ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
|
|
- Καμβύσης Αβραμίδης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Μάρτιος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
3 Διδακτικά εγχειρίδια - Εύδοξος Εντυπα εγχειρίδια (Εύδοξος) 1 Εισαγωγή στην επιχειρησιακή έρευνα Βασιλείου Παναγιώτης - Χρήστος, Τσάντας Νίκος 2 Γραμμικός προγραμματισμός Κουνιάς Στρατής, Φακίνος Δημήτρης Ηλεκτρονικά εγχειρίδια Προσωπική Ιστοσελίδα Συμπληρωματικά φυλλάδια E-book Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα. Ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική. Μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών και βιομηχανικών μονάδων. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα. Ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική. Μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών και βιομηχανικών μονάδων. Ο Γραμμικός Προγραμματισμός ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των πεπερασμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα. Ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική. Μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών και βιομηχανικών μονάδων. Ο Γραμμικός Προγραμματισμός ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των πεπερασμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Αναζητά μεταξύ όλων των εναλλακτικών σχεδιασμών, εκείνον ( πρόγραμμα ) ο οποίος θα οδηγήσει στο άριστο αποτέλεσμα. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσων χρόνων του εικοστού αιώνα. Ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική. Μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών και βιομηχανικών μονάδων. Ο Γραμμικός Προγραμματισμός ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των πεπερασμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Αναζητά μεταξύ όλων των εναλλακτικών σχεδιασμών, εκείνον ( πρόγραμμα ) ο οποίος θα οδηγήσει στο άριστο αποτέλεσμα. Από μαθηματικής σκοπιάς, ο γραμμικός προγραμματισμός περιγράφει ένα μοντέλο, το οποίο αφορά τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης κάτω από κάποιους γραμμικούς περιορισμούς. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν και παρόμοιες εφαρμογές είχαν μελετηθεί πριν την καθιέρωση του όρου, η συστηματική μελέτη καθώς επίσης και μια μαθηματική διαδικασία λύσης τέτοιας μορφής προβλημάτων, η μέθοδος Simplex, οφείλεται στον G.B. Dantig στα 1947, περίοδος στην οποία ήταν επικεφαλής του Air Force Statistical Control s Combat Analysis Branch στο Πεντάγωνο των Η.Π.Α. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν και παρόμοιες εφαρμογές είχαν μελετηθεί πριν την καθιέρωση του όρου, η συστηματική μελέτη καθώς επίσης και μια μαθηματική διαδικασία λύσης τέτοιας μορφής προβλημάτων, η μέθοδος Simplex, οφείλεται στον G.B. Dantig στα 1947, περίοδος στην οποία ήταν επικεφαλής του Air Force Statistical Control s Combat Analysis Branch στο Πεντάγωνο των Η.Π.Α. Το έργο στο οποίο απασχολούνταν με την ομάδα του, είχε την ονομασία SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs) και στόχευε στην εγκαθίδρυση βέλτιστων μηχανισμών εκπαίδευσης, ανάπτυξης και συντήρησης του όλου μηχανισμού. Τα σχέδια τα οποία εκπονούσαν τα αποκαλούσαν προγράμματα, και μπορούσαν να εκφραστούν μαθηματικά με τη βοήθεια συστημάτων γραμμικών ανισοτήτων. Εξ ου και ο όρος Γραμμικός Προγραμματισμός. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα μεταφοράς (Transportation Problem) Hitchcok 1941, Koopmans Αναζήτηση του οικονομικότερου τρόπου διακίνησης προϊόντων από διαφορετικές πηγές-προελεύσεις (παραγωγικές μονάδες, αποθήκες, κέντρα διανομής, κτλ.) σε ορισμένους σταθμούς προορισμού (σημεία πώλησης, αποθήκες, κτλ.) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
12 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα μεταφοράς (Transportation Problem) Hitchcok 1941, Koopmans Αναζήτηση του οικονομικότερου τρόπου διακίνησης προϊόντων από διαφορετικές πηγές-προελεύσεις (παραγωγικές μονάδες, αποθήκες, κέντρα διανομής, κτλ.) σε ορισμένους σταθμούς προορισμού (σημεία πώλησης, αποθήκες, κτλ.) Πρόβλημα δίαιτας (Diet Problem) Stigler Αναζητείται η βέλτιστη κατανομή τροφίμων ώστε να παράγεται ένα διαιτολόγιο το οποίο να πληροί συγκεκριμένες διατροφικές προδιαγραφές µε το ελάχιστο κόστος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Επιλογή συνδυασμού παραγωγής προϊόντων (Product Mix Problem). Μια επιχείρηση εκμεταλλεύεται τους παραγωγικούς πόρους που έχει στη διάθεσή της για να παράγει διάφορα προϊόντα. Οι πόροι δεν είναι ανεξάντλητοι και η άριστη απόφαση εντοπίζει το πλήθος των τεμαχίων που πρέπει να κατασκευαστούν από το κάθε προϊόν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
14 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Επιλογή συνδυασμού παραγωγής προϊόντων (Product Mix Problem). Μια επιχείρηση εκμεταλλεύεται τους παραγωγικούς πόρους που έχει στη διάθεσή της για να παράγει διάφορα προϊόντα. Οι πόροι δεν είναι ανεξάντλητοι και η άριστη απόφαση εντοπίζει το πλήθος των τεμαχίων που πρέπει να κατασκευαστούν από το κάθε προϊόν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος. Το πρόβλημα μίξης υλικών (Blending Problem). Εχει τις ρίζες του στη βιομηχανία διύλισης όπου είναι επιθυμητό να εντοπιστεί ένα άριστο σχέδιο μίξης διαφορετικών πρώτων υλών για την παραγωγή καυσίμων με συγκεκριμένες προδιαγραφές. Το ερώτημα αφορά την εύρεση της συνταγής η οποία θα δώσει το ζητούμενο μείγμα με το ελάχιστο κόστος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Επιλογή χαρτοφυλακίου (Portfolio Selection). Αφορά την κατάρτιση ενός βέλτιστου σχεδίου επενδύσεων σε μετοχές, ομόλογα, αμοιβαία κεφάλαια, κτλ. Το σχέδιο πρέπει να οδηγεί σε μεγάλα κέρδη ικανοποιώντας περιορισμούς που στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση του κινδύνου. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Επιλογή χαρτοφυλακίου (Portfolio Selection). Αφορά την κατάρτιση ενός βέλτιστου σχεδίου επενδύσεων σε μετοχές, ομόλογα, αμοιβαία κεφάλαια, κτλ. Το σχέδιο πρέπει να οδηγεί σε μεγάλα κέρδη ικανοποιώντας περιορισμούς που στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση του κινδύνου. Πολυσταδιακά προβλήματα παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων (Production and Inventory Planning). Κατάρτιση ενός βέλτιστου σχεδίου παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων σε σχέση με τις προβλέψεις της ζήτησης, την παραγωγική δυναμικότητα, τους αποθηκευτικούς χώρους, κτλ. Η επιχείρηση θα πρέπει να είναι σε θέση να καλύψει τη ζήτηση για τα προϊόντα της για τις επόμενες περιόδους με το ελάχιστο κόστος παραγωγής, διατήρησης αποθεμάτων κτλ. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
18 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Καταμερισμός εργασίας (Assignment Problem). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
19 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Καταμερισμός εργασίας (Assignment Problem). The Make-or-Buy Problem. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
20 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Καταμερισμός εργασίας (Assignment Problem). The Make-or-Buy Problem. Σχεδίαση Παραγωγικών Μονάδων. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
21 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Καταμερισμός εργασίας (Assignment Problem). The Make-or-Buy Problem. Σχεδίαση Παραγωγικών Μονάδων. Επιλογή Τοποθεσίας Εγκατάστασης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
22 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Καταμερισμός εργασίας (Assignment Problem). The Make-or-Buy Problem. Σχεδίαση Παραγωγικών Μονάδων. Επιλογή Τοποθεσίας Εγκατάστασης. Δρομολόγηση μεταφορικών μέσων (λεωφορεία, αεροπλάνα). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
23 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων (Media Selection). Καταμερισμός εργασίας (Assignment Problem). The Make-or-Buy Problem. Σχεδίαση Παραγωγικών Μονάδων. Επιλογή Τοποθεσίας Εγκατάστασης. Δρομολόγηση μεταφορικών μέσων (λεωφορεία, αεροπλάνα). Προβλήματα ροής σε δίκτυα. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) όταν Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
25 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) όταν Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) όταν Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο περιορισμών. Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή ανίσωση. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
27 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) όταν Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο περιορισμών. Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή ανίσωση. Κάθε μεταβλητή είναι μη αρνητική ή δεν έχει περιορισμό στο πρόσημο. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Η αντικειμενική συνάρτηση max ή min z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n κάτω από τους περιορισμούς a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n {, =, }b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n {, =, }b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n {, =, }b m με x j 0, j = 1, 2,..., n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
29 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f : R n R x = (x 1, x 2,..., x n ) f (x) είναι γραμμική αν και μόνον αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών αριθμών c 1, c 2,..., c n ισχύει: f (x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
30 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΛΥΣΕΙΣ Κάθε συνδυασμός τιμών (x 1, x 2,..., x n ) των μεταβλητών απόφασης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται λύση του προβλήματος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
31 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΛΥΣΕΙΣ Κάθε συνδυασμός τιμών (x 1, x 2,..., x n ) των μεταβλητών απόφασης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται λύση του προβλήματος. Το υποσύνολο F του R n που σχηματίζεται από τα σημεία λύσεις (x 1, x 2,..., x n ) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται εφικτή περιοχή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, τα δε σημεία (x 1, x 2,..., x n ) εφικτές λύσεις. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
32 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΛΥΣΕΙΣ Κάθε συνδυασμός τιμών (x 1, x 2,..., x n ) των μεταβλητών απόφασης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται λύση του προβλήματος. Το υποσύνολο F του R n που σχηματίζεται από τα σημεία λύσεις (x 1, x 2,..., x n ) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται εφικτή περιοχή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, τα δε σημεία (x 1, x 2,..., x n ) εφικτές λύσεις. Μια λύση, που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς, ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
33 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΛΥΣΗ Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε εφικτή λύση, η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση x F : f (x ) f (x) x F Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
34 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΛΥΣΗ Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε εφικτή λύση, η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση x F : f (x ) f (x) x F Ομοια σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε: x F : f (x ) f (x) x F Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
35 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΣΥΝΟΨΗ Λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα ονομάζεται κάθε σύνολο (x 1, x 2,..., x n ) το οποίο ικανοποιεί τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς του προβλήματος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
36 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΣΥΝΟΨΗ Λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα ονομάζεται κάθε σύνολο (x 1, x 2,..., x n ) το οποίο ικανοποιεί τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς του προβλήματος. Εφικτή ή δυνατή λύση είναι κάθε λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
37 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΣΥΝΟΨΗ Λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα ονομάζεται κάθε σύνολο (x 1, x 2,..., x n ) το οποίο ικανοποιεί τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς του προβλήματος. Εφικτή ή δυνατή λύση είναι κάθε λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Βέλτιστη λύση είναι κάθε εφικτή λύση η οποία βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
38 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΣΥΝΟΨΗ Λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα ονομάζεται κάθε σύνολο (x 1, x 2,..., x n ) το οποίο ικανοποιεί τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς του προβλήματος. Εφικτή ή δυνατή λύση είναι κάθε λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Βέλτιστη λύση είναι κάθε εφικτή λύση η οποία βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Συνήθως σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού υπάρχουν άπειρες λύσεις και επιδιώκουμε την εύρεση της βέλτιστης δυνατής λύσης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
39 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Εχοντας εξετάσει κάποιες περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να εφαρμοστεί ο γραμμικός προγραμματισμός και τη γενική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντικό να εξετάσουμε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του σε ένα οποιοδήποτε πρόβλημα βελτιστοποιήσεως. Αυτές είναι που περιορίζουν γενικά το φάσμα των δυνατοτήτων εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να διατυπωθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι οι εξής: Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
40 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Εχοντας εξετάσει κάποιες περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να εφαρμοστεί ο γραμμικός προγραμματισμός και τη γενική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντικό να εξετάσουμε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του σε ένα οποιοδήποτε πρόβλημα βελτιστοποιήσεως. Αυτές είναι που περιορίζουν γενικά το φάσμα των δυνατοτήτων εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να διατυπωθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι οι εξής: Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
41 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Εχοντας εξετάσει κάποιες περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να εφαρμοστεί ο γραμμικός προγραμματισμός και τη γενική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντικό να εξετάσουμε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του σε ένα οποιοδήποτε πρόβλημα βελτιστοποιήσεως. Αυτές είναι που περιορίζουν γενικά το φάσμα των δυνατοτήτων εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να διατυπωθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι οι εξής: Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα). Διαιρετότητα. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
42 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Εχοντας εξετάσει κάποιες περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να εφαρμοστεί ο γραμμικός προγραμματισμός και τη γενική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντικό να εξετάσουμε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του σε ένα οποιοδήποτε πρόβλημα βελτιστοποιήσεως. Αυτές είναι που περιορίζουν γενικά το φάσμα των δυνατοτήτων εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να διατυπωθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι οι εξής: Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα). Διαιρετότητα. Βεβαιότητα (Προσδιοριστικότητα). Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
43 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα) Ολες οι συναρτήσεις του προβλήματος, αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές ως προς τις άγνωστες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να ισχύουν οι ιδιότητες της αναλογικότητας και της προσθετικότητας. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
44 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Γραμμικότητα (Αναλογικότητα και Προσθετικότητα) Ολες οι συναρτήσεις του προβλήματος, αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές ως προς τις άγνωστες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να ισχύουν οι ιδιότητες της αναλογικότητας και της προσθετικότητας. Σε πολλές περιπτώσεις στις οποίες δεν ισχύει απόλυτα η προϋπόθεση της γραμμικότητας μπορεί να γίνει μια αρκετά καλή προσέγγιση με γραμμικές συναρτήσεις. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
45 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Διαιρετότητα Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού υποθέτει ότι κάθε δραστηριότητα (δηλ μεταβλητή) είναι συνεχής και επομένως άπειρα διαιρετή. Αυτό συνεπάγεται ότι όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλες οι χρήσεις πόρων επιτρέπεται να πάρουν κλασματικές τιμές ή ακέραιες τιμές. Οταν η υπόθεση της διαιρετότητας δεν ισχύει υπάρχουν δύο ενδεχόμενα : Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
46 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Διαιρετότητα Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού υποθέτει ότι κάθε δραστηριότητα (δηλ μεταβλητή) είναι συνεχής και επομένως άπειρα διαιρετή. Αυτό συνεπάγεται ότι όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλες οι χρήσεις πόρων επιτρέπεται να πάρουν κλασματικές τιμές ή ακέραιες τιμές. Οταν η υπόθεση της διαιρετότητας δεν ισχύει υπάρχουν δύο ενδεχόμενα : Να αγνοηθεί η υπόθεση αυτή, να λυθεί το πρόβλημα με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού, και οι τιμές των μεταβλητών να στρογγυλευθούν στην κοντινότερη ακέραια μονάδα. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται κυρίως όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μεγάλες. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
47 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Διαιρετότητα Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού υποθέτει ότι κάθε δραστηριότητα (δηλ μεταβλητή) είναι συνεχής και επομένως άπειρα διαιρετή. Αυτό συνεπάγεται ότι όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλες οι χρήσεις πόρων επιτρέπεται να πάρουν κλασματικές τιμές ή ακέραιες τιμές. Οταν η υπόθεση της διαιρετότητας δεν ισχύει υπάρχουν δύο ενδεχόμενα : Να αγνοηθεί η υπόθεση αυτή, να λυθεί το πρόβλημα με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού, και οι τιμές των μεταβλητών να στρογγυλευθούν στην κοντινότερη ακέραια μονάδα. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται κυρίως όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μεγάλες. Οταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μικρές (π.χ. 0 ή 1) όπως σε πολλά προβλήματα επενδύσεων τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν τεχνικές του ακέραιου προγραμματισμού. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
48 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βεβαιότητα (Προσδιοριστικότητα) Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού. προϋποθέτει ότι όλοι οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστές με απόλυτη βεβαιότητα. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
49 ΑΡΧΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βεβαιότητα (Προσδιοριστικότητα) Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού. προϋποθέτει ότι όλοι οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστές με απόλυτη βεβαιότητα. Στην περίπτωση που μερικοί ή όλοι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης ή των περιορισμών είναι τυχαίες μεταβλητές το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα στοχαστικού προγραμματισμού. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
50 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Για να διαμορφώσουμε το μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) ενός προβλήματος θα πρέπει να ορίσουμε: Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
51 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Για να διαμορφώσουμε το μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) ενός προβλήματος θα πρέπει να ορίσουμε: τις μεταβλητές (αγνώστους) του προβλήματος Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
52 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Για να διαμορφώσουμε το μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) ενός προβλήματος θα πρέπει να ορίσουμε: τις μεταβλητές (αγνώστους) του προβλήματος έναν αντικειμενικό στόχο που θα πρέπει να επιτευχθεί Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
53 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Για να διαμορφώσουμε το μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) ενός προβλήματος θα πρέπει να ορίσουμε: τις μεταβλητές (αγνώστους) του προβλήματος έναν αντικειμενικό στόχο που θα πρέπει να επιτευχθεί τους περιορισμούς που θα πρέπει να ενσωματώσουμε στις μεταβλητές ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες του προβλήματος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
54 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές συσκευασίες παγωτού κρέμας με άρωμα πραγματικής βανίλιας (προϊόν Α) και παγωτού με πραγματική σοκολάτα (προϊόν Β). Αν και είναι φανερό ότι η παραγωγική διαδικασία είναι αρκετά πολύπλοκη, θα θεωρήσουμε εδώ ότι για την παραγωγή αυτών των προϊόντων η εταιρεία δεσμεύει ανά εβδομάδα ένα μικρό μέρος των παραγωγικών της συντελεστών: γάλα (βασική πρώτη ύλη), εργασία (παραλαβή πρώτων υλών, ποιοτικός έλεγχος, συσκευασία, διανομή, κτλ.), καθώς επίσης και διαθεσιμότητα στη μονάδας παστερίωσης και ψύξης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
55 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε τα δεδομένα του προβλήματος που έχουν προσδιοριστεί και αφορούν την παραγωγή ενός τεμαχίου του κάθε προϊόντος: Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθεσιμότητα Γάλα (lit) Εργασία (min) Επεξεργασία (min) Μέγιστη ζήτηση 400 απεριόριστη Κέρδος/τεμάχιο 150 χ.μ. 200 χ.μ. Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει το συνολικό κέρδος. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
56 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μεταβλητές απόφασης Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
57 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μεταβλητές απόφασης x 1 τα τεμάχια του προϊόντος Α που παράγονται εβδομαδιαία Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
58 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μεταβλητές απόφασης x 1 τα τεμάχια του προϊόντος Α που παράγονται εβδομαδιαία x 2 τα τεμάχια του προϊόντος Β που παράγονται εβδομαδιαία Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
59 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μεταβλητές απόφασης x 1 τα τεμάχια του προϊόντος Α που παράγονται εβδομαδιαία x 2 τα τεμάχια του προϊόντος Β που παράγονται εβδομαδιαία Η αντικειμενική συνάρτηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
60 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μεταβλητές απόφασης x 1 τα τεμάχια του προϊόντος Α που παράγονται εβδομαδιαία x 2 τα τεμάχια του προϊόντος Β που παράγονται εβδομαδιαία Η αντικειμενική συνάρτηση Η μεγιστοποίηση του συνολικού εβδομαδιαίου κέρδους από την πώληση των δύο προϊόντων παγωτού, προκύπτει ως το άθροισμα των επί μέρους κερδών: Εβδομαδιαίο Συνολικό Κέρδος = Εβδ. Κέρδος Α + Εβδ. Κέρδος Β = (κέρδος/τεμάχιο Α) (τεμάχια Α) + (κέρδος/τεμάχιο Β) (τεμάχια Β) = 150x x 2 (χ.µ.) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
61 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
62 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος (εβδ καταν γάλακτος) (διαθ ποσότ γάλακτος εβδ) (εβδ καταν γάλακτος για παγ βανίλιας) + (εβδ καταν γάλακτος για παγ σοκολ) (διαθ ποσότ γάλακτος εβδ) (γάλα/τεμάχιο παγ βανίλιας) * (τεμάχια παγ βανίλιας) + (γάλα/τεμάχιο παγ σοκολ) * (τεμάχια παγ σοκολ) (διαθ ποσότ γάλακτος εβδ) 1x 1 + 1x (lit) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
63 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
64 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος (εβδ ανάγκη εργασίας) (διαθ εργασία εβδ) 1x 1 + 3x (min) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
65 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος (εβδ ανάγκη εργασίας) (διαθ εργασία εβδ) 1x 1 + 3x (min) (εβδ ανάγκη δυναμικ) (διαθ δυναμ εβδ) 2x 1 + 5x (min) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
66 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος (εβδ ανάγκη εργασίας) (διαθ εργασία εβδ) 1x 1 + 3x (min) (εβδ ανάγκη δυναμικ) (διαθ δυναμ εβδ) 2x 1 + 5x (min) (εβδ παραγωγή παγωτ βανίλιας) (εβδ απορροφητ) x Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
67 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι περιορισμοί του προβλήματος (εβδ ανάγκη εργασίας) (διαθ εργασία εβδ) 1x 1 + 3x (min) (εβδ ανάγκη δυναμικ) (διαθ δυναμ εβδ) 2x 1 + 5x (min) (εβδ παραγωγή παγωτ βανίλιας) (εβδ απορροφητ) x Επιπλέον, (Λογικοί) Περιορισμοί Μη Αρνητικότητας x 1, x 2 0 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
68 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ανακεφαλαιώνοντας το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας είναι το εξής: με περιορισμούς max z = 150x x 2 x 1 + x (διαθέσιμο γάλα lit) x 1 + 3x (χρόνος εργασίας min) 2x 1 + 5x (διαθεσιμότητα μονάδων min) x (ζήτηση αγοράς) με x 1, x 2 0. Είναι π.γ.π. διότι Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
69 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ανακεφαλαιώνοντας το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας είναι το εξής: με περιορισμούς max z = 150x x 2 x 1 + x (διαθέσιμο γάλα lit) x 1 + 3x (χρόνος εργασίας min) 2x 1 + 5x (διαθεσιμότητα μονάδων min) x (ζήτηση αγοράς) με x 1, x 2 0. Είναι π.γ.π. διότι ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
70 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ανακεφαλαιώνοντας το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας είναι το εξής: με περιορισμούς max z = 150x x 2 x 1 + x (διαθέσιμο γάλα lit) x 1 + 3x (χρόνος εργασίας min) 2x 1 + 5x (διαθεσιμότητα μονάδων min) x (ζήτηση αγοράς) με x 1, x 2 0. Είναι π.γ.π. διότι ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης. οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των μεταβλητών απόφασης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
71 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών «ΞΥΛΑΞ» παράγει αποκλειστικά στρατιωτάκια και τρενάκια. Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική εργασία και δύο ώρες βάψιμο, με κόστος 1000 δρχ. σε πρώτες ύλες και 1400 δρχ. σε εργατικά. Αντίστοιχα, για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία και μία ώρα βάψιμο, ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ. για πρώτες ύλες και 1000 δρχ. για εργατικά. Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην «ΞΥΛΑΞ», έδειξε ότι εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και 100 ώρες για βάψιμο, ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια. Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ. κι από κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ. προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της «ΞΥΛΑΞ». Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
72 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ - ΛΥΣΗ Το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας είναι το εξής: με περιορισμούς max z = 300x x 2 2x 1 + x (διαθέσιμες ώρες βαψίματος) x 1 + x 2 80 (διαθέσιμες ώρες ξυλουργικής εργασίας) x 1 45 (απορρόφηση αγοράς σε στρατιωτάκια) με x 1, x 2 0. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
73 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Transportation Problem Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
74 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Assignment Problem Ενας προπονητής κολύμβησης πρέπει να επιλέξει τους 4 αθλητές που θα αγωνιστούν στη σκυταλοδρομία μικτή. Οι χρόνοι των αθλητών δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αθλητές Ελεύθερο Υπτιο Πρόσθιο Πεταλούδα Α Β Γ Δ Υποδείξτε ένα ΠΓΠ για την εύρεση της ομάδας που ελαχιστοποιεί τον χρόνο. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
75 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Cutting stock problem Bin packing problem Να μοιραστούν οι παρακάτω ποσότητες 4, 1, 2, 5, 3, 2, 3, 6, 3 σε «κουβάδες» (Bins) με χωρητικότητα 6 έτσι ώστε να έχουμε την λιγότερη δυνατή φύρα. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.
Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική
Διαβάστε περισσότεραΑναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20
Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις γραφικής επίλυσης
Ασκήσεις γραφικής επίλυσης Άσκηση 1- (Παράδειγµα 3.4 βιβλίου) Σε ένα πτηνοτροφείο χρησιµοποιείται για την καθηµερινή διατροφή ενός συνόλου πτηνών ένα µείγµα αποτελούµενο από δύο είδη δηµητριακών: το είδος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Εφαρμογές και Λογισμικό Γραμμικού Προγραμματισμού
Επιχειρησιακή Έρευνα Εφαρμογές και Λογισμικό Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Φουτσιτζή Γεωργία-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Περιεχόμενα Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.
Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο
Διαβάστε περισσότερα12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραThe Product Mix Problem
Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 1 The Product Mix Problem Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμένους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραFermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807
Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z
Άσκηση Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραCase 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΠόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)
1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότεραΑ) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.
1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Παραδείγματα Που στοχεύει ο Γραμμικός Προγραμματισμός;
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού
Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία μετατροπής σε τυπική μορφή
ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας -Τμήμα Διοίκησης επιχειρήσεων- Μάθημα: Ποσοτικές μέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάμηνο Ημερομηνία: Τρίτη 25 ΑΠΡ 2017, 1 η γραπτή Πρόοδος Εκπαιδευτής: Βασίλειος Ισμυρλής,
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ1 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ1 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2012-2013 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΕΡΕΥΝΑ- OPERATIONAL RESEARCH Τι είναι η Επιχειρησιακή Έρευνα; Επιστημονικός κλάδος που
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραRIGHTHAND SIDE RANGES
Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης
Διαβάστε περισσότερα2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ
2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότερασει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.
Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 4 η Διάλεξη: Βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (Μulti-objective optimization) 2019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στην βελτιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200
ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.
Διαβάστε περισσότεραmax c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραιαµόρφωση Προβλήµατος
Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότεραCase 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 5: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΠόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)
1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,
Διαβάστε περισσότεραΒ. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5.
Άλυτες Ασκήσεις ΓΠ Α. Μέρη ενός προβλήματος ΓΠ - Λυμένο πρόβλημα 1, Άσκηση 1. Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5. Γ. Διατύπωση μαθηματικού
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014
ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Διανομής και Δικτύων
Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία
Διαβάστε περισσότερα3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς
312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότερα2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 69 2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να λαμβάνει υπόψη το δυναμικό περιβάλλον των συνεχών αλλαγών
Διαβάστε περισσότεραΠαραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα
Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίησης και Βελτιστοποίηση Εφοδιαστικών Αλυσίδων 7 Ο εξάμηνο
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μοντελοποίησης και Βελτιστοποίηση Εφοδιαστικών Αλυσίδων 7 Ο εξάμηνο 2 η ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Μιχαήλ Γεωργιάδης
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων
Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Άσκηση 3 Δίνεται ο παρακάτω τελικός πίνακας Simplex. Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Άρτα Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ2 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Π.Γ.Π
ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ2 ο ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Π.Γ.Π ΒασικέςΈννοιεςΠ.Γ.Π (1) Ας θεωρήσουμε μια υποθετική οικονομία που παράγει ( 1,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)
Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότερα