Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Transcript

1 Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική και ορθολογιστική βάση για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία του συστήματος. Η Επιχειρησιακή Έρευνα είναι επιστήμη (Μαθηματικές Τεχνικές & Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων) τέχνη (ανθρώπινος παράγοντας & η κατάλληλη λύση για το κατάλληλο πρόβλημα) 1/27

2 Η Επιχειρησιακή Έρευνα θεμελιώθηκε σαν παραπροϊόν του Β Παγκοσμίου Πολέμου (Do Research on Military Operations). Αγγλία ( ). Τοποθέτηση των radars για τον εντοπισμό των γερμανικών αεροπλάνων. Αγγλία (1940). Το τσίρκο του Blackett. H.Π.Α. (1942). αναπτύχθηκε με τη βιομηχανική επανάσταση που ακολούθησε στα χρόνια της ειρήνης (Management Science). τα προβλήματα που παρουσιάστηκαν λόγω του μεγέθους και της πολυπλοκότητας των διαφόρων εφαρμογών, εκμηδενίστηκαν με τη διάδοση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στις δεκαετίες του 1950 και 60. 2/27

3 Βήματα Αναγνώριση Ορισμός του Προβλήματος Τεχνικές Επιχειρησιακής Έρευνας Ανατροφοδότηση Επανεκτίμηση Επαναπροσδιορισμός Ανάπτυξη του Μοντέλου Επίλυση του Μοντέλου Εφαρμογή & Αξιολόγηση Της Λύσης Πληροφορίες από το πραγματικό περιβάλλον 3/27

4 ΦΑΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ Ε.Ε. Ι. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ & ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ του/των προβλημάτων. Το πρώτο βήμα για την εφαρμογή τεχνικών της Ε.Ε. στη μελέτη ενός συστήματος αφορά τη διαρκή προσπάθεια ανεύρεσης λειτουργικών προβλημάτων. (Σύστημα είναι ένα σύνολο αντικειμένων και υποκειμένων τα οποία σχετίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε να αποτελούν μια οντότητα). ΙΙ. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου). Η πιο διαδεδομένη μέθοδος για τη θεωρητική παρατήρηση ενός συστήματος είναι αυτή της κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου. (Το μοντέλο είναι μια προσομοίωση της φυσικής κατάστασης, όπου οι συσχετισμοί μεταξύ των πραγματικών στοιχείων έχουν αντικατασταθεί από ανάλογους συσχετισμούς ανάμεσα σε μαθηματικές οντότητες). βελτιστοποίηση κριτηρίου (maximize/minimize) κάτω από τις συνθήκες Ομογενή Μη-Ομογενή Προσδιοριστικά Αλγεβρικές Σχέσεις Διαφορικές εξισώσεις Στοχαστικά Πιθανολογικές Σχέσεις Προσομοίωση 4/27

5 Μεταβλητές ΕΙΣΟΔΟΣ Παράμετροι Μοντέλο Κριτήριο απόδοσης ΕΞΟΔΟΣ Περιορισμοί 5/27

6 ΙΙΙ. ΕΠΙΛΥΣΗ του μοντέλου. Πολλές έτοιμες τεχνικές-μοντέλα Βέλτιστες λύσεις / Παραδεκτές λύσεις Ανάλυση ευαισθησίας IV. ΕΦΑΡΜΟΓΗ & ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ της λύσης.?? υπερ-απλουστεύσεις,?? παραλήψεις,?? λάθος εκτίμηση 6/27

7 Μοντέλο ΕΠΙΛΥΣΗ Συμπεράσματα μαθηματικός κόσμος πραγματικότητα ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ (ΠΑΡΑΔΟΧΗ) Κρίση Αντίληψη ΕΡΜΗΝΕΙΑ Διοίκηση ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ Αποφάσεις 7/27

8 Γραμμικός Προγραμματισμός (Linear Programming) Μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα. Ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική. Μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών και βιομηχανικών μονάδων. Ο Γραμμικός Προγραμματισμός ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των πεπερασμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Αναζητά μεταξύ όλων των εναλλακτικών σχεδιασμών, εκείνον ( πρόγραμμα ) ο οποίος θα οδηγήσει στο άριστο αποτέλεσμα. Από μαθηματικής σκοπιάς, ο γραμμικός προγραμματισμός περιγράφει ένα μοντέλο, το οποίο αφορά τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης κάτω από κάποιους γραμμικούς περιορισμούς. 8/27

9 Αν και παρόμοιες εφαρμογές είχαν μελετηθεί πριν την καθιέρωση του όρου, η συστηματική μελέτη καθώς επίσης και μια μαθηματική διαδικασία λύσης τέτοιας μορφής προβλημάτων, η μέθοδος Simplex, οφείλεται στον G.B. Dantig στα 1947, περίοδος στην οποία ήταν επικεφαλής του Air Force Statistical Control s Combat Analysis Branch στο Πεντάγωνο των Η.Π.Α. Το έργο στο οποίο απασχολούνταν με την ομάδα του, είχε την ονομασία SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs) και στόχευε στην εγκαθίδρυση βέλτιστων μηχανισμών εκπαίδευσης, ανάπτυξης και συντήρησης του όλου μηχανισμού. Τα σχέδια τα οποία εκπονούσαν τα αποκαλούσαν προγράμματα, και μπορούσαν να εκφραστούν μαθηματικά με τη βοήθεια συστημάτων γραμμικών ανισοτήτων. Εξ ου και ο όρος Γραμμικός Προγραμματισμός. Πρόβλημα μεταφοράς Hitchcok 1941, Koopmans 1949 Πρόβλημα δίαιτας Stigler /27

10 Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Ι. Product Mix Problem (Επιλογή συνδυασμού παραγωγής προϊόντων). Μια επιχείρηση εκμεταλλεύεται τους παραγωγικούς πόρους που έχει στη διάθεσή της για να παράγει διάφορα προϊόντα. Οι πόροι δεν είναι ανεξάντλητοι και η άριστη απόφαση εντοπίζει το πλήθος των τεμαχίων που πρέπει να κατασκευαστούν από το κάθε προϊόν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος. ΙΙ. Diet Problem (Το πρόβλημα της δίαιτας). Αναζητείται η βέλτιστη κατανομή τροφίμων ώστε να παράγεται ένα διαιτολόγιο το οποίο να πληροί συγκεκριμένες διατροφικές προδιαγραφές με το ελάχιστο κόστος. III. Blending Problem (Το πρόβλημα μίξης υλικών). Έχει τις ρίζες του στη βιομηχανία διύλισης όπου είναι επιθυμητό να εντοπιστεί ένα άριστο σχέδιο μίξης διαφορετικών πρώτων υλών για την παραγωγή καυσίμων με συγκεκριμένες προδιαγραφές. Το ερώτημα αφορά την εύρεση της συνταγής η οποία θα δώσει το ζητούμενο μίγμα με το ελάχιστο κόστος. 10/27

11 IV. Portfolio Selection (Επιλογή χαρτοφυλακίου). Αφορά την κατάρτιση ενός βέλτιστου σχεδίου επενδύσεων σε μετοχές, ομόλογα, αμοιβαία κεφάλαια, κτλ. Το σχέδιο πρέπει να οδηγεί σε μεγάλα κέρδη ικανοποιώντας περιορισμούς που στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση του κινδύνου. V. Production and Inventory Planning (Πολυσταδιακά προβλήματα παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων). Κατάρτιση ενός βέλτιστου σχεδίου παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων σε σχέση με τις προβλέψεις της ζήτησης, την παραγωγική δυναμικότητα, τους αποθηκευτικούς χώρους, κτλ. Η επιχείρηση θα πρέπει να είναι σε θέση να καλύψει τη ζήτηση για τα προϊόντα της για τις επόμενες περιόδους με το ελάχιστο κόστος παραγωγής, διατήρησης αποθεμάτων κτλ. VI. Transportation Problem (Το πρόβλημα της μεταφοράς). Αναζήτηση του οικονομικότερου τρόπου διακίνησης προϊόντων από διαφορετικές πηγές-προελεύσεις (παραγωγικές μονάδες, αποθήκες, κέντρα διανομής, κτλ.) σε ορισμένους σταθμούς προορισμού (σημεία πώλησης, αποθήκες, κτλ.) 11/27

12 Media Selection (Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων). Assignment Problem (Καταμερισμός εργασίας). The Make-or-Buy Problem. Σχεδίαση Παραγωγικών Μονάδων. Επιλογή Τοποθεσίας Εγκατάστασης. Δρομολόγηση μεταφορικών μέσων (λεωφορεία, αεροπλάνα). 12/27

13 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΝΟΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Το κύριο μέρος κάθε τεχνικής στην Επιχειρησιακή Έρευνα είναι η μοντελοποίηση. Η λύση, ανεξάρτητα από το πόσο λεπτομερής ή εξεζητημένη είναι, έχει απλά έναν υποστηρικτικό ρόλο. Για να διαμορφώσουμε το μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) ενός προβλήματος θα πρέπει να ορίσουμε: τις μεταβλητές (αγνώστους) του προβλήματος, έναν αντικειμενικό στόχο που θα πρέπει να επιτευχθεί, τους περιορισμούς που θα πρέπει να ενσωματώσουμε στις μεταβλητές ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες του προβλήματος. 13/27

14 Οι μεταβλητές είναι τα δομικά στοιχεία του προβλήματος που μπορεί να επηρεάσει ο αναλυτής. Για το λόγο αυτό συχνά αναφέρονται και ως μεταβλητές ελέγχου ή μεταβλητές απόφασης (decision variables). Ας πάρουμε για παράδειγμα μια βιομηχανία γάλακτος που προετοιμάζει την ημερήσια γραμμή παραγωγής της. Πολλές είναι οι μεταβλητές που υπάρχουν σ ένα τέτοιο πρόβλημα. Μεταξύ τους, εύκολα μπορούμε να αναφέρουμε την ποσότητα των διαφόρων τύπου γάλακτος, τυριού και γιαουρτιού που θα παρασκευαστούν: x 1 = η ποσότητα (lit) πλήρους γάλακτος, x 2 = η ποσότητα (lit) άπαχου γάλακτος, x 3 = η ποσότητα (kg) τυριού φέτας, x 4 = (χρησιμοποιούμε συνήθως το γράμμα x για να παραστήσουμε μια μεταβλητή και με έναν δείκτη i = 1, 2, 3, επιτυγχάνουμε τη μεταξύ τους διάκριση). 14/27

15 Το πρόβλημα αφορά βέβαια τον εντοπισμό τιμής για την κάθε μεταβλητή απόφασης ώστε να Χρειαζόμαστε δηλαδή έναν αντικειμενικό στόχο. Ο στόχος αυτός μπορεί να αφορά τη μεγιστοποίηση του κέρδους, την καλύτερη αξιοποίηση του εργατικού δυναμικού, ή την ελαχιστοποίηση του κόστους, της υπερωριακής απασχόλησης, κτλ. Ψάχνουμε να βρούμε εκείνες τις τιμές των μεταβλητών ελέγχου οι οποίες θα βελτιστοποιήσουν το κριτήριο απόδοσης που ορίζουμε σ αυτό το στάδιο της μοντελοποίησης. Στο παράδειγμα της γαλακτοβιομηχανίας που αναφέρθηκε πιο πάνω, θα μπορούσαμε να ορίσουμε ως στόχο την ημερήσια μεγιστοποίηση των κερδών κι επομένως να αναζητήσουμε έναν τρόπο έκφρασης του συνολικού κέρδους ως συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης (προϊόντων που παρασκευάζονται) εκτιμώντας τη συνεισφορά του καθενός χωριστά. 15/27

16 Ο αντικειμενικός στόχος που θα οριστεί θα πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες λειτουργίας του συστήματος που μελετάμε. Περιορισμοί, όπως η ανεπάρκεια των πόρων του συστήματος (π.χ. πρώτων υλών, εργατικού δυναμικού), η απορροφητικότητα της αγοράς, οι συμφωνίες με προμηθευτές και αγοραστές, οι χρόνοι παράδοσης των παραγόμενων προϊόντων, κτλ. δημιουργούν αυτές τις συνθήκες. Αν η προαναφερόμενη βιομηχανία γάλακτος ήταν σε θέση να εξασφαλίσει απεριόριστη πρώτη ύλη και παραγωγική δυναμικότητα καθώς επίσης και μονοπωλιακή παρουσία στην αγορά θα εκτόξευε τα κέρδη της στο άπειρο. Τα πράγματα βέβαια είναι εντελώς διαφορετικά. Στο στάδιο αυτό της μοντελοποίησης, καλούμαστε να εντοπίσουμε και να καταγράψουμε ως συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης, εκτιμώντας την απαίτηση που έχει η καθεμία στους διαθέσιμους πόρους, τους παράγοντες οι οποίοι επιβάλλουν όρια στις τιμές τους (των μεταβλητών) και συνεπώς και στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. 16/27

17 Ανακεφαλαιώνοντας, τα κύρια συστατικά ενός προβλήματος, διαμορφωμένου ως μαθηματικού μοντέλου είναι οι μεταβλητές απόφασης, οι περιορισμοί που θα πρέπει να ενσωματώσουμε στις μεταβλητές ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες του προβλήματος κι ένας αντικειμενικός στόχος που θα πρέπει να επιτευχθεί. Στο πρότυπο του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) τόσο ο αντικειμενικός στόχος, όσο και οι περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης. Γνωστές (ή εκτιμημένες) εκ των προτέρων ποσότητες όπως για παράδειγμα το ανά μονάδα προϊόντος κέρδος, η διαθεσιμότητα των πρώτων υλών, η απαιτούμενη κατανάλωση του κάθε πόρου ανά μονάδα προϊόντος που παράγεται, η πρόβλεψη ζήτησης της αγοράς κτλ. αποτελούν επίσης συστατικά στοιχεία, του υπο-κατασκευή μοντέλου κι ονομάζονται παράμετροι του προβλήματος. Οι τιμές των παραμέτρων σ ένα π.γ.π. παραμένουν αμετάβλητες για όλη τη διάρκεια του ζητούμενου προγραμματισμού. 17/27

18 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές συσκευασίες παγωτού κρέμας με άρωμα πραγματικής βανίλιας (προϊόν Α) και παγωτού με πραγματική σοκολάτα (προϊόν Β). Αν και είναι φανερό ότι η παραγωγική διαδικασία είναι αρκετά πολύπλοκη, θα θεωρήσουμε εδώ ότι για την παραγωγή αυτών των προϊόντων η εταιρεία δεσμεύει ανά εβδομάδα ένα μικρό μέρος των παραγωγικών της συντελεστών: γάλα (βασική πρώτη ύλη), εργασία (παραλαβή πρώτων υλών, ποιοτικός έλεγχος, συσκευασία, διανομή, κτλ.), καθώς επίσης και διαθεσιμότητα στη μονάδας παστερίωσης και ψύξης. Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε τα δεδομένα του προβλήματος που έχουν προσδιοριστεί κι αφορούν την παραγωγή ενός τεμαχίου του κάθε προϊόντος: Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθεσιμότητα Γάλα (lit) Εργασία (min) Επεξεργασία (min) Μέγιστη ζήτηση 400 Απεριόριστη Κέρδος/τεμάχιο 150 χ.μ. 200 χ.μ. Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει το συνολικό κέρδος. 18/27

19 Οι μεταβλητές απόφασης Ποια στοιχεία του προβλήματος επηρεάζουν το κριτήριο απόδοσης του συστήματος; (στην περίπτωσή μας) Από τι εξαρτάται το κέρδος της εταιρείας; Σε ποια στοιχεία του προβλήματος μπορούμε να έχουμε έλεγχο και ποια δεδομένα δεν επιδέχονται μεταβολές; Ορίζουμε να είναι: x 1 τα τεμάχια του προϊόντος Α που παράγονται εβδομαδιαία x 2 τα τεμάχια του προϊόντος Β που παράγονται εβδομαδιαία 19/27

20 Ο αντικειμενικός στόχος Η μεγιστοποίηση του συνολικού εβδομαδιαίου κέρδους από την πώληση των δύο προϊόντων παγωτού. Προκύπτει ως το άθροισμα των επί μέρους κερδών: Εβδομαδιαίο Συνολικό Κέρδος = Εβδομ.Κέρδος από την πώληση του παγωτού βανίλια + Εβδομ.Κέρδος από την πώληση του παγωτού σοκολάτα = (κέρδος/τεμάχιο παγ_βανίλιας) * (τεμάχια παγ_βανίλιας) + (κέρδος/τεμάχιο παγ_σοκολ) * (τεμάχια παγ_σοκολ) = 150x x 2 (χ.μ.) Συνεπώς ενδιαφερόμαστε να maximize (150x x 2 ) 20/27

21 Οι περιορισμοί του προβλήματος Προφανώς όσα πιο πολλά τόσο πιο καλά. Τι την εμποδίζει την εταιρεία να θεωρήσει ως βέλτιστες τις τιμές εκείνες που θα οδηγήσουν το κέρδος στο άπειρο; (εβδομ_καταν_γάλακτος) (διαθ_ποσότ_γάλακτος_εβδομ) (εβδομ_καταν_γάλακτος για παγ_βανίλιας) + (εβδομ_καταν_γάλακτος για παγ_σοκολ) (διαθ_ποσότ_γάλακτος_εβδομ) = (γάλα/τεμάχιο παγ_βανίλιας) * (τεμάχια παγ_βανίλιας) + (γάλα/τεμάχιο παγ_σοκολ) * (τεμάχια παγ_σοκολ) (διαθ_ποσότ_γάλακτος_εβδομ) = 1x 1 + 1x (lit) 21/27

22 Όμοια: (εβδομ_ανάγκη_εργασίας) (διαθ_εργασία_εβδομ) = 1x 1 + 3x (min) (εβδομ_ανάγκη_δυναμικ) (διαθ_δυναμ_εβδομ) = 2x 1 + 5x (min) (εβδομ_παραγωγή_παγωτ_βανίλιας) (εβδομ_απορροφητ) = x Επιπλέον, (Λογικοί) Περιορισμοί Μη Αρνητικότητας x 1, x /27

23 Ανακεφαλαιώνοντας το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας είναι το εξής: maximize z = (150x x 2 ) κάτω από τους περιορισμούς: x 1 + x (διαθέσιμο γάλα, lit) x 1 + 3x x 1 + 5x (χρόνος εργασίας, min) (διαθεσιμότητα μονάδων, min) x (ζήτηση αγοράς) x 1, x 2 0 Είναι π.γ.π. διότι ο αντικειμενικό στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης, οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των μεταβλητών απόφασης. 23/27

24 Μη ελεγχόμενα στοιχεία του προβλήματος (παράμετροι) Για να παραχθεί ένα τεμάχιο προϊόντος Α απαιτούνται 1 lit γάλακτος, 1 min εργασίας και 2 min στη μονάδα παστερίωσης και ψύξης. Για να παραχθεί ένα τεμάχιο προϊόντος Β απαιτούνται 1 lit γάλακτος, 3 min εργασίας και 5 min στη μονάδα παστερίωσης και ψύξης. Υπάρχουν διαθέσιμα Το κέρδος από ένα τεμάχιο x 1 τεμάχια προϊοντ_α x 2 τεμάχια προϊόντ_β maximize z = (150x x 2 ) κάτω από τους περιορισμούς: x 1 + x (διαθέσιμο γάλα, lit) x 1 + 3x (χρόνος εργασίας, min) 2x 1 + 5x (διαθεσιμότητα μονάδων, min) x (ζήτηση αγοράς) x 1, x 2 0 Συνολικό Κέρδος = x 1 = 325 x 2 = 225 Ελεγχόμενα στοιχεία (μεταβλητές) Μαθηματικό μοντέλο Αποτέλεσμα 24/27

25 Ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) όταν i) Αφορά τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. ii) Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο περιορισμών. Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή ανισότητα. iii) Κάθε μεταβλητή είναι μη αρνητική (x i 0) ή δεν έχει περιορισμό στο πρόσημο (x i ). ΕΠΙΠΛΕΟΝ θα πρέπει να ικανοποιείται η υπόθεση της αναλογικότητας υπόθεση της προσθετικότητας υπόθεση της διαιρετότητας υπόθεση της προσδιοριστικότητας 25/27

26 Αναλογικότητα (Proportionality). ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ Αν απαιτούνται 5 μονάδες πρώτης ύλης για την παραγωγή μιας μονάδας του προϊόντος Π η πώληση της οποίας αποφέρει 100 χ.μ. τότε 5x 1 μονάδες πρώτης ύλης απαιτούνται για την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος αυτού, η πώληση των οποίων θα αποφέρουν 100x 1 χ.μ Σε ότι αφορά την αντικειμενική συνάρτηση αυτό σημαίνει ότι η συνεισφορά στη συνολική τιμή του z από μία μεταβλητή απόφασης είναι (γραμμικά) ανάλογη της τιμής που παίρνει η εν λόγω μεταβλητή. Από την άλλη πλευρά, σχετικά με τους περιορισμούς, η αναλογικότητα σημαίνει ότι η κατανάλωση ενός πόρου για την παραγωγή ενός προϊόντος είναι ευθέως ανάλογη των τεμαχίων που παράγονται. Προσθετικότητα (Additivity). Αν απαιτούνται 3x 1 μονάδες πρώτης ύλης Υ για την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος Π 1 η πώληση των οποίων θα αποφέρει 100x 1 χ.μ. και 5x 2 μονάδες πρώτης ύλης Υ για την παραγωγή x 2 μονάδων του προϊόντος Π 2 η πώληση των οποίων θα αποφέρει 150x 2 χ.μ., τότε 3x 1 +5x 2 μονάδες πρώτης ύλης Υ απαιτούνται για την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος Π 1 και x 2 μονάδων του προϊόντος Π 2 η πώληση των οποίων θα αποφέρει 100x x 2 χ.μ. Σε ότι αφορά την αντικειμενική συνάρτηση αυτό σημαίνει ότι η συνεισφορά κάθε μεταβλητής απόφασης στην τιμή του z είναι ανεξάρτητη από τις τιμές που παίρνουν οι άλλες μεταβλητές. Από την άλλη πλευρά, σχετικά με τους περιορισμούς, η προσθετικότητα σημαίνει ότι η κατανάλωση ενός πόρου για την παραγωγή ενός προϊόντος, είναι ανεξάρτητη από την κατανάλωση του πόρου για την παραγωγή κάποιου άλλου προϊόντος. 26/27

27 Διαιρετότητα (Divisibility). Η υπόθεση της διαιρετότητας εξασφαλίζει νόημα στην ύπαρξη κλασματικών τιμών στις μεταβλητές του προβλήματος (ακόμη κι όταν αυτό φαίνεται περίεργο, π.χ. άνθρωποι, τεμάχια κάποιου προϊόντος, κτλ.) Προσδιοριστικότητα (Certainty). Σύμφωνα με την υπόθεση αυτή, όλες οι τιμές των παραμέτρων ενός π.γ.π. είναι γνωστές σταθερές. Σε πραγματικό περιβάλλον είναι μάλλον αδύνατο να ισχύει κάτι τέτοιο. Χρησιμοποιούμε τις προβλέψεις ή εκτιμήσεις σαν να είναι γνωστές σταθερές. Η Ανάλυση Ευαισθησίας πρέπει να ακολουθεί οπωσδήποτε τη λύση ενός π.γ.π. ώστε να διερευνάται η ευαισθησία των παραμέτρων, δηλαδή κατά πόσο μικρές ή μεγάλες μεταβολές στις τιμές τους επηρεάζουν την άριστη λύση που βρέθηκε. 27/27