ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου. Απαντήσεις σε βασικά ερωτήματα, όπως: Πώς θ' αναγνωρίσω τι είδους εξίσωση έχω και πώς θα την λύσω; Πώς θα χειριστώ αριθµούς µε τετραγωνικές ρίζες; Πώς θ' αντιµετωπίσω µια απόλυτη τιµή; Πώς παραγοντοποιείται ένα τριώνυµο; Πώς θ' αναγνωρίσω τι είδους ανίσωση έχω και πώς θα την λύσω; Πώς θα βρω τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος; Πώς θα βρω την απόσταση δύο σηµείων; Πώς θα βρω το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων; Πώς θα βρω την εξίσωση µιας ευθείας; Πώς θα σχεδιάσω µια ευθεία; Πώς θ' αναγνωρίσω έναν κύκλο από την εξίσωσή του;. Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Πώς ; Υπενθυµίσεις βασικών στοιχείων Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας (Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου). Απαντήσεις σε βασικά θέµατα Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας.
Περιεχόμενα φυλλαδίου ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ. Βασικά στοιχεία Άλγεβρας... Σελ. 4-10 Α) Ταυτότητες... Σελ. 5 Β) Ιδιότητες δυνάµεων... Σελ. 5 Γ) Απόλυτη τιµή... Σελ. 6 Δ) Ιδιότητες ριζών... Σελ. 6 Ε) Τριώνυµο... Σελ. 7 ΣΤ) Τριγωνοµετρία... Σελ. 8-9 Ζ) Πολυώνυµα... Σελ. 9-10 Η) Εκθετική συνάρτηση. Λογάριθµοι... Σελ. 10 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ. Ερωτήσεις-απαντήσεις σε βασικά θέµατα Άλγεβρας... Σελ. 11-29 1. Πώς θ' αντιµετωπίσω αριθµητικές παραστάσεις, που έχουν τετραγωνικές ρίζες;... Σελ. 12-13 2. Πώς θα λύσω µια εξίσωση πρώτου βαθµού;... Σελ. 13 3. Πώς θα λύσω µια εξίσωση δευτέρου βαθµού;... Σελ. 14 4. Πώς θ' απλοποιήσω µια απόλυτη τιµή;... Σελ. 14-15 5. Πώς θα λύσω µια εξίσωση που έχει απόλυτη τιµή;... Σελ. 15-16 6. Πώς θα λύσω µια ανίσωση που έχει απόλυτη τιµή;... Σελ. 17-18 7. Πώς θα λύσω µια ανίσωση δευτέρου βαθµού;... Σελ. 18-21 8. Πώς θα λύσω µια παραγοντοποιηµένη ανίσωση;... Σελ. 21-23 9. Πώς θα λύσω µια κλασµατική ανίσωση;... Σελ. 23-24 10. Πώς θα λύσω µια εξίσωση µε τετραγωνικές ρίζες;... Σελ. 24-25 11. Πώς θα λύσω ένα σύστηµα εξισώσεων;... Σελ. 25 12. Πώς θα λύσω µια εκθετική εξίσωση;... Σελ. 26 13. Πώς θα λύσω µια εκθετική ανίσωση;... Σελ. 27 14. Πώς θα λύσω µια λογαριθµική εξίσωση;... Σελ. 27-28 15. Πώς θα λύσω µια λογαριθµική ανίσωση;... Σελ. 28-29 - 2 -
ΤΡΙΤΟ ΜΕΡΟΣ. Βασικά ερωτήµατα και απαντήσεις Αναλυτικής Γεωµετρίας (Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου)... Σελ. 30-42 Α) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ... Σελ. 31-32 1. Πώς θα βρω τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος;... Σελ. 31 2. Πώς θα βρω την απόσταση δύο σηµείων;... Σελ. 31 3. Πώς θα βρω τις συντεταγµένες του µέσου ενός ευθύγραµµου τµήµατος;... Σελ. 31 4. Πώς θα βρω το µέτρο ενός διανύσµατος;... Σελ. 31 5. Πώς θα βρω το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων;... Σελ. 32 6. Πώς θα βρω την ορίζουσα δύο διανυσµάτων;... Σελ. 32 7. Πώς αντιµετωπίζω το θέµα «παράλληλα διανύσµατα» - «συνευθειακά σηµεία» ;... Σελ. 32 Β) ΕΥΘΕΙΑ... Σελ. 33-36 1. Πώς θα βρω τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας;... Σελ. 33 2. Πώς θα βρω την εξίσωση µιας ευθείας;... Σελ. 34 3. Πώς θα σχεδιάσω µια ευθεία; Πώς θα βρω τα σηµεία τοµής µιας ευθείας µε τους άξονες;... Σελ. 34-35 4. Πώς θα βρω το εµβαδόν ενός τριγώνου;... Σελ. 35-36 5. Πώς θα βρω την απόσταση ενός σηµείου από µία ευθεία;... Σελ. 36 Γ) ΚΥΚΛΟΣ... Σελ. 37 Δ) ΠΑΡΑΒΟΛΗ... Σελ. 38 Ε) ΕΛΛΕΙΨΗ... Σελ. 39-40 ΣΤ) ΥΠΕΡΒΟΛΗ... Σελ. 41-42 - 3 -
ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ Βασικά στοιχεία Άλγεβρας - 4 -
Α)""Ταυτότητες. 1. (α + β) 2 = α 2 + β 2 + 2αβ. 2. (α β) 2 = α 2 + β 2 2αβ. 3. (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3. 4. (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3. 5. α 2 β 2 = (α + β)(α β). 6. α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ). 7. α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 αβ + β 2 ). 8. (α + β + γ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ. Β)""Ιδιότητες"δυνάμεων. 1. α µ α ν = α µ+ν. 2. αµ α ν = αµ ν. 3. α ν β ν = (αβ) ν. 4. αν β ν ν = α β 5. (α µ ) ν = α µ ν. 6. α ν = 1 α ν. 7. α 0 = 1, για κάθε α 0. 8. α β ν. ν = β α µ 9. α ν = ν α µ., όπου α > 0, µ!, ν θετικός ακέραιος. Κλασσική περίπτωση: 1 α = α 2. Ας βάλουμε εδώ και την ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ α 2 0, για καθε α!. ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!!! Ένα τετράγωνο ΔΕΝ είναι θετικό, αλλά μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός!!!! Το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε δύναμη έχει άρτιο εκθέτη. - 5 -
Γ)""Απόλυτη"τιμή. α, αν α 0 1. α = α, αν α < 0 2. αβ = α β. 3. α β = α β. (χρησιμοποιείται κατά κόρον στην απλοποίηση μιας απόλυτης τιμής). 4. α 2 = α 2 = α 2. 5. Είναι α 0, για κάθε α!. Ειδικότερα, είναι: α) α > 0 α 0. β) α = 0 α = 0. 6. α = α. 7. x = θ, θ > 0 x = θ ή x = θ. 8. x = α x = α ή x = α. 9. x θ, θ > 0 θ x θ. 10. x θ, θ > 0 x θ ή x θ. Δ)""Ιδιότητες"ριζών. 1. α β = αβ. 2. α β = α β. 3. α 2 = α. 4. α 2 = α, όπου πρέπει να είναι α 0. µ 5. α ν = ν α µ, όπου α > 0, µ!, ν θετικός ακέραιος. Κλασσική περίπτωση: 6. α 2 β = α β. 1 α = α 2. 7. Για να ορίζεται η x, θέτουμε τον περιορισμό να είναι x 0. - 6 -
Ε)""Τριώνυμο. Τριώνυμο αποκαλείται μια αλγεβρική παράσταση της μορφής f (x) = αx 2 + βx + γ, όπου α, β, γ!, με α 0. Ο αριθμός Δ = β 2 4αγ ονομάζεται διακρίνουσα του τριωνύμου και αποτελεί το βασικό εργαλείο για την μελέτη του, οι δε περιπτώσεις που διακρίνονται είναι οι εξής: α) όταν η διακρίνουσα είναι θετική, τότε το τριώνυμο: έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x 1,x 2, που δίνονται απ' τον τύπο x 1,2 = β ± 2α Δ. παραγοντοποιείται υπό την μορφή αx 2 + βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ). το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα: x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ ομ#σημο του α ετερ#σημο του α ομ#σημο του α β) όταν η διακρίνουσα είναι μηδέν, τότε το τριώνυμο: έχει μία διπλή ρίζα x 0 (δύο ίσες πραγματικές ρίζες), που δίνεται απ' τον τύπο x 0 = β 2α. παραγοντοποιείται υπό την μορφή αx 2 + βx + γ = α(x x 0 ) 2. Σύσταση. Όταν η διακρίνουσα είναι ίση με μηδέν, τότε η παραγοντοποίησή του γίνεται γρηγορότερα, αν «δούμε» την ταυτότητα (α + β) 2 (α β) 2 που θα υπάρχει στην μορφή του τριωνύμου. είναι ομόσημο του α, για κάθε x! {x 0 }. γ) όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική, τότε το τριώνυμο: δεν έχει πραγματικές ρίζες. δεν το παραγοντοποιούμε. είναι ομόσημο του α, για κάθε x!. ή - 7 -