ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ:

---"-"~~~~~~~~~~~ 1 - Γ ~ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Π ε ρίληψη 3 Λέξε ις κλε ιδ ιά 3 Abstract 3 Key Words 3 Κεφάλαιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 1.1 Διαφοeετικοί τύποι στόχων και συστ!]μάτων ε ικόνας 4 1.2 Εξαeτ~ματα ενός συστήματος εικόνας 7 1.3 Συστ~~ατα απεικόνισ!j s 8 1.4 Αναγνώριση σ χ,ε δίων για την όρασ!] υπολογιστών 10 1.5 Αξιολόγηση απόδοσης των αλγορίθμων 11 Κεφάλαιο 2 ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 13 2.1 Προβολικός Χώeο ς 13 2.2 Συντεταγμ ένε s 13 2.3 Προ~ολική Γ ε ωμετeία και Μ ετασχ!)ματισμοί στο 2Δ Χώρο 14 2. 3.1 Το 2 Δ Πeοβο λικό Επίπεδ ο 14 2.3.2 Προβο λικοί Μετασχηματισμοί 18 2.3.3 Ιεραeχ,ία Μ ετασχ,ηματισμών 19 2.4 Προβολική Γε ωμετρία και Μ ετασχ,!]ματισμοί στο 3Δ Χώρο 20 2.4.1 Σημε ία και Προβολικοί Μετασχηματισμοί 20 2.4.2 Ιεραρχ,ία Μετασχ!!ματισμών 21 2.5 Μοντέλα Καμεeών 22 2.5. 1 Π επε ρασμένη Κά~ε ρα 23 2.5.2 Πεπε eασμένη προ~ολικ~ κάμερα 25 2.5.3 Η Κάμε eα στο Άπειeο 28 Κεφάλαιο 3 ΟΡΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ 30 3.1 Γιατί αντίληψ!] και δράση ; 30 3.2 Γιατί αντίληψη και όχι μόνο όραση ; 31 3.3 Κατάλλ~Jλο ς χώeο s εe~!jνε ία s 32 3.4 Δια~οeικά πeότυπα για τψ αντί λ!]~!) 36 3.5 Πληροφορίες σε μια εικόνα 37 3.6 Σ ε ποίο σημείο εισέρχεται η ανθρώπινη γνώση ; 38 3.7 Σφαιρικά ολοκληρώματα για την αξιολόγηση της κατάστασ!j s 39 3.8 Επάρκεια συστημάτων εικόνας 40 3.9 Τ εχνικά συστημάτα εναντίον των βιολογικών 43 3. ΙΟ Νο!]~οσύνη 45 3.11 Βασικές Σχέ σ ε ις 49 3.12 Τρισδιάστατος χώρος και χρόνος 52 Κεφάλαιο 4 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ROBOREALM 55 4.1 Ανίχν ευση Ακμών (EDGES) 56 4.2 Φίλτρα 61 4.3 Έλεγχος (CONTROLS) 70 1

4.4 Dis2la~ 71 4.5 Ιστογeαμμα - histogram 71 4.6 Matching Modules 76 4.7 Μετασχηματισμοί 81 4.8 Πeοκαθοeισ~ενες δο~ικεs ενοτ~::~τεs 85 4.8.1 3d απεικονιση 85 4.8.2 Ανιχνευτής Δαπεδου 88 4.8.3 Γραμμή λέιζερ 90 4.8.4 Σημείο λέιζερ 90 4.8.5 Μετακίνηση 92 4.8.6 Σχεδιασμος ποeειας 93 4.8.7 Σχ,εδιασ!) επι~ανειας 94 4.8.8 Ανιχνευτής τοίχων 95 4.8.9 Ορίζοντας 96 Κεφάλαιο 5 Η ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΜΑΣ 98 5.1 Ανάλυσ~ των βαθμίδων 99 5.2 Βήματα της εφαρμογης μας 103 Προτάσεις για μελλοντικη εργασία 106 Βι~λιογeα~ία 107 2

ίfu~g6)/jia I HJltf~U il Στην παρούσα πτυχιακή ε ργασία παρουσιάζονται οι βασικες αρχες της Όρασης Υπολογιστών και οι τεχνικές που μας επιτρέπουν να σχεδιάσουμε ένα πληρως αυτονομο όχημα. Η παρουσίαση της λε ιτουργία ς των διαφόρων υποσυστημάτων καθώς και του λογισμικού Roborealm είναι απαραίτητη αφου με την βοήθ ε ια αυτων γίνεται η ανάλυση και ο έλεγχος του οχήματος. Η δημιουργία αυτόνομων οχημάτων που θα κινούνται με την χρησιμοποίηση της όρασης αποτελεί ένα άκρως ενδιαφέρων ζήτημα και δημιουργεί αρκετές μελλοντικλες προσδοκίες με την ανάπτυξη των υπάρχουσων τεχνολογιών. Όραση Υπολογιστών, ρομποτική όραση, αυτονομο οχημα, roborealm, επ εξεργασια εικονας, προσομοίωση, τρισδιαστατος χωρος, δισδιαστατο επιπεδο, αισθητήριο, καμερα. Ιη tl1e present thesis we present the basic principles of Computer Vision and the teclιniques that will allow us to buld an autonomous νehicle. The presentation of the functionality of the νarious subsystems, as well as the Roborealm software, is necessary, as rely οη tl1em for tha analysis and tl1e control of the νehicle. Building autonoιηous νehicles that will use νίsίοη as tl1eir basic sense is an extremely interesting subject and with the deνelopment ίη cuπent technologies creates great expectations for the future. //f' W/:ί'v 1 rιc ~'Ι';)ιι.,, r_\ ι 1 1Λ/~Jf\~,... ~ Computer Vision, robotic νιsιοη, autonomous νehicle, Roborealm software, ιmage processing, simulation, 3d space, 2d plane, sensor, camera. 3

ΚΕΦΆΛΑΙΟ 1 Εισαγ ω γή Το π εδίο τη ς όραση ς υπολογιστών ε ίναι τόσο πολύπλοκο και υπάρχουν τόσ ες πολλές δ ιαφορ ετικές προσεγγίσ ε ις στην ε φαρμογή τη ς που φαίνεται λογικό πρώτα να εξετάσουμε και να δ ιευκρινίσουμε την πε ριοχή στην οποία σκοπεύουμε να εξετάσουμε. Πολλές προσεγγίσεις στη όραση υπολογιστών έχουν αρχίσ ε ι με το παρά δειγμα ότι τα εύκολα πρ άγματα πρ έπε ι να αντιμετωπιζωνται πρώτα, όπως η.. εν ιαία ε ρμηνεία ε ικόνας στιγμιότυπων. Μια επέκταση στις πιο σύνθ ετε ς εφαρμογές μπορ ε ί αργότε ρα να στηριχτε ί στην ε μπε ιρία που αποκτιέται. Η προσέγγισή μας αντίθ ετα ήταν να χωρίσουμε το δυναμικό πεδ ίο από (το σχεδόν) στατικό αντίστοιχό τη ς ευθύς εξαρχή ς και να παραγάγουμ ε τις επαρκ ε ί ς μ ε θόδου ς για αυτήν την συγκ ε κριμένη πε ριοχή. Για να προ ετοιμάσουν το έδαφο ς για την επιτυχία, οι αρκε τά ικανές μέθοδ ο ι και οι αντιπροσωπεύσε ις γνώση ς πρ έπε ι να εισαχθούν από την α ρχή. 1.1 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΟΧΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΚΟΝΑΣ Το σχήμα 1 πα ρουσιάζε ι αντιπαραθ έσε ις διάφορων στόχων όραση ς που ε μφανίζονται στη κα θημ ε ρινή ζωή. Για του ς ανθρώπους, η ε ρμηνεία στιγμιότυπων φαίνεται εύκολη, γεν ικά, όταν ε ίναι καλά γνωστή η πε ριοχή στην ο ποία έχε ι λήφθ ε ι η ε ικόνα. Τείνουμε να φανταστούμε το χρονι κό πλαίσιο και το χρόνο όταν τραβηχτε ί η εικόνα. Από την κίνηση τη ς κηλίδ ας και τις ασυνήθιστες θ έσεις, η εν σω μάτω ση του στιγμιότυπου σε έναν γνωστό ελιγμό ολοκληρώνεται. Γενικότε ρα, ακόμη και οι απλές εικόν ε ς απαιτούν τη γνώση υποβάθρου σχετικά με την κίνηση για πιο σε βάθος να κατανόηση αυτό αγνο ε ίται συχνά στην όραση μηχανών ή υπολογιστών. Η προσέγγ ιση που αναλύ εται σ ε αυτήν την ε ργασία εξετάζε ι τις δ ιαδ ικασίες κινήσεω ν στο τρισδ ιάστατο χώρο και το χρόνο ω ς την βασική γνώση. που απαιτείται για την κατανόηση των ακο λουθιών ε ικόνα ς. Αυτό παράγ ε ι ένα φυσικό πλαίσιο για τη γλώσσα και τους όρους που θα χρησιμοποιήσουμε. Μια άλλη μ ι::γάλ η δ ιαφορά στις μεθόδους και τις προσ εγγίσεις προκύπτε ι από το γεγονός ότι η κά με ρα που παράγ ε ι το τηλεοπτικό σήμα ε ίναι ε ίτε στάσιμη ε ίτε κινούμενη. Εάν κιν ε ίται. η γραμμική ή περιστροφική κίνηση της μπορ ε ί επίσης να απαιτήσε ι ε ιδ ική μ εταχε ίριση. Η ε πιτήρηση γίν εται, συνήθω ς. από μια στάσιμη θ έ ση ενώ η κάμε ρα μπορ ε ί να κιν ε ίτε (πε ριστροφή γ ύρω από έναν κάθ ετο άξο να. συχνά επίσης αποκαλούμενο παρέκκλιση) και κλίση (περιστροφή γύρω από ορι ζόντιο άξ ο να) για να αυ ξ ήσε ι το συνολικό οπτικό πεδ ίο του. Σ ε αυτήν την περίπτωση, η κίνηση ε ισάγεται ε σκ ε μμ έν α και ελέγχεται καλά, έτσι ώστε να μπο~ί να ληφθ ε ί υπόψη κατά τη διάρκεια 4

τη ς αξιολόγηση ς ε ικό να ς. Εάν η κίνηση πρόκε ιται να ελεγχθ ε ί βασισμ ένη στην ε ικόνα, το σώμα που φ έ ρ ε ι τη κά με ρ α μπορ ε ί να υπόκε ιται σε ισχυρ ές δ ιαταραχές, που δεν μπορ ούν να πρ ο β λεφ θούν, γεν ικά. Ε ικονογ ραφική όραση (εν ιαία ε ρμηνε ία εικό νας) Επιτήρηση ανίχνευση, επιθ ε ώρηση ( θήρ α μα) [υβριδικά συστήματα] Μονοφθαλ μικό σύστημα κινήσε ων Παθητικό Δισδιάστατη μο ρφή Ε κτό ς σύνδε ση ς Μον οχρωματικό ς Ένταση Σχήμα 1. Τύποι συστημάτω ν ε ικόνας και στόχων ε ικόνας Όραση κινήσε ων Έλεγχο ς κινήσ ε ων ( θηρ ευτή ς) Πολυοφθαλ μικό σύστημα Εν ε ργό : ο τύπο ς άμεσης σταθ ε ροποίησης, προσοχή ε στιάστηκε Χω ρική ε ρμηνε ία Σύνδε ση σ ε πραγματικό χρόνο Όραση χρώματο ς Εύpο ς Σε πε ριπτώ σ ε ις με μεγ άλα ποσοστά κίνηση ς ή πε ριστροφή ς, μπορ ε ί να ε ίναι δύσκολη η αξιο λόγηση τη ς ε ικόνας, λόγω του χρόνου καθυστέ ρησης που ε ισάγ εται με το χε ιρισμό και την ε ρμηνε ία των μεγ άλων πο σοστών πληροφο ριών στην ε ικόνα και ως ε κ τούτου ο σταθ ε ρ ός έλεγχος του οχήματος δεν μπορ ε ίν πλέον να ε ίναι δυνατό ς. Τ α βιολογ ικά συ στήματα έχουν αναπτύ ξε ι τη συνε ργασία μ εταξύ αδ ρανού ς και οπτικής αξ ιο λόγησης στοιχε ίω ν. Επίση ς από βιο λογική ς άποψη ς υπάρχε ι δ ιαφοροποίηση των συστημάτων ε ικόνας σε δύο κατηγορί ες: στα «θήραματα» και τα «αρπακτικά». Τα πρώτα προσπαθούν να καλύψουν ταυτόχρονα ένα μεγάλο οπτικό πεδ ίο για την ανίχνευση των αρπακτικώ ν ζώων αρκετά πριν αυτα προσεγγίσουν από οποιαδ ήποτε πιθανή κατεύθυνση. Τα αρπακτικά ζώα κινούνται για να βρουν το θήραμα, και κατά τη διάρκεια τη ς τελ ική ς προσ έγγιση ς καθώ ς επίση ς και στην αναζήτηση πρ έπε ι να υπο λο γίσουν τη θ έση και την ταχύτητά το υς σε σχέση με την κίνηση του θηράματο ς και να ε ίναι αρκετά ακριβ ές γ ια να π ετύχουν το στόχο του ς. Η στερ εοσκοπική όραση και η υψηλή ανάλυση στη κατεύθυνση τη ς κίνηση ς παρ έχε ι τα πλεον ε κτήματα, και η φύση π έτυχε την ανάπτυ ξη αυτών των συνδυασμών στο μάτι. 5

Οι γρήγορα κινούμενοι στόχοι μπορούν να ακολουθηθούν στην ομαλή αναζήτηση, μειώνοντας επίση ς τη θαμπάδα κινήσεων για αυτό το συγκεκριμένο αντικείμενο ενδιαφ έ ροντο ς η επιδ ε ίνωση τη ς αναγνώρισης και η καταδίωξη άλλων αντικειμένων λιγότερου ενδιαφ έ ροντος γίνονται αποδεκτές. Δεδομένου ότι οι εικόνες ε ίναι μόνο σε δύο διαστάσεις, το δισδιάστατο πλαίσιο φαίνεται το φυσικότ ε ρο για την ερμηνεία μιας εικόνας. Αυτό μπορ ε ί να ισχύ ε ι για σχεδόν επίπεδα αντιμετωπιζόμενα αντικείμενα, όπως ένα πουλί σε ένα τοπίο. Όταν έχουμε μια επίπεδ η επιφάνεια με τον οπτικό άξονα σχεδόν παράλληλο σ ε αυτή, με μια ανύψωση ελαφρώς επάνω από το έδ αφο ς, η κατάσταση ε ίναι αρκετά διαφορετική. Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε γραμμή στην εικόνα αντιστοιχεί σε μια διαφορετική απόσταση από το έδ αφος, και το ίδιο τρισδιάστατο αντικε ίμενο στην επιφάνε ια φαίνεται αρκετά διαφορετικό στο μέγεθος σύμφωνα με αυτό που ε μφανίζεται στην ε ικόνα. Αυτός ε ίναι ο λόγος για τον οποίο η ομοιογενώς διανεμημένη επεξεργασία εικόνας από τις δ ιανυσματικές μηχανές έχε ι έναν σχετικό χρόνο στην παρουσίαση αποδοτικότητάς του, οι τοπικά προσαρμοσμ ένες μέ θοδοι στις περιοχές της εικόνας φαίνονται πιο ελπιδοφόρ ες σε αυτήν την π ε ρίπτωση και έχε ι αποδείξει την ανωτερότητά τους. Ερμην εύοντας τις ακο λουθίες της εικόνας στο τρισδιάστατο διάστημα με τις αντίστοιχες βάσεις γνώσεων απο την αρχή επιτρ έπει την εύκολη προσαρμογή στις διαφορές για τα ενιαία αντικ είμενα. Φυσικά, η ανάλυση των καταστάσ εων που έχουν τα διάφορα αντικείμενα στις διάφορες αποστάσεις πρ έπει τώρα να γίνει σε ένα χωριστό επίπεδ ο. στηριγμένο ς στα αποτελ έ σματα όλων των προηγούμενων βημάτων. Αυτό ε ίναι ένας από του ς πρωταρχικού ς παράγοντες στο σχε διασμό της αρχιτεκτονικής για τρίτη γενιά σύστημα ε ικόνας (EMS. Η κατανόηση των διαδικασιών tης κίνησης των τρισδιάστατων αντικειμ ένων στο τρισδιάστατο χώρο ενώ το σώμα που φ έρ ε ι την κάμερα κιν είται επίσης στο τρισδιάστατο χώρο, φαίνεται να είναι ένα από τα δυσκολότερα έ ργα στην όραση σε πραγματικό χρόνο. Χωρίς τη βοήθεια της αδρανούς αντίληψης για τον διαχωρισμό από τη σχετική κίνηση, αυτό μπορ ε ί μ ετά βίας να επιτευχτεί, τουλάχιστον στις δυναμικές καταστάσεις. Η άμ ε ση μέτρηση σ ε ιράς από τους πρόσθ ετους αισθητήρες όπως οι ανιχν ευτές σειράς ραντάρ ή λέιζερ (LRF) θα διευκόλυνε το στόχο της όρασης. Λόγω της σχετική ς απλότητας και της χαμηλής ανάγκης του ς για δύναμη υπολογισμού, αυτά τα συστήματα έχουν βρει σχετικά διαδεδομένη εφαρμογή στον αυτοκίνητο τομέα. Εντούτοις, όσον αφορά την ανάλ υση και την ευελιξία τη ς ε κμ ετάλλευση ς στοιχε ίων καθώς επίσης κα ι του κόστους υλικού και τον όγκο εγκαταστάσεων που 6

απαιτείται, έχουν την πο λύ μικρότερη δυνατότητα από τις παθητικές κά μερες μακροπρόθ εσμα με τη δύ ναμη υπολογισμού άφθονα δ ιαθ έσιμη. 1.2 ΕΞ Α ΡΤΗΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Η όραση υπολογιστών είναι ένα σύνθετο θέμα. Έτσι είναι πιο χρήσιμο να το διαιρέσουμε στα διάφορα εξα ρτήματα του ή τις ενότητε ς λειτουργίας του. Σε αυτό το επίπεδ ο, αυτό είναι πολύ ευκολότε ρο να συγκρίνουμε ένα τεχνικό σύστημα μ ε ένα βιολογικό σύστημα. Από αυτή την άποψη, η βασική λειτουργία μιας βιολογικής και μηχανικής όρασης περιλα μβάνουν τα ακόλουθα εξα ρτήματα : Πηγή ακτινοβολίας. Εάν καμία ακτινοβολία δεν εκπέμπεται από την εικόνα ή το αντικεί μενο ενδιαφ έροντο ς, τίποτα δεν μπορ εί να παρατηρηθ ε ί ή να υποβληθεί σε επεξε ργασία. Κατά συνέπεια ο κατάλληλος φωτισμός ε ίναι απαραίτητο(; για τα αντικείμενα που δεν ακτινοβολούν. Κάμερα. Η «Κά με ρα» συ λλέγε ι την ακτινοβολία που παραλα μβάνει από το αντικείμενο κατά τέτοιο τρόπο ώστε η προ έλευση της ακτινοβο λίας μπορ ε ί να επισημανθεί. Στην απλούστερη πε ρίπτωση αυτό είναι ακριβώς έν α ς οπτικός φακός. Αλλά θα μπορούσε επίσης να ε ίναι ένα απολύτως δ ιαφορ ετικό σύστημα, παραδείγματος χάριν, ένα οπτικό φασματόμετρο απεικόνισης, ένα των ακτινών Χ t01ηo gra pl1, ή ένα πιάτο μικροκυμάτων. Αισθητήρας. Ο αισθητήρα ς μετατρ έπε ι τη λα μβανόμενη πυκνότητα ροή ς τη ς ακτινοβολίας σ ε ένα κατάλληλο σήμα για την π ε ραιτέρω επεξε ργασία. Για ένα σύστημα απεικόνισης κανονικά απαιτείται μια 2 διαστάσεων σε ιρά αισθητήρων για να συλλά β ε ι τη χωρική διανομή της ακτινοβολίας. Μ ε ένα κατάλληλο σύστημα ανίχνευσης σ ε με ρικές περιπτώσεις ένας ενιαίος αισθητήρας ή μια σ ειρά των αισθητήρων θίχ μπορούσ ε να ε ίναι ικανοποιητικός. Μονάδα επεξεργασίας. Επεξεργάζεται τα εισερχόμενα, που έχουν γενικά υψήλα -διαστασιακά στοιχεία, που εξάγου ν τα κατάλλη λα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο να μετρηθούν οι ιδιότητες των αντικειμένων και να τις ταξινομήσουν σ ε κατηγορίες. Ένα άλλο σημαντικό συστατικό ε ίναι ένα σύστημα μνήμη ς για να συλλέξει και να αποθηκεύσει τη γνώση π ε ρίπου η σκηνή, συμπεριλαμβανομένων των μηχανισμών για να διαγράψει ασήμαντο πράγματα. Δράστες. Οι δράστες αν τιδρ ούν στο αποτέλεσμα τη ς οπτική ς παρατήρηση ς. Γίνονται ένα αναπόσπαστο τμήμα του συστήματος όταν το σύστημα αποκρίνεται ενεργά στην παρατήρηση με. παραδ ε ίγματος χάριν, την καταδίω ξη ενός αντικειμένου ή με τη χρησιμοποίηση μιας Οπτικός - καθοδηγημένης ναυσιπλο'ί'ας (ενεργό όραμα, κύκλος δ ράση ς αντίληψης). 7

Πίνακας 1: Ενότητες λειτουργίας της ανθρώπινης και της μηχανικής όρασης Στόχος Ανθρώπινη όραση Μηχανική όραση Απεικόνιση κυρίω ς από την Ενεργός αντανάκλαση του φωτός ( ελεγχόμενο ς φωτισμό ς) από αδιαφανείς επιφάνειες χρησιμοποιώντας η λεκτρομαγν ητική, μοριακή, και ακουστική ακτινοβολία Σχηματισμός εικόνας Διαθλαστικό οπτικό Διάφορα συστήματα σύστημα Έλεγχος της ακτινοβολίας Ελεγχόμενος μυ ς Μηχανοποιημ ένα ( ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΙΜΟΣ) ανοίγματα, ρόδες φίλτρων, ρυθμιζόμενα φίλτρα Εστίαση ελεγχό μενο ς μυ ς- αλλαγή Συστήματα( Autofocus ) του εστιακού μήκου ς αυτόματης εστίασης βασισμένα στις διάφορ ες αρχές των μετρήσε ων απόστασης Ψήφισμα ακτινοβολίας Λογαριθμική ευαισθησία Γραμμική ευαισθησία, κβαντοποίηση μεταξύ 8 - και 16 μπιτ λογαρ ιθμική ευαισθησία Εντοπισμός Ιδιαίτερα κινητικός Σαρωτές και βολβό ς του ματιού τοποθετημένες σε ρομπότ κάμ ε ρες Επεξεργασία και ανάλυση Ιεραρχικά οργανωμένη Τμηματική επε ξε ργασία μαζικά παράλληλη κυρίως κυρίαρχη χρήση επεξε ργασία παράλληλης επεξεργασίας όχι σε γενική χρήση 1.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Τα συστήματα απεικόνιση ς καλύπτουν όλες τις διαδικασίες που περιλαμβάνονται στο σχηματισμό μιας εικόνας από τα αντικείμ ενα και τους αισθητήρες που μετατρ έπουν την ακτινοβολία στα η λεκτρικά σήματα, και π εραιτέ ρω στα ψηφιακά σήματα που μπορούν να υποβληθούν σε επεξεργασία από έναν υπολογιστή. Γενικά ο στόχος ε ίναι να επιτύχου μ ε ένα σήμα από ένα 8

αντικείμενο με μια τ έτοια μορφή ώστε να ξέρουμε όπου είναι (γεωμετρία), και τι είναι ή ποιες ιδιότητες έχει. Σχήμα 2: Αλυσίδα των βημάτων που συνδέουν ένα αντικείμενο με το σήμα που μετριέται από ένα σύστημα απεικόνισης. Αντικείμενο- αλληλεπίδραση Ακτινοβολία Σύστημα Ακτινοβολία Φωτοανιχνεuτής Ηλεκτρικό ADC Ψηφιακή S ( χ ) αντικείμενου L( χ ) απεικόνισης Ε( χ ) σήμα δειγματοληψία ε ικόνα ακτινο βολ ίας G(χ) Είναι σημαντικό να σημειωθ ε ί ότι ο τύπος απάντησης που λαμβάνουμε από αυτές τις δύο υπονοούμενες ερωτήσε ις εξαρτώνται από το σκοπό λειτουργιάς του συστήματος. Η απάντηση θα μπορούσ ε να ε ίναι είτε ποιοτικής ε ίτε ποσοτικής φύσης. Για μ ε ρικές εφαρμογές θα μπορούσ ε να είναι ικανοποιητικό να ληφθεί μια ποιοτική απάντηση όπως «ε κεί είναι ένα αυτοκίνητο στον αριστ ερό σας χέ ρι που έ ρχεται».το «Τι» και «όπου» είναι οι ερωτήσεις που μπορούν να καλύψουν ολόκληρη την πρόταση από «ε κε ί είναι κάτι,» μια συγκεκριμενοποίηση του αντικειμένου υπό μορφή κατηγορίας, σε μια λεπτομερή ποσοτική πε ριγραφή των διάφορων ιδιοτήτων των αντικε ιμ ένων ενδιαφ έ ροντος. Η σχέση που συνδ έε ι την ιδιότητα του αντικειμένου με το σήμα που μετριέται από ένα σύστημα απε ικόνιση ς είναι μια σύνθ ετη αλυσίδα διαδικασιών (Σχήμα 2). Η αλληλεπίδραση της ακτινοβολίας με το αντικε ίμενο (που ενδεχομένως χρησιμοποιεί ένα κατάλληλο σύστημα φωτισμού) αναγκάζει το αντικ ε ίμ εν ο για να ε κπέμψει ακτινοβολία. Μια μερίδα (συνήθως μόνο ένα πολύ μικρό μ έ ρος) της εκπεμπόμενη ς ενέ ργειας τη ς ακτινοβολίας συλλέγ εται από το οπτικό σύστημα και θ εω ρ ε ίται ως ακτινοβολία (της ακτινοβολία ς ενεργή /περιοχή). Ένας αισθητήρας (ή μια σειρά αισθητήρων) μετατρ έπε ι τη λαμβανόμ ενη ακτινοβολία σε ένα ηλεκτρικό σήμα που επιλέγεταί στη συν έχεια και μ εταλλάσσεται για να διαμορφώσει μια ψηφιακή εικόνα ως σειρά ψηφιακών αριθμών. Μόνο τα άμεσα συστήματα απεικόνισης παρέχουν ένα άμε σο σημείο για να δείξουν την αλληλ επίδραση μεταξύ των σημείων των αντικειμένων στον τρισδιάστατο κόσμο και το πλάνο της ε ικόνας. Τα έ μμ ε σα συστήματα απεικόνισης δίνουν επίσης μια διαν ε μημένη ακτινοβολία στο χώρο αλλά χωρί ς την ένα προς ένα σχέση. Η παραγωγή μιας εικόνας απαιτεί την αναδημιουργία του αντικειμένου από την αντιληπτή ακτινοβολία. Τα παραδείγματα τέτοιων τεχνικών απε ικόνισης περιλαμβάνουν την απε ικόνιση ραντάρ, διάφορες τεχνικές για τη φασματική απεικόνιση. την ακουστική απεικόνιση, την τομογραφική απεικόνιση, και την απ εικόνιση μαγνητικής αντήχησης. 9

1.4 Αναγνώριση σχεδίων για την όραση υπολογιστών Ο βασικός στόχο ς της επεξεργασίας σήματος στην όραση υπολογιστών είναι η εξαγωγή των «κατάλληλων χαρακτηριστικών γνωρισμάτων» για την επόμενη επεξεργασία για να αναγνωρίσει και να ταξινομήσει τα αντικείμενα. Αλλά τι είναι ένα κατάλληλο χαρακτηριστικό γνώρισμα ; Αυτό καθορίζεται δυσκολότερα απ'ό, τι σε άλλες εφαρμογές της επεξεργασίας σήματος. Βεβαίω ς μια από καθοpισμένη με σαφήνεια μαθηματική περιγραφή της τοπικής δομής είναί μια σημαντική βάση. Καθώς τα σήματα υποβάλλονται σε επεξεργασία στην όραση υπολογιστών προ έ ρχονται από δυναμικές τρισδιάστατες σκηνές, τα σημαντικά αυτά χαρακτηριστικά γνωρίσματα περιλαμβάνουν επίσης την κίνηση και διάφορες τεχνικές για να προκύψει το βάθος στις εικόνες συμπεριλαμβανομένων των στε ρ εών, το σχήμα της σκίασης και των φωτομετρικών στερ εών, και βάθος από την εστίαση. Υπάρχουν μικρές αμφιβολίες ότι οι μη γραμμικές τεχνικές ε ίναι κρίσιμες για την εξαγωγή χαρακτηριστικών γνωρισμάτων στην όραση υπολογιστών. Εντούτοις, συγκρινόμενες με αυτές του γραμμικού φίλτρου, οι τεχνικ έ ς αυτές είναι ακόμα στα σπάργανα. Δεν υπάρχει καμία απλή μη γραμμικίί τέχνική αλλά υπάρχε ι ένας πλήθος τέτοιων τεχνικών συχνά προσαρμοσμέν ες σ ε έναν ορισμένο σκοπό. Σε αυτό το σημείο, παραθ έτουμε μια επισκόπηση των διάφορων κατηγοριών μη γραμμικών τεχνικών φίλτρων και ε στιάζουμε σε μια πρώτης εντολής αντιπροσώπευση των μη γραμμικών φίλτρων από το συνδυασμό γραμμικής συνέλιξης και μη γραμμικού σημείου χειρισμούς και μη γραμμικό φιλτράρισμα διάχυσης. Σε γ ενικές γραμμές, η ταξ ινόμηση ρουτινών δεν είναι τίποτα σύνθετο. Πάρτε μερικά κατάλληλα γνωρίσματα και χωρίστε τα σ ε κατηγορίες. Γιατί τότε είναι τόσο δύσκολο για. ένα σύστημα όρασης υπολογιστών να αναγνωρίσ ε ι τα αντικείμενα ; Το βασικό πρόβλημα συσχετίζεται με το γεγονός ότι η διαστατικότητα του διαστήματος εισαγωγής είναι μεγάλο. Σε γενικές γραμμές, θα ήταν δυνατό να χρησιμοποιηθεί η ιδία η εικόνα ως είσοδος για έναν στόχο ταξινόμησης, αλλά καμία πραγματική τεχνική ταξινόμησης δεν είναι στατιστική, νευρωνικά, ή συγκεχυμένα -θα ήταν σε θέση για να χε ιριστούν τέτοια υψηλό-διαστατικά διαστήματα γνωρισμάτων. Επομένως, η ανάγκη προκύπτ ε ι για να εξαγάγει τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα και για να τα χρησιμοποιήσει για την ταξ ινόμηση. 10

Δυστυ χώ ς, οι τεχνικές για την επιλογή χαρακτηριστικών γνωρισμάτων πολύ συχνά έχουν παραμεληθεί στην όραση υπο λογιστών. Δεν έχουν αναπτυχθ ε ί στον ίδιο βαθμό όπως η ταξινόμηση, όπου γίνεται καλά κατανοητό ότι οι διαφορ ετικές τεχνικές (ειδικά στατιστικέ ς και νευρικές τ εχνικές) μπορούν να εξεταστουν κάτω από μια ενοποιημένη άποψη. Η αναγνώριση του αντικειμένου μπορ ε ί να εκτ ελεσθ ε ί μόνο εάν είναι δυνατό να αντιπροσωπευθ ε ί η γνώ ση με έναν κατάλληλο τρόπο. Σε απλές περιπτώσε ι ς η γνώση μπορ ε ί ακριβώς να στηριχτε ί στα απλά πρότυπα. Σε πιο σύνθετες π ε ριπτώσ ε ις αυτό δεν είναι ικανοποιητικό. 1.5 Αξιολόγηση απόδοσης των αλγορίθμων Η συστηματική αξιολόγηση των αλγορίθμων για την όρασ η υπολογιστών έχει παραμεληθ ε ί ευρ έ ως. Για έναν νεοφώτιστο στην όραση υπολογιστών μ ε ένα υπόβαθρο ε φαρμοσμένης μηχανικής ή μια γενική εκπαίδ ευση στις φυσικές επιστήμες αυτό ε ίναι μια παράξενη εμπε ιρία. Του φαίνεται σαν κάποιο ς να παρουσιάζει τα αποτελέσματα των μετρήσ ε ων χωρίς το δόσιμο των φραγμών λάθου ς ή ακόμα και σκέ ψη για πιθανά στατιστικά και συστηματικά λάθη. Ποια είναι η αιτία αυτή ς της κατάσταση ς; Αφ ' ενός, ε ίναι αλήθ ε ια ότι μερικά προβλήματα στην όραση υπολογιστών είναι πολύ δύσκολα και ότι ε ίναι ακόμα πιό δύσκολο να ε κτελε σθ ε ί μια πε ρίπλοκη ανάλυση λάθους. Αφ' έτε ρου, η κοινότητα όρασης υπολογιστών έχε ι αγνοήσ ε ι σ ε μεγάλο βαθμό το γεγονό ς ότι οποιοσδήποτε αλγόριθμος είναι τόσο καλό ς όσο η αντικε ιμενικέ ς και στε ρ εές αξ ιο λόγησης και η επαλήθ ευσή ς του. Ευτυχώς, αυτή η παρ ε ρμηνεία έχε ι αναγνωριστε ί στο μετα ξύ και υπάρχουν σοβαρές προσπάθ ε ιε ς εν εξελ ίξε ι που προσπαθούν να καθιε ρώσουν γ ενικά αποδ εκτούς κανόνες για την ανάλυση από δ οσης των αλγορίθμων της όραση ς υπολογιστών. Τα τρία σημαντικά κριτήρια για την από δοση των αλγορίθμων όρασης υπολογιστών ε ίναι: Επιτυχής λύση του στόχου. Οποιοσδήποτε επαγγελματίας δίνει σε αυτό την ύψιστη προτε ραιότητα. Αλλά και ο σχεδιαστής ενός αλγορίθμου πρ έπει να καθορίσε ι ακριβώς για ποιο στόχο είναι κατά λλη λ ο ς και τι όρια έχει. Ακρίβεια. Αυτό πε ριλαμβάν ε ι μια ανάλυση των στατιστικών λαθών υπό προσ ε κτικά καθορισμένου ς όρους Ταχύτητα. Αυτό πάλι ε ίναι ένα σημαντικό κριτήριο για τη δυνατότητα εφαρμογι1ς ενό ς αλγορίθμου. Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι να α ξιολογηθούν οι αλγόριθμοι σύμφωνα με τα κριτήρια που προηγ ήθηκαν. Ιδανικά αυτό πρ έπε ι να πε ριλάβ ε ι τρεις κατηγορίες μελετών: 11

Αναλυτικές μελέτε ς. Αυτό ε ίναι ο από μαθηματική άποψη ο αυστηρότε ρο ς τρόπο ς να ελεγχθούν οι αλγόριθμοι, να ελεγχθεί η διάδοση λάθους, και να προβλεφθούν οι καταστροφικές αποτυχίες. Δοκιμές απόδοσης με παραγμένες τον υπολογιστή εικόνες. Αυτές οι δοκιμές είναι χρήσιμες δεδομένου ότι μπορούν να πραγματοποιηθούν υπό τις προσ εκτικά ελεγχόμεν ες συνθήκες. Δοκιμές απόδοσης με πραγματικές εικόνες. Αυτό είναι η τελική δοκιμή για τις πρακτικές εφαρμογ ές. 12

ΚΕΦΆΛΑΙΟ 2 Προβολική Γεωμετρία - Βασικές Αρχές Στο κεφάλαιο αυτό εισάγονται οι κυριότε ρες ιδέες από το χώρο της προβολικής γεωμετρίας και σκοπός είναι να γίνει η σύνδεση τους με την όραση υπολογιστών. Συγκεκριμένα, δίνεται έ μφαση στους μετασχηματισμούς του 2Δ και 3Δ κόσμου καθώς και στην γεωμετρία πολλαπλών όψεων. Οι προβολικοί μετασχηματισμοί ε ίναι συχνοί στην καθημερινότητα. Σε μια φωτογραφία μπορεί κανείς να δει τετραγωνικά ή κυκλικά σχήματα που δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα. Ο μετασχηματισμό ς που αντιστοιχεί επίπεδα σχήματα του κόσμου στην ε ικόνα είνα ι ένα παράδειγμα προβολικού μετασχηματισμού. Ο προβολικό ς μετασχηματισμό ς έχει τις παρακάτω ιδιότητες. Δεν διατηρεί το σχήμα, το μήκος των ευθυγ ράμμων τμημάτων, γωνί ες, αποστάσεις και λόγους μηκών ευθυγ ράμμων τμημάτων. Δηλαδή, ένας κύκλος ενδέχεται να μετασχηματιστεί σε μία έλλε ιψη, ένα ορθογώνιο σε ρόμβο. Ωστόσο, η ιδιότ ητα που δ ιατηρ είτα ι είναι αυτή της ευθύτητας. Δηλαδή, συνευθειακά σημεία θα μετασχηματιστούν σε συνευθειακά σημεία. Η τελευταία αυτή ιδιότητα της δ ιατήρηση ς των ευθε ιών είναι αυτή που ουσιάστικά ορίζει τους προβολικούς μετασχηματισμούς. 2.1 Προβολικός Χώρος Για τον ορισμό του προβολικοι) χώρου θα γίνει χρήση του Ευκλείδε ιου χώρου, για λόγους ευκολίας κατανόησης. Η Ευκλείδε ια γεωμετρία περιγράφ ει γωνίες και σχήματα αντικειμένων. Ωστόσο, αποτυγχάνει να περ ιγράψ ε ι το σημείο τομής παράλληλων ευθειών. Συγκεκριμένα, δύο παράλληλες ευθείες τέ μνονται στο άπειρο. Το άπειρο, όμως, δεν υπάρχει και αποτελε ί απλά πλάσμα μιας βολικής φαντασίας. Είνα ι δυνατό να παρακαμφθεί το πρόβλημα αυτό επεκτείνοντας τον Ευκλείδειο χώρο προσθ έτοντας τα σημεία στο άπειρο, όπου τέ μνονται παράλληλες ευθείες. Τα σημεία αυτά καλούνται ιδανικά σημ ε ία. Η προσθήκη των ι δανικών σημείων μετασχηματίζε ι τον Ευκλείδειο χώρο στον προβολικό χώρο. Με άλλα λόγια, ο προβολ ικό ς χώρος είναι μια απλή επέκταση του Ευκλείδειου χώρου. 13

2.2 Συντ εταγμ ένες Ένα σημείο στον δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο περιγράφεται από το διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (x,y). Η προσθήκη μιας επιπλέον συνιστώσας, δηλαδή (x,y, 1), δηλώνεται να αντιπροσωπεύει το ίδιο σημείο στο χώρο. Μια τέτοια αλλαγή δεν οδηγεί σε σφάλματα, καθώς είναι εύκολο να οδηγηθεί κανείς από τη μία περιγραφή στην άλλη. Στη συνέχεια, η παραπάνω αλλαγή δι ε υρύν εται ορίζοντας ως εναλλακτική π ε ριγραφή του σημε ίου οποιαδήποτε τριάδα της μορφής (kx, ky, k}, όπου k οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Και πάλι, ε ίναι δυνατή η μετάβαση από την μία περιγραφή στην άλλη καθώς ο λογος των δύο πρώτων συνιστω σών προς την Τρίτη συνιστώσα της εναλλακτικής περιγραφής οδηγεί στο αρχικό σημείο (χ, y). Ουσιαστικά λοιπόν, σημεία περιγράφονται από ισοδύναμες τάξεις τριάδων, όπου δύο τριάδες είναι ισοδύναμες αν διαφέρουν κατά μία πολλαπλασιαστική σταθερά. Οι τριάδες που αποτελούν εναλλακτικούς περιγραφείς των σημείων ονομάζονται ομογενείς συντεταγμένες. Επομένως σύμφωνα με τα παραπάνω, το σημείο (χ, y, 1) αντιπροσωπεύει το σημείο (χ, y). Ποιο σημείο όμως αντιπροσωπεύει η τριάδα (χ, y, Ο); Το σημείο (χ, Ο) δεν είναι πεπερασμένο. Αυτά τα σημεία αποτελούν τα ιδανικά σημεία, δηλαδή τα σημεία στο άπειρο. Δηλαδή, τα ιδανικά σημεία π ε ριγράφονται από ομογ ε ν ε ίς συντεταγμένες με μηδενική την τελευταία συνιστώσα. Οι ίδιες ιδέες που μετασχηματίζουν το δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο σε προβολικό χώρο με σημεία που περιγράφονται από ομογενείς συντεταγμένες, μπορούν να επεκταθούν σε οποιαδήποτε διάσταση. Ο Ευκλείδειος χώρος Rn μπορεί να επεκταθεί στον προβολικό χώρο Ρ με περιγραφείς σημείων μέσω ομογενών διανυσμάτων. Για n = 2 τα σημεία στο άπειρο σχηματίζουν μια ευθεία που καλείται ε υθεία στο άπειρο, ενώ για n = 3 σχηματίζουν επίπεδο που καλείται επίπεδο στο άπειρο. 2.3 Προβολική Γεωμετρία και Μετασχηματισμοί στο 2Δ Χώρο Στην ενότητα αυτή μελετώνται οι ιδιότητες της προβολικής γεωμετρίας στον 2Δ χώρο. Συγκεκριμένα, μελετώνται οι περιγραφείς των σημείων, ευθειών, καμπυλών σε ομογενείς συντεταγμέ νες, και πως αυτές μ ε τασχηματίζονται υπό προβολικούς μετασχηματισμούς. Εισάγονται οι έννοιες των ιδανικών σημείων και της ευθείας στο άπειρο. Στην ενότητα αυτή, έντονοι μ~κροί χαρακτήρες, όπως χ, συμβολίζουν ένα διάνυσμα στήλη, και το ανάστροφό του, Xt, συμβολίζει ένα διάνυσμα γραμμή. 14

2.3.1 Το 2Δ Προβολικό Επίπ εδο Τα σημεία σε ένα επίπεδο περιγράφονται από το ζεύγος συντεταγμένων (x,y) στο R 2. Οι ομογενείς συντεταγμένες του σημείου είναι (kx, ky, k) στο Ρ 2. Ομογενείς π ε ριγραφ ε ίς ευθειών. Η ευθεία σε ένα επίπεδο περιγράφεται από την εξίσωση αχ+ by + c = Ο. Η επιλογή διαφορετικών τιμών για τις σταθερές a, b και c δίνει διαφορετικές ευθείες στο επίπεδο. Επομένως, μια ευθεία μπορεί να παρασταθεί ως ένα διάνυσμα {α, b, c/. Ωστόσο, το διάνυσμα αυτό δεν αποτελεί μοναδικό τρόπο περιγραφής της ευθείας αυτής, διότι η εξίσωση (ka)x + {kb)y + (kc) = Ο και άρα το δίανυσμα (ka, kb, kc) περιγράφουν την ίδια ευθεία για κάθε μη μηδενικό k. Τα διανύσματα αυτά αν και διαφορετικά είναι ισοδύναμα καθώς παριστάνουν την ίδια ευθεία. Μια ισοδύναμη τάξη διανυσμάτων είναι γνωστή ως ομογενές διάνυσμα. Οποιοδήποτε διάνυσμα {α, b, c/ είναι αντιπροσωπευτικό της ισοδύναμης τάξης. Ομογενείς περιγραφείς σημείων. Ένα σημείο χ = (χ, y) τ ανήκε ι στην ευθ ε ία 1 = (α, b, c) Τ αν και μόνο αν α χ+ by + c = Ο. Αυτό μπορ ε ί να γραφ εί και ω ς (χ, y, l)(a, b, c) Τ = (χ, y, 1)1 = Ο. Να σημ ε ιωθεί ότι η για κάθ ε μη μηδ ε νική σταθ ερά k κα ι ευθ ε ία 1 η εξίσωση ( kx, ky, k) Ι = Ο ισχύ ε ι αν και μόvυ αν (χ, y, 1)1 = Ο. Επομ ένως, το σύνολο διανυσμάτων (kx, ky, k) Τ αντιστοιχε ί στο σημείο (χ, y) στο R 2. Για το λόγο αυτό, κα ι τα σημ ε ία και οι ευθ ε ίς μπορούν να παρασταθούν με ομογεν ε ίς συντ εταγμ ένες. Ένα αυθαίρ ε το ομογ ενές διάνυσμα Τ? 2 τη ς μορφή ς χ = (χ \,χ 2, χ 3 ) στο p- αντιπροσωπ ευ ε ι το σημε ιο (, ) στο R. Μια απλή εξ ίσωση καθορίζε ι αν ένα σημε ίο ανήκε ι στην ευθ εία, συγκ ε κριμ ένα Ένα ση με ίο χ ανήκε ι στην ευθ ε ία 1 εαν και μόνο ε αν χ τ ι = Ο Τομή ευθε ιών. Για δύο ευθε ίες 1 = (α, b, c/. κα ι Ι ' = (α ', b ', c'/ ορίζε τα ι το διάνυσμα χ = Ι χ Ι ', όπου χ αντιπροσωπ εύ ε ι το εξωτ ε ρ ικό γινό μ ενο. Από την ιδ ιότητα του εξωτ ερικού γινομ ένου Ιτ( Ι χ 1') = Ι 'τ(ι χ Ι ') = Ο ισχύ ει ότι Ιτχ = ι 'Ι"χ = Ο. Επομ ένω ς. αν θεωρηθ εί ότι χ αντιπροσωπεύει ένα σημ ε ίο, τότ ε το χ ανήκει και στις δύο ευθ ε ί ες Ι και Ι ', και άρα αποτελε ί το σημ ε ίο τομή ς των ευθει<:i)ν. Το σημ ε ίο τομή ς δύο ευθ ειών 1, Ι ' ε ίναι το σημείο χ = 1 χ 1 '. 15

Ευθεία ορισμένη από σημεία. Έστω δύο σημε ία χ και χ'. Ορί ζοντας το διάνυσμα 1 = χ χ χ' και θ ε ωριi)ντας ότι παριστάν ε ι ευθ ε ία, εύ κολα προκύπτ ε ι ότι αυτή δι έρχε ται και από τα δύο σημεία. 1-1 ευθ ε ία που δι έρχεται από τα σημ ε ία χ και χ' ε ίναι η 1 = χ χ χ' Ιδανικά Σημεία και η Ευθεία στο Άπειρο Σημείο τομ11ς παράλληλων ευθειών. Έστω δύο παράλληλες ευθ είες αχ+ by + c = Ο και α χ + by + c = Ο. Αυτές π εριγράφονται από τα δ ιανύσματα 1 = (α, b, c/. και Ι' = (α, b, c/ό Σύμφωνα με το Αποτέλεσμα 2.2 το σημ ε ίο τομής ε ίναι 1 χ Ι' = (c ' - c)(b, - α, ο?. Αγνοώντας την πολλαπλασιαστική σταθ ερά, το σημ ε ίο τομή ς των δύο ευθ ειών ε ίναι το ( b, - α, Ο) τ. Το σημε ίο αυτό είναι σημε ίου απ ε ίρο υ και δ ε ν αντιστοιχε ί σ ε πεπερασμένο σημείο στο R 2. Ευθεία στο άπειρο. Από τα παραπάνω προκύπτε ι ότι ένα ομογ ε ν έ ς διάνυσμα χ = (χ,, χ 2, χ 1 ) 1 με χ3 = Ο αντιστοιχε ί σ ε π επερασμένο σημε ίο στο R 2 Τα σημ ε ία με χ1 = Ο θ εωρούνται σημε ία στο άπ ε ιρο. Το σύνολο όλων των ιδανικών σημε ίων ( δηλα δή σημείων στο άπε ιρο) μπορ ε ί να γραφ ε ί ω ς (χί, χ 2, Ο) τ, όπου ένα συγκε κριμένο σημ ε ίο καθορίζε ται από το λόγο χ ί : χ 2. Είναι φαν ερό ό u αυτό το σύνολο σημε ίων ανήκε ι σε μια ευθ ε ία, την ευθεία στο άπειρο, που πε ριγράφ ε ται από το διάνυσμα = (Ο, Ο, ι?. Πράγματι, εύκολα επαληθ εύ ε ι καν ε ίς ότι (Ο, Ί O, l)(xj, Χ;, Ο) = Ο. Από το Αποτ έλεσμα 2.2, το σημ ε ίο τομής τη ς ευθείας 1 = ( α, b, c) τ και τη ς ευθ ε ία ς στο άπ ε ιρο ε ίναι το ι δ ανικό σημε ίο (b, - α, Ο) 1 '. Μια ευθ ε ία Ι' = (u, b, c'/ παρ.άλληλη στην Ι, έχε ι το ίδιο σημ ε ίο τομής με την ευθ ε ία στο άπε ιρο ΙΛ. Σε μη ομογ ενείς συντ εταγμέ νες, το διάνυσμα (b, - a) τ ε ίναι ένα δ ιάνυσμα εφαπτόμενο στην ευθ ε ία και ορθογώνιο στο κάθετο διάνυσμα της ευθ ε ίας ( α, b) και έ τσι αντιπροσωπ εύ ε ι τη δ ιεύθυνση τη ς ευθ ε ία ς. Για το σκο 7ό αυτό, η ευθ ε ία στο άπ ε ιρο μπο p;ί να θεωρηθ ε ί ω ς το σύνο :() των διαφορ ετικών δ ι ευθύνσ εων των ευθει ίi)ν στο 2Δ χώρο. Μοντελοποίηση του προβολικού επιπέδου. Για ευκολότ ερη κατανόηση του Ρ 2, μπορ ε ί καν ε ίς να το σκεφτε ί ως ένα σύνολο ακτίνων στο R 3. Το σύνολο όλων των διανυσμάτων της μορφής k (χ ;, χ 2, χ 3 ) τ μ ε k μ εταβαλλόμ ενο σχηματίζε ι μια ακτίνα που δι έρχε ται από την αρχή ( k = Ο). Μια τέτοια ακτίνα αντιπροσωπ εύ ε ι ένα σημ ε ίο στο Ρ 2 Μ ε το μοντέλο αυτό, μια ευθ ε ία στο Ρ 2 ε ίναι ένα επίπεδο που δι έρχεται από την αρχή. Τα σημ ε ία και οι ευθ ε ίες στο Ρ 2 μπορούν να προκύψουν από την τομή των ακτίνων και των επιπέδων που διέρχονται από την αρχή με το ε πίπ εδο χ3 = 1. Οι ακτίνες που αντιστοιχούν στα ιδανικά σημε ία και το επίπεδο που αντιστοιχε ί στην ε ίναι παράλλη λα στο ε πίπεδο χ1 = 1: Δυαδικότιιτα. Είναι ε μφαν ές ότι ο ρόλο ς των ευθ ε ιών και των σημείων εναλλάσσ ε ται στι ς σχέσε ι ς που αφορούν τις ιδιό -01τες του;. Τα Αποτ ε λέσματα 2. 2 και 2!Ι ε ίναι τα ίδια, με του; ρόλου ς των σημ ε ίων και ευθ ειών να εναλλάσσονται. 16

Σχήμα 2.1: Το μον τέλο του προβολικού επ ιπ έδ ου. Τα σ ημ ε ί α και οι ευθε ί ες του Ρ 2 αντιστοιχούν σ ε ακτ ίν ες κα ι επίπ εδα, αντίστο ιχα, που δ ι έ ρχονται από την αρχή στο R 3 Ευθε ί ες που αν1]κουν στο χίχτεπ ίπεδο αντιστοιχούν σε ι δαν ικ ά σημ ε ία ενιίj τ ο χ ι )2-επ ίπ εδο αντιπροσωπ ε ύ ε ι την Το σχ1]μα προ έ ρχε ται από το [22). Κων ικές Τομές Μια κωνική τομή ε ίναι μια καμπύλη που π ε ριγράφ εται από μια εξίσωση δευτέ ρου βαθμού στο ε πίπε δο. Στη ν Ευκλε ίδ ε ια γεω μ ετρία διακρίνονται τρία ε ίδη κωνικών τομών, οι υπερβολοειδ ε ίς, οι ελλε ιψοε ι δέ ίς και οι παραβολικ ές. Η εξίσωση μια κωνικής τομή ς σ ε μη ο μογενε ίς συντεταγμένε ς ε ίναι 2 ax 2 + bxy + cy + dx + ey + f = O (2. 1) Ο μο γενο ποιώντα ς τις συντεταγμένε ς μ ε αντικατάσταση τη ς συν!στό)σας χ μεκαι τη ς y με 11 προκύπτε ι η εξίσω ση axi 2 + bx 1 x 2 +cx/+ dxιx:i +ex2x3+fx/ = Ο (2.2) 1i σ ε μορφή πινάκων (2.3) όπου ο πίνακας C δ ίνεται από C = Ιι~2 [ b/2 c d/2 e/2 ιl/ 2 ] ι: /2 Ι 17

Ο πίνακας C ε ίναι συμμετρικό ς Ο λό φς των στο :,t.είων του πίνακα ε ίναι σημαντικό ς καθώς ο πο Λλαπλασιασμό ς του πίνακα με μια μη μηδ ε νική σταθερά δεν επηρεά ζε ι την εξίσωση. Επομένως, μια κω νική τομή έχει πέντε βαθμούς ελευ θ ερίας (τα έξι στοιχεία ενός συμμετρικού πίνακα 3 χ 3 πλην μια πολλαπλασιαστική σταθερά). Ο προσδιορισμός των παραμέτρων του πίνακα C και επο μένως τη ς κωνικής τομής απαιτεί τον προσδιορισμό των πέντε στοιχείων και άρα απαιτεί την γνώση πέντε σημείων που ανήκουν στην καμπύλη. Με άλλα λόγ ια, πέντε σημεία καθορίζουν μια κωνική τομή. Εφαπτόμενες στις κωνικές τομές. Η ευθ ε ία 1 εφαπτό ~ενη σε μια κωνική το ~ή σε σημε ίο χ δίνεται από το παρακάτω αποτέλεσμα Η ευθ εία Ι εφαπτόμενη στην C στο σημε ίο χ δ ίνεται από τη σχέση 1 = Cx. Πράγματι, η ευθ εία αυτή δ ιέρχετα ι από το σημείο χ, διότι Ιτ χ= χ τ Cx = Ο. Αν η ευθ ε ία 1 έχε ι ένα σημε ίο επαφής μ ε την κωνική τομή, τότε ε ίναι ε φαπτόμενη. Διαφορετικά, αν η ευθε ία έχε ι και δεύτερο σημε ίο τομής, έστω y, τότ ε yτcy = ι''ύ = Ο. Τότε όμως ισχύε ι ότι (χ + ay)tc(x + ay) = Ο γ ια κάθε a. Επομένως, όλη η ευθε ία 1 = Cx που ενών ε ι τα σημε ία χ, y ανήκει στην κωνική τομή C. Για μη εκφυλισμέν ες κωνικές τομές (βλ. Παρακάτω), ένα τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύ ε ι. Δυαδικ ές κωνικές τομές. Ο ορισμός τη ς κωνικής τομής παραπάνω βασίζετα ι στον καθορισμό τη ς καμπύλης από σημεία. Από την ιδιότητα τη ς δυαδ ικότητας μπορεί να οριστεί μια κωνική τομή που προκύπτει από εξισώσ ε ις σε ε υθείες. Αυτή η κωνική τομή περιγράφεται επίση ς από ένα 3 χ 3 πίνακα C l. Μια ευθε ία 1 εφαπτόμενη στην κωνική τομή C ικανοποι εί τη σχέση ΙτC* Ι = Ο. Ο συμβολισμός C* δείχνει ότι ο πίνακας C* ε ίναι ο συζηγ1ίς πίνακας του C. Αν ο πίνακα ς συμμετρικός και αντιστρέψιμος, τότ ε ισχύει C* = C 1 Στην περίπτωση που ο πίνακα ς C είνα ι πλήρη ς, από το Αποτέλεσμα 2.4 η εφαπτόμ ενη από ένα σημ είο χ που ανήκει στην κωνική τομή C ικανοποιεί τη σχέση 1 = Cx. Αντιστρέφοντας προκύπτει ότι χ = C 1 1. Το σημείο χ ανήκει στην κωνική τομή οπότε ισχύ ε ι ότι χτcχ = Ο. Επομένως, προκύπτε ι ότι (C.'ι) τ C (C- 1 1) = Ιτ c 11 = Ο Εκφυλισμένες κωνικές τομές. Αν ο πίνακας C δεν είναι πλήρους βαθμού, τότε η κωνική τομή λέγεται εκφυλισμένη. 2.3.2 Προβολικοί Μετασχηματισμοί Προβολικότητα ε ίναι ένας αντιστρέψιμος μ ετασχηματισμός h από το Ρ 2 στον εαυτό του τ έ τοιο ς ώστε τρία σημεία χ 11 χ 2 και χ 3 ανήκουν στην ίδια ευθε ία αν και μόνο αν h( χ,), h(x2) και h(x 3 ) είναι συνευθειακά. Η προβολικότητα ονομάζεται αλλι<ί) ς και προβολικό ς μ ετασχηματισμό ς ή ομογραφία. Bll:1/\IOΘHIC ~ i ΤΕΙ ΠΕΙ. ΑΙ 18

Μια αντιστοίχηση h : Ρ 2 Λ Ρ 2 ε ίναι μια προβολικότητα αν και μόνο αν υπάρχε ι ένας αντιστρέψιμος 3 χ 3 πίνακα ς Η τέτοιος ώσ τ ε για κάθ ε σημε ίο στο Ρ 2 που π εριγράφ ε ται από ένα διάνυσμα χ να ισχύ ε ι ότι h(x) = Ηχ. Πράγματι, έ στω τρία συνευθ ειακά σημε ία χ 1, χ 2 και χ 3 ανήκουν στην ευθ ε ία 1. Τότ ε 1 1 :Χ ; = Ο για i = 1,..., 3. Έστω ότι ο Η ε ίναι ένας μη αντιστρέψιμος 3 χ 3 πίνακα ς. Ισχύει ότι Ιτ Η - 1 Η χ; = Ο. Επομένως τα σημ ε ία Ηχ; ανήκουν στην ευθ ε ία g τ 1 κα ι άρα ε ίναι συνευθ ε ιακά. Τελικά, διατηρ είται η ιδιότητα τη ς συγγραμικότητας και άρα πρόκε ιται για προβολικότητα. Από τα παραπάνω, είναι δυνατό να δοθεί ένας εναλλακτικός ορισμός του προβολικού μετασχηματισμού. Ένας επίπεδος προβολικό ς μετασχηματισμός ε ίναι ένας γραμμικό ς μετασχηματισμός σε ομογ ε νε ίς δ ιανύσματα που περιγράφεται από ένα αντιστρ έψιμο 3 χ 3 πίνακα Η, δηλαδή χ = Ηχ, όπου ο πίνακας Η δίνεται από Μετασχηματισμός ευθειών. Παραπάνω έγ ιν ε φανερό πω ς όταν ένα σημε ίο χ ανήκε ι στην ευθ ε ία 1 τότε το ν έο σημ ε ίο χ' = Ηχ ανήκει στην ευθ ε ία Ι' = ΗΊΊ. Συμπερασματικά, υπό το μετασχηματισμό χ' = Ηχ, μια ευθεία μ ετασχηματίζε ται σ ε (2.4) 2.3.3 Ι ε ραρχία Μ ετα σχηματισμών Στην ενότητα αυτή π εριγράφονται οι ε ιδικ ές περιπτώσ ε ι ς του προβολικού μετασχηματισμού. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι π ε ριπτώσ ε ις αυτές. Για κάθ ε ένα από τους μετασχηματισμούς δίν ε ται παρακάτω μια σύντομη π εριγραφή των χαρακτηριστικ<i)ν του ς. Προβολικός Μ ετασχηματισμός Όπω ς παρατηρήθηκε και παραπάνω, ο μετασχηματισμός αυτός αφήν ε ι αναλοίωτη την ιδιότητα τη ς συγγραμικότητας. Διαθ έ τ ε ι οκτώ βαθμού ς ελευθερία ς, καθώ ς ε ίναι ομογ ενής μετασχηματισμός (πίνακας ενν έα στοιχείων πλην μιας πολλαπλασιαστικής σταθεράς). Αφινικός Μετασχηματισμός Ο αφινικό ς μ ετασχηματισμό ς διατηρεί τις παράλληλες ευθ ε ίες, τον λόγο ε μβαδ<i)ν, το λόγο μηκών σ ε παράλληλε ς ευθ ε ίες και την ευθεία στο άπειρο. Διαθ έτει έξι βαθμούς ελευθερίας (τέσσερα στοιχεία του πίνακα Α και δύο στο ιχεία του δ ιανύσματο ς t. Ευκλείδειος Μετασχηματισμός Ο ευκλε ίδ ε ιος μετασχηματισμός διατηρεί τα μήκη και τα ε μβαδά. Διαθ έτε ι τρ ε ι ς βαθμού ς ελευθ ερ ίας ( ένα για την περιστροφή και δύο για την μ ετακίνηση). 19