Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =, θ V maϕ = Fϕ =. sin θ ϕ Εφόσον το πεδίο δυνάμεων είναι κεντρικό, θα πρέπει προφανώς να ισχύει: V θ = 0 V, = 0. Επομένως, F= dv ϕ d. Οι Νόμοι της Διατήρησης: Εφόσον το πεδίο είναι διατηρητικό πεδίο δυνάμεων έχουμε δύο νόμους διατήρησης: ή: m V =E=σταθερό, και m = =σταθερό. m + θ ( ) + V( ) = E m θ = Όπως και στην μονοδιάστατη περίπτωση μπορούμε να πάρουμε χρήσιμες πληροφορίες από τους νόμους διατήρησης. Απαλείφοντας το θ από τις παραπάνω εξισώσεις, βρίσκουμε : m + + V( ) = E m U()=ενεργή δυναμική ενέργεια Συνεπώς, η κίνηση περιορίζεται στην περιοχή τιμών του, όπου U ( ) E.
4. Ισότροπος αρμονικός ταλαντωτής Σωμάτιο κινείται στο πεδίο κεντρικών δυνάμεων: Η εξίσωση κίνησης γράφεται: F= k. m x + kx = 0 m k =0 m + k = 0 m z + kz = 0 k Θέτοντας ω =, η γενική λύση δίνεται από: m x = c cosωt + d sin ωt x x = c cosωt + d sin ωt = c cos ωt d sin ωt. (4..) z = c cosωt + d sin ωt z z Οι σταθερές c και d καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες: c= 0, d= υ 0 ω. Η τροχιά του ταλαντωτή είναι η συντεταγμένη δύο ταλαντώσεων πάνω στους άξονες c και d οι οποίοι δεν είναι απαραίτητα κάθετοι μεταξύ τους. Για να περιγράψουμε την κίνηση σε ορθογώνιους άξονες, γράφουμε: = a cos ωt θ b sin ωt θ (4..) όπου, c= a cosθ b sinθ a= c cosθ d sinθ d= a sinθ b cosθ b= csinθ d cosθ (4..3) Επιλέγουμε τώρα το θ έτσι ώστε a b=0, a b= c d sinθ cosθ c d cos θ sin θ =0 tanθ= c d c d, (διότι tan tan A = ). tan A A Επιλέγουμε, τώρα, άξονες x,, έτσι ώστε x a και b. Τότε, από την (4..) έχουμε: x = a cos(ωt θ) = bsin(ωs- θ) z = 0 z = 0 x + a b =
3 που είναι η εξίσωση έλλειψης πάνω στο επίπεδο x, με αρχή το (0,0) και ημιάξονες a και b. Τα a και b μπορούν να προσδιοριστούν εύκολα από τις (4..3), από τις οποίες προκύπτει ότι: a b =c d, a b= c d. Αν, φ, η γωνία μεταξύ των c και d, τότε φθάνουμε στην εξίσωση δευτέρου βαθμού για τα a ή b : a 4 ( c + d ) a + c d sin ϕ = 0 4. Ο νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου k Θεωρούμε μία δύναμη της μορφής F = ˆ, άρα η αντίστοιχη συνάρτηση δυναμικής k ενέργειας είναι V ( ) =, και η ακτινική κινητική ενέργεια είναι ίση με: k m + + V( ) = E, ενώ η U ( ) = + είναι η ενεργός συνάρτηση δυναμικής m m ενέργειας. Περίπτωση : Απωστική δύναμη k > 0 Π.χ. ηλεκτροστατική δύναμη, k = qq, με τα 4πε q, q ομόσημα. o Στην περίπτωση αυτή η U() μειώνεται μονότονα από το + στο =0, μέχρι το 0 όταν. Δηλαδή η U() δεν έχει ελάχιστα και η κυκλική κίνηση είναι προφανώς αδύνατη. Για κάθε θετική τιμή του Ε, υπάρχει μια ελάχιστη τιμή του,, η οποία είναι η μοναδική θετική ρίζα της εξίσωσης U()=E. Μέγιστη τιμή του δεν υπάρχει. Η τροχιά που ακολουθεί το σωμάτιο σε αυτή την περίπτωση είναι μία υπερβολή (θα δειχθεί αργότερα). Παράδειγμα: Σκέδαση ομόσημων φορτίων Περίπτωση : Ελκτική δύναμη k < 0 Π.χ. ) Ηλεκτροστατική δύναμη, k = qq, με τα 4πε q, q ετερόσημα o ) Βαρυτική δύναμη k = Gm m Για λόγους που θα γίνουν αμέσως προφανείς, ορίζουμε ένα μέγεθος l, με διαστάσεις l μήκους, από την l. Οπότε, U ( ) = ( ). Προφανώς, U ( l ) = 0 και m k U ( l) = = U ( ) min. Τώρα θα εξετάσουμε τι γίνεται για διάφορες τιμές της Ε: l Το ένα από τα δύο φορτία υποθέτουμε ότι είναι στην αρχή των αξόνων.
4 (i) E = = U ( ) min m = 0 = l = σταθ. η τροχιά είναι κύκλος με ακτίνα l. l Από την διατήρηση της ενέργειας έχουμε: T = E V = ( ) = = V l l l mυ = υ = l ml (ii) < E < 0 < <. l Για να βρούμε τα, λύνουμε την εξίσωση U ( ) = E m + k + E m = < E = E E + = 0, άρα: m k + E m διότι Ε<0. = > 0, E + Η τροχιά, όπως θα δούμε, είναι ελλειπτική με ημιμέγιστο άξονα a = =. E l (iii) E = 0 < <. Σ' αυτή την περίπτωση έχουμε παραβολική τροχιά. l (iv) E > 0 < <, με <. Σ' αυτή την περίπτωση έχουμε υπερβολική τροχιά. Εύρεση Τροχιών με την μέθοδο της ενέργειας. Ισχύoυν: T + V = E m θ = m ( + θ ) = E Η λύση είναι:. Ζητάμε το = (θ ). [ecos(θ-θ 0 )-]=l, στην περίπτωση της άπωσης, και [ecos(θ-θ 0 )+]=l, στην περίπτωση της έλξης (θ 0 είναι μία αυθαίρετη σταθερά). Κατάταξη τροχιών: e = 0, mk E = = l κύκλος 0 < e <, mk < E < 0, έλλειψη e =, E = 0, παραβολή e >, E > 0, υπερβολή
5 4.3 Ελλειπτικές τροχιές Νόμοι του Keple ος Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις. mk Ισχύει για δέσμια συστήματα, δηλ. όταν: < E < 0. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η εξίσωση της έλλειψης (που την βρήκαμε πιο πάνω σε πολικές συντεταγμένες) γράφεται: ( x + ae) l + =, όπου a = =, b = al = a b e E m E Δηλ. η εστιακή απόσταση της έλλειψης είναι ίση με ae (όπου e η εκκεντρότητα), το εστιακό ημιπλάτος είναι ίσο με l, και εξαρτάται από την στροφορμή, ενώ ο μεγάλος ημιάξονας a, καθορίζεται από την ολική ενέργεια Ε. ος Η επιβατική ακτίνα, που συνδέει τον πλανήτη με τον ήλιο διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Γεωμετρικά: το ακτινικό διάνυσμα διαγράφει εμβαδόν da= ( dθ ) = dθ da = θ = = σταθ. dt m 3 ος Τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής των πλανητών γύρω από τον ήλιο, είναι ανάλογα των κύβων των μεγάλων ημιαξόνων των ελλειπτικών τροχιών τους. Α ελλειψης πab πmab T a b a a ( e ) 4 E m 3 T = = = = m = m = ma = a dα π k dt m όπου χρησιμοποιήσαμε E =. a 4.4 Υπερβολικές τροχιές Εξίσωση της υπερβολής (που την βρήκαμε πιο πάνω σε πολικές συντεταγμένες) γράφεται: ( x ae) l =, όπου a = =, b = al = a b e E me Ο θετικός κλάδος της υπερβολής αντιστοιχεί σε έλξη, ενώ ο αρνητικός σε άπωση. Άπωση: το, όταν θ = ± cos ( ) e Έλξη: το, όταν θ = π ± cos ( ) e Γωνία απόκλισης του σωματίου (γωνία σκέδασης): Θ = π cos ( ) e και στις δυο περιπτώσεις. Συναρτήσει της οριακής ταχύτητας υ, και της παραμέτρου πρόσκρουσης b (που ταυτίζεται με τον μικρό ημιάξονα της υπερβολής), το b = cot Θ mυ
6 (όπου χρησιμοποιήσαμε το ότι E = mυ, a = ). mυ 4.5 Σκέδαση σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων Ας θεωρήσουμε τη σκέδαση φορτισμένων σωματίων από ομόσημα φορτισμένα σωμάτια. Έστω, Ι, η ένταση των σωματίων της προσπίπτουσας δέσμης (σωμάτια ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στην δέσμη, ανά μονάδα χρόνου). Η ενεργός διατομή για σκέδαση στην κατεύθυνση nˆ, ή η διαφορική ενεργός διατομή dσ ( ˆ) n dν ορίζεται ως =, όπου dn, ο αριθμός σωματίων που σκεδάζονται σε στερεά I dσ ( ˆ) n γωνία στην μονάδα του χρόνου, ή dn = I. Η ενεργός διατομή έχει διαστάσεις επιφάνειας. Για κεντρικά πεδία δυνάμεων, όμως, η διεύθυνση της προσπίπτουσας δέσμης αποτελεί άξονα συμμετρίας. Έτσι, έχουμε το παρακάτω σχήμα: Η στερεά γωνία,, γράφεται ds πr sin θrdθ d Ω = = = π sin ΘdΘ, R R
7 όπου Θ, είναι η γωνία μεταξύ της προσπίπτουσας και της σκεδαζόμενης δέσμης και λέγεται γωνία σκέδασης. Τα σωματίδια της προσπίπτουσας δέσμης έχουν στροφορμή,, ανάλογη προς την παράμετρο κρούσης b. Έτσι, = mυ b. Αλλά, ο Ε mυ ο = Ε υο = mυ ο = me = b me m Για δεδομένες τιμές των Ε και b, η γωνία σκέδασης προσδιορίζεται μονοσήμαντα (στην κλασική μηχανική). Έτσι, ο αριθμός των σωματίων που σκεδάζονται στην στερεά γωνία (δηλ. μεταξύ Θ και Θ + d Θ ) είναι ίσος προς τον αριθμό των σωματίων με dσ ( ˆ) n παράμετρο κρούσης μεταξύ b και b+db, δηλαδή, πibdb = I π sin ΘdΘ (το μείον δείχνει ότι αύξηση του db συνεπάγεται μείωση του dθ). Επομένως, dσ ( ˆ) n b db =. sin Θ dθ Είδαμε, ήδη, στην παράγραφο 4.4, ότι k Θ b = cot Θ, με b = cot Θ = cot, όπου k = qq (φορτία ομόσημα). mυ mυ E 4πε o dσ ( ˆ) n k = Συνεπώς, 4 E 4 Θ, sin που είναι η διαφορική ενεργός διατομή Ruthefod (σκέδαση σωματίων, α, από πυρήνες ατόμων). Κβαντομηχανικά, αλλά στο μη σχετικιστικό όριο, η διαφορική ενεργός διατομή είναι ακριβώς η ίδια (αλλά εκεί μιλάμε για πιθανότητα σκέδασης μεταξύ των γωνιών Θ και Θ+dΘ). Αν θεωρήσουμε τώρα σκέδαση προς όλες τις κατευθύνσεις, δηλ. αν ολοκληρώσουμε την διαφορική ενεργό διατομή ως προς όλες τις στερεές γωνίες, παίρνουμε την ολική ενεργό διατομή σκέδασης: σ= 4π dσ ( ˆ) n = π 0 dσ π sin ΘdΘ = Αυτό οφείλεται στο ότι το πεδίο Coulomb πέφτει σαν, και έτσι μικρή σκέδαση παθαίνουν τα σωμάτια ακόμη και αν περάσουν πολύ μακριά από το κέντρο σκέδασης. Ο αριθμός των σωματίων που σκεδάζονται σε οποιαδήποτε γωνία μεγαλύτερη από κάποιο κατώτερο όριο, Θ ο, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Πρόκειται για τα σωμάτια Θo που έχουν παραμέτρους πρόσκρουσης b μικρότερες από b o = a cot. Η αντίστοιχη ενεργός διατομή είναι: σ(θ>θ ο )= π b = a cot o π. Πεδία που πέφτουν γρηγορότερα από το, δίνουν πεπερασμένη ολική ενεργό διατομή σκέδασης. Θ