ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R 3 R 3, που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R 3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ. 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,) 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x 1, x, x 3, x 4 ) / x 1 -x =x 3 +x 4, x 1, x, x 3, x 4 R} του χώρου R 4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το διάνυσμα (1,1,-1,1).
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Β 1 0 3 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 4 0 0 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R 3 R 3, που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R 3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ. 5) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : 1 <f g>= ( 1 x) fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3. 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x 1, x, x 3, x 4 ) / x 1 +x =x 3 -x 4, x 1, x, x 3, x 4 R} του χώρου R 4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το στοιχείο (1,1,3,1).
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Α Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1998 4) Έστω Β 1 ={e 1,e } μια βάση ενός διαν. χώρου V[R] και T : V V γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τις σχέσεις Te 1 =3e 1 -e και Te =e 1 +4e. Αν Β ={f 1,f } με f 1 =e 1 +e και f =e 1 +3e είναι επίσης μια βάση του V, να βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς την βάση Β, δηλ. ο [Τα] Β (1.6) 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Β Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1998 4) Έστω T : R 3 R γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τη σχέση T(x,y,z)=(x+y-z,3x-y+4z). Nα βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς τις βάσεις Β 1 ={f 1 =(1,1,1), f =(1,1,0), f 3 =(1,0,0)} και Β ={g 1 =(1,3), g =(1,4)} των R 3 και R αντίστοιχα, δηλ. ο πίνακας Β1 [Τ] Β. (1.6) α 0 0 5) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 του χώρου Μ 3 [R]. Να βρεθούν οι τιμές του α 0 0 α για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. (1.7) 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1.7)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1999 Α 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v 1 (x)=x 3 -x +4x+1, v (x)=x 3 +6x-5, v 3 (x)=x 3-3x +9x-1, v 4 (x)=x 3-5x +7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. 6) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση : ( fx gx ) 1 ( ), ( ) = fxgxdx ( ) ( ) 0 αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+, g(x)=x -x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) f(x), g(x). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1999 B 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω U και W οι υπόχωροι του R 4, οι οποίοι ορίζονται ως εξής : U={(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0}, W={(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=δ}
Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U W 6) Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα στον διανυσματικό χώρο C[-1,1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [-1,1], όπου f(x), g(x) C[-1,1]. 1 α) (f,g)= ( 1 ) x f( x) g( x) dx 1 β) (f,g)= x f( x) g( x) dx 1 1 A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 15-9-003 ΘΕΜΑ 1 Έστω U( S ) ο υπόχωρος του 4 R που παράγεται από το σύνολο: S = {( 1, 0, 1,1 ), (, 1, 0,1 ), ( 1,1,,1) }. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα x = ( 1,3,3, ) στον U( S) και να βρεθεί μια βάση του U( S) που να περιέχει το x. ανήκει ΘΕΜΑ 1 0 0 Δίνεται ο πίνακας x+ 1 1 x+ 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο 1 1 x + 1 πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση uv, xy 1 1 xy 1 xy 1 3xy (, ) v = y y ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 1 = +, όπου u ( x, x ) R =, 1
Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 15-9-003 ΘΕΜΑ 1 Έστω 1 0 A = 3 1 1 0 1 ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : V V v1, v, v 3 ενός χώρου V. Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση ως πρός την βάση { } { = +, = +, = } u v v v u v v v u v v του χώρου V. 1 1 3 1 3 3 1 3 1 0 0 ΘΕΜΑ Δίνεται ο πίνακας 1 x 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις 0 x 1 οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση uv = x1y1 x1y xy1 + 5xy, όπου u = ( x, x ), v = ( y, y ) 1 ΘΕΜΑ 4 1 ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 16-6 - 000 R. Α- Έστω Μ [R] ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων με στοιχεία από το σώμα των πραγματικών αριθμών και W ο υπόχωρος αυτού ο οποίος παράγεται από τους πίνακες
1 1 1 1 A=, B = 0 1 1 0 Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την T CD, M, CD = Tr DC. σχέση: για κάθε [ ] R ( ) ΘΕΜΑ 5 Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R 1 1 την βάση B= { e1 = ( 1,0 ), e = ( 0,1) } είναι ο [ T] B = 1 1. R ως προς Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση B = = +, = T. { w1 e1 e w e1 e }, δηλαδή ο [ ] B ΘΕΜΑ 6 1 1 Δίνεται ο πίνακας A( x) = 0 1 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του 0 0 x x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ -Β- 16-6 - 000 ΘΕΜΑ 4 3 Έστω W ο υπόχωρος του διανυσματικού χώρου C [ ] από τα στοιχεία u = ( 1, i,1 ), u = ( 1,,1 i) 1 C ο οποίος παράγεται Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε vw, C με v = ( z1, z, z3), w = ( c1, c, c3), vw = zc 1 1 + zc + zc 3 3. ΘΕΜΑ 5 Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R 1 1 την βάση β = { e1 = ( 1, 0 ), e = ( 0,1) } είναι ο [ T ] = B 1 1. R ως προς
Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση B = =, = + T. { w1 e1 e w e1 e }, δηλαδή ο [ ] B ΘΕΜΑ 6 x 0 0 Δίνεται ο πίνακας A( x) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του 1 1 3 x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 001 Α (Μεταφερομένη Εξεταστική περίοδος) 1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R 3 και γιατί: Α) (v,u)= v u B) (v,u)= v u cos 3 θ, Γ) (v,u)= v u cosθ ) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου επί του σώματος R και Μ ο πίνακας : M= 1. Θεωρούμε τον τελεστή Τ : V V που ορίζεται από την σχέση T : 3 4 A V T(A) MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι : E 1 = 1 0, E = 0 1, E 3 = 0 0, E 4 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 001 Β 1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=( x,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny) ) Δίνεται ο τελεστής T : R 3 R, Τ(x,y,z)=(3x+y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις : {f 1 =(1,1,1), f =(1,1,0), f 3 =(1,0,0)} του R 3 και {g 1 =(1,3), g =(,5)} του R β) Να επαληθευθεί η σχέση [ T] g f [v] f =[T(v)] g ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Α Εξετάσεις Ιουνίου 00 (μεταφερομένη) 1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός.
β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,0,1), u =(0,1,1), u 3 =(1,1,1)) ) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R 3 και την απεικόνιση f : R 3 R 3 R f : (v, u) f(v, u) p 1 v 1 u 1 + p v u + p 3 v 3 u 3 όπου v=v 1 i+ v j+ v 3 k, u=u 1 i+ u j+ u 3 k και p 1, p, p 3 τυχαίοι θετικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R 3. 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων f : R R επί του σώματος των πραγματικών αριθμών. Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του V είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αροθμών; α) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ακριβώς n. β) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού > n. γ) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού n. () ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 00 Β 1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(y, x-z, -x+y+z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,1,0), u =(1,1,1), u 3 =(1,0,1)) ) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R και την απεικόνιση
f : R R R f : (v, u) f(v, u) v 1 u 1 -v 1 u -v u 1 +3v u όπου v=v 1 i+ v j, γινόμενο επί του R. u=u 1 i+ u j. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό 3) Έστω C[0, 1] ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών, που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [0, 1]. Ποια από τα επόμενα υποσύνολα του είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών; (i) {f C[0,1] f(1) = 0 } (ii) {f C[0,1] f(1) = 1 } (iii) {f C[0,1] f(0) = f(1) } () ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 003 Α 1) Έστω T : R 3 R 3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-y+3z, x+4y+z, -5y+z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT 1 1 ) Δίνεται ο πίνακας A( x) = 0 1 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης :
x = 5 3 x y 3 5 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 003 Β 1) Έστω T : R 3 R 3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-y+6z, x+y-3z, 3x-y+3z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT x 0 0 ) Δίνεται ο πίνακας A( x) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 1 1 3 τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 1-7-004 ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1, u και u 3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ], είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα { u u, u 3 u, u u } και S = {,, } S = εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. 1 1 3 3 1 ( μονάδες) u u u u u u είναι γραμμικώς 1 3 3 1 ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι α) το σύνολο a b V = / a, b R είναι διανυσματικός υπόχωρος του a+ b a b διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων στο σώμα R (1 μονάδα) β) να βρεθεί η διάσταση του υπόχωρου αυτού. (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R ο οποίος ορίζεται από την 3 3 σχέση T( x, x, x ) = ( x + x x, x x + x, x + x + x ) 1 3 1 3 1 3 1 3 α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση 1 1 1 = {( ) ( ) ( )} είναι [ T] B = 1 1 1 B 1,1,0, 1,0,1, 0,1,1. (1 μονάδα) 1 1 1 β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 1-7-004 ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1, u και u 3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ], είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα { u u u, u u, u u } και S = { u + u + u, u + u, u u } S = + + + 1 1 3 1 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. ( μονάδες) 1 3 1 3 ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι α) το σύνολο a a+ b V = / a, b R είναι διανυσματικός υπόχωρος του a b b διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων στο σώμα R (1 μονάδα) β) να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου αυτού. (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός σχέση T( x, x, x ) = ( x + x, x + x, x + x ) 1 3 1 1 3 3 T : R R ο οποίος ορίζεται από την 3 3 α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση = {( ) ( ) ( )} είναι ( T ) B 1,1, 1, 1, 1,1, 1,1,1 1 1 0 = 1 0 1. (1 μονάδα) b 0 1 1 β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 16-6-005 ΘΕΜΑ 4 ( μονάδες) 1 1 0 1 1 1 a. Να εξετάσετε αν το υποσύνολο,,, των τετραγωνικών 1 1 1 0 0 1 πινάκων, είναι γραμμικώς εξαρτημένο ή ανεξάρτητο. b. Να αποδείξετε ότι η έκφραση x = x1 + x, ;όπου x = ( x1, x), ορίζει στάθμη στον χώρο R. ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) { 1,, 3, 4 / 3 4 0} Έστω ( ) U = x x x x x x + x = υποσύνολο του 4 R. a. Να αποδειχθεί ότι το U είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4. b. Να βρεθεί μια βάση του U. ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο πίνακας 1 0 0 A = 1 1. Να βρεθούν 1 a. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. (1 μονάδα) n b. Ο πίνακας A όπου n =, 3,. (1.5 μονάδες)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 011 Α 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 0 [ T] = 1 1 1 Be 1 0 α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(,3,5), f =(1,0,0), f 3 =(0,1,-1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. dx T : f(x) T(f(x) ( + + ) α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. d x 3x f(x) β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } -1 1 3) Δίνεται ο πίνακας A( x ) = 0 1 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : 1 <f g>= ( 1 x) fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 011 B 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 [ T] = 0 Be 1 1 1 α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. dx T : f(x) T(f(x) ( x ) α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. d 1 f(x) β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } x 0 0 3) Δίνεται ο πίνακας A( x ) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για -1 1 3 τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 011 (για τους επί πτυχίω) 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 [ T] = 0 Be 1 1 1 α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. dx T : f(x) T(f(x) ( x ) α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. d 1 f(x) β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } x 0 0 3) Δίνεται ο πίνακας A( x ) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για -1 1 3 τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 011 Α 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 3 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 7) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου () ) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R 3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R 3 ; α) U={ (x,y,z) / x+y+z=0} β) W={ (x,y,z) / x+y+z=} (1) 3) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ των τετραγωνικών πινάκων και η απεικόνιση a b a b c a+ c T:M M, T: T c d c d b c d Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T). (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα a c b d σαν διάνυσμα-στήλη a b. (,5) c d 4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d τελεστή ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P3 ( x ) των πολυωνύμων 3 ου dx βαθμού. () 5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (.5)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 011 B 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 3 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 5) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου () ) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R 3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R 3 ; α) U={ (x,y,z) / x+y-z=0} β) W={ (x,y,z) / x+y-z=} (1) 3) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ των τετραγωνικών πινάκων και η απεικόνιση a b a b c a+ c T:M M, T: T c d c d b c d Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T). (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα a c b d σαν διάνυσμα-στήλη a b.(,5) c d 4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d τελεστή ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P ( x ) των πολυωνύμων 3 ου dx βαθμού. () 5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (,5)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 01 (για τους επί πτυχίω) α 0 0 1) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 του χώρου Μ 3 [R]. Να βρεθούν οι τιμές του α 0 0 α για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. 3) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση : ( fx gx ) 1 ( ), ( ) = fxgxdx ( ) ( ) 0 αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+, g(x)=x -x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) f(x), g(x). 4) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 01 Α 1) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,). () ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. () 1 0 0 3) Δίνεται ο πίνακας x+ 1 1 x+ 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις 1 1 x + 1 οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. () 4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R 3 και γιατί: Α) (v,u)= v u B) (v,u)= v u cos 3 θ, Γ) (v,u)= v u cosθ (1,5) 5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,0,1), u =(0,1,1), u 3 =(1,1,1) (,5)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 01 B 1) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : 1 <f g>= ( 1 x) fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3. () ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. () 1 0 0 3) Δίνεται ο πίνακας 1 x 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο 0 x 1 πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. () 4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=( x,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny) (1,5) 5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(y, x-z, -x+y+z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,1,0), u =(1,1,1), u 3 =(1,0,1)) (,5)