ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ. Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς

ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς

ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Α Έκδοση Συγγραφείς Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς Σελιδοποίηση Μαθηματικοί τύποι Δημήτρης Χριστομάνος Γραφιστικά Σχήματα Αχιλλέας Παπαμόσχος Εκδόσεις K. N. Επισκόπου 7, 54635 Θεσσαλονίκη Τ. 2310 203566, F. 2312 202575 www.copycity.gr ISBN 978-960-9551-21-2 2016 C. City Publish Απαγορεύεται η αναδημοσίευση ή αναπαραγωγή του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμημάτων του με οποιοδήποτε τρόπο, καθώς και η μετάφραση ή διασκευή του ή εκμετάλλευσή του με οποιονδήποτε τρόπο αναπαραγωγής έργου λόγου ή τέχνης σύμφωνα με τις διατάξεις των νόμων 2121/1993 και 100/1975 χωρίς τη γραπτή άδεια του εκδότη.

ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Κ. Γ. Ευθυμιάδης Αικ. Σιακαβάρα Ε. Παπαδημητράκη-Χλίχλια Ι. Α. Τσουκαλάς

Σε όσους μοχθούν για να αποκτήσουν τη γνώση Αικ. Ε. Σιακαβάρα Στο δάσκαλό μου Κ.Γ. Μελίδη Κ.Γ. Ευθυμιάδης

Περιεχόμενα Πρόλογος xiii 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1 1.1 Εισαγωγή 1 1.2 Ηλεκτρεγερτική δύναμη 4 1.3 Η ηλεκτρομαγνητική επαγωγή και ο νόμος του Faraday 5 1.4 Παραδείγματα υπολογισμού ηλεκτρεγερτικής δύναμης 11 1.4.1 Παράδειγμα (1) 11 1.4.2 Παράδειγμα (2) 14 1.5 Αυτεπαγωγή - συντελεστής αυτεπαγωγής 17 1.6 Παραδείγματα υπολογισμού συντελεστή αυτεπαγωγής 18 1.6.1 Σωληνοειδές με ευθύγραμμο άξονα 18 1.6.2 Αυτεπαγωγή δακτυλιοειδούς σωληνοειδούς 19 1.6.3 Επίδραση του φαινόμενου της αυτεπαγωγής στη λειτουργία ενός κυκλώματος 20 1.7 Συντελεστές αμοιβαίας επαγωγής 23 1.8 Υπολογισμός των συντελεστών αμοιβαίας επαγωγής 25 1.9 Παραδείγματα υπολογισμού συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής 27 1.9.1. Υπολογισμός του συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής μεταξύ δύο παράλληλων επίπεδων ομοαξονικών κυκλικών ρευμάτων 27 1.9.2 Υπολογισμός του συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής δύο ομοαξονικών σωηνοειδών 29 Ασκήσεις 32

viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 65 2.1 Ενέργεια μαγνητικού πεδίου σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα 65 Παράδειγμα υπολογισμού της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου σε μακρύ σωληνοειδές πηνίο. 66 2.2 Ενέργεια μαγνητικού πεδίου σε ένα σύστημα ηλεκτρικών κυκλωμάτων 67 2.2.1 Παράδειγμα υπολογισμού της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου σε δύο σωληνοειδή πηνία 70 2.3 Ενέργεια μαγνητικού πεδίου και δυναμική ενέργεια ηλεκτρικών ρευμάτων 70 2.3.1 Παράδειγμα υπολογισμού της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου σε μακρύ σωληνοειδές 73 2.3.2 Παράδειγμα υπολογισμού της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου σε απείρου μήκους ρευματοφόρο αγωγό. 74 2.3.3 Παράδειγμα υπολογισμού της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου σε δύο σωληνοειδή πηνία 75 2.4 Δυνάμεις μεταξύ ρευματοφόρων αγωγών 75 2.4.1 Παράδειγμα υπολογισμού της δύναμης μεταξύ ενός κυκλικού και ενός ευθυγράμμου ρεύματος. 80 2.4.2 Παράδειγμα υπολογισμού της δύναμης μεταξύ δύο ομοαξονικών σωληνοειδών πηνίων 81 2.4.3 Παράδειγμα υπολογισμού της δύναμης μεταξύ δύο παράλληλων ρευματοφόρων αγωγών, απείρου μήκους. 83 2.4.4 Παράδειγμα υπολογισμού των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα μακρύ σωληνοειδές πηνίο. 85 Ασκήσεις 88 3. ΗΛΕΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 95 3.1 Εισαγωγή 95 3.2 Ρεύμα μετατόπισης 96 3.3 Παραδείγματα υπολογισμού ρευμάτων 101 3.3.1 Ρεύμα μετατόπισης σε αγώγιμο υλικό 101 3.3.2 Ρεύμα μετατόπισης σε επίπεδο πυκνωτή με διηλεκτρικό 101

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix 3.3.3 Ρεύματα μετατόπισης και αγωγιμότητας κατά τη φόρτιση πυκνωτή 104 3.4 Επίλυση εξισώσεων Maxwell 106 3.4.1 Επίλυση εξισώσεων σε χώρο με 0, 0, J 0 107 3.4.2 Πεδία αρμονικά μεταβαλλόμενα ως προς το χρόνο 115 3.4.3 Πόλωση των επιπέδων κυμάτων 118 3.4.3.1 Γραμμικά πολωμένο κύμα 118 3.4.3.2 Κυκλική και ελλειπτική πόλωση 119 3.4.4 Παραδείγματα: Χαρακτηριστικά μεγέθη επιπέδων κυμάτων 119 3.4.4.1 Απεικόνιση και χαρακτηριστικά μεγέθη της διάδοσης επίπεδου γραμμικά πολωμένου ηλεκτρομαγνητικού στον χώρο 119 3.4.4.2 Ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στο κενό 121 3.4.4.3 Σχηματική παράσταση κυκλικά πολωμένου κύματος. 122 3.4.5 Επίλυση εξισώσεων σε χώρο με χαρακτηριστικά 0, 0,, και 0, J 0 123 3.4.6 Aγωγοί και διηλεκτρικά 128 3.5 Συνοριακές συνθήκες 131 3.6 Πρόσπτωση επιπέδου κύματος σε διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων 135 3.6.1 Κάθετη πρόσπτωση στη διαχωριστική επιφάνεια δύο τέλειων διηλεκτρικών 139 3.6.2 Κάθετη πρόσπτωση στη διαχωριστική επιφάνεια τέλειου διηλεκτρικού και αγωγού. 140 3.7 Γενική λύση των εξισώσεων Maxwell 143 3.7.1 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία και πηγές που τα παράγουν 143 3.7.2 Διανυσματικό και βαθμωτό δυναμικό 144 3.7.3 Κυματικές εξισώσεις των δυναμικών 147 3.8 Επίλυση εξισώσεων δυναμικού-eπιβραδυμένα δυναμικά 148 3.9 Aρχή της διατήρησης της ενέργειας στα ηλεκτρομαγνητικά πεδία 156

x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.9.1 Διάνυσμα Poynting 156 3.9.2 Θεώρημα Poynting 159 Ασκήσεις 162 4. ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 191 4.1 Δυναμικά κινούμενου σημειακού φορτίου (Δυναμικά των Lienard και Wiechert) 191 4.2 Πεδία κινούμενου σημειακού φορτίου 195 4.3 Ακτινοβολία κινούμενου σημειακού φορτίου 201 Ασκήσεις 204 5. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 227 5.1 Εισαγωγή 227 5.2 Μετασχηματισμοί Lorentz 229 5.3 Σχετικότητα του ταυτοχρονισμού των γεγονότων 232 5.4 Διαστολή του χρόνου 232 5.5 Συστολή μήκους 233 5.6 Συχνότητα, φάση, κυματικό διάνυσμα ηλεκτρομαγνητικών κυμάνσεων 234 5.7 Το αναλλοίωτο του μήκους και του ίδιου χρόνου στους μετασχηματισμούς Lorentz 236 5.8 Το αναλλοίωτο της κυματικής εξίσωσης Μετασχηματισμοί διαφόρισης 236 5.9 Μετασχηματισμοί Lorentz για την ταχύτητα και την επιτάχυνση 237 5.10 Μετασχηματισμοί Lorentz για την ορμή και την ενέργεια 239 5.11 Μετασχηματισμοί Lorentz για τη δύναμη 243 5.12 Το αξίωμα της διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου 244 5.13 Μετασχηματισμοί πυκνότητας φορτίου και ρεύματος 245 5.13.1 Παράδειγμα υπολογισμού των μετασχηματισμών για το ρεύμα αγωγιμότητας 247 5.13.2 Παράδειγμα υπολογισμού των μετασχηματισμών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi στην περίπτωση αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι. 248 5.14 Δυνάμεις μεταξύ κινουμένων φορτίων 251 5.15 Μετασχηματισμοί της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής 255 Παράδειγμα μετασχηματισμού των πεδίων E και B 257 5.16 Μετασχηματισμοί της ηλεκτρικής μετατόπισης και της έντασης του μαγνητικού πεδίου 259 5.17 Το αναλλοίωτο των εξισώσεων του Maxwell 260 5.18 Μετασχηματισμοί του αριθμητικού και του διανυσματικού δυναμικού 263 5.19 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ισοταχώς κινούμενου σημειακού φορτίου 265 5.20 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ισοταχώς κινούμενου μέσου. Μετασχηματισμοί ηλεκτρικής πόλωσης και μαγνήτισης 269 Ασκήσεις 271 Τυπολόγιο 285 Βιβλιογραφία 289

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1 Equation Section 1 Εισαγωγή Είναι γνωστό από το στατικό ηλεκτρισμό ότι τα στατικά ηλεκτρικά φορτία δημιουργούν ηλεκτρικό πεδίο του οποίου η ένταση,e, μεταβάλλεται αναλόγως του ( r ) όπου r είναι η απόσταση του σημείου 2 παρατήρησης από το φορτίο. Εάν τα φορτία κινούνται με σταθερή ταχύτητα, δημιουργείται γύρω τους μαγνητικό πεδίο, επαγωγής B, το ο- 2 ποίο μεταβάλλεται αναλόγως επίσης του( r ). Εάν τα φορτία εκτελούν επιταχυνόμενη κίνηση παράγουν ταυτόχρονα ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο, ενώ οι τιμές της έντασης και των δύο μεγεθών προκύπτουν από τη επαλληλία όρων από τους οποίους ορισμένοι μεταβάλλονται αντιστρόφως ανάλογα της δεύτερης καθώς και ανώτερης τάξης δύναμης της απόστασης αλλά και όρους που μειώνονται απλώς αντιστρόφως α- νάλογα της απόστασης. Οι πρώτοι όροι εξασθενούν ταχύτατα κατά την απομάκρυνση από το φορτίο. Οι τελευταίοι όμως μπορούν να μεταφέρουν ισχύ σε μεγάλες αποστάσεις και συνιστούν αυτό που ονομάζουμε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Επειδή η κίνηση είναι σχετική, ένα φορτίο που είναι ακίνητο προς ένα σύστημα αναφοράς μπορεί να θεωρηθεί ότι κινείται ως προς ένα άλλο σύστημα, κινούμενο ως προς το πρώτο. Κατά συνέπεια το πεδίο που παράγει, στο πρώτο σύστημα θεωρείται ηλεκτροστατικό και στο δεύτερο ηλεκτρομαγνητικό. Το γεγονός αυτό δηλώνει ότι ουσιαστικά το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο α- ποτελούν τις δύο όψεις μιας και της αυτής φυσικής οντότητας και θα αναλυθεί στο κεφάλαιο της θεωρίας της σχετικότητας. Θα προχωρήσουμε στη μελέτη των Ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων ξεκινώντας από τις βασικές εξισώσεις που ισχύουν στα στατικά πεδία, Ηλεκτρικό και Μαγνητικό E o B 0 E 0 B J 1.1 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

2 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.1 Η ροή των δυναμικών γραμμών του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίδια σε όλες τις επιφάνειες που περιβάλλουν το φορτίο. r a q Α R Η πρώτη εκφράζει τον νόμο του Gauss, η δεύτερη ότι οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι κλειστές, η τρίτη ότι τα ηλεκτροστατικά πεδία είναι αστρόβιλα και η τελευταία τον νόμο του Ampère. Από την εξίσωση (1.1) προκύπτει ότι το αίτιο της δημιουργίας του ηλεκτρικού πεδίου είναι η ύπαρξη φορτίων πυκνότητας ρ (ελεύθερα ή/και φορτία πόλωσης), ενώ το E (και αντίστοιχα το βαθμωτό δυναμικό Φ) είναι το αποτέλεσμα. Στην περίπτωση του μαγνητικού πεδίου το αίτιο είναι η ύπαρξη ρεύματος πυκνότητας J, αγωγιμότητας ή/και μαγνήτισης, ενώ η μαγνητική επαγωγή (και το αντίστοιχο διανυσματικό δυναμικό ) είναι το αποτέλεσμα. Η ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, στατικών και μη, γίνεται αντιληπτή από τις δυνάμεις που ασκούν στα φορτία που θα βρεθούν στο χώρο τους. Στην περίπτωση των στατικών πεδίων οι δυνάμεις αυτές θεωρείται ότι διαδίδονται ή με άπειρη ταχύτητα ή με πεπερασμένη, τέτοια όμως ώστε ο χρόνος διάδοσης τους να είναι μικρός σε σχέση με τον χρόνο που απαιτείται για ν' αποκατασταθεί μια κατάσταση ισορροπίας. Όταν τα πεδία δεν είναι στατικά και αυτό συμβαίνει όταν οι πηγές τους αποτελούν συναρτήσεις του χρόνου, διαπιστώνεται πειραματικά ότι οι εξισώσεις που εκφράζουν τις αποκλίσεις των και B μένουν αμετάβλητες, ενώ οι εξισώσεις που εκφράζουν τη στροφή των μεγεθών αυτών, ( και ), μεταβάλλονται. Συγκεκριμένα ο νόμος του Gauss, όπως προκύπτει πειραματικά, έχει γενική ισχύ και επανα-διατυπώνεται με διαφορική μορφή ως (1.5α) (1.5) και με ολοκληρωτική () t () t o

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 3 S Β Σχήμα 1.2 Η συνολική ροή του διανύσματος B που περνά από μια κλειστή επιφάνεια S είναι ίση με μηδέν. Q () t Et () d S (1.5β) SQ o όπου S Q είναι η επιφάνεια που περιβάλλει μια περιοχή του χώρου μέσα στην οποία βρίσκεται το φορτίο Q () t. Η εξίσωση εκφράζει ότι η ροή του ηλεκτρικού πεδίου που περνά από την κλειστή επιφάνεια S Q, είναι ίση προς το 1/ 0 του συνολικού φορτίου που υπάρχει στο εσωτερικό της. Η επιφάνεια S Q θα μπορούσε να είναι μια σφαίρα ακτίνας R ή μια τυχούσα επιφάνεια που περιβάλλει το φορτίο.(σχ.1.1). Η ροή που διέρχεται από τις δύο επιφάνειες είναι ίδια. Αντίστοιχα για το μαγνητικό πεδίο ισχύει Bt () 0 (1.6) (1.6α) και Bt () ds 0. (1.6β) S Η 1.6β σημαίνει ότι η συνολική ροή του διανύσματος B που περνά από κλειστή επιφάνεια S είναι πάντα ίση με μηδέν (σχ. 1.2). Δηλαδή το πλήθος των δυναμικών γραμμών που εισέρχονται στην επιφάνεια είναι ίσο με το πλήθος αυτών που εξέρχονται και αυτό είναι αποτέλεσμα της ι- διότητας των δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου να είναι κλειστές. Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι εξισώσεις που εκφράζουν τη στροφή των πεδίων δεν ισχύουν ως έχουν (εξ. 1.3, 1.4) στα πεδία που μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο. Έχει αποδειχθεί ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E και η μαγνητική επαγωγή B, στην περίπτωση αυτή συνδέονται με την εξίσωση B E t (1.7)

4 2.3 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ (1.8) Η εξίσωση (1.7) είναι η διαφορική μορφή του νόμου του Faraday, είναι μια από τις τέσσερις βασικές εξισώσεις της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας, είναι πρακτικά η εξίσωση (1.3) τροποποιημένη ώστε να ισχύει για χρονικά μεταβαλλόμενα ή, όπως λέγονται, δυναμικά πεδία και ι- σχύει σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου υπάρχουν αυτά, συνδέοντας τα δύο μεγέθη E και B. Αντίστοιχα η εξίσωση (1.4) προκειμένου για δυναμικά πεδία παίρνει τη μορφή E B J t δηλαδή προστίθεται ένας επιπλέον όρος για να περιγραφεί πλήρως η σχέση μεταξύ της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής των δυναμικών πεδίων Στο παρόν και τα επόμενα κεφάλαια θα μελετήσουμε τους νόμους που διέπουν χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. Θα ξεκινήσουμε από το νόμο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής (νόμος του Faraday), δίνοντας πρώτα τον ορισμό της ηλεκτρεγερτικής δύναμης ενώ E η εξίσωση (1.8) μετά την προσθήκη, από τον Maxwell, του όρου t θα αναλυθεί και θα επιλυθεί στο τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου. 1.2 Ηλεκτρεγερτική δύναμη Για να κινηθούν ένα ή περισσότερα φορτία και να δημιουργηθεί ρεύμα στον χώρο που υπάρχουν πρέπει να ασκηθεί σ αυτά κάποια δύναμη F. Η δύναμη αυτή θα μπορούσε να είναι η δύναμη Lorentz (1.9) FL qe qv Fe Fm O πρώτος όρος της (1.9) περιγράφει την ηλεκτρική δύναμη, F e, που θα μπορούσε να ασκηθεί σε φορτίο q αν στο χώρο υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο έντασης E, ενώ ο δεύτερος όρος περιγράφει τη μαγνητική δύναμη, F m, ασκούμενη στο φορτίο αν στο χώρο υπήρχε και μαγνητικό πεδίο. Στην περίπτωση που υπάρχει μόνο το ένα από τα δύο πεδία υ- πάρχει αντίστοιχα μόνο ο ένας από τους δύο όρους. Θα πρέπει να επισημανθεί ότι η παρουσία του μαγνητικού πεδίου δεν είναι αρκετή για την εμφάνιση της δύναμης F m. Το φορτίο θα πρέπει να κινείται, ώστε το μέγεθος v που περιγράφει τη ταχύτητα της κίνησής του να είναι διάφορο του μηδενός, και επιπλέον να μην κινείται παράλληλα προς τη

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 5 διεύθυνση του B ώστε να είναι διάφορο του μηδενός και το αντίστοιχο εξωτερικό γινόμενο. Παρόλο που στις περισσότερες εφαρμογές η ηλεκτρική και μαγνητική δύναμη είναι εκείνες που προκαλούν ροή ηλεκτρικού ρεύματος, δεν είναι οι μοναδικές. Ροή ρεύματος μπορεί να προκληθεί με απ' ευθείας μηχανική κίνηση των φορτίων (γεννήτριες Van der Graaf), η διαφορά θερμοκρασίας που εμφανίζεται σε ένα θερμοζεύγος κ.α. Όποιος όμως και αν είναι ο μηχανισμός δημιουργίας ρεύματος και η προέλευση της δύναμης, το έργο που παράγει η δύναμη αυτή ανά μονάδα φορτίου υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα της συνάρτησης που περιγράφει τη δύναμη F κατά μήκος της διαδρομής που θα ακολουθήσει το κινούμενο φορτίο F d (1.10) C και η ποσότητα ονομάζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ), ή ηλεκτρεγερτικότητα οπως αναφέρεται συχνά στη βιβλιογραφία ενώ η παραπάνω εξίσωση αποτελεί το θεμελιώδη ορισμό της. Ο όρος ηλεκτρεγερτική δύναμη είναι σίγουρα παράδοξος εφόσον δεν πρόκειται για δύναμη αλλά για έργο ανά μονάδα φορτίου, αλλα παρόλα αυτά έχει επικρατήσει. Η ηλεκτρομαγνητική επαγωγή και ο νόμος του Faraday 1.3 Την Τρίτη δεκαετία του 19 ου αιώνα ο Michael Faraday στην Αγγλία και ο Joseph Henry στις ΗΠΑ θεωρώντας γνωστό το φαινόμενο της δημιουργίας Μαγνητικού πεδίου από ένα ηλεκτρικό ρεύμα, ερεύνησαν -εργαζόμενοι ανεξάρτητα- αν ισχύει και το αντίστροφο. Δηλ. αν ένα μαγνητικό πεδίο μπορεί να επάγει ρεύμα σε έναν κλειστό κύκλωμα. Τα πειραματικά τους αποτελέσματα ήταν θετικά και τους ο- δήγησαν στο συμπέρασμα πως επαγωγή ρεύματος είναι δυνατή με την προϋπόθεση ότι η μαγνητική ροή Φ που διέρχεται από το κύκλωμα είναι ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος. Ο Faraday παρουσίασε τα αποτελέσματα των πειραμάτων του το 1831 διατυπώνοντας το συμπέρασμα ότι η ηλεκτρεγερτική δύναμη που αναπτύσσεται επαγωγικά σε ένα κύκλωμα είναι ποσοτικά ίση με το ρυθμό της χρονικής μεταβολής της μαγνητικής ροής που διέρχεται από το κύκλωμα, ανεξάρτητα από το αίτιο ή τα αίτια που προκαλούν τη μεταβολή αυτή.

6 1.3 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ & ΝΟΜΟΣ FARADAY Σχήμα 1.3 Επίπεδος αγώγιμος βρόχος επιφάνειας S. C I Β Όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια τα αίτια αυτά είναι διάφορα. Θα μπορούσε να κινείται το κύκλωμα εντός ενός μαγνητικού πεδίου, να είναι ακίνητο εντός ενός χρονικά μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου ή ε- νός ηλεκτρικού πεδίου θα μπορούσε ακόμη να μεταβάλλεται το μέγεθός του ή να υπάρχουν ταυτόχρονα περισσότερα του ενός από τα αίτια αυτά. Όμως ανεξαρτήτως αιτίου θα προκύπτει ίδιας τιμής για τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής. Ουσιαστικής σημασίας για την ολοκληρωμένη περιγραφή του φαινομένου είναι ο καθορισμός της φοράς του επαγόμενου ρεύματος. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα μια επίπεδη επιφάνεια S που περιορίζεται από μια κλειστή καμπύλη C στη θέση της οποίας υπάρχει αγωγός μικρής διατομής (σχ. 1.3). Έστω ότι στο χώρο υπάρχει εξωτερικό πεδίο επαγωγής B της οποίας το μέτρο αρχικά ελαττώνεται με τον χρόνο. Στον αγωγό επάγεται ρεύμα που έχει τη φορά που φαίνεται στο σχήμα 1.3. Το ρεύμα αυτό δημιουργεί μαγνητικό πεδίο με επαγωγή που έχει φορά την ίδια με εκείνη του εξωτερικού πεδίου. Αν το εξωτερικό πεδίο διατηρώντας τη φορά του σχήματος αρχίσει να αυξάνει, το ρεύμα αλλάζει φορά. Ρέοντας αντίθετα από τη φορά που φαίνεται δημιουργεί μαγνητικό πεδίο με φορά αντίθετη αυτής του εξωτερικού πεδίου. Δηλαδή όταν η μαγνητική επαγωγή άρα και η μαγνητική ροή, ελαττώνονται κατά μέτρο, το ρεύμα που επάγεται στο κλειστό κύκλωμα C, έχει τέτοια φορά ώστε να τείνει προστιθέμενο στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο να αυξήσει τη συνολική μαγνητική επαγωγή B και επομένως και τη ροή, ενώ για αυξανόμενο B συμβαίνει το αντίθετο. Οι μεταβολές αυτές συμβαίνουν σχεδόν ακαριαία αν η αυτεπεγωγή του κυκλώματος είναι αμελητέα ενώ στην αντίθετη περιπτωση η μεταβολή συμβαίνει εντός πεπερασμένου χρόνου. Η γενικότερη περιγραφή του φαινομένου αυτού διατυπώθηκε με τον νόμο του Lenz σύμφωνα με τον οποίο το επαγόμενο ρεύμα στο κύκλωμα έχει πάντοτε τέτοια φορά, ώστε το μαγνητικό πεδίο που παράγει

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ - ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7 να τείνει να εξουδετερώσει τη μεταβολή της μαγνητικής ροής που επάγει την ΗΕΔ και το ρεύμα. Με βάση τα παραπάνω η γενική μορφή του νόμου του Faraday είναι d (1.11) dt και το αρνητικό πρόσημο εκφράζει το νόμο του Lenz. Αξίζει να σημειωθεί ότι το αρνητικό πρόσημο επιβεβαιώνει την αρχή ότι δεν είναι δυνατή η κατασκευή του αεικίνητου. Η επαγόμενη ηλεκτρεγερτική δύναμη αντιτίθεται πάντα στη μεταβολή της μαγνητικής ροής. Εάν το πρόσημο ήταν θετικό, τα επαγόμενα ρεύματα θα αύξαναν τον ρυθμό μεταβολής της ροής με συνέπεια την αύξηση της, που θα αύξανε πάλι το ρεύμα επαγωγής κ.ο.κ. Το αποτέλεσμα θα ήταν η μαγνητική επαγωγή να τείνει να γίνει άπειρη. Ο νόμος του Faraday ήταν ένας ανεξάρτητος πειραματικός νόμος, δεν προέκυψε από καμιά από τις προηγούμενες γνωστές σχέσεις αλλά όπως είναι αναμενόμενο συνδέεται μαθηματικά με αυτές. Στην εξίσωση (1-11) η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια S του κυκλώματος είναι B ds S (1.12) Το μέτρο της ποσότητας ds παριστάνει το τυχόν στοιχειώδες τμήμα της επιφάνειας S και η διανυσματική της ιδιότητα σημαίνει ότι στην επιφάνεια αυτή θα πρέπει να αντιστοιχίσουμε ένα διάνυσμα, η διεύθυνση και η φορά του οποίου καθορίζονται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία αν αυτός περιστραφεί κατά τη φορά ροής του ρεύματος. Σύμφωνα με τις εξισώσεις (1.11) και (1.12) d d B ds dt dt (1.13) S Στην εξίσωση (13) υπάρχουν ουσιαστικά τρεις ποσότητες, το B, η S και η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα B και S. Για να είναι η 0 θα πρέπει τουλάχιστον η μία από αυτές να είναι συνάρτηση του χρόνου. Επισημαίνεται ότι αν μεταβάλλεται η S ή/και η γωνία σημαίνει ότι ο αγωγός κινείται. Αν θα θέλαμε να συνδέσουμε την, έτσι όπως υπολογίζεται από το νόμο του Faraday που τη συνδέει με τη μαγνητική επαγωγή B, με το θεμελιώδη ορισμό της (εξ. 1.10), θα πρέπει να προσδιορίσουμε σε

8 1.3 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ & ΝΟΜΟΣ FARADAY κάθε περίπτωση ποιες είναι οι αντίστοιχες δυνάμεις που ασκούνται στα φορτία και τα κινούν. Σύμφωνα με τα παραπάνω διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α) Επαγόμενη όταν το μαγνητικό πεδίο είναι στατικό και ο αγωγός κινείται μέσα σ αυτό. Η ερμηνεία του φαινομένου είναι απλή: για να κινηθούν τα ηλεκτρικά φορτία και να δημιουργηθεί ρεύμα θα πρέπει να ασκηθεί επάνω τους δύναμη. Στην περίπτωση αυτή η δύναμη δεν είναι άλλη από τη δύναμη Laplace Fm qv B όπου v η ταχύτητα κίνησης του αγωγού και των φορτίων του. Με βάση τον θεμελιώδη ορισμό της ηλεκτρεγερτικής δύναμης (εξ. 1.10), στην προκειμένη περίπτωση θεωρώντας ότι q 1, προκύπτει (1.14) F d ( v B) d C m C (1.15) (1.16) β) Επαγόμενη όταν ο αγωγός δεν κινείται ενώ το μαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται χρονικά. Στη περίπτωση αυτή επειδή v 0, δεν μπορεί να ασκηθεί μαγνητική δύναμη στα φορτία. Παρόλα αυτά ρεύμα αναπτύσσεται και μπορεί να επιβεβαιωθεί πειραματικά. Η μοναδική δύναμη πλην της μαγνητικής και μηχανικής που θα μπορούσε να κινήσει τα φορτία είναι μια ηλεκτρική δύναμη Coulomb που θα ασκηθεί από B κάποιο ηλεκτρικό πεδίο. Στην περίπτωση που 0 συνυπάρχει με t το B() t ένα ηλεκτρικό πεδίο έντασης Et (), σύμφωνα με την εξίσωση (1-7), το οποίο ασκεί σε φορτίο q δύναμη Fe qe() t Αν ολοκληρώσουμε τα δύο μέρη της (1-7) στην επιφάνεια S του αγωγού και εφαρμόσουμε στο ολοκλήρωμα του πρώτου μέρους το νόμο του Stokes προκύπτει B B E ds ds E d ds t t S όπου C η καμπύλη στην οποία περατούται η επιφάνεια S Η ποσότητα E d, αν θεωρήσουμε ότι υπολογίζεται για τη μονάδα του φορτίου, q 1, μπορεί να γραφεί FE C d και είναι η που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο, οπότε η εξ. (1.15) έχει τελικά τη μορφή B ds t S C C