(ΜΙΚΡΗ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ 1.1 Ιστορικό Σημείωμα 1.2 Η Προσέγγιση της Επιχειρησιακής Έρευνας στη Λήψη Βέλτιστων Αποφάσεων
2
1. Εισαγωγή 3 Με τον όρο Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research), αναφερόμαστε 1 στην επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση -optimizationτης απόδοσης ενός συστήματος. Ειδικότερα, πρόκειται για ένα σύνολο από τεχνικές, οι οποίες χρησιμοποιώντας (μαθηματικά) μοντέλα, δημιουργούν μια ποσοτική και ορθολογιστική βάση για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία του υπό μελέτη συστήματος. Για το λόγο αυτό χαρακτηρίζεται συχνά και με τους όρους Διοικητική Επιστήμη (Management Science), Λήψη Διοικητικών Αποφάσεων (Decision Making), ή Ποσοτική Ανάλυση (Quantitative Analysis). Η Επιχειρησιακή Έρευνα δεν είναι απλά μια συλλογή τεχνικών, αποτελεί (κυρίως) την ενδεδειγμένη διαδικασία επιστημονικής προσέγγισης των προβλημάτων κατανομής των περιορισμένων πόρων που παρουσιάζονται σε συστήματα των φυσικών και κοινωνικών επιστημών. Σε γενικές γραμμές, η συνεισφορά της Επιχειρησιακής Έρευνας αναφέρεται: στην υποστήριξη των αποφάσεων της διοίκησης ενός υπαρκτού συστήματος για κάποιο λειτουργικό πρόβλημα με τη δημιουργία ενός μαθηματικού αναλυτικού μοντέλου ή, αν κάτι τέτοιο είναι αδύνατο, μ ένα μοντέλο προσομοίωσης το οποίο επιτρέπει στον ηλεκτρονικό υπολογιστή να προσεγγίσει τη συμπεριφορά του συστήματος. στη μελέτη της δομής των ανωτέρω αποφάσεων ώστε να είναι εφικτή η ανάπτυξη μιας διαδικασίας εύρεσής τους (επίλυση του μοντέλου). στη διατύπωση της μαθηματικής θεωρίας που οδηγεί στην απόφαση, η οποία βελτιστοποιεί τον προκριθέντα στόχο (: κριτήριο επίδοσης του συστήματος), ή που συγκρίνει διαφορετικούς τρόπους ενεργειών αποτιμώντας ένα συγκεκριμένο κριτήριο επίδοσης. Στις μέρες μας, είναι γενικά παραδεκτό ότι η Επιχειρησιακή Έρευνα έχει τις δυνατότητες επιτυχούς αντιμετώπισης περίπλοκων και πολύπλοκων προβλημάτων, πολλές φορές σε στοχαστικά περιβάλλοντα αβεβαιότητας. Με όπλο αναλυτικές τεχνικές αλλά και τεχνικές προσομοίωσης, διευκολύνει την εις βάθος κατανόησή τους προκρίνοντας ταυτόχρονα πρακτικές επίλυσης. 1 Πρόκειται για τον πιο διαδεδομένο ορισμό. Προέρχεται από το βιβλίο των F. Hillier and G. Lieberman: Introduction to Operations Research (2001, 7 th edition McGraw- Hill), και καταγράφεται στους επίσημους δικτυακούς τόπους των γνωστότερων επιστημονικών ενώσεων (π.χ. INFORMS www.informs.org, OR Society www.orsoc.org.uk).
4 1.1 Ιστορικό Σημείωμα Αν και τεχνικές - μοντέλα Επιχειρησιακής Έρευνας αναφέρονται από την αρχή του αιώνα μας, είναι γενικά παραδεκτό ότι η αρχή της Επιχειρησιακής Έρευνας ως επιστήμης, προσδιορίζεται στη διάρκεια του Δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου. Ακριβώς λόγω του πολέμου, υπήρχε άμεση ανάγκη για την αποτελεσματική κατανομή των λιγοστών πόρων στις διάφορες στρατιωτικές εξορμήσεις. Έτσι, αρχικά στην Αγγλία και στη συνέχεια στις ΗΠΑ, συγκροτήθηκαν ομάδες επιστημόνων με σκοπό την πραγματοποίηση επιστημονικών ερευνών σε στρατιωτικές επιχειρήσεις, research on (military) operations. Η επιτυχία των πρωτοπόρων ομάδων επιχειρησιακών ερευνητών υπήρξε τόσο θεαματική, ώστε γρήγορα έγιναν ευρέως αποδεκτές, πολλαπλασιάστηκαν και ενεπλάκησαν με την επίλυση πάσης φύσεως στρατιωτικών προβλημάτων 2, όπως την τοποθέτηση των ραντάρ στην Αγγλία, τον αντιαεροπορικό έλεγχο, τον προσδιορισμό του βέλτιστου μεγέθους των νηοπομπών, τον εντοπισμό και βομβαρδισμό των εχθρικών υποβρυχίων, κλπ. Η βιομηχανική έκρηξη που ακολούθησε το τέλος του πολέμου, έφερε στην επιφάνεια πολύπλοκα προβλήματα διοίκησης, παραγωγής και εμπορίου προϊόντων, κλπ. Σύντομα, πολλοί από τους επιστήμονες που συμμετείχαν στις στρατιωτικές ομάδες επιχειρησιακών ερευνητών και τώρα απασχολούνταν σε θέσεις κλειδιά στον ιδιωτικό ή τον ερευνητικό τομέα, διαπίστωσαν ότι τα νέα προβλήματα ήταν σε γενικές γραμμές αυτά που είχαν αντιμετωπίσει και κατά τη διάρκεια του πολέμου, απλά το πεδίο εφαρμογής είχε αλλάξει. Σιγά-σιγά, και μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του 1950, τα άτομα αυτά καθιέρωσαν τη χρήση της Επιχειρησιακής Έρευνας σε επιχειρήσεις, βιομηχανίες και μεγάλους οργανισμούς research on operations. Στη συνέχεια, αφενός μεν η γρήγορη ανάπτυξη νέων μεθοδολογιών (πολλά από τα πιο γνωστά εργαλεία της Επιχειρησιακής Έρευνας αναπτύχθηκαν πριν το 1960 3 ), αφετέρου δε η εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, οδήγησαν στη ραγδαία διάδοση της Επιχειρησιακής Έρευνας. Στις μέρες μας, είναι απίθανο να υπάρχει επιχείρηση, βιομηχανία, κρατική υπηρεσία και οργανισμός παροχής υπηρεσιών ανεξαρτήτως του μεγέθους της που να μην κάνει χρήση κάποιας/ων τεχνικής/κών Επιχειρησιακής Έρευνας. 2 Μάλιστα, ακριβώς λόγω της ποικιλίας των προβλημάτων που αντιμετώπιζαν, η διασπορά των επιστημονικών ειδικοτήτων σ αυτές τις ομάδες ήταν τόσο μεγάλη, που μια από τις πρώτες που αναπτύχθηκε υπό το φυσικό P.M.S. Blackett (βραβείο Nobel 1948) έγινε ευρέως γνωστή ως Blackett s Circus. 3 Βλ. σελίδες 5-6.
1. Εισαγωγή 5 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΈΡΕΥΝΑΣ -1890 INDUSTRIAL ENGINEERING. Ο Αμερικανός μηχανικός Frederick Taylor εφαρμόζει επιστημονικές προσεγγίσεις (scientific management) για την παραγωγή βιομηχανικών προϊόντων. -1900 PROJECT SCHEDULING. Ο Henry L. Gantt προτείνει τα ομώνυμα διαγράμματα για την αναπαράσταση της χρονικής δραστηριότητας διαφόρων μηχανών. MARKOV PROCESSES. Ο Andrey A. Markov μελετά τη διαχρονική εξέλιξη συστημάτων. NETWORKS. Διατυπώνεται η επίλυση της γενικής μορφής του προβλήματος εκχώρησης. -1910 INVENTORY THEORY. Ο Ford W. Harris προσδιορίζει τη βέλτιστη ποσότητα παραγωγής αποθήκευσης προϊόντων σε τρόπο ώστε να ικανοποιείται μια δεδομένη ζήτησή τους. QUEUING THEORY. Ο Δανός μαθηματικός E. K. Erlang βρίσκει μια σχέση για τον υπολογισμό του μέσου χρόνου αναμονής των κλήσεων προς ένα τηλεφωνικό κέντρο. -1920 QUALITY CONTROL. Οι Harold F. Dodge και Harold G. Roming αναπτύσσουν την ιδέα της δειγματοληψίας αποδοχής. -1930 GAME THEORY. Οι John von Neuman και Oscar Morgenstern διατυπώνουν τεχνικές για την αξιολόγηση ανταγωνιστικών καταστάσεων. -1940 Ο 2 ος Παγκόσμιος Πόλεμος δίνει τη δυνατότητα εφαρμογής μαθηματικών μοντέλων στην επίλυση επιχειρησιακών προβλημάτων του στρατού. LINEAR PROGRAMMING. Ο George Dantzig αναπτύσσει τον αλγόριθμο Sim plex για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του γραμμικού μοντέλου κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος. Κατασκευάζεται ο πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής. -1950 NONLINEAR PROGRAMMING. Οι H. Kuhn και A.W. Tucker καθορίζουν τις συνθήκες εύρεσης της βέλτιστης λύσης σε μη-γραμμικά προβλήματα. INTEGER PROGRAMMING. Ο Ralf Gomory αναπτύσσει έναν αλγόριθμο επίλυσης του μοντέλου στο οποίο κάποιες μεταβλητές πρέπει να έχουν ακέραιες τιμές. PROJECT SCHEDULING. Διατυπώνονται οι τεχνικές PERT και CPM. DYNAMIC PROGRAMMING. Ο Richard Bellman παρουσιάζει μια μεθοδολογία επίλυσης πολυσταδιακών προβλημάτων στα οποία λαμβάνεται μια ακολουθία αλληλοσυνδεόμενων αποφάσεων. Ιδρύονται τα επιστημονικά σωματεία Operational Research Society, Operations Research Society of America (ORSA) και The Institute of Management Science (TIMS).
6 ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 4 ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΈΡΕΥΝΑΣ (συνέχεια) -1950 Οι C.W. Churchman, R.L. Ackoff και E.L. Arnoff δημοσιεύουν το πρώτο βιβλίο Επιχειρησιακής Έρευνας με τον τίτλο: Introduction to Operations Research (1957, John Wiley & Sons). -1960 QUEUING THEORY. Ο John D.C. Little αποδεικνύει τη σχέση μεταξύ του μέσου πλήθους πελατών στην ουρά αναμονής και του μέσου χρόνου αναμονής ενός πελάτη σ αυτή. SIMULATION. Αναπτύσσονται εξειδικευμένες γλώσσες προγραμματισμού, όπως οι SIMSCRIPT και GPSS, για την πραγματοποίηση διαδικασιών προσομοίωσης. -1970 Ιδρύεται το επιστημονικό σωματείο Decision Sciences Institute (DSI). -1980 LINEAR PROGRAMMING. Ο N. Karmarkar παρουσιάζει μια νέα μεθοδολογία επίλυσης του γραμμικού μοντέλου, με αξιοσημείωτη ταχύτητα σε μεγάλου μεγέθους προβλήματα. Αρχίζει η ευρεία διάθεση - εξάπλωση των προσωπικών ηλεκτρονικών υπολογιστών (PCs). Εμφανίζονται εξειδικευμένα λογισμικά Επιχειρησιακής Έρευνας για PCs. -1990 Στις Η.Π.Α., τα επιστημονικά σωματεία ORSA και TIMS συγχωνεύονται και δημιουργούν το Institute of Operations Research and Management Science (INFORMS). Τα λογισμικά Επιχειρησιακής Έρευνας αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο στην μοντελοποίηση και επίλυση των σχετικών προβλημάτων. 1.2 Η Προσέγγιση της Επιχειρησιακής Έρευνας στη Λήψη Βέλτιστων Αποφάσεων Πολλές φορές στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε τη λέξη σύστημα. Σύστημα, κατά το λεξικό του Webster (New World Dictionary) είναι ένα σύνολο από τοποθετήσεις αντικειμένων και υποκειμένων τα οποία σχετίζονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να αποτελούν μία ολότητα. Όλοι είμαστε μέλη πολλών και διάφορων συστημάτων, για παράδειγμα. της οικογενείας μας, του πανεπιστημίου, της κοινωνίας,... Η έννοια του συστήματος συναντιέται σε όλες τις επιστήμες, κοινωνικές, φυσικές, βιολογικές, κλπ. 4 Τα παραπάνω βασίστηκαν σε μεγάλο βαθμό στα βιβλία των J. Lawrence and B. Pasternack: Applied Management Science. Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision Making (2002, 2 nd edition John Wiley & Sons) και T.M. Cook and R.A. Russell: Introduction to Management Science (1993, 5 th edition Prentice Hall).
1. Εισαγωγή 7 Ιδιαίτερα στην Επιχειρησιακή Έρευνα, με τη λέξη σύστημα, αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως επιχειρήσεις, βιομηχανίες, κρατικές υπηρεσίες, οργανισμούς παροχής υπηρεσιών, κλπ. Η επιστημονική πρακτική για τη μελέτη ενός συστήματος και την αντιμετώπιση προβλημάτων προερχόμενα από τις όποιες λειτουργικές περιοχές του, είναι η χρήση του κατάλληλου για την κάθε περίπτωση μαθηματικού μοντέλου, μιας αναπαράστασης του συστήματος στην οποία, οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών σχέσεις, έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ μαθηματικών στοιχείων, ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθεί. Το μοντέλο δεν μπορεί, αλλά ούτε και επιδιώκεται, να απεικονίζει με ακρίβεια κάθε πτυχή της λειτουργίας του συστήματος. Θεμελιώδης επιδίωξη της διατύπωσής του, είναι η ύπαρξη ισομορφίας με όλες τις σημαντικές για το προς μελέτη πρόβλημα πλευρές. Ένα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη «κάποιας» απόφασης για την επίλυση του προβλήματος, ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό λεπτομέρειες ή υποθέσεις. Στην εικόνα 1.1 δίνεται η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την αντιμετώπιση -λύση- κάποιου προβλήματος. Σε γενικές γραμμές, αποτελείται από δύο στάδια, την προετοιμασία και την ανάλυση. Αναλυτικότερα, ο όρος προετοιμασία περιλαμβάνει τρία βήματα της διαδικασίας: την αναγνώριση και το σαφή προσδιορισμό του προβλήματος, την απαρίθμηση των εφικτών (εναλλακτικών) λύσεών του, και τον καθορισμό κριτηρίου/ρίων αξιολόγησής τους, ενώ ο όρος ανάλυση, δύο: την αξιολόγηση των εφικτών λύσεων με βάση το/τα κριτήριο/ρια, και την επιλογή της βέλτιστης λύσης (: λήψη απόφασης). Λογικά, για να φτάσουμε στη λύση του προβλήματος θα πρέπει στη συνέχεια να προχωρήσουμε σε εφαρμογή της βέλτιστης λύσης, και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της. Στο στάδιο της ανάλυσης, και συγκεκριμένα στην αξιολόγηση των εφικτών λύσεων, υπεισέρχονται τόσο ποιοτικοί όσο και ποσοτικοί παράγοντες (εικόνα 1.1). Η ποιοτική ανάλυση 5 βασίζεται στην εμπειρία και τη διαίσθηση των μελών του συστήματος, και χρησιμοποιείται (κυρίως) σε περι- 5 Η ποιοτική αντιμετώπιση ενός προβλήματος είναι περισσότερο τέχνη παρά επιστήμη.
8 Εικόνα 1.1 Μεθοδολογία αντιμετώπισης (επίλυση) ενός προβλήματος.
1. Εισαγωγή 9 πτώσεις που χαρακτηρίζονται ως προφανείς ή έχουν προκύψει και κατά το παρελθόν. Βέβαια, τις περισσότερες φορές τα προβλήματα είναι ιδιαίτερα περίπλοκα και μόνον η ποσοτικοποίηση όλων των εμπλεκομένων παραμέτρων τους μπορεί να οδηγήσει στην επίλυσή τους. Η διατύπωση ενός μαθηματικού μοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά όλες τις πτυχές του προβλήματος, είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης. Έτσι, τόσο οι συνθήκες λειτουργίας του συστήματος (οι οποίες προσδιορίζουν το σύνολο των εφικτών λύσεων του προβλήματος που μελετάται), όσο και το κριτήριο αξιολόγησής τους (η βελτιστοποίηση του οποίου θα προκρίνει κάποια από αυτές ως τη λύση ) μετατρέπονται σε μαθηματικές και/ή λογικές σχέσεις και σύμβολα. Υπό αυτό το πρίσμα, η μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου το οποίο προσεγγίζει μέσω της Επιχειρησιακής Έρευνας -μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης- κάποιο πρόβλημα έχει (τυπικά) την εξής οργάνωση 6 : βελτιστοποίηση κριτηρίου (maximize ή minimize) κάτω από τις συνθήκες Αν και η βελτιστοποίηση της λειτουργίας του συστήματος είναι ο βασικός λόγος για τον οποίο προχωρούμε στην κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου του, με τη χρήση του επιδιώκουμε παράλληλα να: περιγράψουμε το σύστημα και να εμβαθύνουμε στις διάφορες πτυχές του, προβλέψουμε τη μελλοντική συμπεριφορά του, ορίσουμε δείκτες λειτουργικότητας των επί μέρους τμημάτων του, προβούμε σε εκτεταμένη μελέτη της συμπεριφοράς του συστήματος κάτω από διαφορετικές υποθετικές συνθήκες λειτουργίας (what-if analysis), βρούμε λύσεις σε διάφορα ζητήματα προβλήματα, αποφύγουμε την εμφάνιση προβληματικών καταστάσεων στο σύστημα προειδοποιώντας έγκαιρα για την εμφάνισή τους, συνδράμουμε στον σχεδιασμό καλύτερων (ανάλογων) συστημάτων ή να βελτιώσουμε τον υπάρχοντα. 6 Φυσικά, τόσο το κριτήριο όσο και οι αντίστοιχες περιοριστικές του συνθήκες, αφορούν αποκλειστικά το εξεταζόμενο πρόβλημα του συγκεκριμένου συστήματος και αναπαριστώνται ως μαθηματικές συναρτήσεις.
10 Διατύπωση ενός Μαθηματικού Μοντέλου Βελτιστοποίησης Όπως ήδη αναφέρθηκε, η Επιχειρησιακή Έρευνα αποσκοπεί στο να προτείνει μια σειρά διαδοχικών βημάτων τα οποία έχουν ως τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού προτύπου, του μαθηματικού -συμβολικού κόσμου, που να αναπαριστά τον πραγματικό - καθημερινό κόσμο που πρέπει να αντιμετωπιστεί (εικόνα 1.2): 1. αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων, 2. κατασκευή του σχετικού με το εξεταζόμενο πρόβλημα μοντέλου, 3. επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου, 4. εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης. Ο ορισμός του προβλήματος αναφέρεται στη μελέτη του συστήματος, μέσω της οποίας επιδιώκεται η καταγραφή μιας λεπτομερούς διατύπωσης του υπάρχοντος προβλήματος (παράλληλα με την παραδοχή της ύπαρξής του). Στη φάση αυτή, και σε στενή συνεργασία με τους ενδιαφερόμενους, προσδιορίζονται οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος, καθορίζονται οι επιθυμητοί στόχοι, εντοπίζονται οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του συστήματος, συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και περιορισμών δεδομένα και γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους. Η ανάπτυξη του μοντέλου στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του προβλήματος, όπως αυτές διατυπώθηκαν και προσδιορίστηκαν στο προηγούμενο βήμα, σε μαθηματικές και/ή λογικές σχέσεις. Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες του μοντέλου -μαύρο κουτί- και να στραφεί η προσοχή στον προσδιορισμό της εισόδου και της εξόδου από αυτό. Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι, οι μεταβλητές απόφασης και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν, ενώ ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης - επίδοσης (εικόνα 1.3). Η μαθηματική αναπαράσταση του κριτηρίου επίδοσης 7 αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο, όπως αυτός καθορίστηκε στο προηγούμενο βήμα της υπό συζήτηση διαδικασίας. 7 Βιβλιογραφικά αναφέρεται με τον όρο «αντικειμενική συνάρτηση».
1. Εισαγωγή 11 Εικόνα 1.2 Η προσέγγιση της Επιχειρησιακής Έρευνας στην αντιμετώπιση (επίλυση) ενός προβλήματος.
12 Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί. Είναι τα δομικά στοιχεία του προβλήματος των οποίων οι επιβαλλόμενες από το μελετητή τιμές προσδιορίζουν τη συμπεριφορά του κριτηρίου επίδοσης 8. Κατά συνέπεια, αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την αντικειμενική συνάρτηση 9. Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές παραμένουν (γνωστές) σταθερές 10, καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες, καθ όλο το χρονικό ορίζοντα επίλυσής του. Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές απόφασης 11. Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε ένα πρόβλημα μείγματος προϊόντων (product mix problem, βλ. σελίδα 106) όπου ένα σύστημα, εκμεταλλευόμενο τους πόρους που έχει στη διάθεσή του παράγει μια σειρά προϊόντων. Μεταβλητές απόφασης είναι οι ποσότητες που πρέπει να παράγονται από κάθε προϊόν, ώστε να μεγιστοποιούνται τα συνολικά κέρδη (βελτιστοποίηση του τεθέντος κριτηρίου επίδοσης) κάτω από περιορισμούς όπως οι διαθέσιμες ποσότητες των απαιτουμένων πρώτων υλών, η ζήτηση της αγοράς, η χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων, κλπ. Όλες οι λογικές και μαθηματικές συναρτήσεις οι οποίες αναπαριστούν τις διαπλεκόμενες σχέσεις αίτιου και αποτελέσματος που υπάρχουν μεταξύ των ανωτέρω παραγόντων σχηματίζουν το ζητούμενο μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης (εικόνα 1.3). Σ ένα μοντέλο βελτιστοποίησης πρέπει να υπάρχουν οπωσδήποτε οι μεταβλητές απόφασης, ενώ διατυπώνονται τόσο μοντέλα χωρίς αντικειμενική συνάρτηση (σπανιότατα), όσο και μοντέλα χωρίς περιορισμούς (unconstrained optimization). 8 Ανάλογα, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από κάποια άλλη. 9 Υπάρχουν περιπτώσεις προβλημάτων με (πολλούς) αντικρουόμενους στόχους. Τότε το κριτήριο επίδοσης δεν μπορεί να εκφραστεί με μια μοναδική αντικειμενική συνάρτηση και χρησιμοποιούνται τεχνικές που επιχειρούν την ταυτόχρονη βελτιστοποίηση δύο ή περισσότερων αντικειμενικών συναρτήσεων (κεφάλαιο 8). 10 Συνήθως προκύπτουν από εκτίμηση. 11 Κατά συνέπεια και στην τιμή του κριτηρίου επίδοσης.
1. Εισαγωγή 13 Αποφασίζοντας Εικόνα 1.3 Το μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης (είσοδοι έξοδοι). Μετά την οργάνωση του προβλήματος, τη συλλογή των δεδομένων και τον ορισμό της εισόδου/εξόδου του μοντέλου που προκρίθηκε, γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του: να προσδιοριστούν δηλαδή εκείνες οι τιμές των μεταβλητών απόφασης οι οποίες, ικανοποιώντας τους λειτουργικούς περιορισμούς του συστήματος, θα βελτιστοποιήσουν το κριτήριο επίδοσης. Ο μελετητής θα πρέπει στο σημείο αυτό να είναι σε θέση να ταυτοποιήσει το διατυπωθέν μοντέλο με κάποιο από τα γνωστά θεμελιωμένα μοντέλα της Επιχειρησιακής Έρευνας 12. Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί το ευκολότερο μέρος της όλης διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων 13, ενσωματωμένων σε κάποιο κατάλληλο λογισμικό. Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis). Με την ανάλυση ευαισθησίας επιχειρούμε να εντοπίσουμε τις παραμέτρους του προβλήματος 12 Στο σημείο αυτό, θεωρούμε σκόπιμο να τονίσουμε ότι είναι σοβαρό λάθος η προσπάθεια να «στριμωχθεί» το πρόβλημα σ ένα από τα γνωστά προσδιοριστικά (π.χ. γραμμικός, ακέραιος, δυναμικός προγραμματισμός, κλπ.) ή στοχαστικά (π.χ. Μαρκοβιανές αλυσίδες, θεωρία ουρών αναμονής, κλπ.) μοντέλα, όταν αυτό γίνεται σε βάρος της βαθύτερης ανάλυσης. Στην περίπτωση που κανένα από τα γνωστά πρότυπα δεν προσφέρεται για τη λύση του προβλήματος, θα πρέπει να θεμελιωθεί (και θεωρητικά) ένα καινούργιο. 13 Ως αλγόριθμο ορίζουμε μια συστηματική μεθοδολογία η οποία ύστερα από ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων οδηγεί στον εντοπισμό της βέλτιστης λύσης (optimal methods) ή απλά σε μια παραδεκτή-εφικτή λύση (heuristic methods).
14 που είναι κρίσιμες για τη λύση που καταλήξαμε (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και μεταβολή της λύσης). Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν. Συνιστώσες του προβλήματος που παραβλέφθηκαν ή υπερ-απλουστεύθηκαν και δεδομένα που εκτιμήθηκαν λάθος είναι οι συνήθεις λόγοι που οδηγούν στην ύπαρξη μιας μη-παραδεκτής λύσης. Σ αυτές τις περιπτώσεις το μοντέλο θα πρέπει να αναθεωρηθεί κι ολόκληρη η διαδικασία να επαναληφθεί εκ νέου. Ένα μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης, ως μια συμβολική αναπαράσταση του πραγματικού κόσμου, καταγράφει μόνο τα κύρια στοιχεία του (είναι ανέφικτο να επιχειρηθεί η συμμετοχή όλων των πτυχών του). Συνεπώς, η επίλυση του μοντέλου που θα διατυπωθεί, οδηγεί σε προτάσεις οι οποίες απορρέουν αποκλειστικά από αυτό, δε λαμβάνεται δηλαδή υπόψη ο βαθμός απλοποίησης που περικλείει κι ούτε φυσικά η επιλογή των βασικών παραμέτρων που έχει γίνει. Σ αυτό το τελικό στάδιο, τα αποτελέσματα του μοντέλου ερμηνεύονται κάτω από τις συνθήκες του πραγματικού κόσμου, ενσωματώνοντας δηλαδή ότι παραλήφθηκε στη φάση της κατασκευής του. Η διαδικασία αυτή, επαυξημένη με τη διαίσθηση και εμπειρία της διοίκησης (εικόνα 1.2), εξασφαλίζει σωστότερες καλύτερες αποφάσεις. Η έννοια μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης ταυτίζεται συνήθως με την έννοια προσδιοριστικό μοντέλο. Στο προσδιοριστικό περιβάλλον μοντελοποίησης, οι επιπτώσεις όλων των εναλλακτικών αποφάσεων είναι γνωστές με (σχετική) βεβαιότητα. Το γεγονός αυτό εξασφαλίζεται από την παραδοχή ότι όλες οι πληροφορίες που χρειαζόμαστε για την εύρεση και αξιολόγηση των λύσεων του εξεταζόμενου προβλήματος είναι γνωστές με βεβαιότητα 14. Ωστόσο, αποφάσεις παίρνονται και σε περιβάλλον αβεβαιότητας η οποία μπορεί να υπάρχει εκεί εκ κατασκευής, ή να έχει προκύψει από έλλειψη πληροφοριών και μη προβλέψιμες μεταβολές. Στο προσδιοριστικό περι- 14 Η αναφορά γίνεται βέβαια για τους ανεξέλεγκτες παράγοντες του σχετικού περιβάλλοντος -τις παραμέτρους- και τις δυνατότητες ακριβούς πρόβλεψης που υπάρχουν.
1. Εισαγωγή 15 Εικόνα 1.4 Ταξινoμιμένη παρουσίαση των πιο γνωστών προσδιοριστικών αλγορίθμων (μαθηματικών μοντέλων βελτιστοποίησης. Βασίζεται στο περιεχόμενο του δικτυκακού τόπου Network-Enabled Optimization System www-neos.mcs.anl.gov
16 βάλλον το κατά πόσο μια απόφαση είναι καλή κρίνεται μόνον εκ του αποτελέσματος που παράγει 15. Αντίθετα, στο στοχαστικό περιβάλλον της αβεβαιότητας όπου η πιθανότητα υποκαθιστά την πλήρη πληροφόρηση, το ενδιαφέρον στρέφεται πέραν του αποτελέσματος και στην πιθανότητα πραγματοποίησής του. Επισημάνσεις: είναι η εφαρμογή της Ε.Ε. θέμα μόνο γνώσεων; Τονίστηκε ήδη το γεγονός ότι από τη στιγμή που κανένα από τα γνωστά πρότυπα δε συμβάλλει στη λύση του προβλήματος, προκύπτει η ανάγκη δημιουργίας ενός νέου. Για να φτάσει κάποιος στο επίπεδο να μπορεί να κατασκευάσει ένα νέο μοντέλο και εν συνεχεία να το λύσει, πέρα από τη βαθιά γνώση των μαθηματικών, θα πρέπει τουλάχιστον να έχει κατανοήσει σε μεγάλο βαθμό πως δημιουργήθηκαν τα υπάρχοντα μοντέλα. Αυτός είναι ο κυριότερος λόγος για τον οποίο είναι σοβαρό λάθος η παρουσίαση των διάφορων υπαρχόντων προτύπων σε μορφή «συνταγών μαγειρικής». Η τακτική αυτή, συνοδευόμενη από την τυφλή χρήση των λογισμικών έχει οδηγήσει σε σωρεία κακών εφαρμογών της Επιχειρησιακής Έρευνας (σε αναλογία με το αντίστοιχο φαινόμενο της Στατιστικής). Πέρα όμως από τη θεωρητική κατάρτιση κι άποψη, η σωστή εφαρμογή των μεθόδων της Επιχειρησιακής Έρευνας απαιτεί κι ένα δείκτη ευφυΐας και αντίληψης. Το γεγονός αυτό φαίνεται καθαρά από τη γνωστή ιστορία με τίτλο το πρόβλημα του ανελκυστήρα. Σ ένα ψηλό κτίριο με γραφεία, ο κόσμος εξέφραζε συνεχή παράπονα στη διοίκηση ότι οι ανελκυστήρες καθυστερούσαν απελπιστικά. Η μελέτη που πραγματοποίησε μια ομάδα επιχειρησιακών ερευνητών έδειξε ότι οι μέσοι χρόνοι αναμονής για την έλευση του ανελκυστήρα, καθώς επίσης και οι αναμενόμενοι χρόνοι αναμονής από τη στιγμή εισόδου στο κτίριο μέχρι την άφιξη του επισκέπτη στον προορισμό του ήταν παραδεκτοί. Περαιτέρω μελέτη, υπέδειξε ότι το όλο πρόβλημα ήταν καθαρά πρόβλημα «βαριεστιμάρας» και τίποτε περισσότερο. Τα παράπονα εξαφανίστηκαν, με την τοποθέτηση μεγάλων καθρεπτών σε όλους τους ορόφους γύρω από τους ανελκυστήρες: οι επισκέπτες άρχισαν να απασχολούνται παρατηρώντας τους εαυτούς τους και τους άλλους καθώς περίμεναν την έλευση του ανελκυστήρα. 15 Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κριτηρίου επίδοσης του συστήματος.