ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-16 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Να γεννηθούν δύο κορίτσια και ένα αγόρι σε τρεις γεννήσεις. β) Να εξαχθεί από ένα κιβώτιο που περιέχει 10 προϊόντα, από τα οποία 7 είναι σε καλή κατάσταση και 3 είναι ελαττωματικά, ένα προϊόν μη ελαττωματικό στην πρώτη λήψη και ένα ελαττωματικό στη δεύτερη λήψη, όταν τα προϊόντα δεν επανατοποθετούνται μέσα στο κιβώτιο. Άσκηση 1.2 Εάν είναι γνωστό ότι σε πέντε συνεχόμενες ρίψεις ενός κέρματος εμφανίστηκε ακριβώς δύο φορές η όψη «κορώνα», να υπολογιστεί η πιθανότητα οι δύο αυτές φορές να ήταν διαδοχικές (η μία ακριβώς μετά την άλλη). Άσκηση 1.3 Ένα αεροπλάνο έχει τέσσερις κινητήρες, δύο σε κάθε φτερό. Η πιθανότητα να μην πάθει βλάβη κάθε ένας από τους τέσσερις κινητήρες σε κάθε ταξίδι του αεροπλάνου είναι ανεξάρτητη της κατάστασης λειτουργίας των υπόλοιπων κινητήρων και ισούται με 80%. Το αεροπλάνο θεωρείται ότι μπορεί να πετάει με ασφάλεια αν λειτουργεί τουλάχιστον ένας κινητήρας σε κάθε φτερό. Ποια είναι η πιθανότητα το αεροπλάνο να έχει ένα ασφαλές ταξίδι; Άσκηση 1.4 Είναι γνωστό για τους φοιτητές του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών πως είναι κατά 10% αριστερόχειρες, το 30% έχει μυωπία ενώ το 40% είναι γυναίκες. Επιπλέον είναι γνωστό πως το 5% είναι αριστερόχειρες και έχουν μυωπία, το 6% είναι γυναίκες αριστερόχειρες ενώ το 15% είναι γυναίκες με μυωπία. Τέλος, το 2% είναι αριστερόχειρες γυναίκες με μυωπία. α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας τυχαίος φοιτητής να είναι αριστερόχειρας άντρας με μυωπία. β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας τυχαίος φοιτητής είτε να είναι αριστερόχειρας, είτε να έχει μυωπία, είτε να είναι γυναίκα. γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας τυχαίος φοιτητής να είναι γυναίκα δεξιόχειρας και να μην έχει μυωπία. δ) Είναι ή όχι ανεξάρτητα τα τρία ενδεχόμενα; Εξηγήστε. Άσκηση 1.5 Μία εταιρία παραλαμβάνει καθημερινά μία παρτίδα προϊόντων μεγέθους 175 τεμαχίων. Από τις παρτίδες αυτές λαμβάνεται δείγμα 5 τεμαχίων και αν βρεθεί ένα ή κανένα ελαττωματικό προϊόν στο δείγμα η παρτίδα γίνεται αποδεκτή (διαφορετικά θεωρείται ελαττωματική και επιστρέφεται στον προμηθευτή). Αν σε κάθε παρτίδα εμπεριέχονται ακριβώς 5 ελαττωματικά προϊόντα, να βρεθούν: α) Η πιθανότητα να μην υπάρχουν ελαττωματικά προϊόντα σε κάποιο δείγμα. β) Η πιθανότητα μία παρτίδα να γίνει αποδεκτή από την εταιρία. Άσκηση 1.6 Ο Αρχιμήδης (Α) και ο Ερατοσθένης (Ε) είναι 2 επιστήθιοι φίλοι, αμφότεροι δεινοί παίκτες του πιγκ-πογκ. Έτσι έφτασαν στον τελικό της διοργάνωσης που συμμετείχαν και από τον μεταξύ τους αγώνα θα προκύψει ο νικητής.
Η επιτροπή των αγώνων προσφέρει στο νικητή, εκτός των άλλων, χρηματικό έπαθλο 1000 ευρώ. Μόνο που για να αναδειχθεί κάποιος νικητής πρέπει να κερδίσει τον αντίπαλό του 20 φορές! Ύστερα από επίπονη και μαραθώνια μάχη το σκορ έγινε 17-18 υπέρ του Ε. Στο σημείο αυτό ήταν πλέον αδύνατο, παρά τη θέληση και των δύο, να συνεχιστεί ο αγώνας. Η επιτροπή αποφάσισε πως είναι δίκαιο να μοιραστούν τα 1000 ευρώ στους δύο παίκτες ανάλογα με την πιθανότητα που έχει ο καθένας, δεδομένου του σκορ, να κερδίσει. Θεώρησε βέβαια ότι κάθε παιχνίδι που δεν έγινε και θα χρειαζόταν για να φτάσει κάποιος στις 20 νίκες είναι εξίσου πιθανό να το κέρδιζε ο Α (50%) ή ο Ε (50%) κρίνοντας τους Α και Ε ισοδύναμους. Ποια είναι η πιθανότητα του καθενός να κερδίσει τον αγώνα και πώς πρέπει να μοιραστεί το ποσό των 1000 ευρώ στους δύο παίχτες; Άσκηση 1.7 Στο εργοστάσιο που εργάζεστε προμηθεύεστε ένα συγκεκριμένο υλικό (σε τεμάχια) από τρεις διαφορετικούς προμηθευτές. Συγκεκριμένα από τον προμηθευτή Α αγοράζετε το 50%, από τον προμηθευτή Β το 30% και από τον προμηθευτή Γ το 20% της ποσότητας που χρειάζεστε. Επίσης, γνωρίζετε ότι η ποσότητα που προμηθεύεστε από τον προμηθευτή Α περιέχει 2% ελαττωματικά τεμάχια ενώ από τους προμηθευτές Β και Γ περιέχει 4% ελαττωματικά τεμάχια. Ζητούνται τα παρακάτω: α) Τι ποσοστό της συνολικής ποσότητας του συγκεκριμένου υλικού (και από τους τρεις προμηθευτές) είναι ελαττωματικό; β) Εάν γνωρίζετε ότι ένα τεμάχιο αυτού του υλικού είναι ελαττωματικό με τι πιθανότητα το τεμάχιο αυτό προέρχεται από τον προμηθευτή Α, Β και Γ αντίστοιχα; Άσκηση 1.8 Σε κάποιο πενταετές πανεπιστημιακό τμήμα το 5% των φοιτητών των 3 πρώτων ετών και το 10% των φοιτητών των 2 τελευταίων ετών συμμετείχε στην καθιερωμένη ετήσια εκδρομή. Εάν σε κάθε ένα από τα 5 έτη του συγκεκριμένου τμήματος φοιτά ο ίδιος αριθμός φοιτητών και δεν υπάρχουν άλλοι φοιτητές στο τμήμα να απαντηθούν τα παρακάτω: α) Τι ποσοστό των φοιτητών του τμήματος συμμετείχε στην εκδρομή; β) Τι ποσοστό των φοιτητών που συμμετείχαν στην εκδρομή είναι πρωτοετείς; Άσκηση 1.9 Ο χειριστής της μηχανής έκχυσης σε μια επιχείρηση παραγωγής ελαστικών προϊόντων παρατηρεί ότι η μηχανή δεν κλείνει πλήρως, όπως θα έπρεπε στο τέλος της βάρδιας, κατά μέσο όρο μια φορά στις 10 εργάσιμες μέρες. Στις περιπτώσεις αυτές η μηχανή υπερθερμαίνεται και το ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων το επόμενο πρωί αυξάνεται από 0,5% σε 5%. Ο προϊστάμενος βάρδιας επιλέγει τυχαία ένα προϊόν που παράγεται νωρίς το πρωί μιας μέρας και βρίσκει ότι είναι ελαττωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα η μηχανή να μην έκλεισε πλήρως το προηγούμενο βράδυ; Άσκηση 1.10 Η καταλληλότητα προς ανακατασκευή (Κ) ορισμένου τύπου μεταχειρισμένων κινητών τηλεφώνων σχετίζεται με την εξωτερική τους εμφάνιση κατά τη στιγμή της επιστροφής τους, αλλά εξαρτάται βέβαια κυρίως από το αποτέλεσμα τυποποιημένου λειτουργικού ελέγχου. Η εξωτερική εμφάνιση χαρακτηρίζεται ως καλή (Α), μέτρια (Β) ή κακή (Γ). Από το σύνολο των μεταχειρισμένων κινητών αυτού του τύπου, κατά τη στιγμή της επιστροφής το 30% έχει καλή εξωτερική εμφάνιση (Α), το 50% μέτρια (Β) και τα υπόλοιπα κακή. Από ιστορικά στοιχεία προκύπτει ότι αν ένα μεταχειρισμένο κινητό έχει καλή εξωτερική εμφάνιση όταν επιστρέφεται, η πιθανότητα να είναι κατάλληλο προς ανακατασκευή (Κ) είναι 0,90. Οι αντίστοιχες πιθανότητες για τα μεταχειρισμένα κινητά μέτριας εξωτερικής εμφάνισης είναι 0,60 και για όσα έχουν κακή εξωτερική εμφάνιση 0,40.
α) Να προσδιοριστεί το ποσοστό του συνόλου των μεταχειρισμένων κινητών αυτού του τύπου που είναι κατάλληλα προς ανακατασκευή. β) Από το σύνολο των κατάλληλων προς ανακατασκευή μεταχειρισμένων κινητών, τι ποσοστό έχει καλή εξωτερική εμφάνιση τη στιγμή της επιστροφής τους, τι ποσοστό μέτρια εμφάνιση και τι ποσοστό κακή εξωτερική εμφάνιση; γ) Αν έχουν συλλεχθεί 10 μεταχειρισμένα κινητά αυτού του τύπου και έχουν όλα καλή εξωτερική εμφάνιση, ποια είναι η πιθανότητα να είναι όλα κατάλληλα προς ανακατασκευή; Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον 8 από τα 10 κινητά να είναι κατάλληλα προς ανακατασκευή; Άσκηση 1.11 Η πιθανότητα λειτουργίας μιας ηλεκτρικής συσκευής μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή εξαρτάται, μεταξύ άλλων, από την κατάσταση λειτουργίας δύο εξαρτημάτων της (Α και Β), ως εξής: Αν δε λειτουργούν τα εξαρτήματα Α και Β, τότε η συσκευή λειτουργεί με πιθανότητα 0,3. Αν λειτουργεί ακριβώς ένα από τα εξαρτήματα Α και Β, τότε η συσκευή λειτουργεί με πιθανότητα 0,5. Αν λειτουργούν και τα δύο εξαρτήματα Α και Β, τότε η συσκευή λειτουργεί με πιθανότητα 0,9. Η πιθανότητα λειτουργίας του εξαρτήματος Α ισούται με 0,7 και η κατάσταση λειτουργίας του δεν εξαρτάται από την κατάσταση λειτουργίας του εξαρτήματος Β. Επίσης, η πιθανότητα λειτουργίας του εξαρτήματος Β ισούται με 0,8 και η κατάσταση λειτουργίας του δεν εξαρτάται από την κατάσταση λειτουργίας του εξαρτήματος Α. Να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα: α) Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργεί η συσκευή; β) Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργεί η συσκευή και ταυτόχρονα να λειτουργούν και τα δύο εξαρτήματα Α και Β; γ) Αν η συσκευή λειτουργεί, ποια είναι η πιθανότητα να μη λειτουργούν τα εξαρτήματα Α και Β; δ) Αν η συσκευή λειτουργεί, ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργεί τουλάχιστον ένα από τα εξαρτήματα Α και Β; Άσκηση 1.12 Ένα σύστημα παραγωγής στη χημική βιομηχανία αποτελείται από 3 βασικά υποσυστήματα, τα Α, Β, Γ. Προκειμένου να ολοκληρωθεί με απόλυτη επιτυχία η παραγωγή μιας παρτίδας ορισμένου προϊόντος, και τα τρία υποσυστήματα θα πρέπει να λειτουργήσουν χωρίς πρόβλημα επί συγκεκριμένο χρονικό διάστημα Τ. Οι πιθανότητες τα υποσυστήματα Α, Β, Γ να λειτουργήσουν χωρίς πρόβλημα κατά το διάστημα αυτό, όταν λειτουργούν μεμονωμένα, είναι Ρ(Α) = 0,99, Ρ(Β) = 0,98, Ρ(Γ) = 0,95 αντίστοιχα. Η λειτουργία του υποσυστήματος Α είναι ανεξάρτητη από τη λειτουργία των υποσυστημάτων Β και Γ. Όμως τα υποσυστήματα Β και Γ αλληλεπιδρούν (δεν είναι ανεξάρτητα). Η πιθανότητα να λειτουργήσει τουλάχιστον ένα υποσύστημα εκ των Β, Γ χωρίς πρόβλημα κατά το χρονικό διάστημα Τ στα πλαίσια λειτουργίας του συνολικού συστήματος είναι P(Β Γ) = 0,99. α) Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργήσουν και τα δύο υποσυστήματα Β και Γ χωρίς πρόβλημα κατά το χρονικό διάστημα Τ στα πλαίσια λειτουργίας του συνολικού συστήματος; β) Να προσδιοριστεί η υπό συνθήκη πιθανότητα Ρ(Γ Β).
γ) Να προσδιοριστεί η υπό συνθήκη πιθανότητα Ρ(Γ Α). δ) Ποια είναι η πιθανότητα να ολοκληρωθεί με απόλυτη επιτυχία η παραγωγή της παρτίδας; ε) Η παραγωγή της παρτίδας ολοκληρώνεται με μερική επιτυχία αν λειτουργήσει χωρίς πρόβλημα κατά το διάστημα Τ το υποσύστημα Α και επιπλέον μόνο ένα εκ των υποσυστημάτων Β, Γ. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό; Άσκηση 1.13 Επτά (7) παίκτες συμμετέχουν στο ακόλουθο τυχερό παιχνίδι: Κάθε παίκτης πληρώνει 30 και επιλέγει 4 διαφορετικούς αριθμούς από το 1 έως το 15 τους οποίους δεν μπορεί να αλλάξει στη συνέχεια. Αφού ολοκληρωθεί αυτή η διαδικασία, κληρώνονται 5 αριθμοί, επίσης από το 1 έως το 15, οι οποίοι απαρτίζουν τη νικητήρια πεντάδα. Η επιλογή γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση των αριθμών που έχουν ήδη επιλεγεί (κανένας αριθμός δεν μπορεί να επιλεγεί περισσότερες από μία φορές). Εάν όλοι οι αριθμοί που έχει επιλέξει κάποιος παίκτης βρίσκονται στη νικητήρια πεντάδα, τότε αυτός λαμβάνει 150 συνολικά. Εάν μόνο οι 3 από τους 4 αριθμούς που έχει επιλέξει κάποιος παίκτης βρίσκονται στη νικητήρια πεντάδα, τότε ο αυτός λαμβάνει 40. Σε κάθε άλλη περίπτωση ο παίκτης δε λαμβάνει τίποτα. α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος από τους 7 παίκτες που συμμετέχουν στο παιχνίδι να λάβει 150 ; β) Ποια είναι η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος από τους 7 παίκτες που συμμετέχουν στο παιχνίδι να λάβει 40 ; γ) Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς ένας παίκτης από το σύνολο των 7 παικτών να λάβει χρήματα; δ) Ποια είναι η πιθανότητα κανένας από τους 7 παίκτες να μη λάβει χρήματα; Άσκηση 1.14 Ένα τμήμα αποτελείται από 20 φοιτητές, 13 άνδρες και 7 γυναίκες. α) Έστω ότι οι 20 φοιτητές μπαίνουν στην αίθουσα του μαθήματος ξεχωριστά (ο καθένας μόνος του και ο ένας μετά τον άλλο). Πόσες διαφορετικές σειρές άφιξής τους υπάρχουν; β) Ποια είναι η πιθανότητα να μπουν οι 7 γυναίκες στην αίθουσα διαδοχικά, δηλαδή χωρίς να παρεμβάλλεται άνδρας ανάμεσά τους; γ) Ο διδάσκων επιλέγει στην τύχη 4 φοιτητές για να παρουσιάσουν μία εργασία. Όλοι οι φοιτητές έχουν την ίδια πιθανότητα να επιλεγούν. Ποια είναι η πιθανότητα η επιλεγμένη τετράδα να περιλαμβάνει τους δύο καλύτερους φοιτητές της τάξης που είναι ο Γιάννης και η Μαρία; δ) Έστω ότι ο διδάσκων αποφασίζει τελικά να επιλέξει δύο άνδρες και δύο γυναίκες για την παρουσίαση. Όλοι οι άνδρες έχουν την ίδια πιθανότητα να επιλεγούν και το ίδιο ισχύει και για τις γυναίκες. Ποια είναι η πιθανότητα η επιλεγμένη τετράδα να περιλαμβάνει το Γιάννη και τη Μαρία; Άσκηση 1.15 Μια ηλεκτρική συσκευή περιέχει 5 διακόπτες Υ i (i = 1, 2, 3, 4, 5) που συνδέονται μεταξύ τους όπως παριστάνεται στο ακόλουθο σχήμα. Y 1 Y 2 A Y 5 B Y 3 Y 4
Κάθε διακόπτης Υ i όταν βρίσκεται στη θέση «ΟΝ» λειτουργεί κανονικά, επιτρέπει δηλαδή τη διέλευση του ρεύματος, με πιθανότητα P(Υ i ) που δεν εξαρτάται από την κατάσταση λειτουργίας των υπόλοιπων διακοπτών. Επιπλέον, δίνεται ότι P Y 1 0, 95, P Y 2 0, 8, P Y 3 0, 9, P Y 4 0, 6 και P Y 5 0, 85. Η συσκευή λειτουργεί μόνο αν είναι δυνατή η διέλευση του ρεύματος από το σημείο Α στο σημείο Β με οποιονδήποτε τρόπο (μέσω οποιασδήποτε διαδρομής). Αν όλοι οι διακόπτες είναι ρυθμισμένοι στη θέση «ΟΝ», να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα: α) Ποια είναι η πιθανότητα η συσκευή να λειτουργήσει εάν είναι γνωστό ότι ο διακόπτης Υ 5 δε λειτουργεί; β) Ποια είναι η πιθανότητα η συσκευή να λειτουργήσει εάν είναι γνωστό ότι ο διακόπτης Υ 5 λειτουργεί; γ) Ποια είναι η πιθανότητα να μη λειτουργήσει η συσκευή; δ) Αν η συσκευή λειτουργήσει κανονικά, ποια είναι η πιθανότητα ο διακόπτης Υ 5 να λειτουργεί; Άσκηση 1.16 Η τελική φάση ενός τηλεοπτικού τηλεπαιχνιδιού παίζεται ως εξής. Ο παίκτης πρέπει να επιλέξει στην τύχη ανάμεσα σε 4 φωτεινά κουμπιά. Το ένα κρύβει χρηματικό έπαθλο 10.000 ευρώ ενώ τα άλλα τρία δεν κρύβουν τίποτα. Πριν διαλέξει κουμπί ο παίκτης απαντά σε μία δύσκολη ερώτηση. Αν η απάντηση είναι σωστή τότε ο υπολογιστής του παιχνιδιού αποφασίζει με τυχαίο τρόπο αν θα σβήσουν κανένα, ένα ή δύο από τα κουμπιά που δεν κρύβουν το έπαθλο. Έστω ότι οι πιθανότητες σβησίματος είναι: 0,5 να μην σβήσει κανένα κουμπί 0,3 να σβήσει ένα κουμπί 0,2 να σβήσουν δύο κουμπιά Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις παίρνοντας ως δεδομένο ότι ο παίκτης απάντησε σωστά στην ερώτηση. α) Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει το έπαθλο; β) Ποια είναι η πιθανότητα να σβήσει δύο κουμπιά ο υπολογιστής και ο παίκτης να μην κερδίσει το έπαθλο; γ) Έστω ότι χτύπησε το τηλέφωνο σας και χάσατε τη συνέχεια του παιχνιδιού. Γυρνώντας βλέπετε ότι ο παίκτης πανηγυρίζει γιατί κέρδισε το έπαθλο. Ποια είναι η πιθανότητα να είχε σβήσει ο υπολογιστής ένα φωτεινό κουμπί;