύστημα είναι αόριστο Στο πρότυπο παράδειγμα: Εξισώσεις: m=4 - Αγνωστοι: n+m=2+4=6 Στη μέθοδο simplex εκχωρείται το μηδέν σε n από τις μεταβλητές και επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες http://users.uom.gr/~acg 10

Στο παράδειγμα (1): Αν θέσουμε x 2 = 0 και s 4 = 0 θα πάρουμε: x 1 + 0 + 1s1 = x + + 1s 1 0 2 = 2x 1 + 0 + 1s3 = x 1 + 0 = 550 1000 2000 400 Άρα, x 1 = 400 οπότε s 1 = 150, s 2 = 600 και s 3 = 1200. Ακραίο σημείο Β(400, 0), δηλαδή είναι η βασική εφικτή λύση: ( 1 2 1 2 3 s4 x, x, s, s, s, ) = (400, 0,150, 600,1200, 0) Ζ =? http://users.uom.gr/~acg 11

Στο παράδειγμα (2): Αν θέσουμε x 1 = 0 και s 1 = 0 τότε: 0 + x 2 + 0 = 550 0 + 3x 2 + 1s2 = 1000 + 5x + 1s 2000 0 2 3 = 0 + 1s 4 = 400 Δηλαδή θα πάρουμε την βασική (αλλά μη εφικτή) λύση: ( 4 x 1, x2, s1, s2, s3, s ) = (0,550, 0, - 650, - 750, που αντιστοιχεί στο ακραίο σημείο Λ(0,550), Ζ=? 400) http://users.uom.gr/~acg 12

Υπενθύμιση: Ποιος είναι ο στόχος της μεθόδου simplex: Προφανώς να εντοπίσει την άριστη λύση Πώς? Ελέγχοντας τις βασικές εφικτές λύσεις, (δηλαδή τα ακραία σημεία-κορυφές της εφικτής περιοχής) εντοπίζει εκείνη την κορυφή που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί ανάλογα) την αντικειμενική συνάρτηση. Τις ελέγχει όλες μία προς μία? ΟΧΙ! http://users.uom.gr/~acg 13

Δηλαδή πιο συγκεκριμένα? Ξεκινά από μία βασική εφικτή λύση (την αρχή των αξόνων) Πραγματοποιεί άλμα από μία τρέχουσα κορυφή σε μία καλύτερη γειτονική κορυφή. Αλλάζει το σύνολο των βασικών μεταβλητών (αλλάζουν οι n μηδενικές μεταβλητές) και βρίσκει μία νέα βασική εφικτή λύση από το σύστημα των εξισώσεων Με διαδοχικές μεταβολές της βάσης (δηλαδή με διαδοχικά άλματα) εντοπίζει τελικά τη βέλτιστη λύση που δίνει την άριστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση χωρίς να χρειάζεται να τις ελέγξει όλες. http://users.uom.gr/~acg 14

Σχηματικά: http://users.uom.gr/~acg 15

Πιο αναλυτικά: Ξεκινάει από κάποια αρχική βασική εφικτή λύση (initial basic feasible solution) πρέπει n μεταβλητές να πάρουν μηδενικές τιμές (ποιες?) Μηδενισμός των μεταβλητών απόφασης (αρχή των αξόνων δηλαδή χαλαρές μεταβλητές ίσες με τα δεξιά μέλη των περιορισμών) = ΒΑΣΗ Προσοχή! Οι μεταβλητές της βάσης εμφανίζονται σε μία μόνο εξίσωση η καθεμία και με συντελεστή μονάδα, κάτι που διατηρείται σε όλα τα βήματα της μεθόδου Κάθε επανάληψη παριστάνεται από έναν πίνακα simplex Στο πρότυπο παράδειγμα: Αρχική βασική εφικτή λύση: ( 1 2 1 2 3 s4 x, x, s, s, s, ) = (0, 0, 550,1000, 2000, 400) και Ζ = 0 http://users.uom.gr/~acg 16

Κορυφή Α(0, 0) 0 0 0 0 0 0 150 200 0 0 0 0 http://users.uom.gr/~acg 18

Σύνοψη της διαδικασίας (μετά τον καθορισμό της αρχικής βασικής εφικτής λύσης) Βήμα 1 ο : Εντοπίζεται η εισερχόμενη μη βασική μεταβλητή Βήμα 2 ο : Εντοπίζεται η εξερχόμενη βασική μεταβλητή Βήμα 3 ο : Με «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών του τρέχοντος πίνακα προκύπτει ο επόμενος πίνακας simplex όπου αντικατοπτρίζονται οι μεταβολές, που πρακτικά οδηγούν στην επόμενη κορυφή Βήμα 4 ο : Μετά το άλμα, ελέγχεται η νέα (τρέχουσα) βασική εφικτή λύση ως προς την αριστότητά της. Αν είναι η βέλτιστη τότε STOP, ELSE goto Βήμα 1. http://users.uom.gr/~acg 19

Πιο αναλυτικά: H μετακίνηση σε μία καλύτερη βασική εφικτή λύση: Επιτυγχάνεται με την έξοδο μίας βασικής μεταβλητής από τη βάση και την είσοδο μίας μη βασικής στη βάση, που «οδηγεί» σε μία γειτονική κορυφή (της εφικτής περιοχής). Κάθε φορά, μία μόνο μη βασική μεταβλητή εισέρχεται σε βάρος μίας μόνο βασικής η οποία αποχωρεί από τη βάση, βελτιώνοντας έτσι την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (Ζ). http://users.uom.gr/~acg 20

Πώς υλοποιείται αυτή η μετακίνηση αλγεβρικά? Μετακίνηση = μεταβολή του συνόλου των βασικών μεταβλητών δηλαδή της βάσης. Υπενθύμιση (για 100 ή φορά): Mία μη βασική μεταβλητή επιλέγεται για να εισέλθει και μία βασική επιλέγεται για να εξέλθει από τη βάση. Ο επόμενος πίνακας simplex προκύπτει με τη βοήθεια των σειρών «z j» και «c j - z j» στις οποίες καταχωρούνται σημαντικές πληροφορίες που αφορούν τη διαδικασία επιλογής. http://users.uom.gr/~acg 21

Στο παράδειγμα (1): Από τον αρχικό πίνακα (δ17), ας υποθέσουμε ότι η μεταβλητή x 1 θα γίνει βασική (και θα της δώσουμε αυθαίρετα την τιμή x 1 = 1) ενώ η x 2 θα παραμείνει μη βασική. Ποια επίδραση θα έχει αυτή η απόφαση στους περιορισμούς? 1 ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: Αφού x 1 + x 2 + s 1 = 550 και επειδή το x 2 παραμένει 0, πρέπει να μειωθεί η s 1 κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 1 = 550, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι x 1 + 0 + s 1 = 550, δηλαδή 1 + 0 + 549 = 550. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α πρέπει να γίνει ανταλλαγή με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου (δηλαδή της s 1 ) με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθεί ένα λίτρο γάλα με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s 1. http://users.uom.gr/~acg 22

Στο παράδειγμα (2): 2ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: Αφού x 1 + 3x 2 + s 2 = 1000 και επειδή το x 2 παραμένει 0, πρέπει να μειωθεί η s 2 κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 2 = 1000, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι x 1 + 3*0 + s 2 = 1000, δηλαδή 1 + 0 + 999 = 1000. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου s 2 με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθεί και ένα λεπτό εργασίας, με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s 2. http://users.uom.gr/~acg 23

Στο παράδειγμα (3): 3ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: Αφού 2x 1 + 5x 2 + s 3 = 2000 και επειδή το x 2 παραμένει 0, πρέπει να μειωθεί η s 3 κατά δύο μονάδες (αρχική τιμή s 3 = 2000, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι 2x 1 + 5*0 + s 3 = 1000, δηλαδή 2*1 + 5*0 + 1998 = 2000. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό και το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με δύο μονάδες του αχρησιμοποίητου πόρου s 3 με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθούν και δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών, με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s 3. http://users.uom.gr/~acg 24

Στο παράδειγμα (4): 4ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: για κάθε μονάδα που αυξάνεται η x 1 μειώνεται κατά μία μονάδα η s 4 που εκφράζει τη ζήτηση που μένει ανικανοποίητη. Άρα, αφού x 1 + s 4 = 400 και επειδή το x 2 παραμένει μηδενικό, (οπότε δεν επηρεάζει τον 4 ο περιορισμό), πρέπει η s 4 να μειωθεί κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 4 = 400, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι x 1 + s 4 = 400, δηλαδή 1 + 399 = 400. Συνεπώς: για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό και το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό και οι δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών που είδαμε στον τρίτο περιορισμό πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα «μη ικανοποιηθείσας» ζήτησης s 4 με άλλα λόγια πρέπει να μειωθεί η s 4 κατά μία μονάδα προϊόντος, ώστε να συνεχίσει να είναι αληθής ο 4 ος περιορισμός, με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s 4. http://users.uom.gr/~acg 25

Δηλαδή: στον πρώτο περιορισμό όπου η x 1 έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s 1 επίσης μονάδα, μία μοναδιαία αύξηση της x 1 μειώνει την s 1 με ρυθμό 1 προς 1 (άρα κατά μία μονάδα). στο δεύτερο περιορισμό όπου η x 1 έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s 2 επίσης μονάδα, μοναδιαία αύξηση της x 1 μειώνει την s 2 με ρυθμό 1 προς 1 (άρα κατά μία μονάδα) τρίτος περιορισμός: συντελεστής της x 1 είναι 2, και της s 3 είναι μονάδα άρα ο ρυθμός μείωσης της s 3 για κάθε μονάδα αύξησης της x 1 είναι 1 προς 2 τέταρτος περιορισμός: ο ρυθμός μείωσης της s 4 είναι ίσος με τη μονάδα. http://users.uom.gr/~acg 26

Ανακεφαλαίωση Μία βασική μεταβλητή μειώνεται, μέσω της ανταλλαγής (exchange, θυσίας) που πρέπει να γίνει, ώστε να καταστεί δυνατή η αύξηση της τιμής της μη βασικής μεταβλητής, η οποία αποσπά πόρους από αυτήν για να εισέλθει. Οι τεχνολογικοί συντελεστές των μεταβλητών ονομάζονται και συντελεστές ανταλλαγής ή αντικατάστασης ή υποκατάστασης (exchange or substitution coefficients). http://users.uom.gr/~acg 27

Γενικό Συμπέρασμα: Η είσοδος μίας μη βασικής μεταβλητής στη βάση (στη βασική εφικτή λύση) μειώνει, σύμφωνα με τους συντελεστές ανταλλαγής κάθε περιορισμού, κάθε μία από τις ήδη βασικές μεταβλητές. Με άλλα λόγια, ο ρυθμός μείωσης (αύξησης) βασικής (μη βασικής) μεταβλητής λόγω της εισόδου της μη βασικής, προκύπτει από τους τεχνολογικούς συντελεστές των δύο μεταβλητών Τι συνέπειες έχουν αυτές οι ανταλλαγές στο Ζ? Που βρίσκονται αυτές οι συνέπειες? http://users.uom.gr/~acg 28

Πού βρίσκονται οι συνέπειες; Τελικά, πώς επιλέγεται η εισερχόμενη μεταβλητή? Επιλέγεται αυτή με τη μεγαλύτερη θετική τιμή στη σειρά c j z j (δηλαδή η μη βασική μεταβλητή που εμφανίζει τον μεγαλύτερο ρυθμό βελτίωσης της αντικειμενικής συνάρτησης). Στο πρότυπο παράδειγμα είναι η μεταβλητή x 2 αφού η αντίστοιχη τιμή στη σειρά c j z j είναι ίση με 200 (και είναι μεγαλύτερη από το 150 που είναι η αντίστοιχη τιμή για την x 1 ). Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται αξονική στήλη (pivot column). http://users.uom.gr/~acg 29

Γιατί στη σειρά c j z j βρίσκονται οι ρυθμοί βελτίωσης του Z? Ο ρόλος της σειράς «z j» κάτω από κάθε μεταβλητή Περιέχει τη συνολική επιδείνωση που προκύπτει στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μονάδα αύξησης της μεταβλητής. Δηλαδή, για τις x 1 και x 2 από τον αρχικό πίνακα: z = 0(1) + 0(1) + 0(2) + 0(1) = 1 z = 0(1) + 0(3) + 0(5) + 0(0) = 2 0 0 Πρακτικά πώς προκύπτουν τα παραπάνω από τον πίνακα simplex (δ17)?? http://users.uom.gr/~acg 30

Για τις υπόλοιπες (τις βασικές) μεταβλητές είναι: z = 0(1) + 0(0) + 0(0) + 0(0) = 3 z = 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0) = 4 z = 0(0) + 0(0) + 0(1) + 0(0) = 5 z = 0(0) + 0(0) + 0(0) + 0(1) = 6 0 0 0 0 Εχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί για τις βασικές; http://users.uom.gr/~acg 31

Το περιεχόμενο της σειράς «c j z j» Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται με ρυθμό z j λόγω της εισόδου της j μεταβλητής στη βάση. Η τιμή της αντικειμενικής ταυτόχρονα αυξάνεται με ρυθμό που υπαγορεύεται από τον αντικειμενικό συντελεστή της εν λόγω μεταβλητής, c j Άρα, o καθαρός ρυθμός μεταβολής που προκύπτει για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα προκύπτει από τη διαφορά c j z j http://users.uom.gr/~acg 32

Στο πρότυπο παράδειγμα: Για τις στήλες των μεταβλητών x 1 και x 2 : c1 z1 = 150 0 = c2 z2 = 200 0 = ενώ 150 200 (για την x 1 ) (για την x2 ) c z j j = 0 0 = 0 για τις s 1, s 1 s 1 s 1 ) για τις βασικές (τις χαλαρές) μεταβλητές http://users.uom.gr/~acg 33

Επιλέγεται 550 1000/3 400 -------- http://users.uom.gr/~acg 34

Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (1) Διαιρούμε το δεξιό μέλος κάθε περιορισμού με το συντελεστή της εισερχόμενης μεταβλητής από την αξονική στήλη (εφόσον αυτός μεγαλύτερος του μηδενός) Το πηλίκο που βρίσκουμε δίνει τη μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή καθώς αποχωρεί πλήρως (μηδενίζεται) η βασική μεταβλητή που αντιστοιχεί στο κάθε περιορισμό χωρίς η τελευταία να αναγκαστεί να γίνει αρνητική. Ας δούμε πώς: 1 ος Περιορισμός: x 1 + x 2 + s 1 = 550. Αφού η x 1 παραμένει μη βασική, θα είναι 1*0+x 2 +s 1 = 550 (λίτρα). Αφού φεύγει η s 1, θέτοντας s 1 = 0 και λύνοντας ως προς x 2 έχουμε x 2 = 550/1 = 550. Άρα, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη x 2 καθώς εξέρχεται από τη βάση η s 1, είναι 550. Δηλαδή, το γάλα επαρκεί για να παραχθούν μέχρι 550 τεμάχια τύπου Β. Οποιαδήποτε τιμή της x 2 μεγαλύτερη από 550, θα καταστήσει την s 1 αρνητική (ανέφικτη λύση). http://users.uom.gr/~acg 35

Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (2) 2 ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη x 2 αν επιλέξουμε να εξέλθει η s 2 από τη βάση, είναι 1000/3. Με άλλα λόγια, με βάση τη διαθέσιμη εργασία μπορούν να παραχθούν το πολύ 1000/3 τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή μεγαλύτερη από 1000/3 θα καταστήσει την s 2 αρνητική και τη λύση ανέφικτη. Άρα x 2 = 1000/3 http://users.uom.gr/~acg 36

Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (3) 3 ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη x 2 με εξερχόμενη την s 3, είναι 400. Δηλαδή, με βάση τη δυναμικότητα των μηχανών, μπορούν να παραχθούν το πολύ 400 τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή μεγαλύτερη από 400 θα καταστήσει την s 3 αρνητική (και τη λύση ανέφικτη). Άρα x 2 = 2000/5 = 400 http://users.uom.gr/~acg 37

Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (4) 4 ος Περιορισμός: Στον τέταρτο περιορισμό δεν υπάρχει η μεταβλητή x 2 (ο τεχνολογικός συντελεστής α 42 είναι μηδέν) Κατά συνέπεια, όποια τιμή και να πάρει εισερχόμενη στη βάση x 2, δεν πρόκειται να επηρεάσει την τιμή της βασικής μεταβλητής s 4. Αν για μια εισερχόμενη μεταβλητή ο τεχνολογικός της συντελεστής σε έναν περιορισμό είναι αρνητικός, ΠΟΙΕΣ ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ? http://users.uom.gr/~acg 38

Αξιολόγηση και επιλογή εξερχόμενης Το μικρότερο πηλίκο είναι x 2 = 1000/3 και είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή x 2 χωρίς να παραβιάζεται κανένας από τους περιορισμούς (δηλαδή??) Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή της οποίας ο περιορισμός έδωσε το ελάχιστο πηλίκο και είναι η s 2. Η γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητής s 2 ονομάζεται αξονική σειρά (pivot row). Το κοινό στοιχείο αξονικής σειράς και αξονικής στήλης ονομάζεται αξονικό στοιχείο ή πιλότος ή οδηγός (pivot) http://users.uom.gr/~acg 39

Η κατασκευή του επόμενου πίνακα Νέα σειρά στη θέση της αξονικής σειράς = (προηγούμενη αξονική σειρά) / αξονικό στοιχείο και για όλες τις άλλες σειρές: Νέα σειρά = (προηγούμενη σειρά) (συντελεστής της εισερχόμενης στη προηγούμενη σειρά)* (νέα αξονική σειρά) http://users.uom.gr/~acg 41

Επομένως: Σειρά της μεταβλητής s 2 : Η νέα σειρά στη θέση της αξονικής θα προκύψει διαιρώντας τα στοιχεία της με το αξονικό στοιχείο (=3) και είναι εκείνη που θα έχει τη x 2 ως βασική στον επόμενο πίνακα simplex. Σειρά της μεταβλητής s 1 : (1, 1, 1, 0, 0, 0, 550) - 1 * (1/3, 1, 0, 1/3, 0, 0, 1000/3) δηλαδή (2/3, 0,1,-1/3, 0, 0, 650/3). Σειρά της μεταβλητής s 3 : (2, 5, 0, 0, 1, 0, 2000) - 5 * (1/3, 1, 0, 1/3, 0, 0, 1000/3) δηλαδή (1/3, 0, 0,-5/3, 1, 0, 1000/3). Σειρά της μεταβλητής s 4???? http://users.uom.gr/~acg 42

Τελικά σε ποια κορυφή μετακινήθηκε? Νέα Βασική Εφικτή Λύση: ( 4 x 1, x2, s1, s2, s3, s ) = (0,1000 / 3,650 / 3,0,1000 / 3, 400) Αντιστοιχεί στην κορυφή: Ε(0, 1000/3), άρα έγινε άλμα από το σημείο Α στο σημείο Ε. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι τώρα: z= 150*(0) + 200*(1.000/3) z=200.000/3 http://users.uom.gr/~acg 44

Έλεγχος Αριστότητας (βήμα 4 ο ) Nέα στοιχεία της σειράς z j (στήλη του x 1 ) = z 1 = 0(2/3) +200(1/3) +0(1/3) +0(1) =200/3 (στήλη του x 2 ) = z 2 = 0(0) +200(1) +0(0) +0(0) =200 (στήλη του s 1 ) = z 3 = 0(1) +200(0) +0(0) +0(0) =0 (στήλη του s 2 ) = z 4 = 0(-1/3) +200(1/3) +0(-5/3) +0(0) =200/3 (στήλη του s 3 ) = z 5 = 0(0) +200(0) +0(1) +0(0) =0 (στήλη του s 4 ) = z 6 = 0(0) +200(0) +0(0) +0(1) =0 http://users.uom.gr/~acg 47

Νέα στοιχεία της της σειράς c j - z j (για το x 1 ) = 150-200/3 = 250/3 (για το x 2 ) = 200-200 = 0 (για το s 1 ) = 0-0 = 0 (για το s 2 ) = 0-200/3 = -200/3 (για το s 3 ) = 0-0 = 0 (για το s 4 ) = 0-0 = 0 Υπάρχει θετικό στοιχείο στη σειρά c j - z j?? http://users.uom.gr/~acg 48

Τέταρτο Βήμα: Έλεγχος τρέχουσας λύσης ως προς την αριστότητα. Από τη σειρά c j - z j προκύπτει ότι αν εισέλθει η x 1 τότε θα υπάρξει η μεγαλύτερη δυνατή βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 250/3 (χμ) ανά τεμάχιο προϊόντος. Για τις ήδη βασικές μεταβλητές η βελτίωση αυτή είναι μηδενική ενώ για την s 2 η τιμή είναι αρνητική (γιατί??). Άρα, υπάρχει περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης του συνολικού κέρδους, εφόσον εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x 1 (δηλαδή, η τρέχουσα λύση δεν είναι άριστη) ΟΛΟΚΛΗΡΩΘΗΚΕ (επιτέλους!) ΜΙΑ ΠΛΗΡΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ http://users.uom.gr/~acg 50

Δεύτερη επανάληψη της διαδικασίας http://users.uom.gr/~acg 51

Η μετακίνηση στον επόμενο πίνακα Αξονική: (2/3, 0, 1, -1/3, 0, 0, 650/3)/(2/3) = (1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) Δεύτερη σειρά: (1/3, 1, 0, 1/3, 0, 0, 1000/3) (1/3)*(1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) = (0, 1, -1/2, 1/2, 0, 0, 225) Τρίτη σειρά: (1/3, 0, 0, -5/3, 1, 0, 1000/3) (1/3)*(1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) = (0, 0, -1/2,-3/2, 1, 0, 225) Τέταρτη σειρά: (1, 0, 0, 0, 0, 1, 400) (1)*(1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) = (0, 0, -3/2, 1/2, 0, 1, 75) http://users.uom.gr/~acg 52

Έλεγχος αριστότητας και ολοκλήρωση http://users.uom.gr/~acg 53

Ανακεφαλαίωση Βέλτιστη λύση: ( x1, x2, s1, s2, s3, s4) = (325, 225,0,0, 225, 75) Αριστη τιμή: z=93.750. Παράγει 325 μονάδες από το προϊόν Α, 225 από το Β. Καταναλώνεται όλη η ποσότητα γάλακτος (s 1 = 0), Χρησιμοποιείται όλος ο χρόνος εργασίας (s 2 = 0), Υπάρχει αδρανής παραγωγική δυναμικότητα (s 3 = 225) Δεν παράγει τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα για το πρώτο προϊόν Α αλλά 75 μονάδες λιγότερες (s 4 = 75). Η λύση αντιστοιχεί στο σημείο Δ (325, 225). http://users.uom.gr/~acg 55

Επίλυση με το WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) http://users.uom.gr/~acg 56

Επίλυση με το WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος = τελικός πίνακας simplex) http://users.uom.gr/~acg 57

Η άριστη λύση με το WinQSB http://users.uom.gr/~acg 58

Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ1 (ή της Χ2). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) ξεπεράσει τις 200χμ (450χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) μειωθεί περισσότερο από τις 66,6667χμ (150χμ) προς τ αριστερά; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Πόση είναι τελικά η κατανάλωση πόρων στο άριστο σχέδιο ; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του κόστους ευκαιρίας; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για μία ακόμη μονάδα γάλακτος (ή εργασίας, ή δυναμικότητας, ή ζητούμενης ποσότητας) και για πόσες μονάδες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ, στα δεξιά άκρα των διαστημάτων εφικτότητας των περιορισμών C3 και C4; Ποια βασική αρχή διέπει τα διαστήματα που βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας; http://users.uom.gr/~acg 59

Lindo (μοντέλο) http://users.uom.gr/~acg 60

Lindo (επίλυση) http://users.uom.gr/~acg 61

Lindo (αναφορά επίλυσης 1) http://users.uom.gr/~acg 62

Lindo (αναφορά επίλυσης 1) (1775, + ) http://users.uom.gr/~acg 63

Excel (δεδομένα και παράθυρο επίλυσης) http://users.uom.gr/~acg 64

Excel (Αναφορά απάντησης) http://users.uom.gr/~acg 65

Excel (Αναφορά ευαισθησίας) http://users.uom.gr/~acg 66

Το διαφημιστικό Σχέδιο της Pro-Lux Minimize z=1.5x 1 + 2.5x 2 Με περιορισμούς: συνολικό κόστος (εκατομμύρια χμ) και 0.3x + 0.2x2 1 0.05x + 0.25x2 x 1 1, x2 0 x 2 15 9 20 γυναίκες (100000 άτομα) άνδρες (100000 άτομα) ελάχιστο πλήθος βραδινά μηνύματα http://users.uom.gr/~acg 67

Τυποποιημένη Μορφή του μοντέλου Min z = 1.5x + e Με περιορισμούς: 1 + 2.5x2 + 0e1 + 0e2 0 0.3x + 0.2 x 1e = 1 2 1 0.05x + 025x -1e 2 2 1 = x - 1e = 2 3 3 15 9 20 και x, x, e, e, e 1 2 1 2 3 0 http://users.uom.gr/~acg 68

Η γραφική επίλυση http://users.uom.gr/~acg 69

Είσοδος τεχνητών μεταβλητών (artificial variables) Min z = 1.5x e + Ma + Ma + Ma 1 + 2.5x2 + 0e1 + 0e2 + 0 3 1 2 3 Με περιορισμούς: Αρχική βάση 0.3x1 + 0.2 x2 1e1 + α1 = 15 0.05 x1 + 025x2-1e2 + α2 = 9 x - 1e + α 20 2 3 3 = όπου x1, x2, e1, e2, e3, a1, a2, a3 0 http://users.uom.gr/~acg 70

Επίλυση με τη μέθοδο simplex 1. Μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού. Επιλέγεται ως εισερχόμενη βασική μεταβλητή εκείνη που έχει το πιο αρνητικό στοιχείο στη σειρά c j - z j. Τερματισμός όταν όλα τα στοιχεία στη σειρά c j - z j είναι θετικά ή μηδέν. 2. Μετασχηματισμός σε πρόβλημα μεγιστοποίησης (??) http://users.uom.gr/~acg 71

Ισοδύναμο πρόβλημα μεγιστοποίησης Maximize z = 1. 5x1 2.5x2 0e1 0e2 0e3 Ma1 Ma2 Ma3 Με περιορισμούς: 0.3x + 0.2 x2 1e1 + α1 0.05x + 0.25x2-1e 2 + α2 x 1e + α 1 = 1 = 2-3 3 = όπου x, x, e, e, e, a, a, a 0 1 2 1 2 3 1 2 3 15 9 20 http://users.uom.gr/~acg 72

Επίλυση με τις κατάλληλες μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού Σε ποιο σημείο αντιστοιχεί?? http://users.uom.gr/~acg 73

(x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, a 1, a 2, a 3 )= (0, 20, 0, 0, 0,11, 4, 0) (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3 )= (0, 20,-5, -4, 0) Δ (0, 20) http://users.uom.gr/~acg 74

Μετακίνηση στο Δ http://users.uom.gr/~acg 75

0 0 (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, a 1, a 2, a 3 )= (0, 36, 0, 0, 16, 7.8, 0, 0) (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3 )= (0, 36, -7.8, 0, 16) Ε (0, 36) http://users.uom.gr/~acg 76

Μετακίνηση στο Ε http://users.uom.gr/~acg 77

Μετακίνηση στο Γ http://users.uom.gr/~acg 79

Μετακίνηση στο Α http://users.uom.gr/~acg 81

Η άριστη λύση στο LINDO Αναφορά Απάντησης LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 120.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 30.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000-3.846154 3) 0.000000-6.923077 4) 10.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 http://users.uom.gr/~acg 82

Αναφορά Ευαισθησίας στο Lindo RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.500000 2.250000 1.000000 X2 2.500000 5.000000 1.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 15.000000 13.000000 7.800000 3 9.000000 9.750000 2.166667 4 20.000000 10.000000 INFINITY http://users.uom.gr/~acg 83

Επίλυση με το WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) http://users.uom.gr/~acg 84

Επίλυση με το WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Ολοκλήρωση της πρώτης φάσης με την κατασκευή του τρίτου πίνακα που ακολουθεί Τρίτος πίνακας simplex Τέταρτη επανάληψη (τρίτος τέταρτος πίνακας) http://users.uom.gr/~acg 85

Επίλυση με το WinQSB (2) Τέταρτος πίνακας = τελικός πίνακας simplex http://users.uom.gr/~acg 86

Η άριστη λύση με το WinQSB http://users.uom.gr/~acg 87

Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ1 (ή της Χ2). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) ξεπεράσει τις 3,75χμ (7,5χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) μειωθεί περισσότερο από 0,5χμ (1χμ) προς τ αριστερά; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για να προσεγγίσει ακόμη 100000 γυναίκες (περιορισμός C1) και μέχρι πόσα επιπλέον άτομα ισχύει η ανάλυση αυτή; Ομοίως για επιπλέον 100000 άνδρες Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του περιορισμού C3. Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (δηλαδή του - ); http://users.uom.gr/~acg 88

Εργαστήριο Πέλλα Δεδομένα Καλλιτεχνικός γύψος = 7.500 kg (πρέπει να καταναλωθούν) Κεφάλαια = 1.060.000χμ (κόστος εργασίας) Μοναδιαίο κόστος εργασίας = 2.000 χμ/ώρα Έκτακτη παραγγελία η οποία προϋποθέτει τουλάχιστον 72 τεμάχια τύπου Α περισσότερα από τα Β) Κατανάλωση Πόρων Προϊόν Α: 1.5 ώρα, 25 kg γύψο, άλλα κόστη = 4.500 χμ, Προϊόν Β: 2.5 ώρες, 15 kg γύψος, κόστος = 2.000 χμ, Τιμή πώλησης Α = 18.000χμ Τιμή πώλησης Β = 26.500χμ http://users.uom.gr/~acg 89

Γενική Μορφή του μοντέλου +0s 2 +0e 3 -Ma 1 -Ma 3 +a 1 +s 2 -e 3 + a 3 http://users.uom.gr/~acg 90

Γραφική επίλυση (ποια είναι η εφικτή περιοχή;) Ζ Θ Ε Δ Γ Η Α Ι Β http://users.uom.gr/~acg 91

Επίλυση με τη μέθοδο simplex (WinQSB -1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) http://users.uom.gr/~acg 92

Επίλυση με τη μέθοδο simplex (WinQSB -2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τρίτος πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex http://users.uom.gr/~acg 93

H άριστη λύση με το WinQSB http://users.uom.gr/~acg 94

Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Ποιο είναι το φυσικό νόημα του αριστερού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X1 που είναι ίσο με Μ (- ); Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X2 που είναι ίσο με Μ (+ ); Πώς σχολιάζετε την απαίτηση να καταναλωθεί οπωσδήποτε όλη η ποσότητα γύψου (ζημιογόνος, επικερδής και γιατί) με βάση τη συγκυρία; Τελικά ποια ποσότητα γύψου φαίνεται ότι θα συνέφερε να καταναλωθεί με βάση τη συγκυρία; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του διαθέσιμου κεφαλαίου για το κόστος εργασίας. Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας και για πόσες ώρες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (- ) στο αριστερό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C3; http://users.uom.gr/~acg 95

Έστω, ότι ο πρώτος περιορισμός γίνεται: Ζ Θ Ε Δ Α Ι Β Γ Η http://users.uom.gr/~acg 96

Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simplex (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) http://users.uom.gr/~acg 97

Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simplex (2) Δεύτερος πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex http://users.uom.gr/~acg 98

Άριστη λύση της παραλλαγής (WinQSB) http://users.uom.gr/~acg 99

Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X2 που είναι ίσο με Μ (+ ); Τι θα συμβεί αν το δεξιό άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X1 αυξηθεί και γίνει ακριβώς ίσο με 11,7; Τελικά πόσα περισσότερα τεμάχια τύπου 1 κατασκευάζονται ; Γιατί ; Συγκρίνετε με την προηγούμενη άριστη λύση και σχολιάστε. Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για την αγορά ενός επιπλέον κιλού γύψου ; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας και για πόσες ώρες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (+ ) στο δεξιό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C1; Ποιο είναι το φυσικό νόημα της αρνητικής σκιώδους τιμής του περιορισμού C3; http://users.uom.gr/~acg 100

Πρόβλημα με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Max z = + 11.7x x 19. 5 1 2 με περιορισμούς με 1) 25x 1 + 15x2 7, 500 2) 3x 1 + 5x2 1, 060 3) x x 1 2 x, x 1 2 0 72 http://users.uom.gr/~acg 101

Γραφική Επίλυση (μοντέλο με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις) http://users.uom.gr/~acg 102

11.7 11.7 11.7 Ποιο σημείο αντιστοιχεί στην άριστη λύση του παραπάνω πίνακα (Ε ή Γ)? http://users.uom.gr/~acg 103

Επίλυση στο WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) http://users.uom.gr/~acg 104

Επίλυση στο WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex) http://users.uom.gr/~acg 105

H άριστη λύση στο WinQSB Από πού διακρίνω ότι υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση ; (η ερώτηση δεν αναφέρεται στο προφανές μήνυμα με τα 2 θαυμαστικά!!) http://users.uom.gr/~acg 106

Εύρεση της εναλλακτικής κορυφής 11.7 http://users.uom.gr/~acg 107

Τελικός πίνακας simplex της εναλλακτικής 11.7 11.7 http://users.uom.gr/~acg 108

Ο τελικός πίνακας simplex της εναλλακτικής στο WinQSB H εναλλακτική άριστη λύση (κορυφή) στο WinQSB http://users.uom.gr/~acg 109

Καμία εφικτή λύση (infeasibility) z = + 10.5x x 19. 5 1 Max 2 με περιορισμούς 25x + 15x 9, 000 1 2 3x + 5x 1 2 x x 1 2 1,060 72 με x, x 1 2 0 http://users.uom.gr/~acg 110

Γραφική Επίλυση (καμία εφικτή λύση) Ζ Θ Δ Ε Γ Α Ι Η http://users.uom.gr/~acg 111

Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Max z = 10.5x e Ma Ma 1 + 19.5x2 + 0e1 + 0s2 + 0 3 1 3 με περιορισμούς 25x + 15x e + a = 9, 000 1 2 1 1 3x + 5x + s = 1 2 2 x x e + a = 1 2 3 3 1,060 72 με x1, x2, e1, a1, s2, e3, a3 0 http://users.uom.gr/~acg 112

Σε ποιο σημείο του σχήματος αντιστοιχεί? http://users.uom.gr/~acg 114

Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) http://users.uom.gr/~acg 115

Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τέταρτoς πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex (γιατί?) http://users.uom.gr/~acg 116

Μη φραγμένο πρόβλημα (unbounded problem) Maximize z με περιορισμούς x 1 50 x x 200 2 1 2 x 1, x2 0 = 500 x1 200 x 2 http://users.uom.gr/~acg 117

Γραφική Επίλυση (μη φραγμένο) http://users.uom.gr/~acg 118

-M α 1 1 0-1 1 0 50 50 0 s 2 2-1 0 0 1 200 100 http://users.uom.gr/~acg 119

?? http://users.uom.gr/~acg 121

Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) http://users.uom.gr/~acg 122

Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex (αδύνατο να προχωρήσει η διαδικασία) Αναφορά του WinQSB για το μη φραγμένο πρόβλημα http://users.uom.gr/~acg 123

Αναφορά του LINDO για το μη φραγμένο πρόβλημα UNBOUNDED VARIABLES ARE: X2 SLK 2 X1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.9999990E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000000 0.000000 X2 99999904.000000-9999.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 50.000000-0.500000 3) 0.000000-0.500000 NO. ITERATIONS= 1 SUFFICIENT SET (COLS), CORRECT ONE OF: X2 X1 http://users.uom.gr/~acg 124

Άλλες ειδικές περιπτώσεις 1. Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές X j R (μετασχηματισμός) 2. Ισοβάθμιση στην εισερχόμενη (c j - z j ) 3. Ισοβάθμιση στην εξερχόμενη (πηλίκα, εκφυλισμένες) http://users.uom.gr/~acg 125